居余马线性代数第三章课后习题(39页).doc

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1、-第 1 页第三章第三章第四章第四章居余马居余马线性代数第三线性代数第三章课后习题章课后习题-第 2 页第五章第五章 课后习题及解答课后习题及解答将 1，2 题中的向量表示成4321,的线性组合：1.1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,1,12,1T4T3T21TT2.1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321解：设存在4321,kkkk使得44332211kkkk，整理得解得.41,41,41,454321kkkk所以432141414145.设存在4321,kkkk使得44332211kkkk，整理得解得.0,1,0,1

2、4321kkkk所以31.判断 3，4 题中的向量组的线性相关性：3.6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T14.3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T1，解：3.设存在321,kkk使得0332211kkk，即065032032132131kkkkkkkk，由0651321101，解得321,kkk不全为零，-第 3 页故321,线性相关.4.设存在321,kkk使得0332211kkk，即0142407203033213212131kkkkkkkkkk可解得321,kkk不全为零，故321,线性相关.5.论述单个向量）（naaa,21线性相关和线性无关的条件.解

3、：设存在k使得0k，若0，要使0k，当且仅当0k，故，单个向量线性无关的充要条件是0；相反，单个向量）（naaa,21线性相关的充要条件是0.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.证：设向量组nn,121线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,21niriiir线性相关，则向量组nn,121线性相关，与向量组nn,121线性无关矛盾，所以该命题成立.7.证明：若21,线性无关，则2121,也线性无关.证：方法一，设存在21,kk使得0)()(212211kk，整理得，0)()(221121kkkk，因为21,线性无关，所以002121kkkk，可解得02

4、1 kk，-第 4 页故2121,线性无关.方法二，因为）（2121,1111,21）（，又因为021111，且21,线性无关，所以向量组2121,的秩为 2，故2121,线性无关.8.设有两个向量组s,21和,21s其中s,21是分别在s,21的k个分量后任意添加m个分量mjjjbbb,21),2,1(sj所组成的mk 维向量，证明：(1)若s,21线性无关，则s,21线性无关；(2)若s,21线性相关，则s,21线性相关.证：证法 1，(1)设sA,21，sB,21，因为s,21线性无关，所以齐次线性方程0AX只有零解，即,)(sAr且sBr)(，s,21线性无关.证法 2，因为s,21线

5、性无关，所以齐次线性方程0AX只有零解，再增加方程的个数，得0BX，该方程也只有零解，所以s,21线性无关.(2)利用反证法可证得，即假设s,21线性无关，再由（1）得s,21线性无关，与s,21线性相关矛盾.9.证明：133221,线性无关的充分必要条件是321,线性无关.-第 5 页证：方法 1，（133221,）=（321,）110011101因为321,线性无关，且02110011101，可得133221,的秩为 3所以133221,线性无关.线性无关；反之也成立.方法 2，充分性，设321,线性无关，证明133221,线性无关.设存在321,kkk使得0)()()(133322211

6、kkk，整理得，因为321,线性无关，所以000322131kkkkkk，可解得0321kkk，所以133221,线性无关.必要性，（方法 1）设133221,线性无关，证明321,线性无关，假设321,线性相关，则321,中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,可由线性表示，则向量组133221,可由32,线性表示，且23，所以133221,线性相关，与133221,线性无关矛盾，故321,线性无关.方法 2，令133322211,，设存在321,kkk使得0332211kkk，由133322211,1144 得-第 6 页）（）（）（32133212321121,21,21，

7、代入0332211kkk得，0212121321332123211）（）（）（kkk，即因为321,线性无关，所以000321321321kkkkkkkkk可解得0321kkk，所以321,线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m,21）（2m线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关；解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2 维向量空间不在一条直线的 3 个向量，虽然两两线性无关，但这 3 个向量线性相关。设111001321，321,两两线性无关，而321,线性相关.（2）m,21）（2m线性相关的充分必要条件是有1m个向量线性相关；解：不正确

