概率论与数理统计5.ppt

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1、 概率论与数理统计是研究概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性随机现象统计规律性的一门学科。的一门学科。随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验大量的重复试验才能呈现出来。所以，要从随机现才能呈现出来。所以，要从随机现象中去寻求统计规律性，就应该对随机现象进行象中去寻求统计规律性，就应该对随机现象进行大大量的观测量的观测。研究随机现象的大量观测，常采用极限形式，研究随机现象的大量观测，常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究。极限定理的内容很广由此导致了极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，最重要的有两种：泛，最重要的有两种：“大数定律大

2、数定律”和和“中心极限定理中心极限定理”对随机现象进行大量重复的观测，对随机现象进行大量重复的观测，各种结果的各种结果的出现的频率出现的频率具有稳定性。具有稳定性。大数定律大数定律大量地掷硬币大量地掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程生产过程中废品率中废品率切比雪夫不等式切比雪夫不等式n 定理定理:设随机变量设随机变量X 的数学期望的数学期望E(X)=，方差方差D(X)=2，则对任给则对任给的的 0,有有或或估计不等估计不等式式 在随机变量在随机变量X的的分布未知分布未知的情况下，只利用的情况下，只利用X的的期望和方差，即可对期望和方差，即可对X的概率分布进行估计。的

3、概率分布进行估计。证明：证明：只对只对X 是连续型情况加以证明。是连续型情况加以证明。设设X 的概率密度函数为的概率密度函数为 f(x)，则有，则有放大被积函数放大被积函数放大积分区间放大积分区间由切比雪夫不等式可以看出：若由切比雪夫不等式可以看出：若 越小越小,则事件则事件|X-E(X)|的概率越大，即的概率越大，即随机变量随机变量X 集中在期望附近的可能性越大集中在期望附近的可能性越大.切比雪夫不等式用于：估计概率、切比雪夫不等式用于：估计概率、证明不等式。证明不等式。切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式的应用 例：例：已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平已知正常男性成人血液中，每毫升

4、白细胞数的平均值是均值是7300，均方差是，均方差是700，利用切比雪夫不等式估，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在计每毫升血液含白细胞数在52009400之间的概率。之间的概率。解：解：设设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则表示每毫升血液中含白细胞个数，则 设随机变量设随机变量X的方差为的方差为2.5，利用切比雪夫不等式，利用切比雪夫不等式估计概率估计概率答：答：几个常见的大数定律几个常见的大数定律n 定理定理1：切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 设随机变量序列设随机变量序列 X1,X2,相互独立，具有相相互独立，具有相同的期望和方差同的期望和方差:E(Xi)=,D(Xi)=2(i

5、=1,2,)，则对任意的则对任意的 0，有，有记记令令 n，并注意到概率小于等于，并注意到概率小于等于1，有结论，有结论:证明：证明：设设X表示在表示在n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是每次试验中事件是每次试验中事件A发生的发生的概率，即概率，即 X B(n,p)引入引入n 定理定理2：伯努利大数定律伯努利大数定律 -频率的稳定性频率的稳定性则则X1,X2,Xn 相互独立相互独立,都服从都服从0-1分布分布,且且n 定理：定理：伯努利大数定律伯努利大数定律 -频率的稳定性频率的稳定性 设设X是是 n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数，发

6、生的次数，p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正在每次试验中发生的概率，则对于任意正数数，恒有恒有u 伯努利伯努利大数定律表明：大数定律表明：当重复试验次数当重复试验次数n充分大充分大时，事件时，事件A发生的频率发生的频率X/n与事件与事件A发生的概率发生的概率 p 有有较大偏差的概率很小。即从理论上严格证明了频率较大偏差的概率很小。即从理论上严格证明了频率具有的稳定性。具有的稳定性。u 定理的应用：定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定事可通过多次重复一个试验，确定事件件A在每次试验中出现的概率在每次试验中出现的概率定定 理理 说说 明明中心极限定理中心极限定理 Centra

