1.1.3四种命题间的相互关系 (4).ppt

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1、1.1.3四种命题间的相互关系问题问题引航引航1.1.四种命四种命题题的相互关系是什么的相互关系是什么?你会用你会用图图示表示它示表示它们们之之间间的关系的关系吗吗?2.2.四种命四种命题题的真假情况有几种的真假情况有几种?你会列表表示你会列表表示吗吗?1.1.四种命四种命题题的相互关系的相互关系p pq qq qp p2.2.四种命四种命题题的真假关系的真假关系(1)(1)一般地一般地,四种命四种命题题的真假性有且的真假性有且仅仅有下面四种情况有下面四种情况:原命原命题题 逆命逆命题题 否命否命题题 逆否命逆否命题题真真真真_真真_假假_真真假假_假假_假假真真真真假假真真假假真真假假假假(

2、2)(2)四种命四种命题题的真假性之的真假性之间间的关系的关系:两个命两个命题题互互为为_,_,它它们们有相同的真假性有相同的真假性.两个命两个命题为题为_或或_,_,其真假性没有关系其真假性没有关系.逆否命逆否命题题互逆命互逆命题题互否命互否命题题1.1.判一判判一判(正确的打正确的打“”,错误错误的打的打“”)(1)(1)两个互逆命两个互逆命题题的真假性相同的真假性相同.(.()(2)(2)若两个命若两个命题为题为互否命互否命题题,则则它它们们的真假性肯定不相同的真假性肯定不相同.(.()(3)(3)对对于一个命于一个命题题的四种命的四种命题题,可以一个真命可以一个真命题题也没有也没有.(

3、.()【解析解析】(1)(1)错误错误.两个互逆命题的真假性没有关系两个互逆命题的真假性没有关系.(2)(2)错误错误.两个命题为互否命题两个命题为互否命题,它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系,但也可但也可能相同能相同,故此说法错误故此说法错误.(3)(3)正确正确.一个命题的四种命题中一个命题的四种命题中,可能都是假命题可能都是假命题,如若如若0 x1,0 x1,x1,此命题的四种命题均为假命题此命题的四种命题均为假命题.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做(请请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线线上上)(1)(1)命命题题“若若x x2 21,1,则

4、则x1x1”的否命的否命题题是是(填填“真真”或或“假假”)命命题题.(2)(2)若命若命题题p p的逆否命的逆否命题题是真命是真命题题,则则命命题题p p是是命命题题.(.(填填“真真”或或“假假”)(3)(3)命命题题“若若ab,ab,则则a a2 2bb2 2”的逆否命的逆否命题为题为,其真假情况其真假情况为为(填填“真命真命题题”或或“假命假命题题”).).【解析解析】(1)(1)由于否命题是由于否命题是“若若x x2 2=1,=1,则则x=1x=1”,是假命题是假命题.答案答案:假假(2)(2)由于原命题与其逆否命题等价由于原命题与其逆否命题等价,故命题故命题p p是真命题是真命题.

5、答案答案:真真(3)(3)逆否命题为逆否命题为:若若a a2 2bb2 2,则则abab,由于原命题是假命题由于原命题是假命题,故其逆故其逆否命题也是假命题否命题也是假命题.答案答案:若若a a2 2bb2 2则则abab假命题假命题【要点探究要点探究】知知识识点点 四种命四种命题间题间的关系的关系对对四种命四种命题题相互关系的三点相互关系的三点认识认识(1)(1)四种命四种命题题中原命中原命题题具有相具有相对对性性,任意确定一个任意确定一个为为原命原命题题,其逆其逆命命题题、否命、否命题题、逆否命、逆否命题题就确定了就确定了,所以所以“互逆互逆”“”“互否互否”“”“互互为为逆逆否否”具有具

6、有对对称性称性.(2)(2)在原命在原命题题、逆命、逆命题题、否命、否命题题与逆否命与逆否命题这题这四种命四种命题题中中,有两有两对对互逆命互逆命题题,两两对对互否命互否命题题,两两对对互互为为逆否命逆否命题题.它它们们分分别为别为:两两对对互逆命互逆命题题:原命原命题题与逆命与逆命题题,否命否命题题与逆否命与逆否命题题.两两对对互否命互否命题题:原命原命题题与否命与否命题题,逆命逆命题题与逆否命与逆否命题题.两两对对互逆否命互逆否命题题:原命原命题题与逆否命与逆否命题题,逆命逆命题题与否命与否命题题.(3)(3)由于原命由于原命题题与其逆否命与其逆否命题题的真假性相同的真假性相同,所以原命所