8、，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设111001321，321,线性相关，而 俩321,两两线性无关.(3)若21,线性相关，21,线性相关，则有不全为零的数21,kk，使得02211kk且02211kk，从而使得0222111）（）（kk，-第 7 页故2211，线性相关.解：不正确，因为21，线性相关和21，线性相关，不一定存在同一组不全为零的数21,kk，使得02211kk和02211kk成立；或者说存在两组不全为零的数21,kk和21,tt使得02211kk和02211tt成立.(4).若321,线性无关，则133221,线性无关.解：不正确，因为取 1，1，1 这组常数，使得01

9、33221）（）（）（，所以133221,线性相关.(5)若4321,线性无关，则14433221,线性无关；解：不正确，因为14433221,线性相关，由 9 题，n为奇数个时，线性无关，n为偶数时，线性相关.(6).若n,321线性相关，则113221,nnn线性相关；解：正确，因为n,321线性相关，所以n,321中至少有一向量可由剩余的1n个向量线性表示，则113221,nnn也可由那剩余的1n个向量线性表示，再因为1 nn，所以113221,nnn线性相关.11.如果4321,线性相关，但其中任意 3 个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数4321,kkkk，使得0443322

10、11kkkk.-第 8 页证：因为4321,线性相关，所以存在不全为零的常数4321,kkkk，使得044332211kkkk，假设01k，则0443322kkk，得432，线性相关与题设矛盾.故01k；同样方法可证得432,kkk都不为零.所以该命题成立.12.若r,21线性无关，证明：r,21线性无关的充分必要条件是不能由r,21线性表示.证：必要性，假设能由r,21，则r,21线性相关与r,21线性无关矛盾，故不能由r,21线性表示.充分性，设存在rkkkk,210使得03322110rrkkkkk，若00k，则能由r,321线性表出，矛盾，所以00k，因此，0332211rrkkkk，

11、又因为r,21线性无关，所以021rkkk，故，r,21线性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：（1）;)3,1,0,1,7(),22,6,9,4,1(),4,3,2,0,1(),2,9,1,4,6(4321（2）)0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321;（3）.)3,2,1(),0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(4321-第 9 页解：（1）TTTT4321,=32242163909211404711600000000100005100101所以，向量组的秩为

12、 3，421,为一个极大线性无关组，2135.（2）类似（1），可求得向量组的秩为 3，421,为一个极大线性无关组，且2133，2145.（3）类似（1），可求得向量组的秩为 3，321,为一个极大线性无关组，14.设向量组：).6,5,1,2(),0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(545321（1）证明21，线性无关；（2）求向量组包含21，的极大线性无关组.（1）证：设存在21,kk,使得02111TTkk，求得021 kk，所以21，线性无关；（2）解，00000110001011010301601424527121103

13、121301,T54321TTTT,所以，421,为包含21，的一个极大线性无关组.15.设BA,皆为n阶矩阵，nBrnAr)(,)(，证明：（1）秩)()(00BrArBA;-第 10 页（2）秩)()(0BrArBCA，C为任意n阶矩阵.证：（1）设21)(,)(rBrrAr，则存在n阶可逆矩阵QP,QP,使得,0001rEPAQ,0002rEBQP从而则 秩BA00秩).()(00000021BrArrrQQBAPP（2）因为秩)(ArCA,所以秩)()(0BrArBCA.16.证明)(),(min()(BrArABr.证：设BA,分别为snnm,矩阵，将A按列分块，则有nAB21nsn

14、nssbbbbbbbbb212222111211的列向量组s,1可由A的列向量组n,21线性表示，故ABABr)(的列秩A的列秩=)(Ar，同样，将B按行分块，得)()(BrABr，因此，该命题成立.1.设BA,分别为mnnm,矩阵，且mn，证明：齐次线性方程组0)(XAB有非零解.证：由mnBrArABr)(),(min()(，所以0AB，故齐次线性方程组0)(XAB有非零解.-第 11 页18.设A是一个ns矩阵，B是由A的前m行构成的nm矩阵.证明：若A的行向量组的秩为r，则smrBr)(.证：设,2,1),(21siaaainiiismmA11，mB1.设pBr)(，于是，B的行向量组

