人教A版高中数学必修五3.4基本不等式课件.ppt

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1、3.4 基本不等式20022002年在北京举行的第年在北京举行的第2424届国际数学家大会会标届国际数学家大会会标思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？合作探究1 ab问问2 2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADERtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角是全等三角形，它们的面积是形，它们的面积是S S=问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中,设设AF=AF=a,BFa,BF=b,=b,则正方形的面积则正方形的面积为为S=S=

2、，问问3 3：S S与与S S有什么样的关系有什么样的关系？从图形中易得，从图形中易得，s ss s,即即问题问题1 1：那么它们有相等的情况吗？何时相等？那么它们有相等的情况吗？何时相等？图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，缩为一个点，这时有这时有 a=bu形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0合作探究2 结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成

3、立此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式问题问题2 2：当当 a,ba,b为任意实数时，上式还成立吗？为任意实数时，上式还成立吗？（特别的）如果（特别的）如果 也可写成也可写成 a0 ,b0,当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式合作探究3 算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数(1)(1)两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数不小于不小于它们的它们的几何平几何平 均数均数.(2)(2)两个正数的两个正数的等差中项等差中项不小于不小于它们的它们的等比中项等比中项.aboABPQ对基本不等式的对基本不等式的几何意义几何意义作

4、进一步探究作进一步探究:如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，Q Q是是ABAB上任上任一点，一点，AQ=AQ=a a,BQ,BQ=b b,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连，连AP,BPAP,BP,则则PQ=PQ=_,_,半径半径AO=AO=_问题：问题：请比较半弦长请比较半弦长PQPQ与半径与半径AOAO的关系？的关系？几何意义：几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长圆的半径不小于圆内半弦长合作探究4 例例1 1：（1 1）用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m100m的的矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所

5、所用用篱笆最短。最短的篱笆是多少？篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为宽为y my m，则则xyxy=100=100，篱笆的长为篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.m.等号当且仅当等号当且仅当x=yx=y时成立，此时时成立，此时x=y=10 x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m10m时，所用的篱笆最时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是短，最短的篱笆是40m.40m.结论结论1 1：两个正变量两个正变量积为定值积为定值，则，则和有最小值和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。（2 2）用一段

6、长为）用一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为宽为y my m，则则 2（x+y）=36,x+y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xymxym2 2=18/2=9得得 xyxy 81 81当且仅当当且仅当x=y,x=y,即即x=y=9x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m9m时，菜园面积最大，时，菜园面积最大，最大面积

7、是最大面积是81m81m2 2结论结论2 2：两个正变量两个正变量和为定值和为定值，则，则积有最大值积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件：a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大例例2:2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为其容积为4800m4800m3 3,深为深为3m.3m.如果池底每平方米的如果池底每平方米的造价为造价为150150元元,池壁

8、每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120120元元,怎怎样设计水池能使总造价最低样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多最低总造价是多少少?分析分析:水池呈长方体形水池呈长方体形,它的高是它的高是3m,3m,底面的长底面的长与宽没有确定与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了水池的总造价也就确定了.因此应当考察底因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低面的长与宽取什么值时水池总造价最低解解:设底面的长为设底面的长为xmxm,宽为宽为ymym,水池总造价为水池总造价为z z元元.根据题意根据题意,有有:由容积为由容积为4800m4800m3 3

9、,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xyxy=1600=1600由基本不等式与不等式的性质由基本不等式与不等式的性质,可得可得即即 当当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时,等号成立等号成立 所以所以,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方形的正方形时总造价最低时总造价最低,最低总造价为最低总造价为297600297600元元.1.设 0，0，若 是 与 的等比中项，则得最小值为（）A.8 B.4 C.1 D.（2009年天津理6）B链接高考 2.（2009山东理山东理12T)设设 满足约束条件满足约束条件 若目标函数若目标函数（0

10、，0）的最大值为的最大值为12，则，则 的最小值为（的最小值为（）A.B.C.D.4 略解略解：xy02-22(4,6)A1.1.两个不等式两个不等式（1 1）（2 2）当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立注意：注意：1.1.两公式条件，前者要求两公式条件，前者要求a,ba,b为实数；后者要求为实数；后者要求a,ba,b为正数。为正数。2.2.公式的正向、逆向使用的条件以及公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。的成立条件。2.2.不等式的简单应用：主要在于不等式的简单应用：主要在于求最值求最值 把握把握 “七字方针七字方针”即即 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等

11、”课堂小结 1.1.下列函数中最小值为下列函数中最小值为4 4的是的是()()(A)yA)y=x+4x =x+4x (B)yB)y=sinx+4sinx(0 x)=sinx+4sinx(0 x1a1，且，且m=logm=loga a(a(a2 2+1),n=log+1),n=loga a(a+1),(a+1),p=logp=loga a(2a)(2a)则则m,n,pm,n,p的大小关系是的大小关系是()()3.3.若若a.bRa.bR,且且a+ba+b=3,=3,则则2 2a a+2+2b b的最小值为的最小值为()()Cmnp小试牛刀 4.4.设计一副宣传画，要求画面面积为设计一副宣传画，要

12、求画面面积为4840m4840m2 2，画，画面的宽与高的比为面的宽与高的比为a(aa(a1)1)，画面的上下各留出，画面的上下各留出8cm8cm的空白，左右各留的空白，左右各留5cm5cm的空白，怎样确定画的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？最小？5.5.某种生产设备购买时费用为某种生产设备购买时费用为1010万元，每年的设备管万元，每年的设备管理费共计理费共计9 9千元，这种生产设备的维修费各年为：千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年第一年2 2千元，第二年千元，第二年4 4千元，第三年千元，第三年6 6千元，依每千元，依每年年2 2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合算少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少？即使用多少年的平均费用最少？)