考研数三（2003-2013年)历年真题+答案详细讲解.docx

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1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)/ cos/,?。，其导函数在x=o处连续，那么九的取值范围是0若 x =0,(2)曲线y =-3/x + b与x轴相切，那么从可以通过a表示为从=.,、，a“、，、fa,若04x41,设 aO,/(x)= g(x)=o,其他，而D表示全平面，那么/= Jj f(x)g(y-x)dxdy =.D(4)设n维向量a =(a,0,0,a)，a 81时，依概率收敛于/=|二、选择题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在

2、题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且/(0)存在，那么函数g(x)=/X(A)在x=0处左极限不存在.(C)在x=0处右极限不存在.(B)有跳跃连续点x=0.(D)有可去连续点x=0.(2)设可微函数f(x,y)在点(%,九)取得极小值，那么以下结论正确的选项是(A)/(x(),y)在y =%,处的导数等于零.(B)/(刘,丁)在、=%处的导数大于零.(C)/(公，内在=凡处的导数小于零.(D)/(x(),y)在y = X)处的导数不存在.(3)设 P.=&a.Tn 1,2,那么以下命题正确的选项是(A)假设ga“条件收敛，那么与都收敛n=l(B)假设Z4绝对收敛，那么X，与

3、Z/都收敛(C)假设条件收敛，那么”与”敛散性都不定(D)假设Z%绝对收敛，那么Z”“与Z。，敛散性都不定(4)设三阶矩阵A =,假设A的伴随矩阵的秩为1,那么必有(A)(C)(B) a=b 或 a+2bx 0.(D) aWb 且 a+2bW0.a=b 或 a+2b=0.aH b 且 a+2b=0.(5)设,a2,a,均为n维向量，以下结论不正确的选项是(A)假设对于任意一组不全为零的数匕，匕，都有匕4+k2a21H *0,那么%,。2,4线性无关.(B)假设4,a2,a,线性相关，那么对于任意一组不全为零的数人,网,，右，都有匕+ k2a2 H1- ksas =0.(C) %,a2，/线性无

4、关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) %,a2,巴线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A =掷第一次出现正面,4=掷第二次出现正面, A,=正、反面各出现一次,4=正面出现两次,那么事件(A)相互独立.(B)42，4，4相互独立.(C)4,4,4两两独立(D)4,4，4两两独立.I 三、(此题总分值8分)设试补充定义f使得上连续.2四、(此题总分值8分)a2 f a? f1设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足*+*=1,又g(x,y)=/xy/(x2 y2)在 a.， a、./c仁dx2 dy2五、(此题总分值8分)计算二重积分其中积

5、分区域D=(x,y)|x2+ y2万.六、(此题总分值9分)求幕级数1+ f (-1)”(|x|0)，中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求a,b的值：(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(此题总分值13分)设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数.求随机变量丫=F(X)的分布函数.十二、(此题总分值13分)设随机变量X与丫独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研数学三真题解析一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)(1)

6、设/。)=。51，1*0,其导函数在*=0处连续，那么九的取值范围是22.Q 若尤0,【分析】当XH0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当；11时，有显然当42时，有lim/(x)=0=/(0),即其导函数在x=0处连续.X0(2)曲线y = x3-3a-+ b与x轴相切，那么从可以通过a表示为从=它.【分析】曲线在切点的斜率为0,即y=0,由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到从与a的关系.【详解】由题设，在切点处有y=3x2-3a2=0.有意=.又在此点y坐标为0,于是有0= X：-3a2 xn + b =0,故2= Xg (3a2 Xg )

7、2= a2-4a4=4a6.【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.I?；。 v 二二一而 D 表示全平面，那么/=|*f/(x)g(y-x)必dy= a2.0,其他，一【分析】此题积分区域为全平面，但只有当04x41,04y-x41时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】/=JJ7(x)g(yx)dxdy =J。？ dxdyD0xS1.0“一xMldy =V) xdx= a2.【评注】假设被积函数只在某区域内不为零，那么二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共局部上积分即可.(4)设n维向量a =(,(),0,

8、)丁,。v 0； E为n阶单位矩阵，矩阵A = E-aa1, B = E +aaT ,a其中A的逆矩阵为B,那么a=-1.【分析】这里为n阶矩阵，而a,a =2/为数，直接通过A8=上进展计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有- E aa7-aaTaa1 aaTaa- E-aa1- aaT -aaTa)aTaa- E-aa1+aar -2aaar a- E +(12。h)ccoc1 E f a于是有一1一2+4=0,即2a2+。_=0,解得。=一.由于 aZ = DX.于是有詈吟二普2/DYsIDZ 4dx4dy【评注】注意以下运算公式：D(X + a)= DX , cov(X,Y

9、 + a)= cov(X,K).(6)设总体X服从参数为2的指数分布，X.X2,X ”为来自总体X的简单随机样本，那么当-8依概率收敛于！ 2【分析】此题考察大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量XX2,X,当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【详解】这里X；,X；,X：满足大数定律的条件，且EX：=QX,+(EX,)2=；+ d)2=_L,因此根据大数定律有1 1依概率收敛于=1 2二、选择题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且

