高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析(103页).doc

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1、-第 1 页高等数学第六版高等数学第六版(同济大学同济大学)上册上册课后习题答案解课后习题答案解析析-第 2 页高等数学第六版上册课后习题答案高等数学第六版上册课后习题答案及解析及解析第一章第一章习题习题 1 1 1 11 设A(5)(5)B10 3)写出ABABAB及A(AB)的表达式解AB(3)(5)AB10 5)AB(10)(5)A(AB)10 5)2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律(AB)CACBC证明 因为x(AB)CxABxA或xBxAC或xBCxACBC所以(AB)CACBC3 设映射fXYAXBX 证明(1)f(AB)f(A)f(B)(2)f(AB)f(A)f(B)证明 因

2、为yf(AB)xAB 使f(x)y(因为xA或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)(2)因为yf(AB)xAB 使f(x)y(因为xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)4 设映射fXY 若存在一个映射gYX 使XIfgYIgf 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射 即对于每一个xX 有IXxx 对于每一个yY 有IYyy 证明f是双射 且g是f的逆映射gf1证明 因为对于任意的yY 有xg(y)X 且f(x)fg(y)Iyyy 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1x2 必

3、有f(x1)f(x2)否则若-第 3 页f(x1)f(x2)gf(x1)gf(x2)x1x2因此f既是单射 又是满射 即f是双射对于映射gYX 因为对每个yY 有g(y)xX 且满足f(x)fg(y)Iyyy 按逆映射的定义g是f的逆映射5 设映射fXYAX 证明(1)f1(f(A)A(2)当f是单射时 有f1(f(A)A证明(1)因为xAf(x)yf(A)f1(y)xf1(f(A)所以f1(f(A)A(2)由(1)知f1(f(A)A另一方面 对于任意的xf1(f(A)存在yf(A)使f1(y)xf(x)y因为yf(A)且f是单射 所以xA 这就证明了f1(f(A)A 因此f1(f(A)A6

4、求下列函数的自然定义域(1)23 xy解 由 3x20 得32x 函数的定义域为),32(2)211xy解 由 1x20 得x1 函数的定义域为(1)(1 1)(1)(3)211xxy解 由x0 且 1x20 得函数的定义域D1 0)(0 1(4)241xy解 由 4x20 得|x|2 函数的定义域为(2 2)(5)xy sin解 由x0 得函数的定义D0)(6)ytan(x1)解 由21x(k0 1 2 )得函数的定义域为 12kx(k0 1 2 )-第 4 页(7)yarcsin(x3)解 由|x3|1 得函数的定义域D2 4(8)xxy1arctan3解 由 3x0 且x0 得函数的定义

5、域D(0)(0 3)(9)yln(x1)解 由x10 得函数的定义域D(1)(10)xey1解 由x0 得函数的定义域D(0)(0)7 下列各题中 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)lgx2g(x)2lgx(2)f(x)xg(x)2x(3)334)(xxxf31)(xxxg(4)f(x)1g(x)sec2xtan2x解(1)不同因为定义域不同(2)不同 因为对应法则不同x0 时g(x)x(3)相同 因为定义域、对应法则均相相同(4)不同 因为定义域不同8 设3|03|sin|)(xxxx 求)6()4()4(2)并作出函数y(x)的图形解21|6sin|)6(22|4sin

6、|)4(22|)4sin(|)4(0)2(9 试证下列函数在指定区间内的单调性(1)xxy1(1)(2)yxlnx(0)证明(1)对于任意的x1x2(1)有 1x10 1x20 因为当x1x2时所以函数xxy1在区间(1)内是单调增加的(2)对于任意的x1x2(0)当x1x2时 有-第 5 页所以函数yxlnx在区间(0)内是单调增加的10 设f(x)为定义在(ll)内的奇函数 若f(x)在(0l)内单调增加 证明f(x)在(l 0)内也单调增加证明 对于x1x2(l 0)且x1x2 有x1 x2(0l)且x1x2因为f(x)在(0l)内单调增加且为奇函数 所以f(x2)f(x1)f(x2)f

