高二数学：2.3.2《抛物线的简单几何性质》课件（2）（新人教A选修11）.ppt

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1、抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质（一）（一）2021/8/11 星期三1M是抛物线是抛物线y2=2px（p0）上一点，若）上一点，若点点M 的横坐标为的横坐标为x0，则点，则点M到焦点的距到焦点的距离是离是x0+2pOyxFM2021/8/11 星期三2焦半径及焦半径公式焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在在y2=2px上，上，P(x0，y0)在在y2=-2px上上,P(x0，y0)在在x2=2py上上,P(x0，y0)在在x2=-2py上上,2021/8/11 星期三31、抛物线的范围、抛物线的范围:y2=2pxy取全体实数取全体实数x

2、yX 0抛物线的几何性质：抛物线的几何性质：2021/8/11 星期三42、抛物线的对称性、抛物线的对称性 y2=2px关于关于x轴对称轴对称没有对称中心，因没有对称中心，因此，抛物线又叫做此，抛物线又叫做无心圆锥曲线。无心圆锥曲线。而椭圆和双曲线又而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线叫做有心圆锥曲线 XY2021/8/11 星期三5定义定义 ：抛物线：抛物线与对称轴的交与对称轴的交点，叫做抛物点，叫做抛物线的顶点线的顶点只有一个顶点只有一个顶点 XY3、抛物线的顶点、抛物线的顶点 y2=2px2021/8/11 星期三6所有的抛物所有的抛物线的离心率线的离心率都是都是 1 1XY4、抛物线的离心

3、率、抛物线的离心率 y2=2px2021/8/11 星期三7基本点：顶点，焦点基本点：顶点，焦点基本线：准线，对称轴基本线：准线，对称轴基本量：焦准距基本量：焦准距p（决定（决定抛物线开口大小）抛物线开口大小）XY5、抛物线的基本元素、抛物线的基本元素 y2=2px2021/8/11 星期三8例例1：已知抛物线已知抛物线y2=2x(1)设点设点A的坐标为的坐标为(，0)，求，求曲曲线上与点线上与点A距离最近的点距离最近的点P的坐的坐标及相应的标及相应的|PA|的值；的值；(2)若上题中若上题中A(2,0)，则结果如何，则结果如何？2021/8/11 星期三9例例2：斜率为斜率为1的直线经过抛物

4、的直线经过抛物线线y2=4x 的焦点的焦点,与抛物线相交与抛物线相交于两点于两点A、B,求线段求线段AB的长的长.2021/8/11 星期三106、焦点弦和通径、焦点弦和通径通径是焦点弦中最短的弦，通径是焦点弦中最短的弦，通径通径|AB|=2p2021/8/11 星期三11设设AB是抛物线是抛物线y2=2px(p0)过焦点过焦点F的一条弦。设的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的的中点中点M(x0,y0),过过A,B,M分别向抛物线分别向抛物线的准线作垂线，垂足为的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则则yFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M12021/8/11 星

5、期三12A(x1,y1)(1)|AB|x1+x2+p (2)x1x2=,y1y2=-p2XyFOB(x2,y2)MA1B1M1y2=2px(p0)2021/8/11 星期三13yFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1(5)证明证明:以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切y2=2px(p0)AM1B=Rt,A1FB1=Rt N2021/8/11 星期三14练习练习1：已知抛物线方程为已知抛物线方程为y2=4x，直线，直线l过定点过定点P（-2，1），斜率为），斜率为k.则则k为何值时，直线为何值时，直线l与抛物线与抛物线y2=4x 只有一个公共点；有两个只有一个公共点；有两

6、个公共点；没有公共点呢。公共点；没有公共点呢。2021/8/11 星期三15提出问题提出问题 过抛物线过抛物线 的焦的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点点的一条直线和抛物线相交，两交点的纵坐标为的纵坐标为 ，求证：求证：.（焦点弦的其中（焦点弦的其中一条性质）一条性质）2021/8/11 星期三16探究探究1 过焦点的直线具有上述性质，过焦点的直线具有上述性质，反之，若直线反之，若直线AB与抛物线与抛物线 的两个交点的两个交点A，B的纵坐标为的纵坐标为 ，且且 ，那么直线，那么直线AB是否经是否经过焦点过焦点F 呢？呢？2021/8/11 星期三17探探究究2 既既然然过过抛抛物物线线焦焦点点

7、的的直直线线与与其其相相交交，交交点点的的纵纵坐坐标标的的乘乘积积是是一一个个定定值值，那那么么过过抛抛物物线线对对称称轴轴上上其其他他任任意意一一定定点点，是是否否也也有有这这个个性性质质呢呢?2021/8/11 星期三18探究探究3 设抛物线设抛物线 上两动点上两动点 ，且满足，且满足 ，问，问AB是否恒过是否恒过某一定点？某一定点？2021/8/11 星期三19探究探究4 设抛物线设抛物线 上两动点上两动点 ，且满足，且满足 ，求求AB中点中点P的的轨迹方程轨迹方程.2021/8/11 星期三20探究探究5 设抛物线设抛物线 上两动点上两动点 ，O为坐标原点，为坐标原点，OAOB，则直线