15、的极大线性无关组piii,21含p个向量。因此，A的行向量组的一个极大线性无关组是向量组smiiip,121的一个子集，所以它所含向量个数)(msp，即)()(msprAr，从而，smrpBr)(.求下列（1922 题）矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式：19.12100400003210054321.解：00000200003210054321342112100400003210054321所以，矩阵的秩为 3。04400310531为一个最高阶的非零子式。-第 12 页20.10030116030242201211.解：100301160302422012110000004000

16、10030012112341所以，矩阵的秩为 3。012030103111为一个最高阶的非零子式。21.165543131223123.解：165543131223123213200917137039431所以，矩阵的秩为 3。014554312123为一个最高阶的非零子式。解：10000100011000111200112001120011所以，矩阵的秩为 4。-第 13 页011200112001120011为一个最高阶的非零子式。23.设A是一个nm矩阵，证明：存在非零的sn矩阵B，使得0AB的充要条件是证：设齐次线性方程组0AX，021sB，则由0AB，可得sjAj,2,1,0，由于，

17、021sB，至少有一个0j，再由0AX有非零解的充要条件是nAr)(，故，sjAj,2,1,0，至少有一个0j的充要条件是nAr)(.24.设BA,是同形矩阵，证明：A与B相抵的充要条件是)()(BrAr.证：设BA,是nm矩阵，pBrrAr)(,)(，则存在可逆矩阵2121,QQPP，使得00011rEAQP，00022pEBQP，充分性，因为)()(BrAr，所以，00011rEAQP=00022pEBQP，BQAQPP121112)(,令QQQPPP121112,)(,故，BPAQ 因此，A与B相抵.必要性，因为A与B相抵，所以，存在可逆矩阵QP,使得BPAQ，因此，)()(BrAr.-

18、第 14 页25.设A是nm矩阵）（nm，mAr)(，证明：存在mn矩阵B使得mIAB.证：因为mAr)(，所以，存在可逆矩阵QP,使得0mIPAQ，所以有)0(011PIPAQm,(1)（1）右端乘mn阶矩阵0PT,得mIAQT，令BQT,故，mIAB.26.证明：若n阶方阵A的秩为r，则必有秩为rn的n阶方阵B，使得0BA.证：因为n阶方阵A的秩为r，所以TA的秩为r，则0XAT的基础解系含有rn个线性无关的解向量，取这rn个线性无关的解向量rnXX,1为TB的列向量，则)()(BrrnBrT.因此，该命题得证.27.证明：任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为 1 矩阵之和，而不能表示为少于

19、r个秩为 1的矩阵之和.证：设A为秩为r的矩阵，则存在可逆矩阵QP,使得000rEPAQ，所以，1111111111)(000QBPQBPQBBPQEPArrr，其中rBB,1为秩为 1 的矩阵因此，任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为 1 矩阵之和.后部的证明，（反证法）假设A为秩为r的矩阵，能表示为少于r个秩为 1 的矩阵之和，不妨设A能表示为p个秩为 1 的矩阵之和，其中，rp，设),(1pBBA其中pBB,1是秩为 1 的矩阵.rpBrBrArp)()()(1，与rAr)(矛盾.-第 15 页28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：（1）07930830320543214321

20、43214321xxxxxxxxxxxxxxxx解：7931181332111511000000002271012301取43,xx为自由未知量，令0,143xx和1,043xx，得原方程组的一个基础解系为因此，一般解为2211XkXkX=102101272321kk，其中21,kk为任意常数.(2).03162505341211027322028354321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：3162515341211127322128130000000000100121825872183819取543,xxx为 自 由 未 知 量，令0,0,1543x

