【高分复习笔记】孟道骥《高等代数与解析几何》（第3版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解.docx

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1、目录内容简介目 录第5章线性变换5.1 复习笔记5.2 课后习题详解第1节线性变换的定义第2节 线性变换的运算第3节 线性变换的矩阵第4节 特征值与特征向量第5节 具有对角矩阵的线性变换第6节不变子空间第7节二、三维复线性空间的线性变换第8节 复线性空间线性变换的标准形5.3名校考研真题详解第6章多项式矩阵6.1 复习笔记6.2 课后习题详解第1节 多项式矩阵及其标准形第2节 标准形的唯一性第3节 矩阵相似的条件第 4 节 复方阵的Iordan 标准形6.3 名校考研真题详解第7章 Euclid空间7.1 复习笔记7.2 课后习题详解第1节 Euclid空间的定义第2节标准正交基第3节 Euc

2、lid的空间同构第4节子空间 第5节 共轨变换,正规变换 第6节正交变换第7节对称变换第8节 酉空间及其变换第9节 向量积与混合积7.3名校考研真题详解第8章双线性函数与二次型8.1 复习笔记8.2 课后习题详解第1节对偶空间第2节双线性函数第3节 二次型及其标准形第4节唯一性第5节 正定二次型第6节 二次型在分析中的应用第7节 二次型在解析几何中的应用8.3名校考研真题详解第9章二次曲面9.1 复习笔记9.2 课后习题详解第1节二次曲面第2节直纹面第3节旋转面第4节 二次曲面的仿射性质第5节 二次曲面的度量性质9.3名校考研真题详解第10章 仿射几何与射影几何10.1 复习笔记10.2 课后

3、习题详解10.3 名校考研真题详解第5章线性变换5.1 复习笔记、线性变换的定义1 .线性变换设V是数域P上的线性空间,A是V的个变换（即V到V的映射）,并满足4a + B） =+ 40,0 W V （5-1）A（ka） = Ma, Vk P, a C V （5.2）则称A是V的个线性变换.等式（5-1） , （5-2）分别称为A保持加法与保持纯 量乘法.2 .零变换零变换,即。（a） = 0、a 6V。3 .恒等变换（单位变换）id（a） = a, Va V恒等变换（单位变换）id,即4 .数乘变换数乘变换k,即将a对应到ka.数乘变换是线性变换.当k=O时,为零变换;k=l时,为恒等变换.

4、二、线性变换的运算设V是数域P上的线性空间,EndV为V的所有线性变换的集合，以下为EndV中的 几种运算.1.加法（1）定义设, 6 e End Va与b的和定义为（4 + B）a = Aa + Ba, Va G V.求和的运算称为加法.（2）性质(4 + 6)(a + 万)=A(a + 0) + B(a + (3)=Aoi + Ba 4- A0 + B13 = (/ + B)a + (4 + 8)万(A + B)(ka) A(kct) + B(ka) = kAa + kBa k(A 4- B)a若a,万W V,e P,则有因而 4 + 6 W End V.2 .纯量乘法设W P, / En

5、d V. k与a的积定义为(史/)0; = k - Aa, Va E V.3 .乘法(1)定义设4 8 e End V.A与B的积定义为(加)a = 48a), Va V.(2)性质(AB)(ka + 忖=A(B(ka + )=A(kBa + IB0)=kA(Ba) + IA(B0) = k(AB)a + l(AB)若k, I G Py a, 3 6 V,则故 8 C End .4 .定义(1)若V的线性变换A还是对应,则称A为可逆线性变换,否则称A为不可逆. = id, 4n+1 = AAn(2)设V是数域P上的线性空间,又AeEndV定义A”称为A的n次哥.m/(工)= 由 Px(3)若定

6、义/(4) = Qoid + aM + 3 + am5”称为a的个多项式.5 .定理(1)设V是数域P上的线性空间,V的所有线性变换的集合为EndV,则End V对加法及纯量乘法为P上线性空间;4=(/6)c, V4 8. C EndVEnd V中乘法满足结合律id = id = 4 CL4 = X0 = 0且46 + C) = 43 + AC; (B + CM = BA+ CAEndV中乘法及加法适合分配律k(AB = (kA)B = A(kB), /ke P. A. Be End VEndV中乘法与纯量乘法满足(2)定理2:设V是数域P上的线性空间,GL(V)为V的所有可逆线性变换的集合,