7、l limit theoermu 客观背景客观背景 在实际问题中，有许多随机现象可以看做是由很在实际问题中，有许多随机现象可以看做是由很多因素独立影响的综合结果多因素独立影响的综合结果,而每一个因素对该现象而每一个因素对该现象的影响都很微小，但总起来却对总和有显著影响的影响都很微小，但总起来却对总和有显著影响,那那么描述这种随机现象的随机变量可以看成很多相互独么描述这种随机现象的随机变量可以看成很多相互独立的起微小作用的因素的总和，它往往近似地服从正立的起微小作用的因素的总和，它往往近似地服从正态分布。态分布。例如：例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随炮弹射击的落点与目标的偏差，就受

8、着许多随机因素机因素(如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等)综合综合影响的影响的.每个随机因素的对弹着点每个随机因素的对弹着点 (随机变量和随机变量和)所起所起的作用都是很小的的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布呢？那么弹着点服从怎样分布呢？中心极限定理中心极限定理 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大影响中所起的作用不大,则这种随机变量一般都服从则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布或近似服从正态分布.

9、自从自从高斯高斯指出测量误差服从正态分布指出测量误差服从正态分布之后，人们发现：正态分布在自然界中极之后，人们发现：正态分布在自然界中极为常见为常见.中心极限定理中心极限定理 中心极限定理中心极限定理 当当 n 无限增大时，独立同分布随机变量之和的无限增大时，独立同分布随机变量之和的极限分布是正态分布；极限分布是正态分布；当当 n 很大时，二项分布可用正态分布近似。很大时，二项分布可用正态分布近似。中心极限定理是棣莫弗中心极限定理是棣莫弗(De Moivre)在在18世纪首世纪首先提出的，到现在内容已十分丰富；在这里，我们只先提出的，到现在内容已十分丰富；在这里，我们只介绍其中两个最基本的结论

10、：介绍其中两个最基本的结论：由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不，故我们不研究研究n个随机变量之和本身，而考虑其标准化的随机变个随机变量之和本身，而考虑其标准化的随机变量：量：的极限分布。的极限分布。在概率论中，习惯于把随机变量之和的分布收在概率论中，习惯于把随机变量之和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.中心极限定理中心极限定理n 定理定理1:独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 林德伯格林德伯格-列维列维(Lindeberg-Levy)中心极限中心极限定定理理 设设 X1,X2,是独立同分布

11、的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=,D(Xi)=2，则对任给，则对任给 x(-,+),均有均有其中其中(x)是标准正态分布是标准正态分布 N(0,1)的分布函数。的分布函数。还有另一记法还有另一记法:定定 理理 说说 明明u 定理的应用：定理的应用：在一般情况下，我们很在一般情况下，我们很难求出难求出 的分布的确切形式，但当的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布.u 定理表明：定理表明：对于独立的随机变量序列对于独立的随机变量序列 Xn，不管，不管Xi(i=1,2,n)服从什么分布，只要它们是同分布，且服从什么分布，只要它们是同分布，

12、且有有限的数学期望和方差，那么当有有限的数学期望和方差，那么当n充分大时，这些随充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布，即机变量之和近似地服从正态分布，即 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为(n,p)的二项分布的二项分布(0p1),则对任意则对任意 x(-,+,+)，均有，均有n 定理定理2:棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯拉普拉斯中心极限定理中心极限定理n定理表明：定理表明：当当n很大，很大，0p1是一个定值时是一个定值时(或者说，或者说，np(1-p)也不太小时也不太小时)，二项分布二项分布 B(n,p)近似正态分布近似正态分布 N(np,np(1-p).一般地，一般地，如果随机变量如

13、果随机变量 X B(n,p)，则有，则有即即例例1：设一批产品的强度服从期望为设一批产品的强度服从期望为14，方差为，方差为4的的分布，每箱中装有这种产品分布，每箱中装有这种产品100件。求件。求(1)每箱产品的平均强度超过每箱产品的平均强度超过14.5的概率；的概率；(2)每箱产品的平均强度超过期望每箱产品的平均强度超过期望14的概率。的概率。解：解：设设Xi 是第是第i 件产品的强度件产品的强度(i=1,2,100)，且有，且有E(Xi)=14，D(Xi)=4，Xi 相互独立。相互独立。则每箱产品的平则每箱产品的平均强度为均强度为且且(1)每箱产品的平均强度超过每箱产品的平均强度超过14.

