高等代数教案(117页).doc

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1、高等代数教案高等代数教案高高等等代代数数教教 案案秦文钊一、章（节、目）授 课 计 划第页授课章节名称授课章节名称第二章1 引言授课授课时数时数教教学学目目的的通过本节的学习，使学生了解行列式的背景教教学学要要求求要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则教教学学重重点点二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则教教学学难难点点二、三元线性方程组的计算公式教学教学方法与方法与手段手段启发式讲练相结合作业与作业与思考题思考题无阅读阅读书目或书目或参考参考1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版

2、社-第 3 页资料资料教教学学后后记记二、课 时 教 学 内 容第页教教学学内内容容小结小结-第 4 页解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组.一、对于二元线性方程组,22221211212111bxaxabxaxa当021122211aaaa时，此方程组有唯一解，即.,211222111122112211222112122211aaaababaxaaaabaabx我们称21122211aaaa为二级行列式，用符号表示为2221121121122211aaaaaaaa.于是上述解可以用二级行列式叙述为

3、：当二级行列式022211211aaaa时，该方程组有唯一解，即222112112211112222112112221211,aaaababaxaaaaababx.二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组.,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa称代数式312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa为三级行列式，用符号表示为：二、课 时 教 学 内 容第页教教学学内内容容小结小结-第 5 页333231232221131211312213332112322

4、311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.当三级行列式0333231232221131211aaaaaaaaad时，上述三元线性方程组有唯一解，解为,332211ddxddxddx其中332312222111211333331232211311123332323222131211,baabaabaadabaabaabadaabaabaabd.三、n元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,是否也有类似的结论呢？为此，首先给出n级行列式的定义并讨论它的性质，最后来解决

5、这一问题，这是本章的主要内容.一、章（节、目）授 课 计 划第页-第 6 页授课章节名称授课章节名称2 排列授课授课时数时数教教学学目目的的通过本节的学习，使学生掌握有关排列的相关知识教教学学要要求求要求学生掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇偶性的确定。教教学学重重点点有关排列的基本概念、排列的奇偶性。教教学学难难点点排列逆序数的计算与奇偶性的确定教学教学方法与方法与手段手段讲授法作业与作业与思考题思考题阅读阅读书目或书目或参考参考资料资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教教学学后

6、后记记二、课 时 教 学 内 容第页-第 7 页教教学学内内容容小结小结一、排列的定义一、排列的定义定义定义 1 由n,2,1组成的一个有序数组称为一个n级排列.n级排列的总数是!n.显然n12也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序.定义定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列njjj21的逆序数记为)(21njjj例：排列 53214 的逆序数 7定义定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列

7、。应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般也称为n级排列。对这样一般的n级排列，同样可以定义上面这些概念。二、排列的奇偶性二、排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换。显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了。由此得知，一个对换把全部n级排列两两配对，使每两个配成对的n级排列在这个对换下互变。定理定理 1 对换改变排列的奇偶性.这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.推论推论 在全部n级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有2/!n个.定定理理 2 任意一个n级排列与排列n12

8、都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.结论：任意两个排列都可以经过一系列对换互变.一、章（节、目）授 课 计 划第页-第 8 页授课章节名称授课章节名称3n 级行列式授课授课时数时数教教学学目目的的使学生掌握行列式的定义教教学学要要求求要求学生真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称教教学学重重点点一般行列式的定义、行与列的地位是对称的教教学学难难点点行列式的定义教学教学方法与方法与手段手段讲授法启发式作业与作业与思考题思考题阅读阅读书目或书目或参考参考资料资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：

9、高等代数，高等教育出版社教教学学后后记记二、课 时 教 学 内 容第页-第 9 页教教学学内内容容小结小结一、一、n级行列式的概念级行列式的概念在给出n级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义。我们有2112221122211211aaaaaaaa(1)312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(2)从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成

10、.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成321321jjjaaa(3)其中321jjj是 1，2，3 的一个排列.可以看出，当321jjj是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当321jjj是奇排列时带有负号.定义定义 4n级行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211(4)等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积nnjjjaaa2121(5)的代数和，这里njjj21是n,2,1的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当njjj21是偶排列时，(5)带有正号，当njjj21是奇排列时，(5)带有负