21、xx，0,1,0543xxx和1,0,0543xxx，得原方程组的一个基础解系为-第 16 页因此，一般解为10001000121213825832878191332211kkkXkXkXkX，其中，321,kkk为任意常数.29.求下列非齐次线性方程组的一般解：（1）2749422536372432143214321xxxxxxxxxxxx解：24671492253137201080000151100491取32,xx为自由未知量，令032 xx，得方程组的一个特解：TX)10,0,0,8(0，再 令0,132xx和1,032xx，得 其 导 出 组 的 一 个 基 础 解 系：TTXX)5

22、,1,0,4(,)11,0,1,9(21.所以，方程组的一般解为22110XkXkXX，其中21,kk为任意常数.（2）12334523622232375432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：1223271334562210311231111100231600000000006221051101取,543xxx为 自 由 未 知 量，令0543xxx，得 方 程 组 的 一 个 特 解：-第 17 页TX)0,0,0,23,16(0；再取0,0,1543xxx，0,1,0543xxx和1,0,0543xxx得其导出组的一个基础解系：TTTXXX)1,0,

23、0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321所以，方程组的一般解为3322110XkXkXkXX，其中321,kkk为任意常数.30.讨论qp,取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解.(1)3)3()1(32)1(2)3(321321321xppxxppxxppxpxxxp解：323)1(311213pppppppp91536300)1(30321323222ppppppppppp所以，0p或1p时，该方程组无解，0p且1p时，有唯一解是（2）qxxxxxxxxxpxxxxxxxxxx5432154325432154321334536223231解：qp3113

24、34562210311231111123100000000006221011111qp所以，当0p或2q时，方程组无解；-第 18 页当0p且2q时，方程组有无穷多解，取543,xxx为自由变量，令0543xxx，得方程组的一个特解：TX)0,0,0,3,2(0；再取0,0,1543xxx，0,1,0543xxx和1,0,0543xxx得其导出组的一个基础解系：TTTXXX)1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321所以，方程组的一般解为10065010210012100032321kkkX，其中321,kkk为任意常数.（3）3)2(2337212432143

25、243214321qxqxxxqqxpxxxxxxxxxx解：333122111072111211qqqqp22111000320032101211qqqqp所以，当2p且1q时，方程组有唯一解。当1q时，方程组无解；当2p时，22111000300032101211qqqqq42110000100032101211所以，当2p且4q时，方程组有无穷多解，TTk0,1,2,02,0,7,10，其中k为任意-第 19 页常数。当2p且4q时，方程组无解。31.设A是nm矩阵，证明：若任一个n维向量都是0AX的解，则0A.证：因为任一个n维向量都是0AX的解，则n维向量Ti)0,0,1,0,0(（

26、第i个分量为 1 其余分量均为 0 的列向量）满足0),(),(11nnAAA，即0AI,其中I是n阶单位方阵，因此，0A.32.设A是一个sm矩阵，B是ns矩阵.X是n维列向量.证明：若0)(XAB与0BX是同解方程组，则)()(BrABr.证：因为若0)(XAB与0BX是同解方程组，所以，0)(XAB的基础解系所含解向量的个数与0BX的基础解系所含解向量的个数相等.即)()(BrnABrn，因此，)()(BrABr.33.设A是nm矩阵,B是sn矩阵，证明：若0AB，则nBrAr)()(.证：设),(1sB，其中s,1是一组列向量，由0AB得，sjAj,1,0.若rAr)(，则0AX的基础

27、解系含有rn个线性无关的解向量，而s,1为0AX的解向量，则s,1可由0AX的基础解系线性表示，所以，)()(ArnrnBr.故，nBrAr)()(.34.设A是n阶矩阵A的伴随矩阵，证明：-第 20 页（1）1)(,01)(,1)(,)(nArnArnArnAr（2）1nAA.证：（1）由于IAAA，当nAr)(时，0A，所以0A，得nAr)(；当1)(nAr时，即至少有一个1n阶子式不等于零，所以0A，且0A，因为0A，所以1)(Ar.因为0A，所以0AA，即A的每一列均是齐次线性方程组0Ax的解，所以1)1()()(nnArnAr。因此，1)(Ar；当1)(nAr时，A的任一1n阶子式都