10、/(0)存在，那么函数g(x)=/区X(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃连续点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去连续点x=0. D 【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进展讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的连续点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有lim g(x)= lim 包=lim 幻-/(0)=/，()存在，故x=0为可去连续点.A-0.v-0 x x-X-0v- f X w 0【评注T】此题也可用反例排除，例如f(x)=x,那么此时g(x)=可排除(A),(B),(C)三项，故 x 0,x =0,应选(D)

11、.【评注2】假设f(x)在x = x()处连续，那么lim上= Au/(Xo)= OJ(Xo)= A.XT*。X xo(2)设可微函数f(x,y)在点(%,%)取得极小值，那么以下结论正确的选项是(A)/(工0，、)在=0处的导数等于零(B)/(%,)在y =%处的导数大于零(C)/30，丁)在)=%处的导数小于零.(D)/(%,、)在=0处的导数不存在.(A 【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点(%,打)取得极小值，根据取极值的必要条件知f；(xo,yo)= O,即/(工0,30在旷=外处的导数等于零，故应选(A).【评注1】此题考察

12、了偏导数的定义，/(八,田在y =%处的导数即/；(x0,yo)：而/(x,%)在x = x0处的导数即f (%,%).【评注2】此题也可用排除法分析，取/(x,y)=/+ y2,在(0,0)处可微且取得极小值，并且有 f(0,y)= y2,可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).(3)设p“=%一；同,=1,2,，那么以下命题正确的选项是(A)假设条件收敛，那么“与/都收敛.=1=1n=l(B)假设绝对收敛，那么“与都收敛. n=ln=n=lc)假设勺条件收敛，那么“与彘敛散性都不定. n=n=n=l)假设明绝对收敛，那么“与或敛散性都不定.b “=1n=l=1【分析】根据绝对收敛

13、与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】假设%绝对收敛，即卜/收敛，当然也有级数收敛，再根据n=n=ln=l2夕“=色WJ及收敛级数的运算性质知，尤p“与元q”都收敛，故应选(B).2n= n=l(4)设三阶矩阵A =,假设A的伴随矩阵的秩为1,那么必有(A) a=b 或 a+2b=0.(C) aHb 且 a+2b=0.(B) a=b 或 a+2bH 0.(D) aH b 且 a+2bH0.【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件.【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2,故有abbb a b =(a +2b)(a-b)2

14、=0,即有4+26=0或2=匕b b a但当a=b时，显然秩(A)x2,故必有aHb且a+2b=0.应选(C).【评注】n (nN 2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有以下关系：(5)设%,均为n维向量，以下结论不正确的选项是(A)假设对于任意一组不全为零的数匕,22,左，都有匕%+Z2a2+工0，那么ax,a2,-,as线性无关.(B)假设四,。2,4线性相关，那么对于任意一组不全为零的数匕,42,，&,，都有%+ k2a24F ksas =0.(C)线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)名,。2,，见线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.B 【分析】此题涉及到线性相关、

15、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A)：假设对于任意一组不全为零的数匕/2,右，都有匕%+k2a2+&q W()，那么%,。2,a,必线性无关，因为假设外,。2,4线性相关，那么存在一组不全为零的数匕,质，右，使kxax + k2a241-ktas =0矛盾.可见(A)成立.(B)：假设%,。2,凡线性相关，那么存在一组，而不是对任意一组不全为零的数匕/2,女门都有21%+ k2a2+ ksas =0.(B)不成立.(C)%,a?，,a*线性无关,那么此向量组的秩为s；反过来，假设向量组班,r ji cos 7tx -7r cos(1

16、 sin 71X71由于f(x)在Ld上连续，因此定义2/(1)=-71使f(x)在上连续.【评注】此题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考察了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=l-x,转化为求yf 0+的极限，可以适当简化.四、(此题总分值8分)a2 f 淬 f1设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足匕1+31=1,又83,丁)=加9,上，一f2),求 dudv2a2 a2d g / g dx2 dy2【分析】此题是典型的复合函数求偏导问题：g = f(u,v),“=孙#=；(/一、2),直接利用复合32 f a2 f函数求偏导公式即可，注意利用= dudv dvd

17、u【详解噎=，患糕，忆行v -*dv dv岳32g2 d2f c d2 f 2故一v = p -v +2xy+ xdx2 du2 dudv所以答+票”+/)S2fdu+ (x2 +y2)32fdv2=x2+ y2.【评注】此题考察半抽象复合函数求二阶偏导.五、(此题总分值8分)计算二重积分其中积分区域D=(x, y)lx2+ y2乃.【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进展计算.【详解】作极坐标变换：x= rcos0,y = rsin 0,有=erer sin r2dr.Jo Jo令，=/，那么I =| e sin tdt.Jo记 A = I)el sin tdt,那么_n /

