4.1复数项级数.ppt

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1、第一节第一节、复级数复级数第二节第二节、泰勒级数、泰勒级数第三节第三节、洛朗级数、洛朗级数4.1 复数项级数复数项级数一一、复数项级数复数项级数二二、复变函数项级数、复变函数项级数1 1、复数列的极限、复数列的极限1)1)定义定义记作记作一一、复数项级数复数项级数2)复数列收敛的条件复数列收敛的条件该定理说明该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.而而解解 例例1 1所以数列发散所以数列发散.2 2、复数项级数的概念、复数项级数的概念1)1)定义定义表达式

2、表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.2）部分和）部分和3）级数收敛与发散的定义）级数收敛与发散的定义说明说明:与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:4)复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件定理定理说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理)解：解：判断下列级数是否收敛？判断下列级数是否收敛？例例2 2原级数收敛原级数收敛5）级数收敛的必要条件）级数收敛的必要条件重要结论重要结论:不满足级数收敛的必

3、要条件不满足级数收敛的必要条件,原级数发散原级数发散.启示启示:判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察?级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.例例3 3非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.如果如果 收敛收敛,那么称级数那么称级数 为为绝对收敛绝对收敛.）定义定义6)绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛）定理）定理）定理定理注：注：可用正项级数的审敛法可用正项级数的审敛法.例例4 4原级数收敛原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知:解解故原级数收敛故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛所以原级

4、数非绝对收敛.例例5 5解解1 1）定义定义其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作 二二、复变函数项级数复变函数项级数1、复变函数项级数复变函数项级数称为这级数的称为这级数的部分和部分和.2 2）部分和）部分和 级数最前面级数最前面n项的和项的和3）和函数）和函数称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在区域如果级数在区域D内处处收敛内处处收敛,那么它的和一定那么它的和一定例例6 6 求级数求级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.

5、收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域且有且有2.2.幂级数幂级数函数项级数的特殊情形，函数项级数的特殊情形，定义定义幂级数幂级数：3 3、幂级数的敛散性、幂级数的敛散性1）收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)例如：2）收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径3）收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1：（比值法）（比值法）方法方法2 2：（根值法）（根值法）例例7求下列幂级数的收敛半径和收敛圆求下列幂级数的收敛半径和收敛圆:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)解解(1)收敛半径收敛半径收敛的收敛的级数级数 在圆周在圆周上上,级数级数所

6、以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为交错级数交错级数,收敛收敛.发散发散.原级数成为原级数成为调和级数，调和级数，(2)(并讨论并讨论时的敛散情况时的敛散情况)4、幂级数的运算和性质、幂级数的运算和性质1 1）幂级数的有理运算（两幂级数可以在其公共收敛）幂级数的有理运算（两幂级数可以在其公共收敛区域内进行加、减、乘等有理运算）区域内进行加、减、乘等有理运算）2）幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且

7、满足解析且满足那么当那么当时时,说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.例例8 把函数把函数表成形如表成形如的幂的幂级数级数,其中其中是不相等的复常数是不相等的复常数.解：解：把函数把函数写成如下的形式写成如下的形式:代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现凑出凑出级数收敛级数收敛,且其和为且其和为定理定理设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为那么那么()在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数级数逐项求导逐项求导得到得到,是收敛圆是收敛圆内部的解析函数内部的解析函数.()3）复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质简而言之简而言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分.即即()在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,作业：作业：P67P67 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3（1 1）、（）、（3 3）