11、号.这一定义可写成二、课 时 教 学 内 容第页-第 10 页教教学学内内容容小结小结nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1(6)这里njjj21表示对所有n级排列求和.定义表明，为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.由定义看出，n级行列式是由!n项组成的.例例 1 计算行列式0004003002001000.例例 2 计算上三角形行列式nnnnaaaaaa00022211211.(7)nnnnnnaa

12、aaaaaaa221122211211000.(8)这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数.二、课 时 教 学 内 容第页-第 11 页教教学学内内容容小结小结二、行列式的性质二、行列式的性质在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这些元素的次序是可以任意写的，一般地，n级行列式中的项可以写成nnjijijiaaa2211,（11）其中nnjjjiii

13、2121,是两个n级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于)()(2121)1(nnjjjiii(12)按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成nnniiiniiiiiinnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1(.(15)由此即得行列式的下列性质：性质性质 1 行列互换，行列式不变.即nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211.(16)性质 1 表明，在行列式中

14、行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立.例如由(8)即得下三角形的行列式nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000一、章（节、目）授 课 计 划第页-第 12 页授课章节名称授课章节名称4n 级行列式的性质授课授课时数时数教教学学目目的的通过本节学习，使学生能熟练掌握行列式性质的应用教教学学要要求求要求学生能熟练掌握行列式性质及其应用教教学学重重点点行列式的性质及其应用教教学学难难点点行列式性质的应用教学教学方法与方法与手段手段讲授法启发式作业与作业与思考题思考题阅读阅读书目或书目或参考参考资料资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳

15、：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教教学学后后记记二、课 时 教 学 内 容第页-第 13 页教教学学内内容容小结小结行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质来简化行列式的计算.在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中n个元素(譬如iniiaaa,21)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因之，n级行列式的!n项可以分成n组，第一组的项都含有1 ia，第二组的项都含有2ia等等.再分别把i行的元素提出来，就有ininiiii

16、nnnnnnAaAaAaaaaaaaaaa2211212222111211(1)其中ijA代表那些含有ija的项在提出公因子ija之后的代数和(至于ijA究竟是哪一些项的和暂且不管，到6 再来讨论).从以上讨论可以知道，ijA中不再含有第i行的元素，也就是iniiAAA,21全与行列式中第i行的元素无关.由此即得.性质性质 2nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式.令0k，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零.二、课 时 教 学

17、内 容第页-第 14 页教教学学内内容容小结小结性质性质 3nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211.这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样.性质 3 显然可以推广到某一行为多组数的和的情形.性质性质 4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质性质 5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零.性质性质 6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.性质性质

18、 7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.例例 1 计算n级行列式abbbbabbbbabbbbad例例 2 计算行列式325298201503132.由于上(下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算.例例 3 一个n级行列式，假设它的元素满足njiaajiij,2,1,(4)证明，当n为奇数时，此行列式为零.一、章（节、目）授 课 计 划第页-第 15 页授课章节名称授课章节名称5 行列式的计算授课授课时数时数教教学学目目的的通过本节学习，使学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的应用教教学学要要求求通过本节学习

19、，要求学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的应用教教学学重重点点矩阵的初等变换、行列式计算教教学学难难点点行列式的计算教学教学方法与方法与手段手段讲授法启发式作业与作业与思考题思考题阅读阅读书目或书目或参考参考资料资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教教学学后后记记二、课 时 教 学 内 容第页-第 16 页教教学学内内容容小结小结在3 我们看到，一个上三角形行列式nnnnaaaaaa00022211211就等于它主对角线上元素的乘积nnaaa2211这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的n

20、级行列式化为上三角形行列式来计算.定义定义 5 由sn个数排成的s行(横的)n列(纵的)的表snssnnaaaaaaaaa212222111211(1)称为一个ns矩阵.数njsiaij,2,1,2,1,称为矩阵(1)的元素，i称为元素ija的行指标，j称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域P中的数时，它就称为这一数域P上的矩阵.nn矩阵也称为n级方阵.一个n级方阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211定义一个n级行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵A的行列式，记作|A.二、课 时 教 学 内 容第页-第 17 页教教学学内内容容小结小结定义

