全等三角形.第1讲.全等三角形的性质及判定.教师版(9页).doc

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1、-第 1 页全等三角形.第 1 讲.全等三角形的性质及判定.教师版-第 1 页第一讲第一讲全等三角形的全等三角形的性质及判定性质及判定中考要求板块板块考试要求考试要求A 级要求级要求B 级要求级要求C 级要求级要求全等三角形全等三角形的性质及判的性质及判定定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛全等三角形的认识与性质全等图形：全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形全等多边形：全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应

2、角全等多边形的对应边、对应角分别相等如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE五边形A B C D E这里符号“”表示全等，读作“全等于”全等三角形：全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等全等三角形的概念与表示：全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“”全全等三角形的性质：等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边

3、上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角-第 2 页(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键重、难点重点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是

4、学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点难点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲板块一全等三角形的认识【例【例 1】考查下列命题考查下列命题：有两边及一角对应相等的两个三角形全等有两边及一角对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的中线两边和其中一边上的中线(或第或第三边上的中线三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；对应相等

5、的两个三角形全等；两角和其中一角的角平分线两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的高两边和其中一边上的高(或第三边上的高或第三边上的高)对应相等的两个三角形全对应相等的两个三角形全等其中正确命题的个数有等其中正确命题的个数有_个个(2009 四川遂宁四川遂宁)已知已知ABC中，中，ABBCAC，作与，作与ABC只有一条公共边，且与只有一条公共边，且与ABC全等全等的三角形，这样的三角形一共能作出的三角形，这样的三角形一共能作出个个(2009 山东山东)如图如图，在在Rt ABC中中，ABACADBC，垂

6、足为垂足为DEF、分别是分别是CDAD、上的上的点，且点，且CEAF如果如果62AED，那么，那么DBF_(2009 浙江浙江)如图如图，已知已知ABC中中，90ABCABBC，三角形三角形的顶点在相互平行的三条直线的顶点在相互平行的三条直线123lll，上，且上，且12ll，之间的距离为之间的距离为2，23ll，之间的距离为之间的距离为3，则则AC的长是的长是_【解析】【解析】2，注：正确的是；7；28；2 17【例【例 2】如图所示，如图所示，ABDCDB，下面四个结论中，不正确的是（，下面四个结论中，不正确的是（）A.ABD和和CDB的面积相等的面积相等B.ABD和和CDB的周长相等的周

7、长相等C.AABDCCBD D.ADBC，且，且ADBC【解析】【解析】C【例【例 3】如图如图所示所示，ABAD，BCDC，EF、在在AC上上，AC与与BD相交于相交于P图中有几对全等三角形图中有几对全等三角形？请请一一一一找出来，并简找出来，并简述全等的理由述全等的理由-第 3 页【解析】【解析】共 10 对全等三角形【补充【补充】在在AB、AC上各取一点上各取一点E、D，使使AEAD，连接连接BD、CE相交于相交于O再连结再连结AO、BC，若若12 ，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由【解析】【解析】有5对：AEOADO；AECADB；E

8、OBDOC；AOBAOC；CDBBEC；理由略板块二、三角形全等的判定与应用全等三角形的判定方法：全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线奥数赛

9、点：奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础判定三角形全等的基本思路：判定三角形全等的基本思路：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：平移全等型 对称全等型 旋转全等型由全等可得到的相关定理：由全等可得到的相关定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一个三

10、角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【例【例 4】(2008 年巴中市高中阶段教育学校招生考试年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，如图，ACDE，BCEF，ACDE求证：求证：AFBD又ACDE即AFBD【补充】如图所示：【补充】如图所示：ABCD，ABCD求证：求证：ADBC【解析】【解析】连接BD，ABCD，ABDCDB，利用SAS证明ABDCDB，【例【例 5】(哈尔滨市哈尔滨市 2008 年初中升学考试年初中升学考试)已知：如图，已知：如图，B、E、F、C