7、id e GL(V4 G厶),则W GL(V),且(宀 A.4 B GL(VY,则46 c GL(W,且(48)】=絵3) = /M), v)6尸团(3)设A是P上线性空间V的线性变换.定义Px到EndV的映射中A为则有以下结论:8是线性空间Px到线性空问EndV的线性映射./人(f(i)g()=34(f(l)/(g(),v/(x), g()6 Px保持乘法,即ker=(4) = 0是P図的子空间,且若f(x)g(x) kerw4 Vg( W Pxf(z) ker则6 .推论(1)m, n Z, m, n,则(/) = Xwn.(2)若ker0,以d厶(N)表示ker夕次数最低的首多项式,称为

8、ker=dA(x)g(x)g(x) PxA的最多项式,则W kerQi当且仅当4()(0.等价的说,有7 .特别说明线性空间EndV的零元素就是V的零变换0, A的负元素一/ = (-1)-4,(4)a = /a, Va V于是若keP,则kid就是由k决定的数乘变换k.乘法交换律一般不成立.三、线性变换的矩阵8 .定理(1)设2, , an是数域P上n维线性空间V的组基,则对于V中任意n个向量61，夕2，一，万门存在唯一的线性变换A使得Aoti = B14I w .crd(4a; ai,，an) = M(-4; a，an)crd(a; i,，otn)(2)设6, 02, 一 an是p上线性空

9、间v的组基,4 G End V则(3)设v是数域p上n维线性空间,ai, 02，On为v的组wG4) = M(A 6,，an), V 0:（3）det （Ao id X） = 0称E。（人）为 a的属于儿的特征子空间.3 .特征多项式（1）相关定义设A Pnxn,入是一个文字,称det（A 7n 厶）为a的特征多项 式,它的根称为a的特征值或特征根.若入。为a的特征值,则称齐次线性方程组 （A。厶-A）X = 的非零解为A的属于入。的特征向量.相似矩阵的特征多项式相等.若 G End V,则a在任何基下的矩阵的特征多项式是样的,称为 a的特征多项式,记为det(id - -4).(2)求线性变

10、换a的特征值及特征向量的步骤在v中取组基。2, 一,。，求出a在此基下的矩阵Af (厶;1, 2, ，an)简记为 Ao.求特征多项式det(XIn - A)= )的根，即A的特征值.对每个特征值解齐次线性方程组(4).其基础解系就是EO (4)的基在a1,一，a下的坐标.4 .Hamilton-Caylay 定理(1)定理/()=det (A In - A) = An + aAn + + an-i A + an设 G Pnxn/(-A) = A.n + 4 + + %1 + anZn = 0则(2)推论设A是n维线性空间的线性变换,f(人)是A的特征多项式,则f(A) = O.设A是n维线性

11、空间的线性变换，dA(人)是A的最低多项式,则degd_4() n.五、具有对角矩阵的线性变换1相关定理(1)设v是p上n维线性空间,4 End Ai,2, 一,是a的不E% (4) + E入 2 (4) + + Ek (4) = E% (*弱卜(同的特征值,ER是A的属于的特征子空间,则(2)设V是P上n维线性空间, A G End V, 则下面四个条件等价: A在某组基下的矩阵是对角矩阵;A有n个线,性无关特延向量;V = Eh(4)/(乂)*Ea*(4)11,辰,儿是A的不同的特征值;a的最低多项式d4(入)为不同的一次因式的积,即d4(八)=(1)(2)(入Afc)2e推论设1 & i

12、 & k, 1 ? 2, , , 0，为&.() 中线性无关组,则11, 一，Qlr”,一,Qfcl, 一,。为V中线性无关组.(2)设1,2, 一,为A的不同的特征值,则A有对角矩阵当且仅当EdimE.) = dim (3)设a有对角矩阵,人为a的特征值,则九是a的特征多项式的dimE九(4) 重根.(4) v为p上线性空间，A End V. 若A的特征多项式在P中有 dim 个不同的根,则A在某组基下的矩阵为对角矩阵.特别地,若p=c, a的特征多项式无重根,则A在某组基下的矩阵为对角矩阵.六、不变子空间1 .定义设v是P上线性空间，A G End V. w是v的子空间.如果对任何aew,