8、，则直线AB是否过定点？是否过定点？求求AB中点中点P的轨迹方程的轨迹方程.2021/8/11 星期三21探究探究6 设抛物线设抛物线 上两动点上两动点 ，M为该抛物线为该抛物线上一定点，且上一定点，且MAMB，则直线，则直线AB是否过定点？是否过定点？2021/8/11 星期三22探究探究7 若若M为抛物线为抛物线 上一个定点，上一个定点，A、B是抛物线上的两是抛物线上的两个动点，且个动点，且 (r为非零常为非零常数数)，求证：直线，求证：直线AB过定点。过定点。2021/8/11 星期三23将将“探究探究6”的的 “直线直线MA与直线与直线MB的倾斜角之差为的倾斜角之差为900”变为变为“

9、直线直线MA与直线与直线MB的倾斜角之和的倾斜角之和为为900”，即，即 ，r=1,=1,直线直线AB过定点过定点.将将“探究探究6”的的 “直线直线MA与直线与直线MB的倾斜角之差为的倾斜角之差为900”变为变为“直线直线MA与直线与直线MB的倾斜角之和的倾斜角之和为为1800”，直线，直线AB不过定点，但可不过定点，但可得到：得到：2021/8/11 星期三24探究探究8 若若M为抛物线为抛物线 上上一个定点，一个定点，A、B是抛物线上的两个是抛物线上的两个动点，且直线动点，且直线MA与直线与直线MB的倾斜的倾斜角互补，求证：直线角互补，求证：直线AB的斜率为定的斜率为定值。值。2021/

10、8/11 星期三25设计意图：设计意图：培养学生研究数学问题的培养学生研究数学问题的一般思想方法，一是考虑原命题的逆一般思想方法，一是考虑原命题的逆命题是否成立；二是考虑能否把原命命题是否成立；二是考虑能否把原命题进行一般推广；三是考虑从原命题题进行一般推广；三是考虑从原命题条件中还能推出什么结论？四是考虑条件中还能推出什么结论？四是考虑把原命题进行适当变式进行拓展。把原命题进行适当变式进行拓展。2021/8/11 星期三26问题问题(2004年北京卷理年北京卷理)过抛物线过抛物线 上一定点上一定点 ，作作两两条条直直线线分分别别交交抛抛物物线线于于 .当当PA与与PB的的斜斜率率存存在在且且

11、倾倾斜斜角角互互补补时时，求求 的值，并证明直线的值，并证明直线AB的斜的斜率为非零常数率为非零常数.2021/8/11 星期三27变变式式1过过抛抛物物线线 上上一一定定点点 ，作作两两条条直直线线分分别别交交抛抛物物线线于于 ，若若直直线线AB的的斜斜率率为为定定值值 ，证证明明直直线线PA与与PB的倾斜角互补的倾斜角互补.2021/8/11 星期三28 设设动动直直线线AB：y=-x+b与与抛抛物物线线 相相交交于于两两点点 ，问问在在直直线线MN：x=2上上能能否否找找到到一一定定点点P（坐坐标标与与b 的的值值无无关关），使使得得直直线线PA与与PB的倾斜角互补？的倾斜角互补？变式变

12、式22021/8/11 星期三29变式变式3 如图，抛物线如图，抛物线 ，过过点点P(1,0)作作斜斜率率为为k的的直直线线l交交抛抛物物线线于于A、B两两点点，A关关于于x轴轴的的对对称称点点为为C，直直线线BC交交x轴轴于于Q点点，当当k变变化化时，探究点时，探究点Q是否为定点？是否为定点？2021/8/11 星期三30练习练习1：如图，定长为如图，定长为3的线段的线段AB的两的两端点在抛物线端点在抛物线y2=x上移动，设线上移动，设线段段AB的中点为的中点为M，求点，求点M到到y轴轴的最短距离。的最短距离。2021/8/11 星期三31练习练习2：正三角形的一个顶点位正三角形的一个顶点位

13、于坐标原点，另外两个顶点在于坐标原点，另外两个顶点在抛物线抛物线y2=2px(p0)上，求这个上，求这个三角形的边长。三角形的边长。2021/8/11 星期三32变式：变式：已知在抛物线已知在抛物线y=x2上三个上三个点点A、B、C组成一个等腰直角三组成一个等腰直角三角形，且顶点角形，且顶点B是直角顶点，是直角顶点，(1)设直线设直线BC的斜率为的斜率为k，求顶点，求顶点B的坐标；的坐标；(2)求等腰直角三角形的面积的最求等腰直角三角形的面积的最小值。小值。2021/8/11 星期三33抛物线的对称性问题抛物线的对称性问题例例.已知直线过原点，抛物线的顶点已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在在原点，焦点在x轴的正半轴上，且轴的正半轴上，且点点A（-1，0）和）和B（0，8）关于直）关于直线的对称点都在抛物线上，求直线和线的对称点都在抛物线上，求直线和抛物线的方程。抛物线的方程。2021/8/11 星期三34