[数学][高中数学解题思维与思想](精美word)(1)(118页).doc
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1、-第 1 页数学高中数学解题思维与思想(精美 word)(1)-第 2 页高中数学解题思维与思想高中数学解题思维与思想导导读读数学家 G.波利亚在怎样解题中说过:数学教学的目的在于培养学生的思维能力,培养良好思维品质的途径,是进行有效的训练,本策略结合数学教学的实际情况,从以下四个方面进行讲解:一、数学思维的变通性根据题设的相关知识,提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解,检查思维过程,不盲从、不轻信。三、数学思维的严密性考察问题严格、准确,运算和推理精确无误。四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。什么”转变,从而培
2、养他们的思维能力。思维与思想的即时性、针对性、实用性,已在教学实践中得到了全面验证。一、高中数学解题思维策略一、高中数学解题思维策略第一讲第一讲数学思维的变通性数学思维的变通性一、概念一、概念数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,必须具有思维的变通性善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现,本讲将着重进行以下几个方面的训练:(1 1)善于观察)善于观察心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式,而观察则是知觉的高级状态,是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径,它是了解问题、发现问题和解决问题的前
3、提。任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就必须依据题目的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路,找到解题方法。-第 3 页例如,求和)1(1431321211nn.这些分数相加,通分很困难,但每项都是两相邻自然数的积的倒数,且111)1(1nnnn,因此,原式等于1111113121211nnn问题很快就解决了。(2 2)善于联想)善于联想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系,都是不明显的、间接的、复杂的。因此,解题的方法怎样、速度如何,取决于能否由观察到的特征,灵活运用有关知识,做出相应的联
4、想,将问题打开缺口,不断深入。例如,解方程组32xyyx.这个方程指明两个数的和为2,这两个数的积为3。由此联想到韦达定理,x、y是一元二次方程0322 tt的两个根,所以31yx或13yx.可见,联想可使问题变得简单。(3 3)善于将问题进行转化)善于将问题进行转化数学家 G.波利亚在怎样解题中说过:数学解题是命题的连续变换。数学解题是命题的连续变换。可见,解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢?概括地讲,就是把复杂问题转化成简单问题,把抽象问题转化成具体问题,把未知问题转化成已知问题。在解题时,观察具体特征,联想有关问题之后,就要寻求转化
5、关系。例如,已知cbacba1111,)0,0(cbaabc,求证a、b、c三数中必有两个互为相反数。恰 当 的 转 化 使 问 题 变 得 熟 悉、简 单。要 证 的 结 论,可 以 转 化 为:0)()(accbba思维变通性的对立面是思维的保守性,即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后,往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式,使思维受到限制,它是提高思维变通性的极大的障碍,必须加以克服。综上所述,善于观察、善于联想、善于进行问题转化,是数学思维变通性的具体-第 4 页体现。要想提高思维变通性,必须作相应的思维训练。二、思维训练实例二
6、、思维训练实例(1 1)观察能力的训练观察能力的训练虽然观察看起来是一种表面现象,但它是认识事物内部规律的基础。所以,必须重视观察能力的训练,使学生不但能用常规方法解题,而且能根据题目的具体特征,采用特殊方法来解题。例例 1 1已知dcba,都是实数,求证.)()(222222dbcadcba思路分析思路分析从题目的外表形式观察到,要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似,而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点,可采用下面巧妙而简捷的证法,这正是思维变通的体现。证明证明不妨设),(),(dcBbaA如图 121 所示,则.)()(22dbcaAB在OAB中,由三角形三边之间的关系知
7、:ABOBOA当且仅当 O 在 AB 上时,等号成立。因此,.)()(222222dbcadcba思维障碍思维障碍很多学生看到这个不等式证明题,马上想到采用分析法、综合法等,而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因,是对这个公式不熟,进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此,平时应多注意数学公式、定理的运用练习。例例 2 2已知xyx62322,试求22yx 的最大值。解解由xyx62322得又,29)3(2132322222xxxxyx当2x时,22yx 有最大值,最大值为.429)32(212思路分析思路分析要求22yx 的最大值,由已知条件很
8、快将22yx 变为一元二次函数,29)3(21)(2xxf然后求极值点的x值,联系到02y,这一条件,既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件,体现了思维的变通性。xyO),(baA),(dcB图图12-第 5 页思维障碍思维障碍大部分学生的作法如下:由xyx62322得,32322xxy当3x时,22yx 取最大值,最大值为29这种解法由于忽略了02y这一条件,致使计算结果出现错误。因此,要注意审题,不仅能从表面形式上发现特点,而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件,既要注意主要的已知条件,又要注意次要条件,这样,才能正确地解题,提高思维的变通性。有些问题的观察要从相应的图像着手。例例 3