13、有 AaWW,则称W是A的不变子空间,简称A一子空间.此时A可看作W的线性变换,称 为A在W上的限制,记作w.即 End W,且Aw (a)=。,Va W.2 .性质(1) A一子空间的和与交仍是A子空间.(2)设卬=厶(3,。2,)，W为A一子空间当且仅当Aoti 6 W, 1 f W 6 .(3)若dim V 8, / e End V,则dim V = dim ker/ + R(/).3 .定理设P上n维线性空间V有直和分解=W1W2 .又01， , a/c与a+i，a分别为对与帆的基，A G End V,则Wi为A的不变子空间当且仅当A/(4; ax, , ak, Ojt+1,此时=M(

14、Aw i,，%).W- Wz都是A的不变子空间当且仅当矩阵As=0,此时A2 = Af(v4|wa; am,即).(2)设V是P上n维线性空间,A G End V, W是A的不变子空间,TT是Att = 7rAv到商空间V7WI二的自然同态.则存在唯一的e EndV/W使得V - V门1*V/W V/W称为a在/w上诱导的线性变换.(3)设V是复数域C上n维线性空间.f。)为V的线性变换A的特征多项式.且有 因式分解/()=(1)”(入一入2产(),其中 C, #时, % , 则V可分解为A的不变子空间的直和取(4)=ker(4 -id= a V | (4 - Ajid)n,a = 0=1(4

15、)2(4)4&.C4),其中称为A的属于Ai的根子空间.4 .推论(1) V可分解为A的不变子空间的直和y = 12iVV3 ,当且仅当a在某组基下的矩阵为准对角矩阵diag(4i,2，As),J其中为在相应基下的矩阵.（2）若V分解为A的不变子空间的直和V =124。,分别以/（）力（入）记a, 41V.的特征多项式,以d（）记4 4k的最低多项式,”）=厶（）力（）（）d(A) = di(A), d2(入)，d5(A)（3）设 G End V,且w为a子空间.又,lw, ni,贝志同=a W V|W -刷0.七、二、三维复线性空间的线性变换1 .相关定理及推论（1）定理1:设V是C上2维线

16、性空间,AeEndV,记A的特征多项式为（），则有下列结果:若）=（1）（2）,1 Z2,则A diag（2）；若）=（Ao）2 有两种情形,（阵为。12 ,人oid时,在某组基下的矩阵为!在某组基下的矩阵为时 , dl/ An:在任何基下矩（2）推论1:对应定理1中三种情形,A的最低多项式分别为（入九DO。一九2）,一人 0, （XKo）?.（3）定理2:设V是C上3维线性空间,AGEndV, f（人）为A的特征多项式.若/（入）=（八一川（乂3）, X,2,入3互不相等,则A在适当基下的矩阵 为 diag（入1,入2, As）.若/（） = （1）（2）,则在适当基下,A的矩阵为下面两种情

17、形之I 00 Ai00=（0）3则当4 Ao id = 0; 4 Aoid 0,而(-4 Aoid)2 = 0.(4 - Aoid)2 * 0,而(4 Aoid)3 =0时,在适当基下,A的矩阵分 别为000000 Ao0Ao0Ao（4）推论2:对应定理2中六种情况,A的最低多项式分别为(A-Ai)(A-A2)(A- A3)(A Ai)(A A2)(A 一 Ai)2(A A2), A Ao, (A - Aq)2, (A Ao)3.2 .定义（1）形如 矩阵.Ao 00 AoAo 01 Ao的2阶方阵称为2阶Jordan(2)形如、 儿。0、1 Ao 000 Ao /At 00 Aj00Ao10

18、Ao 01 %入I 00 A(0 0Aj 00内,Ao 00 Ao0000Ao的3阶方阵称为3阶Jordan矩阵.注:两个2, 3阶复方阵相似当且仅当它们有相同的Jordan标准形. 、复线性空间线性变换的标准形1 .定义J(A. t)设, , As C. 中矩阵J = diag(J(i,h),J(2,均)，J(),右1 +2+，+=Cnxn.中矩阵称为Jordan矩阵,(，厶)称为J的个Jordan块.(2)任一 n阶复方阵A相似于一个Jordan矩阵,此Jordan矩阵称为A的标准形.2 .引理(1)设V是数域P上n维线性空间, A 6 End.为v到 /ker3上的自然同态,为a在V7k