7、(x1)f(x2)f(x1)这就证明了对于x1x2(l 0)有f(x1)f(x2)所以f(x)在(l 0)内也单调增加11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(ll)上的 证明(1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明(1)设F(x)f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为奇函数 即两个奇函数

8、的和是奇函数(2)设F(x)f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数 而g(x)是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为奇函数 即偶函数与奇函数的积是奇函数12 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)yx2(1x2)(2)y3x2x3(3)221

9、1xxy-第 6 页(4)yx(x1)(x1)(5)ysinxcosx1(6)2xxaay解(1)因为f(x)(x)21(x)2x2(1x2)f(x)所以f(x)是偶函数(2)由f(x)3(x)2(x)33x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为)(111)(1)(2222xfxxxxxf 所以f(x)是偶函数(4)因为f(x)(x)(x1)(x1)x(x1)(x1)f(x)所以f(x)是奇函数(5)由f(x)sin(x)cos(x)1sinxcosx1 可见f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为)(22)()()(xfaaaaxfxxxx 所以f(x)是偶函数13 下列各函数中哪些

10、是周期函数？对于周期函数 指出其周期(1)ycos(x2)解 是周期函数 周期为l2(2)ycos 4x解 是周期函数 周期为2l(3)y1sinx解 是周期函数 周期为l2(4)yxcosx解 不是周期函数(5)ysin2x解 是周期函数 周期为l14 求下列函数的反函数(1)31 xy解 由31 xy得xy31 所以31 xy的反函数为yx31(2)xxy11-第 7 页解 由xxy11得yyx11 所以xxy11的反函数为xxy11(3)dcxbaxy(adbc0)解 由dcxbaxy得acybdyx 所以dcxbaxy的反函数为acxbdxy(4)y2sin3x解 由y2sin 3x得

11、2arcsin31yx 所以y2sin3x的反函数为2arcsin31xy(5)y1ln(x2)解 由y1ln(x2)得xey12 所以y1ln(x2)的反函数为yex12(6)122xxy解 由122xxy得yyx1log2 所以122xxy的反函数为xxy1log215 设函数f(x)在数集X上有定义 试证 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明 先证必要性 设函数f(x)在X上有界 则存在正数M 使|f(x)|M 即Mf(x)M 这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2 即K1f(x)K2 取Mmax|K1|

12、K2|则MK1f(x)K2M即|f(x)|M这就证明了f(x)在X上有界16 在下列各题中 求由所给函数复合而成的函数 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1)yu2usinx61x32x解ysin2x41)21(6sin221y43)23(3sin222y(2)ysinuu2x81x42x解ysin2x224sin)82sin(1y12sin)42sin(2y(3)uyu1x2x11x2 2-第 8 页解21 xy21121y52122y(4)yeuux2x10 x21解2xey1201eyeey212(5)yu2uexx11x21解ye2xy1e21e2y2e2(1)e21

13、7 设f(x)的定义域D0 1 求下列各函数的定义域(1)f(x2)解 由 0 x21 得|x|1 所以函数f(x2)的定义域为1 1(2)f(sinx)解 由 0sinx1 得 2nx(2n1)(n0 1 2 )所以函数f(sinx)的定义域为2n(2n1)(n0 1 2 )(3)f(xa)(a0)解 由 0 xa1 得ax1a 所以函数f(xa)的定义域为a 1a(4)f(xa)f(xa)(a0)解 由 0 xa1 且 0 xa1 得 当210a时ax1a 当21a时 无解 因此当210a时函数的定义域为a 1a 当21a时函数无意义18 设1|11|01|1)(xxxxfg(x)ex 求