11、四点在同一条直线上，四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC 求证：求证：OAOD在ABF与DCE中【补充】【补充】(2008 年宜宾市年宜宾市)已知：如图，已知：如图，ADBC，ACBD，求证：求证：CD【解析】【解析】连结AB在ADB与BCA中【补充【补充】(2008 年成都市高中阶段教育学校统一招生考试年成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图如图，在梯形在梯形ABCD中中，ADBC，E为为CD中点中点，连结连结AE并延长并延长AE交交BC的延长线于点的延长线于点F求证：求证：FCAD又FECAED【例【例 6】如图如图，ABCD，相交于点相交于点O，OAOB，E、F为为CD上两点上

12、两点，AEBF，CEDF 求证求证：ACBD在AEO和BFO中-第 4 页在AOC和BOD中【补充】已知，如图，【补充】已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：，求证：BFCE【解析】【解析】在BCE和CBF另一方法：面积法等腰三角形两腰上的高相等【例【例 7】如图，如图，90DCECDCEADAC BEAC，垂足分别为，垂足分别为A B，试说明，试说明ADABBE【解析】【解析】因为90DCE(已知)，所以90ECBACD，因为EBAC，所以90EECB(直角三角形两锐角互余).所以ACDE(同角的余角相等).因为ADAC，BEAC(已知)，所以90AEBC(垂直的定义).在Rt A

13、CD和Rt BEC中，AEBCACDECDEC ，所以Rt ACDRt BEC,所以ADBC，ACBE(全等三角形的对应边相等)，所以ADABBCABAC.所以ADABBE【例【例 8】(2008 年全国初中数学联赛年全国初中数学联赛)如图如图，设设ABC和和CDE都是正三角形都是正三角形，且且62EBD，则则AEB的的度数是度数是()A124B122C120D118【解析】【解析】分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系解 易知ACEBCD，AECBDC，于是AECBDC，从而360AEBAECDECBED注意到60BDCBDE，18062BDEBED，36060AEBBD

14、CBED，可算出122AEB，选 B【例【例 10】如图所示，如图所示，已知已知ABDC，AEDF，CEBF，证明：，证明：AFDE【解析】CEFB，CEEFFBEF，即CFBE在AEB和DFC中，CFBEDCABDFAE，AEBDFC(SSS)AEFDFE，在AEF和DFE中，AEDFAEFDFEEFFE【例【例 11】E、F分别是正方形分别是正方形ABCD的的BC、CD边上的点，且边上的点，且BECF求证：求证：AEBF【解析】【解析】在ABE和BCF中【补充】【补充】E、F、G分别是正方形分别是正方形ABCD的的BC、CD、AB边上的点，边上的点，GEEF，GEEF求证：求证：BGCFB

15、C【解析】【解析】显然，BEGCFE，【例【例 12】在凸五边形中，在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为为CD中点求证：中点求证：AMCD【解析】【解析】延长AB，AE，交直线CD于F，G在BCF与EDG中在AMF与AMG中【补充】如图所示：【补充】如图所示：AFCD，BCEF，ABDE，AD 求证：求证：BCEF【解析】【解析】分别连接BF、CE、BE，利用SAS证得ABFDEC，BFCE，利用SSS证得BFEECB，可先讲解变式，通过此例体会添加辅助线的基本切入点-第 5 页【例【例 13】（1）如图，如图，ABC 的边的边 AB、AC 为边分别向外作正方形为边分别向外作正方形 ABD

16、E 和正方形和正方形 ACFG，连结，连结 EG，试，试判判断断ABC 与与AEG 面积之间的关系，并说明理由面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中已知中间的所有正方形的面积之和是间的所有正方形的面积之和是 a 平方米平方米，内圈的所有三角形的面积之和是内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米平方米，这条小路这条小路一共占地多少平方米？一共占地多少平方米？【解析】【解析】ABC 与AEG 面积相等.理由：过点 C 作 CMAB 于 M，过点 G

17、 作 GNEA 交 EA 延长线于 N，则AMCANG90，四边形 ABDE 和四边形 ACFG 都是正方形，BAECAG90，ABAE，ACAG，BAC+EAG180，EAG+GAN180，BACGAN，ACMAGN，CMGN.SABC12ABCM，SAEG12AEGN，SABCSAEG.（2）解：由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，这条小路的面积为(a+2b)平方米.【例【例 14】如图如图，ABC中中，ABBC，90ABC，D是是AC上一点上一点，且且CDCBAB，DEAC交交AB于于E点求证：点求证：ADDEEB【解析】【解析】解法一：如图，连结CE在C