19、er4上的诱导,则 ker 么=7r(ker A2).ai, ，dk V,且7r(。1),(。2),万9Q为ker的基则4ai, Aa2, , Aak ker线性无关,进而dim ker A & dim ker A又若a是幕零的,则也是幕零的,且deg d（入） deg&4（入）.（2）设v是p上n维线性空间,/ E End V,则下面三个条件等价:a的最低多项式d（入）=An.A在某组基下的矩阵为Jordan块J（0, n）；存在acv使得a, a, .一，Aa为v的基，而/4, Ct 0.3 .定理（1）设A是数域P上n维线性空V的幕零线性变换,即“=0则A在适当基下diag（J（0, n

20、J, J（0, n2）, , J（0, na）i2 2 .21,】+2 + +九s =的矩阵为Jordan矩阵（2）设V是复数域C上n维线性空间,AGEndV,则A在V的适当基下的矩阵为 Jordan 矩阵.4 .推论若 End V,且（oid A）n = ,则A在适当基下的 矩阵为Jordan矩阵颯（川。,吼施咄,、（0:%），diag（J（Ao, Tii）, J（Ao的），J（Aq, n,）,町顶1（2） AGEndV,在某组基下的矩阵为deg44（）=ni, dim Eo （A） = s则又若为A在V/EAo （）上的诱导,则degdj(A) = ni-l. dim&o(1) = |小|

21、22|(3)任一复n阶方阵A相似于个n阶Jordan矩阵,此Jordan矩阵称为A的标准 形.5.2课后习题详解第1节 线性变换的定义判断下面习题1到习题12中定义的变换A是否为线性变换.1 .在线性空间v中,nxnonxn9 .在厂 中,A(X) = BXC,其中B, C是L中两个固定矩阵.A(X + 丫)= B(X + Y)C = BXC + BYC = (X) + 4(匕A(kX) = B(kX)C = k(BXC) = M(X).解:对xywpukEP所以A是线性变换.10 .在。,塩川(工)=咎+饗+血(句解:对伟g(。8伍丸kwR,可得到4）+ g。）=叱当）手曰） + + sin

22、l（泡+ g（）d2/（）刈（）d2g（）dg（）一百+宙+的+ 声+古+如工3=/（）+ 4g（），4（）=+ /”+ an /（）=誓+誓+山,/（工）=kAf（x）.所以A是线性变换.11.在。8（。,b）中,4（）=（噌）需+sinr”）A(kf(x)=(k- +ki+ksinx- f(x)(誓)2+ ksin f(x)* k4(/(),解:因为所以A不是线性变换.,一一阳冈其中是Ca, b的固定函数.解:因为对于1（）,人/（）6 Ca, b且有4()+ g()=K(八+ g()dtK(t)/(t) dt+K( g( dt = 4()+ 毒(),J a4(A)=K(t)(V(O) d

23、t = kK(t)f(t)dt = kAf(x), k g J aJq所以A是线性变换.ker 言=/(1)e Px阴二0dx解:因为加，有我（）=奈卩冋所以】P国=卩恸又因为13 .求Px的线性变换蛊勺像及核：言尸:幻=蒙工），尸田,石/（r） = o,当且仅当网中所以可得ker余=P14 .求Px的线性变换: L（0）=7/3）的像 ）及核ker L工.LxPx) = I aiX1 alA2B - BA2 = A2B - ABA - ABA - BA2=A(AB - BA) + (B - BA)A = 2A证:运用数学归纳法,当k=2时,有即公式成立.假设k时公式也成立,于是可得Ak+B-

24、 BAk+1=Ak+1B - JBA + AkBA - BAk+i= Ak(AB - 64) + (AkB - BAk)A = (k + l)Ak因此可知结论成立.4 .设曲，62，一，为线性空间V的一组基,AGEndV.证明 aggl（V）当且仅当标1，462， , m线性无关.证:若aggl（V）,则可知a是的,即=当且仅当a = 0.于是可3 工,? = t I当且仅当i=i,当且仅当“I即1, /2, 一,线性无关.= X2 = t-=Xn=0,A I )=0t=i ,则有反之，假设1，広2,一，线性无关,若 nn XjAi = 0 =2 =i = 0,即加=0 r=l因此!=1,所以