14、fg(x)和gf(x)并作出这两个函数的图形解1|11|01|1)(xxxeeexgf 即0 10 00 1)(xxxxgf1|1|e1|)(101)(xexxeexfgxf 即1|1|11|)(1xexxexfg19 已知水渠的横断面为等腰梯形 斜角40(图 137)当过水断面ABCD的面积为定值S0时 求湿周L(LABBCCD)与水深h之间的函数关系式 并指明其定义域图 137-第 9 页解40sinhDCAB又从0)40cot2(21ShBCBCh得hhSBC40cot0 所以自变量h的取值范围应由不等式组h0040cot0hhS确定 定义域为40cot00Sh20 收敛音机每台售价为

15、90 元 成本为 60 元 厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过 100 台以上的 每多订购 1 台 售价就降低 1 分 但最低价为每台 75 元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了 1000 台 厂方可获利润多少？解(1)当 0 x100 时p90令 001(x0100)9075 得x01600 因此当x1600 时p75当 100 x1600 时p90(x100)001910 01x综合上述结果得到(2)1600 151600100 01.0311000 30)60(2xxxxxxxxpP(3)P31100000

16、11000221000(元)习题习题 1 1 2 21 观察一般项xn如下的数列xn的变化趋势 写出它们的极限(1)nnx21解 当n时nnx210021limnn(2)nxnn1)1(解 当n时nxnn1)1(001)1(limnnn(3)212nxn-第 10 页解 当n时212nxn22)12(lim2nn(4)11nnxn解 当n时12111nnnxn0111limnnn(5)xnn(1)n解 当n时xnn(1)n没有极限2 设数列xn的一般项nnxn2cos 问nnxlim?求出N 使当nN时xn与其极限之差的绝对值小于正数 当0001 时 求出数N解0limnnxnnnxn1|2c

17、os|0|0 要使|xn0|只要n1 也就是1n 取1N则nN 有|xn0|当0001 时1N10003 根据数列极限的定义证明(1)01lim2nn分析 要使221|01|nn 只须12n 即1n证明 因为0 1N 当nN时 有|01|2n 所以01lim2nn(2)231213limnnn分析 要使nnnn41)12(21|231213|只须n41 即41n证明 因为0 41N 当nN时 有|231213|nn 所以231213limnnn(3)1lim22nann-第 11 页分析 要使nanannannannan22222222)(|1|只须2an证明 因为0 2aN 当nN时 有|1

18、|22nan 所以1lim22nann(4)19 999.0lim 个nn分析 要使|099 91|1101n 只须1101n 即1lg1n证明 因为0 1lg1 N 当nN时 有|099 91|所以19 999.0lim 个nn4aunnlim 证明|limaunn 并举例说明 如果数列|xn|有极限 但数列xn未必有极限证明 因为aunnlim 所以0 NN N 当nN时 有|aun 从而|un|a|una|这就证明了|limaunn数列|xn|有极限 但数列xn未必有极限 例如1|)1(|limnn 但nn)1(lim 不存在5 设数列xn有界 又0limnny 证明0limnnnyx证

19、明 因为数列xn有界 所以存在M 使nZ Z 有|xn|M又0limnny 所以0 NN N 当nN时 有Myn|从而当nN时 有所以0limnnnyx6 对于数列xn 若x2k1a(k)x2ka(k)证明xna(n)证明 因为x2k1a(k)x2ka(k)所以0-第 12 页K1 当 2k12K11 时 有|x2k1a|K2 当 2k2K2时 有|x2ka|取Nmax2K11 2K2 只要nN 就有|xna|因此xna(n)习题习题 1 1 3 31 根据函数极限的定义证明(1)8)13(lim3xx分析 因为|(3x1)8|3x9|3|x3|所以要使|(3x1)8|只须31|3|x证明 因

20、为0 31 当 0|x3|时 有|(3x1)8|所以8)13(lim3xx(2)12)25(lim2xx分析 因为|(5x2)12|5x10|5|x2|所以要使|(5x2)12|只须51|2|x证明 因为0 51 当 0|x2|时 有|(5x2)12|所以12)25(lim2xx(3)424lim22xxx分析 因为所以要使)4(242xx 只须|)2(|x证明 因为0 当 0|x(2)|时 有所以424lim22xxx(4)21241lim321xxx-第 13 页分析 因为所以要使212413xx 只须21|)21(|x证明 因为0 21 当|)21(|0 x时 有所以21241lim32

