第四章 中心极限定理与参数估计.ppt

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1、第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 4.1 切贝谢夫不等式与大数定律切贝谢夫不等式与大数定律 4.2 中心极限定理中心极限定理 4.3 抽样分布抽样分布 4.4 参数的点估计参数的点估计 4.5 参数的区间估计参数的区间估计一 切贝谢夫不等式二 大数定律4.1 切贝谢夫不等式与大数定律 第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计1 切贝谢夫不等式注意：第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数

2、估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计一、大数定律第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 贝努里大数定律说明说明：当独立重复试验进行多次时，随机事件发生的频率是稳定的，在其概率附近摆动，而摆动中心就是概率，即随机事件发生的频率依概率收敛于它的概率。它为概率的统计定义提供了理论依据。根据贝努里大数定律大数定律，若某随机事件发生的概率很小，则其发生的频率也是很小

3、的。第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 切贝谢夫大数定律说明说明：对于n个相互独立且具有具有相同的有限的数学期望与方差的随机变量，当n充分大时，经过算术平均所得到随机变量的离散程度是很小的，其取值密集在数学期望附近。它为测量工作中以实际观测值的算术平均值作为测量精确值的近似值这一测量方法提供了理论依据。第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 小结与提问：小结与提问：本次课，我们介绍了切贝谢夫不等式与大数定律，应掌握利用切贝谢夫不等式估计有关事件概率的方法；充分了解贝努里大数定律及其说明的问题；

4、充分了解切贝谢夫大数定律及其说明的问题。VIIVII课外作业：课外作业：一 林德伯格莱维中心极限定理二 德莫佛拉普拉斯定理 4.2 中心极限定理中心极限定理第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计一、林德伯格莱维中心极限定理第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计定理定理4.2.14.2.1表明表明:第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计由题意得到数学期望根据随机变量数学期望的性质，计算数学期望第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参

5、数估计中心极限定理与参数估计例例2、袋装食糖用机器装袋，每袋食糖净重的数学期望为100g，标准差为4g，一盒内装100袋，求一盒食糖净重大于10100g的概率。第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计根据随机变量数学期望的性质，计算数学期望第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计所以一盒食糖净重大于10100g的概率为0.0062。第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计二、德莫佛拉普拉斯定理定理定理4.224.22表明表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯下面的图

6、形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计解解由定理四由定理四,随机变量随机变量 Z 近似服从正态分布近似服从正态分布 N(0,1),例例1第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计其中其中第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角

7、大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,例例2第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计

8、某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元.若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元.设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例3第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 对于一个学生而言对于一

9、个学生而言,来参加家长会的家长来参加家长会的家长人数是一个随机变量人数是一个随机变量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名名家长、家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数求参加会议的家长数 X 超过超过450的概率的概率;(2)求求有有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概的概率率.解解例例4第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估

10、计根据根据独立同分布的中心极限理，独立同分布的中心极限理，第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计证证例例5第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 小结与提问：小结与

11、提问：本次课，我们介绍了林德伯格莱维定理、德莫佛拉普拉斯定理，应当理解这两个中心极限定理的使用条件及结论，掌握用这两个中心极限定理求解有关概率问题的方法。VII课外作业：课外作业：一 总体与个体二 样本三 统计量 四 各种统计量的分布4.3 抽样分布 一 总体与个体总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。个体：总体中的每个元素为个体。定义：设X是具有分布函数F的随机变量，若是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量，则称 为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本，其观察值 称为样本值。例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体一个总体，

12、每个男生的身高是一个个体。二、样本第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计由定义知：若 为X的一个样本，则 的联合分布函数为：若设X的概率密度为f，则的联合概率密度为：第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计三 统计量1.定义：设为来自总体X的一个样本，g 是的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数；注：统计量是随机变量。第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计例1设为来自总体 的一个样本，问下列随机变量中那些是统计量2.常用的统计量第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计它们的观察值分别为：第四章第四章 中心极限定

13、理与参数估计中心极限定理与参数估计分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶矩、样本k阶中心矩。统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计结论：设为来自总体 的一个样本，则第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计四 各种统计量的分布第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数

14、估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计(4)正态总体的样本均值与样本方差的分布：定理1定理2.第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计且它们独立。则由t-分布的定义：第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 小结与提问小结与提问：本次课，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量的概念；常用的统计量的分布；应熟悉常用统计量的分布，并会求它们各

15、自的分位数。VII课外作业：课外作业：一 参数的点估计二 估计量的评选标准三 关于正态总体样本均值概率的计算 4.4 参数的点估计 4.4 参数的点估计点估计问题：1.矩估计法 这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 第七章第七章 参数估计参数估计2.极大似然估计法试求参数p的极大似然估计量。故似然函数为-它与矩估计量是相同的。似然函数为：X的概率密度为：2 估计量评选的标准第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极

16、限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计第四章第四章 中心极限定理与参数估计中心极限定理与参数估计 小结与提问：小结与提问：VII 课外作业：课外作业：一 置信区间与置信度二 均值的区间估计三 方差的区间估计4.5 参数的区间估计 区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。一、置信区间与置信度通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%二、均值的区间估计(1).已知方差，估计均值即：推得，随机区间：例1.已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,1

17、09,115,115,105,110cm;(2).未知方差，估计均值则随机变量t服从n-1个自由度的t分布。其中，n是样本容量，n-1是表中自由度；由此得：推得，随机区间：例2.用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;设温度三、方差的区间估计其中，n是样本容量，n-1是表中自由度；由此得：这就是说，随机区间：例3.设某机床加工的零件长度今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间。小小 结结1、已知正态总体的方差，求期望的置信区间、已知正态总体的方差，求期望的置信区间2、未知正态总体的方差，求期望的置信区间、未知正态总体的方差，求期望的置信区间3、未知正态总体的期望，求方差的置信区间、未知正态总体的期望，求方差的置信区间