25、A是的.由1，2，线性无关，知为v的基.故对于n/ nB 2 Uj人Ej = 2） 011 6 A/J 2 N5 .设线性空间V有直和分解V = MN,作V到V的映射A, B如下:分别称为V关于上述分解对M, N的投影,证明1）A. 8 W End V；2）V，A/ 时 GLV3）4 + 8 = id, =,B2 = 8,4）若 B4G,则（工）=dBx证:1）设a = 6 +。2 匕3 =4+4,其中。1必 Af, a-2,02 N4a + 3) =4(91 +。2)+ (万 i + 02)= (ai + 61) + (。2 + 02) = Oti + 01 = Aa + A0.A(kot)

26、 =A(koti + kct2)= kon - kAot.又设kCF,则有因此 e End ，B = id - 4 End V.2)若 MhV,则 Nh,对于Va N,有4a=,因此 ASGL (V).3)由 B=id-A,可知 A+B = id,又从91 + Q2)= 4S + &2), 知Az=A,同理可得Bz = B.4)因为 A, B0GL (V),因此 AM, A*id,而 A-A=0,因此dAM = I? 一氢同理= X2 - X6 .设 AWEndV 且 A?=A,证明1) V有直和分解:V = MN,其中M, N分别为Af = a G VI Act = a, N = a E V

27、 Act 0)2)若a = a, 1,则 a = 0.证:1)设m Af, Q2 g N,且Qi + 0,则0 =+ ol2) =于是= ,故I + N = M+N,又A(Aa) = A2a = Aoi, A(a. Aoi) = Aoi A2oi = 0.设aev,于是可得a = 4a + (a - Aa),而且于是a G AI, q - 4a G N,因此=MN.2)设仪=di +Q2, Ql M, a2 6,又因为a = k。,因而可 知ka = kai-ka2 = i,故有(k-l)ai + ka2 = 0,从k (k 1)皿,可得ai = a2 = a = 0.7,设 A, BCEnd

28、V 且2 = 4 =B,证明(/ + 6产=4 + 8 当且仅当AB = BA=O.=+ 8)2-# + 阴 8 = 0证:设2 = 4, B2 = 8, ( + 6)2 = 4 + 8,则有因此可得A(AB + 64) = AB + ABA = 0(4b + ba)a = aba + 0 = 0又因为,AB-BA=O,所以 AB = BA = O.反之,设ab=ba=o,于是有(4 + =+ 6?=人+ 8注:仅仅有AB = O成立,不能得到(+ 8)2 A + B,例如人=(：:( ：),则有# = 4 B2 =及邓=0, BA = 。I。 ,而(l1） Qi,一，a与氏,仇,一，Bn都是

29、V的基证明2） A可逆当且仅当rankA = n当且仅当/Ia1，/02，。线性无 关.nnAa = 5 = fyjABnnc U u a = xiQi = yj0j证:1）设a v ,于是有t=i）=i,所以AV = L（Aa. Aoti, , Acnn） - Z（/31,43，、L=1J构成的R上的6维线性空间.求“(屏0，陶./ 10 1 M( 如,2,3)=1 1 07 2 1 丿5)46 End 尸 1X3 且 1 = (-1, 1, 1),2 = (1,0, 一1),3 = (0,0, 1)其中又设门=(1, 0, 0), 2 =(0. 1, 0), 63 = (0I , 1).求

30、”(；, 2, 3)6) A. G End pi * 3,又 i = (lf , 2),2 = (0,】,1), 小=(3,-1, 0)与 1 =(1,0, 0), 2 = (0, L 0),的=(0, 0,1)为评3的基,且=（-5, 0. 3）=（0, -1, 6）3 = （-5, -1, 9） 求M小），WA走%。）.解:所求矩阵如下:2 -I 、 0 1 1 DV1 0 Z2）“価晒倆=（：）（0 10 1 13） K 7.。= 1-1=0,0 0 0 01 00 1a b-b a /.=;（1） （i + 2）（z + 1）（工i + 1）=（I）（i + 2） = ,-1.这是因为/ab10-ba0I0 0ab 00-6a00004）00005）由假设,有Ml；;爲）=:。M （；,2,3） = T1 2 123m（2,3）7! 2 3】23r -1 1 -2 11 2 -1可得所求矩阵为I 2 0 1 /.（42,3）=（i）A =0,2,3）丁 （:丁 ）4 f -5 0 -5 A =0 -1 -16）令 369 /由假设有/ -1 0 3 t他23）= 1 一 1（1 2 ?