21、1xxx2 根据函数极限的定义证明(1)2121lim33xxx分析 因为所以要使212133xx 只须3|21x 即321|x证明 因为0 321X 当|x|X时 有所以2121lim33xxx(2)0sinlimxxx分析 因为所以要使0sinxx 只须x1 即21x证明 因为0 21X 当xX时 有所以0sinlimxxx3 当x2 时yx24 问等于多少 使当|x2|时|y4|0X10 使当xX1时 有|f(x)A|X20 使当xX2时 有|f(x)A|取XmaxX1X2 则当|x|X时 有|f(x)A|即Axfx)(lim8 根据极限的定义证明 函数f(x)当xx0时极限存在的充分必

22、要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明 先证明必要性 设f(x)A(xx0)则0 0 使当 0|xx0|时 有|f(x)A|因此当x0 xx0和x0 xx0时都有|f(x)A|0-第 15 页10 使当x01xx0时 有|f(x)A0 使当x0 xx0+2时 有|f(x)A|取min12 则当 0|xx0|时 有x01xx0及x0 xx0+2 从而有|f(x)A|0 因为f(x)在x0连续 所以0)()(lim00 xfxfxx 由极限的局部保号性定理 存在x0的某一去心邻域)(0 xU 使当x)(0 xU时f(x)0 从而当xU(x0)时f(x)0 这就是说 则存在x0的某一邻域U(x0

23、)当xU(x0)时f(x)05 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子(1)x0 1 221 nn1 是f(x)的所有间断点 且它们都是无穷间断点解 函数xxxfcsc)csc()(在点x0 1 221 nn1 处是间断的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在 R R 上处处不连续 但|f(x)|在 R R 上处处连续-第 28 页解 函数QQxxxf 1 1)(在 R R 上处处不连续 但|f(x)|1 在 R R 上处处连续(3)f(x)在 R R 上处处有定义 但仅在一点连续解 函数QQxxxxxf )(在 R R 上处处有定义 它只在x0 处连续习题习题 1 1 9 91 求函

24、数633)(223xxxxxxf的连续区间 并求极限)(lim0 xfx)(lim3xfx及)(lim2xfx解)2)(3()1)(1)(3(633)(223xxxxxxxxxxxf 函数在()内除点x2和x3外是连续的 所以函数f(x)的连续区间为(3)、(3 2)、(2)在函数的连续点x0 处21)0()(lim0fxfx在函数的间断点x2 和x3 处2 设函数f(x)与g(x)在点x0连续 证明函数(x)maxf(x)g(x)(x)minf(x)g(x)在点x0也连续证明 已知)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xgxgxx可以验证因此|)()(|)()(21)(0000

25、0 xgxfxgxfx因为|)()(|)()(210000 xgxfxgxf(x0)所以(x)在点x0也连续同理可证明(x)在点x0也连续3 求下列极限(1)52lim20 xxx(2)34)2(sinlimxx-第 29 页(3)2cos2ln(lim6xx(4)xxx11lim0(5)145lim1xxxx(6)axaxaxsinsinlim(7)(lim22xxxxx解(1)因为函数52)(2xxxf是初等函数f(x)在点x0 有定义 所以(2)因为函数f(x)(sin 2x)3是初等函数f(x)在点4x有定义 所以(3)因为函数f(x)ln(2cos2x)是初等函数f(x)在点6x有定

26、义 所以(4)11(lim)11()11)(11(lim11lim000 xxxxxxxxxxxx(5)45)(1()45)(45(lim145lim11xxxxxxxxxxxx(6)axaxaxaxaxaxax2sin2cos2limsinsinlim(7)()(lim)(lim22222222xxxxxxxxxxxxxxxxxx4 求下列极限(1)xxe1lim(2)xxxsinlnlim0(3)2)11(limxxx(4)xxx2cot20)tan31(lim-第 30 页(5)21)63(limxxxx(6)xxxxxx20sin1sin1tan1lim解(1)1lim01lim1ee