28、等于零，所以0A，故0)(Ar。（2）当0A时，由IAAA，得1nAA。当0A时，即1)(nAr，由（1）知，1)(Ar，从而0A，所以1nAA也成立，故，对任意n阶方阵A，都有：1nAA。35.设A是n阶可逆矩阵)2(n，证明：AAAn 2.证：因为A是n阶可逆矩阵，所以A是n阶可逆矩阵，且1nAA。因为IAAA，所以1)(AAA。-第 21 页又因为IAAA，所以AAA1)(。因此，AAAAAAAAnn211)(。36.设A是n阶矩阵，证明：非齐次线性方程组bAX 对任何b都有解的充要条件是0A.证：充分性，因为0A，所以),()(bArnAr。因此，对于任意b，),()(bArnAr，b

29、AX 有解.必要性，(反证法)假设0A,则nAr)(。设nA21，则n,21线性相关，从而其中至少有一个向量能由其余向量线性表出，不妨设n可由121,n线性表出，取Tb)1,0,0,0(，则1000),(11nbA，即),()(bArAr，所以方程组无解，矛盾。37.设,121axx,232axx,343axx,454axx,515axx证明：这个方程组有解的充要条件是510iia，在有解的情形下，求出它的一般解。证：因为,121axx,232axx,343axx,454axx,515axx-第 22 页即54321543211000111000011000011000011aaaaaxxxx

30、x有543211000111000011000011000011aaaaa5432143210000011000011000011000011aaaaaaaaa令1100001100001100001110001A，增广矩阵123451100001100001100001110001,aaaaabA）（，方程组有解的充要条件为),()(bArAr即510iia。当510iia时，000000110000110000110000114321aaaa000000110001010010010100014434324321aaaaaaaaaa-第 23 页取5x为自由变量，令05x，得方程组的一个特

31、解：TaaaaaaaaaaX)0,(44343243210；再取15x得其导出组的一个基础解系：TX)1,1,1,1,1(1所以，方程组的一般解为111110443432432110kaaaaaaaaaakXXX，其中k为任意常数。38.已知21，是方程组bAX 的两个不同解,21,是对应齐次线性方程组0AX的基础解系,则bAX 一般解是:(A)2)(2121211 kk;(B)2)(2112211 kk;(C)2)(2121211 kk;(D)2)(2121211 kk.解:可证得，121是线性无关的且是0AX的解,因此是0AX的一个基础解系,221是bAX 的一个解,因此,选(B).39.

32、已知96342321tQ,P为非零矩阵,0PQ,则:(A)当6t时,1)(Pr;(B)当6t时,2)(Pr;(C)当6t时,1)(Pr;(D)当6t时,2)(Pr;解:因为0PQ,且96342321tQ,所以3)()(QrPr,又因为P为非零矩阵,所-第 24 页以1)(Pr,当6t时,2)(Qr,因此,1)(1Pr,即1)(Pr,故选(C).40.设Taaa),(3211,Tbbb),(3212,Tccc),(3213,则三条直线)3,2,1(),0(,022ibacybxaiiiii交于一点的充要条件是:(A)321,线性相关,(B)321,线性无关;(C),321r,21r;(D)321

33、,线性相关,21,线性无关.解:因为333222111cybxacybxacybxa有唯一解的充要条件是2333222111332211cbacbacbarbababar，2333222111cbacbacbar，即321,线性相关。2332211bababar，即21,线性无关。所以，选(D)。41.设A是nm矩阵,)()(nmmAr,B是n阶矩阵,下列哪个成立?(A)A中任一m阶子式0;(B)A中任意m列线性无关；(C)0AAT;(D)若0AB，则0B；(E)若nBr)(，则mABr)(.解：选（E）.nBr)(,所以B可逆，mArABr)()(.42.设)2,1,(,21mmiRnim线