14、5的概率；的概率；(2)每箱产品的平均强度超过期望每箱产品的平均强度超过期望14的概率的概率例例2：某公司有某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，考试通过率为往年经验，考试通过率为0.8。试计算这。试计算这200名员工至名员工至少有少有150人考试通过的概率人考试通过的概率。解法一解法一:令令 Xi 相互独立相互独立.XiPE(Xi)=0.8，D(Xi)=0.16i=1,2,200考试通过人数为考试通过人数为 ，且有，且有于是于是例例2：某公司有某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，考试通过率为往年经验

15、，考试通过率为0.8。试计算这。试计算这200名员工至名员工至少有少有150人考试通过的概率人考试通过的概率。解法二解法二:设设X表示表示通过考试的人数，则通过考试的人数，则 X B(200,0.8)E(X)=200*0.8=160，D(X)=200*0.8*0.2=32所以：所以：例例3：已知一本已知一本300页的书中，每页印刷错误个数服从参数页的书中，每页印刷错误个数服从参数为为0.2的泊松分布，求这本书印刷错误总数不多于的泊松分布，求这本书印刷错误总数不多于70的概率的概率。解解:设设Xi 表示表示第第 i 页上的印刷错误个数页上的印刷错误个数(i=1,2,300),则则 Xi (0.2

16、)且且Xi 相互独立相互独立，且，且 E(Xi)=D(Xi)=0.2例例4：某市保险公司开办一年人身保险业务某市保险公司开办一年人身保险业务,被保人每年需交付被保人每年需交付保费保费160元。若一年内发生重大人身事故，其本人或家属获赔元。若一年内发生重大人身事故，其本人或家属获赔付金付金2万元。己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为万元。己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有，现有5000人参加此项保险。求保险公司一年内从此项人参加此项保险。求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在业务所得到的总收益在20万元到万元到40万元之间的概率。万元之间的概率。解：解：设设X表

17、示表示5000人中在一年内发生重大人身事故的人数，则人中在一年内发生重大人身事故的人数，则 X B(5000,0.005),E(X)=25，D(X)=24.875 P(20万元万元总收益总收益40万元万元)=P(200.0165000-2X40)例例5：设某单位设置一台电话总机设某单位设置一台电话总机,共有共有200个分机个分机,设每个设每个分机有分机有5%的时间要使用外线通话的时间要使用外线通话,并且每个分机使用外线并且每个分机使用外线与否是相互独立的与否是相互独立的,该单位需要多少外线才能保证每个分机该单位需要多少外线才能保证每个分机要使用外线时可供使用的概率达到要使用外线时可供使用的概率

18、达到0.9?解解:设设单位需要单位需要n条外线，设随机变量条外线，设随机变量X表示任一时间需表示任一时间需要使用外线的分机数，则要使用外线的分机数，则X B(200,0.05)E(X)=200*0.05=10，D(X)=200*0.05*0.95=9.5保证每个分机要使保证每个分机要使用外线时可供使用用外线时可供使用的概率达到的概率达到0.9练习：重复做练习：重复做10000次独立试验，次独立试验，A在每次试验中发生在每次试验中发生的概率为的概率为p，分别利用切比雪夫不等式和中心极限定理，分别利用切比雪夫不等式和中心极限定理估计：用估计：用A在在10000次试验中发生的频率作为概率的次试验中发

19、生的频率作为概率的p的估计值时误差小于的估计值时误差小于0.01的概率的近似值。的概率的近似值。o利用中心极限定理：利用中心极限定理：求区间内的概率求区间内的概率 已知概率求已知概率求 n 的值。的值。小小 结结本章介绍了大数定律和中心极限定理本章介绍了大数定律和中心极限定理中心极限定理表明：中心极限定理表明：对于独立的随机变量序列对于独立的随机变量序列 Xn，不管不管Xi(i=1,2,n)服从什么分布，只要它们是同分服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么当布，且有有限的数学期望和方差，那么当n充分大时，充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布，即这些随机变量之和近似地服从正态分布，即