27、exxxx(2)01ln)sinlimln(sinlnlim00 xxxxxx(3)eexxxxxx21212)11(lim)11(lim(4)33tan3120cot2022)tan31(lim)tan31(limexxxxxx(5)21633621)631()63(xxxxxxx 因为所以2321)63(limexxxx(6)sin1tan1)(1sin1()1sin1)(sin1tan1(limsin1sin1tan1lim22020 xxxxxxxxxxxxxx5 设函数0 0 )(xxaxexfx应当如何选择数a 使得f(x)成为在()内的连续函数？解 要使函数f(x)在()内连续

28、只须f(x)在x0 处连续 即只须因为1lim)(lim00 xxxexfaxaxfxx)(lim)(lim00 所以只须取a1习题习题 1 1 10101 证明方程x53x1 至少有一个根介于 1 和 2 之间证明 设f(x)x53x1 则f(x)是闭区间1 2上的连续函数因为f(1)3f(2)25f(1)f(2)0 所以由零点定理 在(1 2)内至少有一点(12)使f()0 即x是方程x53x1 的介于 1 和 2 之间的根因此方程x53x1 至少有一个根介于 1 和 2 之间-第 31 页2 证明方程xasinxb 其中a0b0 至少有一个正根 并且它不超过ab证明 设f(x)asinx

29、bx 则f(x)是0ab上的连续函数f(0)bf(ab)asin(ab)b(ab)asin(ab)10若f(ab)0 则说明xab就是方程xasinxb的一个不超过ab的根若f(ab)0 则f(0)f(ab)0 由零点定理 至少存在一点(0ab)使f()0 这说明x也是方程x=asinxb的一个不超过ab的根总之 方程xasinxb至少有一个正根 并且它不超过ab3 设函数f(x)对于闭区间ab上的任意两点x、y 恒有|f(x)f(y)|L|xy|其中L为正常数 且f(a)f(b)0 证明 至少有一点(ab)使得f()0证明 设x0为(ab)内任意一点 因为所以0|)()(|lim00 xfx

30、fxx即)()(lim00 xfxfxx因此f(x)在(ab)内连续同理可证f(x)在点a处左连续 在点b处右连续 所以f(x)在ab上连续因为f(x)在ab上连续 且f(a)f(b)0 由零点定理 至少有一点(ab)使得f()04 若f(x)在ab上连续ax1x2 xnb 则在x1xn上至少有一点 使证明 显然f(x)在x1xn上也连续 设M和m分别是f(x)在x1xn上的最大值和最小值因为xix1xn(1in)所以有mf(xi)M 从而有由介值定理推论 在x1xn上至少有一点使5 证明 若f(x)在()内连续 且)(limxfx存在 则f(x)必在()内有界证明 令Axfx)(lim 则对

31、于给定的0 存在X0 只要|x|X 就有|f(x)A|即Af(x)A又由于f(x)在闭区间XX上连续 根据有界性定理 存在M0 使|f(x)|MxXX取NmaxM|A|A|则|f(x)|Nx()即f(x)在()-第 32 页内有界6 在什么条件下(ab)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列xn有界是数列xn收敛的_条件 数列xn收敛是数列xn有界的_的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是)(lim0 xfxx存在的_条件)(lim0 xfxx存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的_条件(3)f(

32、x)在x0的某一去心邻域内无界是)(lim0 xfxx的_条件)(lim0 xfxx是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的_条件(4)f(x)当xx0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是)(lim0 xfxx存在的_条件解(1)必要 充分(2)必要 充分(3)必要 充分(4)充分必要2 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x)2x3x2 则当x0 时 有()(A)f(x)与x是等价无穷小(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小(D)f(x)是比x低阶的无穷小解 因为xxxxxfxxxxxxxx13lim12lim232lim)(lim00