21、定义 6 所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行；2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中任意一个数；3)互换矩阵中两行的位置.一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵.当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，我们写成BA 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵.可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵.现在回过来讨论行列式的计算问题.一个n级行列式可看成是由一个n级方阵A决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质 2，6，7 正是说明了方阵的初等

22、行变换对于行列式的值的影响.每个方阵A总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵J.由行列式性质 2，6，7，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是0,|kJkA显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的.例例计算107825513713913152不难算出，用这个方法计算一个n级的数字行列式只需要做3323 nn次乘法和除法.特别当n比较大的时候，这个方法的优越性就二、课 时 教 学 内 容第页-第 18 页教教学学内内容容小结小结更加明显了.同时还应该看到，这个方法完全是机械的，因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式的计算.对于矩阵同

23、样可以定义初等列变换，即1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列；2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中任意一个数；3)互换矩阵中两列的位置.为了计算行列式，也可以对矩阵进行初等列变换.有时候，同时用初等行变换和列变换，行列式的计算可以更简单些.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.一、章（节、目）授 课 计 划第页-第 19 页授课章节名称授课章节名称6 行列式按一行(列)展开授课授课时数时数教教学学目目的的通过本节的学习,可以以使行列式的计算更简化教教学学要要求求要求学生会应用行列式展开性质来计算行列式教教学学重重点点行列式按一行展开的性质、展开性质的应用教教学学难难点点展开性

24、质的应用教学教学方法与方法与手段手段讲授法启发式作业与作业与思考题思考题阅读阅读书目或书目或参考参考资料资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教教学学后后记记二、课 时 教 学 内 容第页-第 20 页教教学学内内容容小结小结在4 看到，对于n级行列式，有niAaAaAaaaaaaaaaaininiiiinnnniniin,2,1,2211212111211.(1)现在来研究这些ijA,nji,2,1,究竟是什么.三级行列式可以通过二级行列式表示：33312221133331232112333223221

25、1333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.(2)定义定义 7 在行列式nnnjninijinjaaaaaaaaa111111中划去元素ija所在的第i行与第j列，剩下的2)1(n个元素按原来的排法构成一个1n级行列式nnjnjnnnijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111(3)称为元素ija的余子式，记作ijM下面证明ijjiijMA)1(.(4)为此先证明n级行列式与1n级行列式的下面这个关系，二、课 时 教 学 内 容第页-第 21 页教教学学内内容

26、容小结小结1,12,11,11,222211,11211,11,12,11,121,2222111,112111000nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.(5)其次,在(1)中令12110,1,iiijijinijaaaaaa即可得证定义定义 8 上面所谈到的ijA称为元素ija的代数余子式.这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如说，第k行的元素，也就是.,2,1,iknjaakjij于是nnnknkknkninknikikaaaaaaaaAaAaAa11111122

27、11右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零.定理定理 3 设nnnnnnaaaaaaaaad212222111211ijA表示元素ija的代数余子式，则下列公式成立：二、课 时 教 学 内 容第页-第 22 页教教学学内内容容小结小结.,0,2211ikikdAaAaAainknikik当当(6).,0,2211jljldAaAaAanjnljljl当当(7)用连加号简写为;,0,1ikikdAaisksns当当.,0,1jljldAasjslns当当在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因

28、为把一个n级行列式的计算换成n个(1n)级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的.例例 1 计算行列式0532004140013202527102135例例 2 行列式113121122322213211111nnnnnnnaaaaaaaaaaaad(8)称为n级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的)2(nn，n级范德 蒙 德 行 列 式 等 于naaa,21这n个 数 的 所 有 可 能 的 差)1(nijaaji的乘积.用连乘号，这个结果可以简写为.二、课 时 教 学 内 容第

29、页-第 23 页教教学学内内容容小结小结nijjinnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa111312112232221321)(1111.由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是naaa,21这n个数中至少有两个相等.例例 3 证明rrrrkkkkrrrrkrrkkkkkbbbbaaaabbccbbccaaaa111111111111111111110000.一、章（节、目）授 课 计 划第页-第 24 页授课章节名称授课章节名称7Cramer 法则授课授课时数时数教教学学目目的的通过本节的学习，使学生会运用 Gramer 法则求线性方程组的解教教学学要要求求通过本节的学习，要求