9、 3已知二次函数),0(0)(2acbxaxxf满足关系)2()2(xfxf,试比较)5.0(f与)(f的大小。思路分析思路分析由已知条件)2()2(xfxf可知,在与2x左右等距离的点的函数值相等,说明该函数的图像关于直线2x对称,又由已知条件知它的开口向上,所以,可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解解(如图 122)由)2()2(xfxf,知)(xf是以直线2x为对称轴,开口向上的抛物线它与2x距离越近的点,函数值越小。思维障碍思维障碍有些同学对比较)5.0(f与)(f的大小,只想到求出它们的值。而此题函数)(xf的表达式不确定无法代值,所以无法比较。出现这种情况的原因,是没有充分挖掘
10、已知条件的含义,因而思维受到阻碍,做题时要全面看问题,对每一个已知条件都要仔细推敲,找出它的真正含义,这样才能顺利解题。提高思维的变通性。(2 2)联想能力的训练联想能力的训练例例 4 4在ABC中,若C为钝角,则tgBtgA的值(A)等于 1(B)小于 1(C)大于 1(D)不能确定思路分析思路分析此题是在ABC中确定三角函数tgBtgA的值。因此,联想到三角函数xyO2图图122-第 6 页正切的两角和公式tgBtgAtgBtgABAtg1)(可得下面解法。解解C为钝角,0tgC.在ABC中)(BACCBA且均为锐角,、BA故应选择(B)思维障碍思维障碍有的学生可能觉得此题条件太少,难以下
11、手,原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固,不能准确把握公式的特征,因而不能很快联想到运用基本公式。例例 5 5若.2,0)(4)(2zxyzyyxxz证明:思路分析思路分析此题一般是通过因式分解来证。但是,如果注意观察已知条件的特点,不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是,我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明证明当0 yx时,等式0)(4)(2zyyxxz可看作是关于t的一元二次方程0)()()(2zytxztyx有等根的条件,在进一步观察这个方程,它的两个相等实根是 1,根据韦达定理就有:1yxzy即zxy2若0 yx,由已知条件易得,0 xz即zyx,显然也有zxy2.例例
12、6 6已知cba、均为正实数,满足关系式222cba,又n为不小于3的自然数,求证:.nnncba思路分析思路分析由条件222cba联想到勾股定理,cba、可构成直角三角形的三边,进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明证明设cba、所对的角分别为A、B、.C则C是直角,A为锐角,于是,cos,sincbAcaA且,1cos0,1sin0AA当3n时,有AAAAnn22coscos,sinsin于是有1cossincossin22AAAAnn-第 7 页即,1)()(nncbca从而就有.nnncba思维阻碍思维阻碍由于这是一个关于自然数n的命题,一些学生都会想到用数学归纳法来证明,难以进
13、行数与形的联想,原因是平时不注意代数与几何之间的联系,单纯学代数,学几何,因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。(3 3)问题转化的训练问题转化的训练我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时,不仅要先观察具体特征,联想有关知识,而且要将其转化成我们比较熟悉的,简单的问题来解。恰当的转化,往往使问题很快得到解决,所以,进行问题转化的训练是很必要的。1 1转化成容易解决的明显题目转化成容易解决的明显题目例例 1111已知,1111cbacba求证a、b、c中至少有一个等于 1。思路分析思路分析结论没有用数学式子表示,很难直接证明。首先将结论用数学式子表示,转化成我们熟悉的形
14、式。a、b、c中至少有一个为 1,也就是说111cba、中至少有一个为零,这样,问题就容易解决了。证明证明.,1111abcabacbccba于是.0)()1()1)(1)(1(cbabcacababccba111cba、中至少有一个为零,即a、b、c中至少有一个为 1。思维障碍思维障碍很多学生只在已知条件上下功夫,左变右变,还是不知如何证明三者中至少有一个为 1,其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子,把陌生问题变为熟悉问题。因此,多练习这种“翻译”,是提高转化能力的一种有效手段。例例 1212直线L的方程为2px,其中0p;椭圆E的中心为)0,22(pO,焦点在X轴上,长半轴为 2,短
15、半轴为 1,它的一个顶点为)0,2(pA,问p在什么范围内取值时,椭圆上有四个不同的点,它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离。思路分析思路分析从题目的要求及解析几何的知识可知,四个不同的点应在抛物线pxy22(1)是,又从已知条件可得椭圆E的方程为-第 8 页14)22(22ypx(2)因此,问题转化为当方程组(1)、(2)有四个不同的实数解时,求p的取值范围。将(2)代入(1)得:.024)47(22ppxpx(3)确定p的范围,实际上就是求(3)有两个不等正根的充要条件,解不等式组:在0p的条件下,得.130 p本题在解题过程中,不断地把问题化归为标准问题:解方程组和不等式组的
16、问题。2逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行思考,而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时,应考虑问题的反面,从反面入手,使问题得到解决。例例 1313已知函数nmxxxf22)(,求证)1(f、)2(f、)3(f中至少有一个不小于 1.思路分析思路分析反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”,它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样,或以否定形式给出时,一般可考虑采用反证法。证明证明(反证法)假设原命题不成立,即)1(f、)2(f、)3(f都小于 1。则17319729131318112811211)3(1)2(1)1(nmnmnmnmnmnmf
17、ff得9211nm,与矛盾,所以假设不成立,即)1(f、)2(f、)3(f中至少有一个不小于 1。3 3一题多解训练一题多解训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同,因而,同一问题可能得到几种不同的解法,这就是“一题多解”。通过一题多解训练,可使学生认真观察、多方联想、恰当转化,提高数学思维的变通性。-第 9 页例例 1414已知复数z的模为 2,求iz 的最大值。解法一解法一(代数法)设,、)(Ryxyixz解法二解法二(三角法)设),sin(cos2iz则.sin45)1sin2cos422(iz解法三解法三(几何法)如图 123 所示,可知当iz2时,.3maxiz解法