33、003ln2ln)1ln(lim3ln)1ln(lim2ln00uuttut(令 2x1t 3x1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小 故应选B3 设f(x)的定义域是0 1 求下列函数的定义域(1)f(ex)(2)f(lnx)(3)f(arctanx)(4)f(cosx)解(1)由 0ex1 得x0 即函数f(ex)的定义域为(0(2)由 0 lnx1 得 1xe 即函数f(lnx)的定义域为1e-第 33 页(3)由 0 arctanx1 得 0 xtan 1 即函数f(arctanx)的定义域为0 tan1(4)由 0 cosx1 得2222nxn(n0 1 2 )即函数f(cosx)

34、的定义域为2 ,22nn(n0 1 2 )4 设求ff(x)gg(x)fg(x)gf(x)解 因为f(x)0 所以ff(x)f(x)0 0 0 xxx因为g(x)0 所以gg(x)0因为g(x)0 所以fg(x)0因为f(x)0 所以gf(x)f2(x)0 0 02xxx5 利用ysinx的图形作出下列函数的图形(1)y|sinx|(2)ysin|x|(3)2sin2xy6 把半径为R的一圆形铁片 自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥 试将这圆锥的体积表为的函数解 设围成的圆锥的底半径为r 高为h 依题意有R(2)2r2)2(Rr圆锥的体积为22234)2(24aR(02)7 根据函数

35、极限的定义证明536lim23xxxx证明 对于任意给定的0 要使|536|2xxx 只需|x3|取 当0|x3|时 就有|x3|即|536|2xxx 所以536lim23xxxx8 求下列极限(1)221)1(1limxxxx-第 34 页(2)1(lim2xxxx(3)1)1232(limxxxx(4)30sintanlimxxxx(5)xxxxxcba10)3(lim(a0b0c0)(6)xxxtan2)(sinlim解(1)因为01)1(lim221xxxx 所以221)1(1limxxxx(2)1()1)(1(lim)1(lim2222xxxxxxxxxxxx(3)2121211)1

36、221(lim)1221(lim)1232(limxxxxxxxxxx(4)xxxxxxxxxxxxxcos)cos1(sinlim)1cos1(sinlimsintanlim303030(提示 用等价无穷小换)(5)xcbacbaxxxxxxxxxxxxxxxcbacba3333010)331(lim)3(lim 因为所以3ln103)3(limabcecbaabcxxxxx提示 求极限过程中作了变换ax1tbx1ucx1v(6)xxxxxxxxtan)1(sin1sin12tan2)1(sin1 lim)(sinlim 因为所以1)(sinlim0tan2exxx9 设0 0 1sin)(

37、2xxaxxxxf 要使f(x)在()内连续 应怎样选择数a?解 要使函数连续 必须使函数在x0 处连续因为-第 35 页f(0)aaxaxfxx)(lim)(lim20001sinlim)(lim00 xxxfxx所以当a0 时f(x)在x0 处连续 因此选取a0 时f(x)在()内连续10 设01 )1ln(0 )(11xxxexfx 求f(x)的间断点 并说明间断点所属类形解 因为函数f(x)在x1 处无定义 所以x1 是函数的一个间断点因为0lim)(lim1111xxxexf(提示11lim1xx)1111lim)(limxxxexf(提示11lim1xx)所以x1 是函数的第二类间

38、断点又因为0)1ln(lim)(lim00 xxfxxeexfxxx1lim)(lim1100所以x0 也是函数的间断点 且为第一类间断点11 证明11 2111lim222 nnnnn证明 因为11 211122222 nnnnnnnnn 且所以11 2111lim222 nnnnn12 证明方程 sinxx10 在开区间)2,2(内至少有一个根证明 设f(x)sinxx1 则函数f(x)在2,2 上连续因为2121)2(f22121)2(f0)2()2(ff所以由零点定理 在区间)2,2(内至少存在一点 使f()0这说明方程 sinxx10 在开区间)2,2(内至少有一个根13 如果存在直