30、学生会运用 Gramer 法则求线性方程组的解教教学学重重点点Gramer 法则的应用教教学学难难点点Gramer 法则的应用教学教学方法与方法与手段手段讲授法启发式作业与作业与思考题思考题阅读阅读书目或书目或参考参考资料资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教教学学后后记记二、课 时 教 学 内 容第页-第 25 页教教学学内内容容小结小结现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理定理 4 如果线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxa

31、xa22112222212111212111,(1)的系数矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211(2)的行列式0|Ad那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为ddxddxddxnn,2211,(3)其中jd是把矩阵A中第j列换成常数项nbbb,21所成的矩阵的行列式，即.,2,1,1,1,121,221,22111,111,111njaabaaaabaaaabaadnnjnnjnnnjjnjjj(4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1.把),(21ddddddn代入方

32、程组，验证它确是解.2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出.定理 4 通常称为克拉默法则.二、课 时 教 学 内 容第页-第 26 页教教学学内内容容小结小结例例 1 解方程组.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx应该注意，定理 4 所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,0,0(就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它

33、除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理定理 5 如果齐次线性方程组0,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(10)的系数矩阵的行列式0|A，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0|A.例例 2 求在什么条件下，方程组0,02121xxxx有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计

34、算1n个n级行列式，这个计算量是很大的.一、章（节、目）授 课 计 划第页-第 27 页授课章节名称授课章节名称8Laplace 定理行列式的乘法规则授课授课时数时数教教学学目目的的通过本节的学习，使学生了解 Laplace 定理行列式的乘法规则教教学学要要求求通过本节的学习，要求学生了解 Laplace 定理行列式的乘法规则教教学学重重点点Laplace 定理教教学学难难点点Laplace 定理教学教学方法与方法与手段手段讲授法启发式作业与作业与思考题思考题阅读阅读书目或书目或参考参考资料资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：

35、高等代数，高等教育出版社教教学学后后记记二、课 时 教 学 内 容第页-第 28 页教教学学内内容容小结小结一、拉普拉斯定理一、拉普拉斯定理定义定义 9 在一个n级行列式D中任意选定k行k列(nk)，位于这些行和列的交点上的2k个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式.在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的kn 级行列式M称为k级子式M的余子式.从定义立刻看出，M也是M的余子式.所以M和M可以称为D的一对互余的子式.例例 1 在四级行列式3100120012104121D中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M：1042M,M的余子式为1020M

36、.例例 2 在五级行列式555453525125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaD中454342252322151312aaaaaaaaaM 和54513431aaaaM 是一对互余的子式.二、课 时 教 学 内 容第页-第 29 页教教学学内内容容小结小结定义定义 10 设D的k级子式M在D中所在的行、列指标分别是kkjjjiii,;,2121，则M的余子式M前面加上符号)()(2121)1(kkjjjiii后称做M的代数余子式.因为M与M位于行列式D中不同的行和不同的列，所以有下述引理引理 行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式

37、D的展开式中的一项，而且符号也一致.定理定理 6(拉普拉斯定理拉普拉斯定理)设在行列式D中任意取定了k(11nk)个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.例例 3 利用拉普拉斯定理计算行列式1310310112104121D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则二、行列式的乘积法则定理定理 7 两个n级行列式nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111和nnnnnnbbbbbbbbbD2122221112112二、课 时 教 学 内 容第页-第 30 页教教学学内内容容

38、小结小结的乘积等于一个n级行列式nnnnnncccccccccC212222111211,其中ijc是1D的第i行元素分别与2D的第j列的对应元素乘积之和：nkkjiknjinjijiijbabababac12211.这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章3 中就完全清楚了.一、章（节、目）授 课 计 划第页-第 31 页授课章节名称授课章节名称第三章线性方程组1 消元法授课授课时数时数教教学学目目的的通过本节的学习，使学生掌握方程组的有解判别教教学学要要求求通过本节的学习，要求学生掌握方程组的有解判别教教学学重重点点方程组的初等变换、方程组的有解判别教教学学难难点点方程组的有解判别

39、教学教学方法与方法与手段手段讲授法启发式作业与作业与思考题思考题阅读阅读书目或书目或参考参考资料资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教教学学后后记记二、课 时 教 学 内 容第页-第 32 页教教学学内内容容小结小结一、线性方程组的初等变换一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,(1)的方程组，其中nxxx,21代表n个未知量，s是方程的个数，),2,1;,2,1(

