人教A版高中数学必修二1.3.2 球的体积和表面积教学课件.pptx

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1、1.3.2球的体积和表面积 奥运会中所使用的排球的体积和表面积是多少呢？思考：（1）球的表面积：能否采用展开的方法，求球体的表面积呢？（2）球的体积：给你一个半径为R的实心铁球，如何测量该球的体积呢？排水法不能，球体无法展开为一个平面图形思考：当球的半径变化时，球的体积随之改变，你是否每次都要这样测量呢？探求：用数学方法探求球的体积与半径的关系。祖暅，子景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家，于5世纪末提出祖暅原理。“幂势即同，则积不容异”（一）球的体积的探究1、祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体

2、积相等。（1）两个等高的几何体（2）在同高处所截得的截面的面积总相等如何利用祖暅原理求出半径为R的半球的体积呢？（一）球的体积的探究2、构造与半球体积相等的几何体：提出问题：能否构造一个几何体，让这个几何体与 半球同高、等截面呢？（1）用一个与底面平行且离下底面的距离为 的平面截半球,所得到截面面积是多少呢？RO h半球的截面（2）能不能构造一个与半球同高等底的几何体？RORR（3）在同高处截圆柱和半球所得到的截面面积相等吗？圆柱的截面RORR（4）在同高处截圆台和半球所得到的截面面积相等吗？RORR h半球的截面圆锥的截面（4）在同高处截圆锥和半球所得到的截面面积相等吗？RO h思考：圆柱、

3、圆台、圆锥都不满足要求，那么究竟要怎样组合这些几何体，才能使构造的几何体的截面面积才等于半球的截面面积呢？（5）能不能由这个代数式，联想到一个几何图形？圆环于是可以考虑：构造的几何体的截面是一个大圆挖去一个小圆半球的截面（6）可以构造一个怎样的几何体，使构造的几何体 的截面就是这样一个大圆挖小圆呢？ROR 构造的几何体为:一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后所得的几何体。在圆柱中挖去一个圆锥，得到的这个几何体的截面就是一个圆环。在同高处截这个构造的几何体与半球所得到的截面 面积相等吗？思考：圆环RRhRRRR球球 把球面分割成n个小网格，球面被分为n“小

4、球面片”，表面积分别为：则球的表面积：第一步：分割（四）球的表面积公式的推导 把球心 和每个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体就被分割成以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“准锥体”。OOO第一步：分割则球的体积为：O（四）球的表面积公式的推导设每个“准锥体”的体积分别为：每个“准锥体”的体积之和与球的体积有怎样的关系呢？（四）球的表面积公式的推导“准锥体”的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？你会算吗？可以怎样处理呢？展开讨论OO以平代曲O“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作为“准锥体”体积的近似值。高设为：小棱锥的底近似取为：第二步：近

5、似求和由第一步得：O以平代曲OO球的体积的近似值。第三步：化为准确值怎样提高这个近似值的精确度?思考：以平代曲OO 分割的越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“准锥体”就越接近棱锥，精确度就越高。但只要分割份数是一个有限值，误差就一定存在，得到的始终是一个近似值。第三步：取极限（3）那么怎样把这个近似值化为准确值呢？让分割份数无限变大，由有限变到无限所有“准锥体”的体积之和为“准锥体”无限接近棱锥，它们的底无限接近棱锥的高无限接近球的半径。1、“分割-近似求和-取极限”这一数学思想方法，最早提出来是柯西，而且后来黎曼进一步发展，形成了积分理论，因此，今天我们数学分析中的积分也叫柯西黎曼积分。

6、（三）方法与思想的起源2、在我国，早在三国时期,我国古代的数学家刘徽就提出了“割圆术”。刘徽指出：割之弥细，所失弥少割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣!即以圆内接正多边形的面积来无限逼近圆的面积。（三）方法与思想的起源半径为R的球体的体积为：半径为R的球体的表面积为：例1:已知奥运会中所使用的排球直径大约是20cm,则它的表面积为()体积为()（四）公式的简单应用例2：如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求：1、球的体积等于圆柱体积的多少 倍？2、球的表面积与圆柱的侧面积有怎样的关系？（四）公式的简单应用R证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。因为所以，（2）因为所以，V球 例3：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 cm，求球的体积。思考题：正方体 中，它的棱长是 ，以底面 为底，为顶点作四棱锥，求这个四棱锥外接球的表面积。把这个四棱锥补形为一个正方体半径是R的球的体积：半径是R的球的表面积：分割近似求和取极限祖暅原理课堂小结