34、性无关,下列哪个成立?-第 25 页(A)对任意常数mkkkk,321，有02211mmkkk；(B)任意)(mkk个向量kii,1线性相关；(C)对任意,nR,1m线性相关；(D)任意)(mkk个向量kii,1线性无关.解：选（D），因为整体线性无关，部分必线性无关。43.设,线性无关，,线性相关，下列哪个成立?(A)必可由,线性表示；（B）必可由,线性表示；(C)必可由,线性表示；(D)必不可由,线性表示.解：选（C）。因为,线性无关，所以,线性无关。因为,线性无关，,线性相关，所以必可由,线性表示，从而必可由,线性表示。44.设A是34矩阵，1)(Ar，321,是非齐次线性方程组bAX

35、的三个线性无关解，下列哪个是0AX的基础解系？(A)321(B)3212(C)2312,(D)3221,解：因为1)(Ar，所以0AX的基础解系含有 2 个线性无关的解，因此(A),(B)不正确。(D)的两个解不是0AX的解，故选(C).45.设向量组321,线性相关，432,线性无关。回答下列问题，并证明之。-第 26 页（1）1能否由32,线性表示？（2）4能否由321,线性表示？解：（1）因为432,线性无关，所以32,也线性无关，又因为321,线性相关，所以1可由32,线性表示。（2）（反证法）假设4能由321,线性表示，再由（1），1能由32,线性表示，所以4能由32,线性表示，即4

36、32,线性相关，与432,线性无关矛盾。所以，4不能由321,线性表示。46.设A为n阶矩阵，若存在正整数)2(kk使得0kA，但01kA（其中为n维非零列向量），证明：1,kAA线性无关。证明：（定义法证）若0121kkAtAtt，上式两边左乘1kA得，022211kkkkAtAtAt因为0kA，所以0221kkAA因此，011kAt，又因为01kA，得01t。利用同样方法，可求得032kttt，因此，1,kAA线性无关。47.设BA,分别为nmmn,矩阵（),mn 且IAB（n阶单位矩阵），证明：B的列向量组线性无关。-第 27 页证：因为IAB，且,mn 所以nBrArnABr)(),(

37、min()(，因此，nBr)(，而B是nm矩阵，故，B的列向量组线性无关。48.已知秩321,=秩321,，其中,)1,0,3(,)3,2,1(21TTT)7,6,9(3；TTTba)0,1,(,)1,2,(,)1,1,0(321，且3可由321,线性表示，求ba,的值。解：3321,=07-13-1602b931b5-00034201-11-1因为3可由321,线性表示，所以有05 b，因此，5b。所以秩321,=2。因为秩321,=秩321,=2，所以0315a，所以，15a。49.设111aaaaaaA为n阶矩阵（3n），Ra，且1)(nAr，求a。解：因为)3(21)(nnAr所以1a

38、因为1)(nAr，所以01)1(an，因此，na11。50.设n阶矩阵A的每行元素之和均为零，又1)(nAr，求齐次线性方程组0Ax的通解。-第 28 页解：因为1)(nAr，所以齐次线性方程组0Ax的基础解系中含一个解向量。设nA21，因为A的每行元素之和均为零，所以021n即0111A，因此111是齐次线性方程组0Ax的一个基础解系。从而，0Ax的通解为：111k，其中k为任意常数。51.已知下列线性方程组 I,II 为同解线性方程组，求参数tnm,之值。解：因为542210010101001316011311142011所以，T)0,5,4,2(是方程组 I 的一个解，因为方程组 I 与

39、 II 同解，所以它也是方程组II 的一个解，将它带入方程组 II，可得：6,4,2tnm。52.设TTTTTBA,)8,0,0(,)0,21,1(,)1,2,1(，求解方程xBxAxAB44222。解：即求解非齐次线性方程组：xBAAB)2(4422因为0100021010180016480816048),2(214422ABAB所以xBAAB)2(4422的一个特解为：T)0,1,21(。-第 29 页)1,2,1(为其导出组的一个基础解系。因此，xBAAB)2(4422的一般解为：TTk)1,2,1()0,1,21(，其中，k为任意常数。53.设n阶矩阵),(21nA的行列式0A，A的前