40、njsiaij称为线性方程组的系数，),2,1(sjbj称为常数项.方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.系数ija的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是jx的系数.所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数nkkk,21组成的有序数组),(21nkkk，当nxxx,21分别用nkkk,21代入后，(1)中每个等式都变成恒等式.方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组

41、(1)可以用下面的矩阵ssnssnnbaaabaaabaaa21222221111211(2)来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例如，解方程组二、课 时 教 学 内 容第页-第 33 页教教学学内内容容小结小结.522,4524,132321321321xxxxxxxxx第二个方程组减去第一个方程的 2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变成.4

42、2,24,1323232321xxxxxxx第二个方程减去第三个方程的 2 倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得.6,42,132332321xxxxxx这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）.分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1.用一非零数乘某一方程；2.把一个方程的倍数加到另一个方程；3.互换两个方程的位置.定义定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变换.二、线性方程组的解的情形二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.下面我们来说

43、明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.对于方程组(1)，首先检查1x的系数.如果1x的系数12111,saaa全为零，那么方程组(1)对1x没有任何限制，1x就可以取任何值，而方程组(1)可以看作nxx,2的方程组来解.如果1x的系数不全为零，那么利用初等二、课 时 教 学 内 容第页-第 34 页教教学学内内容容小结小结变换 3，可以设011a.利用初等变换 2，分别把第一个方程的111aai倍加到第i个方程(ni,2).于是方程组(1)就变成,222222211212111snsnsnnnnbxaxabxaxabxaxaxa(3)其中njsiaaaaajiijij,2,2,1111这样

44、，解方程组(1)的问题就归结为解方程组nnsnsnnbxaxabxaxa2222222,(4)的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出1x的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为.00,00,0,1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc(5)

45、二、课 时 教 学 内 容第页-第 35 页教教学学内内容容小结小结其中ricii,2,1,0.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的.现在考虑(5)的解的情况.如(5)中有方程10rd，而01rd.这时不管nxxx,21取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解.当1rd是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况：1）nr.这时阶梯形方程组为,2222211212111nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc(6)其中nicii,2,1,0.由最后一个方程开始，11,xxxnn的

46、值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解.例例 1 解线性方程组.522,4524,132321321321xxxxxxxxx2）nr.这时阶梯形方程组为,11,2211,222221111,11212111rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc其中ricii,2,1,0.把它改写成.,11,211,222222111,111212111nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc(7)二、课 时 教 学 内 容第页-第 36 页教教学学内内容

47、容小结小结由此可见，任给nrxx,1一组值，就唯一地定出rxxx,21的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把rxxx,21通过nrxx,1表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而nrxx,1称为一组自由未知量.例例 2 解线性方程组.142,4524,132321321321xxxxxxxxx从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去

48、掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.定理定理 1 在齐次线性方程组0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa中，如果ns，那么它必有非零解.矩阵ssnssnnbaaabaaabaaa21222221111211(10)二、课 时 教 学 内 容第页-第 37 页教教学学内内容容小结小结称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化

49、方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.例例 3 解线性方程组.042,4524,132321321321xxxxxxxxx解：（略）一、章（节、目）授 课 计 划第页-第 38 页授课章节名称授课章节名称2n 维向量空间授课授课时数时数教教学学目目的的通过本节的学习，使学生理解 n 维向量概念、熟练掌握 n 维向量的运算。教教学学要要求求通过本节的学习，要求学生理解 n 维向量概念、熟练掌握 n 维向量的运算。教教学学重重点点

50、n 维向量概念、n 维向量的运算教教学学难难点点n 维向量的运算教学教学方法与方法与手段手段讲授法启发式作业与作业与思考题思考题阅读阅读书目或书目或参考参考资料资料1.张禾瑞，郝炳新编：高等代数，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代数，高等教育出版社。3.田孝贵等：高等代数，高等教育出版社教教学学后后记记二、课 时 教 学 内 容第页-第 39 页教教学学内内容容小结小结定定义义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组),(21naaa(1)ia称为向量(1)的分量.用小写希腊字母,来代表向量.定义定义 3 如果n维向量),(,),(2121nnbbbaaa的对应分量都相等，