7、以原命题题与其逆与其逆否命否命题题是等价命是等价命题题,因此当直接因此当直接证证明原命明原命题题困困难时难时,可以可以转转化化证证明其逆否命明其逆否命题题.【知识拓展知识拓展】等价命题的证法与反证法等价命题的证法与反证法 在解答命题的过程中在解答命题的过程中,注意借助逆否命题证明真命题与利注意借助逆否命题证明真命题与利用反证法证明真命题有本质区别用反证法证明真命题有本质区别,运用逆否命题的证法实质是运用逆否命题的证法实质是把命题等价转化把命题等价转化,而反证法是先假设结论不成立而反证法是先假设结论不成立,接着推出矛盾接着推出矛盾,从而得出假设不成立从而得出假设不成立.【微思考微思考】(1)(1

8、)在四种命在四种命题题中中,它它们们的真假性有什么关系的真假性有什么关系?提示提示:互为逆否的两个命题具有相同的真假性互为逆否的两个命题具有相同的真假性,互逆或互否的两互逆或互否的两个命题的真假性没有必然的联系个命题的真假性没有必然的联系.(2)(2)原命原命题题的逆命的逆命题题与原命与原命题题的否命的否命题题真假性相同真假性相同吗吗?提示提示:相同相同.因为原命题的逆命题与否命题互为逆否命题因为原命题的逆命题与否命题互为逆否命题.【即时练即时练】原命原命题题、逆命、逆命题题、否命、否命题题和逆否命和逆否命题题中中,真命真命题题的个数是的个数是_个个.【解析解析】因为原命题与逆否命题同真假因为

9、原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真逆命题与否命题同真假假,因此真命题的个数为因此真命题的个数为0 0个或个或2 2个或个或4 4个个.答案答案:0 0或或2 2或或4 4 【题题型示范型示范】类类型一型一 四种命四种命题题的相互关系的相互关系【典例典例1 1】(1)(1)若命若命题题p p的逆命的逆命题为题为q,q,命命题题q q的否命的否命题为题为r,r,则则p p是是r r的的()A.A.逆命逆命题题 B.B.否命否命题题C.C.逆否命逆否命题题 D.D.以上判断都不以上判断都不对对(2)(2)命命题题“若若p p不正确不正确,则则q q不正确不正确”的逆命的逆命题题的等价命的等价

10、命题题是是 ()A.A.若若q q不正确不正确,则则p p不正确不正确B.B.若若q q不正确不正确,则则p p正确正确C.C.若若p p正确正确,则则q q不正确不正确 D.D.若若p p正确正确,则则q q正确正确【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中命题中命题p p的条件与结论与命题的条件与结论与命题r r的条件与的条件与结论有什么关系结论有什么关系?2.2.题题(2)(2)中原命题的逆命题是什么中原命题的逆命题是什么?逆命题的等价命题是什么逆命题的等价命题是什么?【探究提示探究提示】1.1.命题命题p p的条件与结论分别是命题的条件与结论分别是命题r r的结论的否定的结论的否定

11、与条件的否定与条件的否定.2.2.原命题的逆命题是原命题的逆命题是“若若q q不正确不正确,则则p p不正确不正确”,逆命题的等价命题是逆命题的等价命题是:“若若p p正确正确,则则q q正确正确”.【自主解答自主解答】(1)(1)选选C.C.因为命题因为命题p p与与q q的条件与结论交换的条件与结论交换,命题命题q q的条件与结论分别是的条件与结论分别是r r的条件与结论的否定的条件与结论的否定.所以所以p p与与r r的条件与结论既交换又否定的条件与结论既交换又否定,故选故选C.C.(2)(2)选选D.D.原命题的逆命题是原命题的逆命题是“若若q q不正确不正确,则则p p不正确不正确”