40、1n列构成的)1(nn矩阵记为),(1211nA，问方程组nxA1有解否？为什么？解：无解，因为nArnArn),(,1)(11。54.设,均为非零的n维列向量，TA，证明：A中任意两行（或两列）成比例。解：因为1)(),(min()(TrrAr，所以A中任意两行（或两列）成比例。55.设n阶矩阵A分块为22211211AAAAA，其中11A为k阶可逆矩阵（nk），证明：存在主对角元为 1 的上三角矩阵U和下三角矩阵L，使得BALAU0011。解：由分块矩阵的初等变换，不难知道：所以，knkIAAIL111210，knkIAAIU012111。56.设BA,皆为n阶矩阵，证明：（1）;ABII

41、ABI（2）;BAIABI（3）)det()det(BAIABI（为任意常数）。证：（1）因为ABIBIIABIIAI00-第 30 页所以ABIBIIABIIAI00因此，ABIIABI。（2）因为 IABAIIABIIBI00所以IABAIIABIIBI00因此，BAIIABI由（1）即得：BAIABI。(3)分两种情况来讨论。当0时，BABAABn)1(，成立。当0时，因为，IABAIIABIIBIABIBIIABIIAI00,0011所以，IABIBAIABI)det()det(。综上，结论成立。57.证明：若A是nm矩阵，rAr)(，则存在rm矩阵B，nr矩阵C，且rCrBr)()(

42、，使得BCA（提示：利用相抵标准形）。证明：因为，rAr)(，所以存在可逆矩阵P(m阶)、Q(n阶)，使得000rIPAQ，-第 31 页则11000QIPAr=11000000QIIPnnrnmr令)(1)(1,nrnnrrmmrmNNQMMP因为11,QP为可逆矩阵，所以rmM的列向量组线性无关，nrN的行向量组线性无关。令0000,0000)()(nrnrnnrnnrrmnmrrmmrmNNNICMIMMB即满足条件，从而此题得证。58.设BA,皆为n阶矩阵，nBrAr)()(，证明存在可逆矩阵Q，使得0AQB。证明：结合相抵标准形，不难知道，存在可逆矩阵2211,QPQP，使得：000

43、,000)(22)(11BrArIBQPIAQP因为nBrAr)()(，所以02211BQPAQP，令21PQQ，则此题得证。59.证明：r,21（其中01）线性相关的充要条件是存在一个)1(rii使得i可由121,i线性表示，且表示法唯一。证明：（充分性）因为存在一个)1(rii使得i可由121,i线性表示所以，i,21线性相关，从而r,21线性相关。（必要性）因为r,21线性相关，所以存在不全为零的一组常数rkkk,21使得02211rrkkk-第 32 页在使02211rrkkk成立的所有不为零的系数中，必有一个最小的下标i，使0ik，但)(0ijkj。下面说明ri 1。如果1i，则0,

44、0111kk，从而01矛盾。最后证表示法唯一。若121,i线性相关，则显然得到一组数与前面ik的取法矛盾。所以，121,i线性无关。又因为i,21线性相关，所以表示法唯一。60.证明：向量组s,21线性无关的充要条件是),3,2(11sikijjji。提示：此命题是 59 题的逆否命题。61.设向量组r,21线性无关，如在向量组的前面加入一个向量，证明：在向量组r,21中至多有一个向量)1(rii可经其前面的i个向量121,i线性表示。并在3R中做几何解释。证明：反证，设有两个向量)1(,rjiji均可经其前面的向量线性表示：1111iiikkk（1）1111jjjlll（2）kl)2()1(

45、得：因为r,21线性无关，所以j,21线性无关，i,21线性无关，因此0k，则由（1）知i可由121,i线性表出，与i,21线性无关矛盾。62.证明：在n维向量空间nR中，若向量可经向量组s,21线性表示，则表示法唯一的充分必要条件是向量组s,21线性无关。证明：（充分性）设有表示法-第 33 页两式相减得：0)()()(222111ssslklklk因为s,21线性无关，所以sslklklk,2211，即可证表示法唯一。（必要性）反证，设s,21线性相关，则存在不全为零的一组数设为sppp,21使得02211ssppp因为向量可经向量组s,21线性表示，所以存在一组常数sqqq,21使得ss