39、线Lykxb 使得当x(或xx)时 曲线yf(x)上的动点M(xy)到直线L的距离d(ML)0 则称L为曲线yf(x)的渐近线 当直线L的斜率k0 时 称L为斜渐近线(1)证明 直线Lykxb为曲线yf(x)的渐近线的充分必要条件是-第 36 页(2)求曲线xexy1)12(的斜渐近线证明(1)仅就x的情况进行证明按渐近线的定义ykxb是曲线yf(x)的渐近线的充要条件是必要性 设ykxb是曲线yf(x)的渐近线 则0)()(limbkxxfx于是有0)(limxbkxxfxx0)(limkxxfxxxfkx)(lim同时有0)(limbkxxfx)(limkxxfbx充分性 如果xxfkx)

40、(lim)(limkxxfbx 则因此ykxb是曲线yf(x)的渐近线(2)因为212limlim1xxxexxxyk所以曲线xexy1)12(的斜渐近线为y2x1习题习题 2 2 1 11 设物体绕定轴旋转 在时间间隔0t内转过的角度为 从而转角是t的函数(t)如果旋转是匀速的 那么称t为该物体旋转的角速度 如果旋转是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？解 在时间间隔t0t0t内的平均角速度为故t0时刻的角速度为2 当物体的温度高于周围介质的温度时 物体就不断冷却 若物体的温度T与时间t的函数关系为TT(t)应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？解 物体在时间间隔t0t0t内 温度的

41、改变量为TT(tt)T(t)平均冷却速度为故物体在时刻t的冷却速度为3 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元 此函数f(x)称为成本函数 成本函数f(x)的导数f(x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本f(x)的实际意义解f(xx)f(x)表示当产量由x改变到xx时成本的改变量-第 37 页xxfxxf)()(表示当产量由x改变到xx时单位产量的成本xxfxxfxfx)()(lim)(0表示当产量为x时单位产量的成本4 设f(x)10 x2 试按定义 求f(1)解xxxfxffxx2200)1(10)1(10lim)1()1(lim)1(5 证明(cosx)sinx解xxxxxx

42、cos)cos(lim)(cos06 下列各题中均假定f(x0)存在 按照导数定义观察下列极限 指出A表示什么(1)Axxfxxfx)()(lim000解xxfxxfAx)()(lim000(2)Axxfx)(lim0 其中f(0)0 且f(0)存在解)0()0()0(lim)(lim00fxfxfxxfAxx(3)Ahhxfhxfh)()(lim000解hhxfhxfAh)()(lim000f(x0)f(x0)2f(x0)7 求下列函数的导数(1)yx4(2)32xy(3)yx16(4)xy1(5)21xy(6)53xxy-第 38 页(7)5322xxxy解(1)y(x4)4x414x3(

43、2)3113232323232)()(xxxxy(3)y(x16)16x16116x06(4)23121212121)()1(xxxxy(5)3222)()1(xxxy(6)511151651653516516)()(xxxxxy(7)651616153226161)()(xxxxxxy8 已知物体的运动规律为st3(m)求这物体在t2 秒(s)时的速度解v(s)3t2v|t212(米/秒)9 如果f(x)为偶函数 且f(0)存在 证明f(0)0证明 当f(x)为偶函数时f(x)f(x)所以从而有 2f(0)0 即f(0)010 求曲线ysinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率32xx解 因

44、为ycosx 所以斜率分别为11 求曲线ycosx上点)21,3(处的切线方程和法线方程式解ysinx233sin3xy故在点)21,3(处 切线方程为)3(2321xy法线方程为)3(3221xy-第 39 页12 求曲线yex在点(01)处的切线方程解yexy|x01 故在(0 1)处的切线方程为y11(x0)即yx113 在抛物线yx2上取横坐标为x11 及x23 的两点 作过这两点的割线 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解y2x 割线斜率为421913)1()3(yyk令 2x4 得x2因此抛物线yx2上点(2 4)处的切线平行于这条割线14 讨论下列函数在x0 处的连续性与可