18、DE与CBE中，CDCB，CE公共，EDCB，解法二：连结DB【例【例 15】(2008年全国初中数学联赛天津赛区年全国初中数学联赛天津赛区)ABC中中，90B，M为为AB上一点上一点，使得使得AMBC，N为为BC上一点上一点，使得使得CNBM，连连AN、CM交于交于P点点试求试求APM的度数的度数，并写出你的推理证并写出你的推理证明的过程明的过程【解析】【解析】APM的度数为45证明过程如下：如图过点M作AB的垂线MD，使MDCN，连接DA、DN，于是因为MDCN且MDCN，所以四边形MDNC是平行四边形从而MDNMCN，又因为CNBM，得到DMBM，进而在MDA与MBC中，所以DMAMBC

19、，这样DAMC，而MCDN，所以DNDA又因为ADNADMMDN ADMDAM 90，所以得到ADN是一个等腰直角三角形，所以45AND，利用MCDN，从而得到45APMAND【例【例 16】(第第19届届“希望杯希望杯”初二试题初二试题)如图，如图，I是是ABC的内心，且的内心，且CAAIBC若若80BAC，求求ABC和和AIB的大小的大小【解析】因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题容易解决-第 6 页如图，在BC上取点D，使CDAC，连接DI因为CAAIBC，所以BDAI在ACI和DCI中，所以ACIDCI于是AIDI所以DIBD因为90BAC，所以40CAI，40CDI

20、又CDI是等腰BDI的外角，所以20DBIDIBCDI ，40ABC在AIB中，40BAI，20ABI，所以1802040120AIB【例【例 17】已知：已知：BD CE、是是ABC的高，点的高，点P在在BD的延长线上，的延长线上，BPAC，点，点Q在在CE上，上，CQAB，求证：求证：APAQ；APAQ【解析】【解析】如图，设CE交BD于F 由BDCA，CEAB，知而BFECFD，故ABQQCA 由已知，有ABQC，BPCA，从而ABPQCA，即有APAQ 由可得AQCPAB，而从而可得90PAQ，即APAQ【例【例 18】如左下图，在矩形如左下图，在矩形ABCD中，中，E为为CB延长线上

21、一点且延长线上一点且ACCE，F为为AE的中点求证的中点求证：BFFD 如右下图如右下图，在在ABC中中，BE、CF分别为边分别为边AC、AB的高的高，D为为BC的中点的中点，DMEF于于M 求求证：证：FMEM【解析】如图，连结CFACCE，F为AE的中点四边形ABCD是矩形F为AE的中点FABBADFBAABC ，即FBCFAD 如图，连结DF、DEBE、CF分别为边AC、AB上的高又D为BC上的中点又DMEF，EMFM【例【例 19】如图，已知如图，已知60ABDACD，且，且1902ADBBDC求证：求证：ABC是等腰三角形是等腰三角形【解析】延长BD到E，使得DECD，连接AE即18

22、0ADCADBABAE，ABAC，ABC是等腰三角形【例【例 20】如图，如图，ABC为边长是为边长是1的等边三角形，的等边三角形，BDC为顶角为顶角()BDC是是120的等腰三角形，以的等腰三角形，以D为为顶点作一个顶点作一个60角角，角的两边分别交角的两边分别交AB于于M，AC于于N，连接连接MN，形成一个形成一个AMN求求AMN的的周长周长【解析】【解析】分析 考虑特殊情况，MNBC，此时不难计算出AMN的周长为2，于是可考虑证明：-第 7 页ABACAMMNAN，即证BMNCMN采用截长补短法可解之解 延长AC到E，使CEBM，连接DE易知在BMD与CED中有BDCD，90MBDECD