46、qqq2211所以，sssqpqpqp)()()(222111因为sppp,21不全为零，所以这是异于上面的另一种表示法，从而与表示法唯一矛盾。63.设A是n阶矩阵，1)(Ar。证明：证明：（1）因为1)(Ar，所以A的每行向量成比例，即得此结果。令nnaaabbbk2121,即得此结果。64.设.),(,),(,212121212222111211TmTmnmnmmnnxxxxbbbbyyyyaaaaaaaaaA（1）证明：若bAy 有解，则0 xAT的任一组解mxxx,21必满足方程.02211mmxbxbxb-第 34 页（2）方程组bAy 有解的充要条件是方程组10 xbATT无解（其

47、中0是1n零矩阵）。证明：（1）因为bAy，所以TTTAyb。因此，对任一组mxxx,21，若它满足0 xAT，则必有0 xAyTT，即0 xbT，即.02211mmxbxbxb(2)方程组bAy 有解),()(bArAr b可由A的列向量组线性表出（必要性）因为b可由A的列向量组线性表出，所以10)(TTTTbArbArAr所以，方程组10 xbATT无解。（充分性）因为方程组10 xbATT无解，所以1)(10)(TTTTTTArbArbArAr因此，)(TTTArbAr，从而b可由A的列向量组线性表出。65.设A是一个nm矩阵，nm，mAr)(，齐次线性方程组0Ax的一个基础解系为试求齐

48、次线性方程组的基础解系所含解向量的个数，并求出一个基础解系。解：齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为mmnn)(。66.设nm矩阵A的m个行向量是齐次线性方程组0Cx的一个基础解系，又B是一个m阶可逆矩阵。证明：BA的行向量也是0Cx的一个基础解系。-第 35 页证明：设mmmmmmmbbbbbbbbbBA21222211121121,。则由已知条件：),2,1(0miCTi，且m,21线性无关。因为所以BA的行向量是0Cx的解。又因为B可逆，A的m个行向量线性无关，所以BA的m个行向量线性无关，因此BA的行向量也是0Cx的一个基础解系。67.证明：若A为n阶矩阵（1n），且0A，则A中

49、任意两行（或列）对应元素的代数余子式成比例。证明：因为0A，所以1)(nAr，因此1)(Ar，即可证。68.设A是nn)1(矩阵，jA表示A中划去第j列所构成的行列式。证明：（1）TnnAAA)1(,(21是0Ax的一个解；（2）若jA（nj,2,1）不全为零，则（1）中的解是0Ax的一个基础解系。证明：（1）令)1,1,1(，构造n阶矩阵AB，不难知道B中第一行元素的代数余子式分别为：nnAAA121)1(,。所以A中的每行元素乘以TnnAAA)1(,(121均为 0，因此，0)1(,()1(,(12121TnnTnnAAAAAAAA(2)令)0,0,0(，构造n阶矩阵AC，则不难知道C中第

50、一行元素的代数余子式分别为：nnAAA121)1(,。因为jA（nj,2,1）不全为零，所以C的伴随矩阵0C，即1)(Cr，因此1)(nCr，又因为显然1)(nCr，所以1)(nCr，所以1)(nAr，从而齐次线性方程组0Ax的基础解系中含1)(Arn个解向量。再-第 36 页由（1）及jA（nj,2,1）不全为零，此题得证。69.若A为一个n阶矩阵，且AA 2，证明证明：显然，)()(AIrIAr.因为)()()()()()(IArArAIrArAIArIrn所以nIArAr)()(因为AA 2，所以0)(IAA，即IA的每个列向量均为齐次线性方程组0Ax的解，因此)()(ArnIAr，即n