45、导性(1)y|sinx|(2)0 00 1sin2xxxxy解(1)因为y(0)00)sin(lim|sin|limlim000 xxyxxx0sinlim|sin|limlim000 xxyxxx所以函数在x0 处连续又因为而y(0)y(0)所以函数在x0 处不可导解 因为01sinlim)(lim200 xxxyxx 又y(0)0 所以函数在x0 处连续又因为所以函数在点x0 处可导 且y(0)015 设函数1 1 )(2xbaxxxxf为了使函数f(x)在x1 处连续且可导ab应取什么值？解 因为1lim)(lim211xxfxxbabaxxfxx)(lim)(lim11f(1)ab所以

46、要使函数在x1 处连续 必须ab1-第 40 页又因为当ab1 时所以要使函数在x1 处可导 必须a2 此时b116 已知0 0 )(2xxxxxf求f(0)及f(0)又f(0)是否存在？解 因为f(0)10lim)0()(lim00 xxxfxfxxf(0)00lim)0()(lim200 xxxfxfxx而f(0)f(0)所以f(0)不存在17 已知f(x)0 0 sinxxxx 求f(x)解 当x0 时f(x)xf(x)1因为f(0)10sinlim)0()(lim00 xxxfxfxxf(0)10lim)0()(lim00 xxxfxfxx 所以f(0)1 从而f(x)0 10 cos

47、xxx18 证明 双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a2解 由xya2得xay222xayk设(x0y0)为曲线上任一点 则过该点的切线方程为令y0 并注意x0y0a2 解得0022002xxaxyx 为切线在x轴上的距令x0 并注意x0y0a2 解得00022yyxay 为切线在y轴上的距此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为习题习题 2 2 2 2-第 41 页1 推导余切函数及余割函数的导数公式(cotx)csc2x(cscx)cscxcotx解xxxxxxxx2sincoscossinsin)sincos()(cot2 求下列函数的导数(1)122744

48、5xxxy(2)y5x32x3ex(3)y2tanxsecx1(4)ysinxcosx(5)yx2lnx(6)y3excosx(7)xxyln(8)3ln2xeyx(9)yx2lnxcosx(10)ttscos1sin1解(1)12274()12274(14545xxxxxxy(2)y(5x32x3ex)15x22xln23ex(3)y(2tanxsecx1)2sec2xsecxtanxsecx(2secxtanx)(4)y(sinxcosx)(sinx)cosxsinx(cosx)cosxcosxsinx(sinx)cos 2x(5)y(x2lnx)2xlnxx2x1x(2lnx1)(6)y

49、(3excosx)3excosx3ex(sinx)3ex(cosxsinx)(7)22ln1ln1)ln(xxxxxxxxy(8)3422)2(2)3ln(xxexxexexeyxxxx(9)y(x2lnxcosx)2xlnxcosxx2x1cosxx2lnx(sinx)-第 42 页2xlnxcosxxcosxx2lnxsinx(10)22)cos1(cossin1)cos1()sin)(sin1()cos1(cos)cos1sin1(tttttttttts3 求下列函数在给定点处的导数(1)ysinxcosx 求6xy和4xy(2)cos21sin 求4dd(3)553)(2xxxf 求f

50、(0)和f(2)解(1)ycosxsinx(2)cossin21sin21cossindd(3)xxxf52)5(3)(2253)0(f1517)2(f4 以初速v0竖直上抛的物体 其上升高度s与时间t的关系是2021gttvs求(1)该物体的速度v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解(1)v(t)s(t)v0gt(2)令v(t)0 即v0gt0 得gvt0 这就是物体达到最高点的时刻5 求曲线y2sinxx2上横坐标为x0 的点处的切线方程和法线方程解 因为y2cosx2xy|x02 又当x0 时y0 所以所求的切线方程为y2x所求的法线方程为xy21 即x2y06 求下列函数的导数(1)y