18、四解法四(运用模的性质)而当iz2时,.3.3maxiziz解法五解法五(运用模的性质)又.3,9,2)(max2maxizizzI第二讲第二讲数学思维的反思性数学思维的反思性一、概述一、概述数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解,精细地检查思维过程,不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设,获得独特的解决问题的方法,它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练,培养他们的创造性思维。二、思维训练实例二、思维训练实例(1)(1)检查思路是否正确,注意发现其中的错误。检查思路是否正确,注意发现其中的错误。例例 1 1已知bxaxxf)(,若,6)2(3,
19、0)1(3ff求)3(f的范围。错误解法错误解法由条件得2得156 a2得32338b+得.343)3(310,34333310fba即错误分析错误分析采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数yxOi-2i图图123Z-第 10 页bxaxxf)(,其值是同时受ba和制约的。当a取最大(小)值时,b不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的。正确解法正确解法由题意有解得:),2()1(232),1()2(231ffbffa把)1(f和)2(f的范围代入得.337)3(316 f在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识,才能反
20、思性地看问题。例例 2 2 证明勾股定理:已知在ABC中,90C,求证.222bac错误证法错误证法在ABCRt中,,cos,sincbAcaA而1cossin22AA,1)()(22cbca,即.222bac错误分析错误分析在现行的中学体系中,1cossin22AA这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论,作为推理的前提条件,叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的,而且不易发觉。因此,在学习中对所学的每个公式、法则、定理,既要熟悉它们的内容,又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误,正是思维具有反思性的体现。(2)(
21、2)验算的训练验算的训练验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算,可以检查解题过程的正确性,增强思维的反思性。例例 3 3 已知数列 na的前n项和12 nnS,求.na错误解法错误解法.222)12()12(1111nnnnnnnnSSa错误分析错误分析显然,当1n时,1231111Sa,错误原因,没有注意公式1nnnSSa成立的条件是).(2Nnn因此在运用1nnnSSa时,必须检验1n时的情形。即:),2()1(1NnnSnSann-第 11 页例例 4 4 实数a为何值时,圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。错误解法错误解法将圆012222aaxyx与抛物线xy2
22、12联立,消去y,得).0(01)212(22xaxax因为有两个公共点,所以方程有两个相等正根,得.01021202aa解之,得.817a错误分析错误分析(如图 221;222)显然,当0a时,圆与抛物线有两个公共点。要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根;或有两个相等正根。当 方程有一正根、一负根时,得.0102a解之,得.11a因此,当817a或11a时,圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。思考题:实数a为何值时,圆012222aaxyx与抛物线xy212,(1)有一个公共点;(2)有三个公共点;(3)有四个公共点;(4)没有公共点。养成验算的习惯,
23、可以有效地增强思维反思性。如:在解无理方程、无理不等式;对数方程、对数不等式时,由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化,这样就有可能产生增根或失根,因此必须进行检验,舍弃增根,找回失根。xyO图图221xyO图图222-第 12 页(3)(3)独立思考,敢于发表不同见解独立思考,敢于发表不同见解受思维定势或别人提示的影响,解题时盲目附和,不能提出自己的看法,这不利于增强思维的反思性。因此,在解决问题时,应积极地独立思考,敢于对题目解法发表自己的见解,这样才能增强思维的反思性,从而培养创造性思维。例例 5 5 30 支足球队进行淘汰赛,决出一个冠军,问需要安排多少场比赛?解解因为
24、每场要淘汰 1 个队,30 个队要淘汰 29 个队才能决出一个冠军。因此应安排 29 场比赛。思思 路路 分分 析析传统的思维方法是:30 支队比赛,每次出两支队,应有 15742129 场比赛。而上面这个解法没有盲目附和,考虑到每场比赛淘汰 1 个队,要淘汰 29 支队,那么必有 29 场比赛。例例 6 6 解方程.cos322xxx考察方程两端相应的函数xyxycos,2)1(2,它们的图象无交点。所以此方程无解。例例 7 7设、是方程0622kkxx的两个实根,则22)1()1(的最小值是()思路分析思路分析本例只有一个答案正确,设了 3 个陷阱,很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关
25、系易得:,6,2kk有的学生一看到449,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。原方程有两个实根、,当3k时,22)1()1(的最小值是 8;当2k时,22)1()1(的最小值是 18;这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。第三讲第三讲数学思维的严密性数学思维的严密性二、概述二、概述在中学数学中,思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则,考察问题时严格、准确,进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学,论证的严密性是数学的根本特点之一。但是,由于认知水平
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