12、.因此逆命题的等价命题为因此逆命题的等价命题为“若若p p正确正确,则则q q正确正确”.【延伸探究延伸探究】题题(2)(2)中中“逆命逆命题题的等价命的等价命题题”若若换为换为“否命否命题题的等的等价命价命题题”,其其结结果又如何呢果又如何呢?【解析解析】选选A.A.原命题的否命题为原命题的否命题为“若若p p正确正确,则则q q正确正确”,其等价其等价命题为命题为“若若q q不正确不正确,则则p p不正确不正确”.【方法技巧方法技巧】判断四种命题之间四种关系的两种方法判断四种命题之间四种关系的两种方法方法一方法一:利用四种命题的定义判断利用四种命题的定义判断;方法二方法二:可以巧用可以巧用

13、“逆、否逆、否”两字进行判断两字进行判断,如如“逆命题逆命题”与与“逆否命题逆否命题”中不同有中不同有“否否”字字,是互否关系是互否关系;而而“逆命题逆命题”与与“否命题否命题”中不同有中不同有“逆、否逆、否”二字二字,其关系为逆否关系其关系为逆否关系.【变变式式训练训练】(2014(2014陕陕西高考西高考)原命原命题为题为“若若 aan n,nNnN+,则则aan n 为递为递减数列减数列”,关于逆命关于逆命题题,否命否命题题,逆否命逆否命题题真真假性的判断依次如下假性的判断依次如下,正确的是正确的是()A.A.真真,真真,真真B.B.假假,假假,真真C.C.真真,真真,假假D.D.假假,

14、假假,假假【解题指南解题指南】因为原命题和其逆否命题同真假因为原命题和其逆否命题同真假,逆命题和否命逆命题和否命题同真假题同真假,所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可.【解析解析】选选A.A.由已知条件可以判断原命题为真由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否所以它的逆否命题也是真命题也是真;而它的逆命题为真而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真所以它的否命题亦为真,故选故选A.A.【补偿训练补偿训练】若命若命题题p p的否命的否命题题是是q,q,命命题题q q的逆命的逆命题题是是s,s,则则p p是是s s的的命命题题.【解析解析】设命题设命题p

15、 p“若若a,a,则则b b”,因为因为p p的否命题是的否命题是q,q,则则q q“若不是若不是a,a,则不是则不是b b”,又因为又因为q q的逆命题是的逆命题是s,s,则则s s“若不是若不是b,b,则不是则不是a a”,显然命题显然命题p p与与s s的条件的条件a a和结论和结论b b交换位置且同时否定交换位置且同时否定,所以互为所以互为逆否命题逆否命题.答案答案:逆否逆否类类型二型二 等价命等价命题题的的应应用用【典例典例2 2】(1)(1)命命题题:“已知已知a,xa,x为实为实数数,若关于若关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+2

16、+200的解集的解集为为空集空集,则则a2a2”的逆否命的逆否命题题是是命命题题(填填“真真”或或“假假”).).(2)(2)证证明明:如果如果p p2 2+q+q2 2=2,=2,则则p+q2.p+q2.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中解集为空集的含义是什么中解集为空集的含义是什么?需要具备哪需要具备哪些条件些条件?2.2.题题(2)(2)中命题的逆否命题是什么中命题的逆否命题是什么?【探究提示探究提示】1.1.题题(1)(1)中不等式的解集为空集中不等式的解集为空集,即此不等式无解即此不等式无解,需要相应的需要相应的0.22则则p p2 2+q+q2 22.2.【自主解答自主

17、解答】(1)(1)先判断原命题的真假先判断原命题的真假.因为关于因为关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集为空集的解集为空集,所以相所以相应二次方程的判别式应二次方程的判别式=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-70,+2)=4a-70,所以所以a 2.a 2,2,则则p p2 2+q+q2 22.2.p p2 2+q+q2 2 (p+q)(p+q)2 2.因为因为p+qp+q2,2,所以所以(p+q)(p+q)2 24,4,所以所以p p2 2+q+q2 22.2.即即p+qp+q22时时,p,p