23、，BMCE，从而BMDCED于是在DMN与DEN中有：DNDN，MDED，从而MDNEDN，故ENMN说明 本题通过考虑特殊情况得到可能的结论，然后进行一般的证明从特殊性看问题，从极端情况考虑问题，从特殊到一般是数学中常用的思想方法【例【例 21】(2006 浙江省绍兴市浙江省绍兴市)我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等那么在什么情况下，它们等那么在什么情况下，它们会全等会全等？阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等对于这两个三角形

24、均为钝角三角形，可证它们全等对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略证明略)对于这两个对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：可证明如下：已知：已知：ABC、111ABC均为锐角三角形，均为锐角三角形，11ABAB，11BCBC，1CC 求证：求证：111ABCABC(请你将下列证明过程补充完整请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点证明：分别过点B，1B作作BDAC于于D，1111B DAC于于1D则则11190BDCB DC，归纳与叙述：归纳与叙述：由由可得到一个正确结论，请你写出这个结论可得到一个正确结论，请你写出这个结论【

25、解析】又11ABAB，111ADBAD B，11190ADBAD B1AA，又1CC，11BCBC，111ABCABC 若ABC、111ABC均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，且11ABAB，11BCBC，1CC，则111ABCABC家庭作业【习题【习题 1】(济南市济南市 2008 年高中阶段学校招生考试年高中阶段学校招生考试)已知：如图已知：如图，ABDE，ACDF，BECF 求证求证：ABDEBECF，BEECCFEC即BCEF【习题【习题 2】已知已知：DEFMNP，且且 EFNP，FP，D48，E52，MN12cm，求求：P 的的度数及度数及 DE 的长的长.【解析】【

26、解析】DEFMNP，DEMN，DM，EN，FP，M48，N52，P180485280，DEMN12cm.【习题【习题 3】如图如图，矩形矩形ABCD中中，E是是AD上一点上一点，CEEF交交AB于于F点点，若若2DE，矩形周长为矩形周长为16，且且CEEF，求，求AE的长的长在三角形AFE与DEC中，FECE，90AD，矩形周长为16，且2DE 28AEDE即3AE【习题【习题 4】在四边形在四边形ABCD中中，ADBC，A的平分线的平分线AE交交DC于于E求证求证：当当BE是是B的角平分线时的角平分线时，有有ADBCAB【解析】【解析】在AB上截取AF，使AFAD，连EF，则可得ADBC，知

27、注意到BE平分B，BE公用，-第 8 页月测备选【备选【备选 1】如图所示：如图所示：ABAC，ADAE，CD、BE相交于点相交于点O求证：求证：OA平分平分DAE【解析】【解析】利用SAS证得ABEACD，ED，根据已知可得BDCE，利用AAS证得BODCOE，ODOE，利用SAS证得AODAOE，OADOAE，OA平分DAE【备选【备选 2】如图所示，在如图所示，在ABC中，中，ADBC于点于点D，2BC 求证：求证：ABBDCD【解析】由已知ADBC，2BC 知如果我们在CD上截取DEDB，连接AE，就可以构造出两个等腰三角形ABE和AEC如图，在CD上截取DEDB，连接AE因为ADBC

28、，DEDB，所以AEAB，于是BAEB，又因为AEBCCAE ，2BC，所以CAEC，于是AEEC，故ABBDAEEDECEDCD【备选【备选 3】如图，如图，ABC 中，中，D 是是 BC 的中点，过的中点，过 D 点的直线点的直线 GF 交交 AC 于于 F，交，交 AC 的平行线的平行线 BG 于于 G 点点，DEDF，交，交 AB 于点于点 E，连结，连结 EG、EF.（1）求证：求证：BGCF.（2）请你判断请你判断 BE+CF 与与 EF 的大小关系，并说明理由的大小关系，并说明理由.【解析】【解析】（1）ACBG，GBDC，在GBD 与FCD 中，GBDC，BDCD，BDGCDF，GBDFCD，BGCF.（2）BE+CFEF，又GBDFCD(已证)，GDFD，在GDE 与FDE 中，GDFD，GDEFDE90，DEDE，GDEFDE(SAS)，EGEF，BE+BGGE，BE+CFEF.