18、2 2+q+q2 222成立成立.所以如果所以如果p p2 2+q+q2 2=2,=2,则则p+q2p+q2成立成立.【延伸探究延伸探究】在在题题(1)(1)中中,写出命写出命题题的逆命的逆命题题,并判断其真假并判断其真假.【解析解析】逆命题逆命题:已知已知a,xa,x为实数为实数,若若a2,a2,则关于则关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集为空集的解集为空集,由题由题(1)(1)可知可知=4a-7.=4a-7.所以当所以当 a2a2时时,0,0,解集不为空集解集不为空集;当当a a 时时,0,0,解集为空集解集为空集.所以不等

19、式的解集为空集是假命题所以不等式的解集为空集是假命题,故逆命题是假命题故逆命题是假命题.【方法技巧方法技巧】“正难则反正难则反”的处理原则的处理原则(1)(1)当原命题的真假不易判断当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时而逆否命题较容易判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)(2)在证明某一个命题的真假性有困难时在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命可以证明它的逆否命题为真题为真(假假)命题命题,来间接地证明原命题为真来间接地证明原命题为真(假假)命题命题.【变变式式训练训练】证证明明:已知函数已知函

20、数f(xf(x)是是(-,+)(-,+)上的增函数上的增函数,a,bRa,bR,若若f(a)+f(b)f(-a)+f(-bf(a)+f(b)f(-a)+f(-b),),则则a+b0.a+b0.【解题指南解题指南】由于原命题不易证明由于原命题不易证明,可转化为证明其逆否命题可转化为证明其逆否命题为真命题为真命题.【证明证明】原命题的逆否命题为原命题的逆否命题为“已知函数已知函数f(xf(x)是是(-,+)(-,+)上上的增函数的增函数,a,bRa,bR,若若a+ba+b0,0,则则f(a)+f(bf(a)+f(b)f(-a)+f(-bf(-a)+f(-b)”.若若a+ba+b0,0,则则a-a-

21、b,bb,b-a,-a,又因为又因为f(xf(x)在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数,所以所以f(af(a)f(-b),f(bf(-b),f(b)f(-a).)f(-a).所以所以f(a)+f(bf(a)+f(b)030不成立是真命不成立是真命题题,求求实实数数a a的取的取值值范范围围.【审题审题】抓信息抓信息,找思路找思路【解题解题】明步骤明步骤,得高分得高分【点题点题】警误区警误区,促提升促提升失分点失分点1:1:解题时若在解题时若在处对原命题的等价命题写错处对原命题的等价命题写错,则会导致则会导致本例不得分本例不得分.失分点失分点2:2:本例若对不等式考虑不全面本例若对不等式

22、考虑不全面,即忽略即忽略处对参数处对参数a a的讨的讨论论,漏掉一解漏掉一解,则本例最多得则本例最多得8 8分分.失分点失分点3:3:若解题步骤不规范若解题步骤不规范,漏掉漏掉处最后的归纳处最后的归纳,则本例最多则本例最多得得1010分分【悟题悟题】提措施提措施,导方向导方向1.1.转化思想的应用转化思想的应用在解决原命题遇到困难时在解决原命题遇到困难时,可转化为其等价命题解决可转化为其等价命题解决,如本例中如本例中的不成立问题可转化为恒成立问题解决的不成立问题可转化为恒成立问题解决.2.2.分类讨论意识分类讨论意识在解决含参数的问题时在解决含参数的问题时,切记分类讨论思想的应用切记分类讨论思

23、想的应用,如本例对二如本例对二次项系数的讨论次项系数的讨论.【类题试类题试解解】已知命已知命题题“对对于任意于任意xR,xxR,x2 2+ax+10+ax+10不成立不成立”是真是真命命题题,求求实实数数a a的取的取值值范范围围.【解析解析】命题命题“对于任意对于任意xR,xxR,x2 2+ax+10+ax+10不成立不成立”等价于等价于“对对于任意于任意xR,xxR,x2 2+ax+10+ax+10成立成立”是真命题是真命题.由于函数由于函数f(xf(x)=x)=x2 2+ax+1+ax+1是开口向上的抛物线是开口向上的抛物线,由二次函数的图象由二次函数的图象易知易知:=a:=a2 2-40,-40,解得解得:-2a2.:-2a2.所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是-2,2.-2,2.