18、r _=e sinre cos，力=-cos tde!Jo=e cosr()+)e sinfdf=1+1-A.因此A =工(1+),2【评注】此题属常规题型，明显地应该选用极坐标进展计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分(均为最根底的要求)，即可得出结果，综合考察了二重积分、换元积分与分步积分等多个根底知识点.六、(此题总分值9分)8X2tt求基级数1+Z(d(kl i)的和函数及其极值.”=12【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】上式两边从0到x积分，得由 f(O)=l,得令/(*)=0，求得唯一驻点

19、x=0.由于/70)=-10,可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(O)=l.【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、(此题总分值9分)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-oo,+oo)内满足以下条件：/(x)= g(x), g(x)=/(x),且 f(0)=0, f(x)+ g(x)=2ex.求F(x)所满足的一阶微分方程：(4)求出F(x)的表达式.【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余局部转化为用 F(x)表示

20、，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】由= g2(X)+/2(X)=(x)+ g(x)f -2/(x)g(x)=(2e*)2-2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为(2) F(x)= e6“5+ C= e2xe4xdx+C= e2x+Ce-2x.将F(O)=f(O)g(O)=O代入上式，得 C=-l.于是【评注】此题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比拟新颖，但具体到微分方程的求解那么并不复杂，仍然是根本要求的范围.八、(此题总分值8分)设函数f(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f+f(2)=3, f(3

21、)=l.试证必存在Jg(0,3),使 r)=o.【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点ce0,3),使得/(c)=1=/(3),然后在c,3上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(l)+f(2)=3等价于/(0)+/(1)+/(2)=，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以到达目的.【详解】因为f(x)在0,3上连续，所以f(x)在0,2)上连续，且在0,2)上必有最大值M和最小值m,于是m /(0) M ,m /(I)m /(2) a2=(,0,1，,0)/,=(0,0,1).aa1q当人=一.时，有6工0,原方程组的系数矩阵可化为/=i(将第1行的1倍加到其余各行，再从第2

22、行到第n行同乘以-L倍) ta,i=(将第n行-a“倍到第2行的-a2倍加到第1行，再将第1行移到最后一行)由此得原方程组的同解方程组为原方程组的一个根底解系为【评注】此题的难点在b =-之为时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为n-l(存在1=1n-l阶子式不为零)，且显然a =(1,1,)为方程组的一个非零解，即可作为根底解系.十、(此题总分值13分)设二次型y(X1,x2,x3)= X1 AX = a4+2x；2x：+2Z?jx3(Z0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(3)求a,b的值；(4)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应

23、的正交矩阵.【分析】特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可求出a,b的值；进一步求出A的特征值和特征向量，并将一样特征值的特征向量正交化(假设有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】(1)二次型f的矩阵为设A的特征值为4a =1,2,3).由题设，有4+九2+4= a +2+(2)1,解得 a=l,b=-2.(2)由矩阵A的特征多项式2-10-2I 花一 A|=0A-20=(4-2)2(4+3),-202+2得A的特征值儿=4=2,4=3.对于4=%=2,解齐次线性方程组(2-A)x =0,得其根底解系。=(2,0,1) w=

24、(0，1，0)。对于乙=一3,解齐次线性方程组(-3E-A)x =0,得根底解系由于刍,乙,刍已是正交向量组，为了得到标准正交向量组，只需将2,单位化，由此得令矩阵=- -3 -2房10那么Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下，有200QrAQ=020,00-3且二次型的标准形为【评注】此题求a,b,也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f的矩阵A对应特征多项式为设A的特征值为4,4,4，那么4=2,4+4,=0-2,224=-(2a +).由题设得4+九2+4=2+(a 2)1,解得 a=l,b=2.十一、(此题总分值13分)设随机变量X的概率密度为 F(x)是X的分布函数.求

25、随机变量丫=F(X)的分布函数.【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定丫=F(X),然后按定义求丫的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围(0 F(X)1),再对y分段讨论.【详解】易见，当x8时，F(x)=l.对于xwl,8,有设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当y0时，G(y)=O；当y 21时，G(y)=l.对于ye 0,1),有=PVx -I y= PX (y + l)3= F(y + l)3= y.0,若y 0,于是，Y=F(X)的分布函数为G(y)=y,若0Wyl,1,若yNL【评注】事实上，此题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍

26、服从均匀分布：当 y0时，G(y)=0;当 y 21时，G(y)=l;当04 y 1时，G(y)= PY y= PF(X) y= PXF-(y)= F(F-(y)= y.十二、(此题总分值13分)(12、设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X，(0.30.7 J而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进展计算.【详解】设F(y)是Y的分布函数，那么由全概率公式，知1)=*+丫的分布函数为=o.3Px + y|x = i+o.7Px + yM|x =

27、2=0.3Pyw-l|X =l+0.7Pyw-2|X =2.由于X和Y独立，可见G(u)=0.3PY u-l)+0.1PYu-2=0.3F(m-1)+0.7F(m-2).由此，得u的概率密度=0.3/(1)+0.7/(“2).【评注】此题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进展计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)(1)假设 lim Sn(cosc-0)=5,那么 o二, b =.xtO ex - a(2)设函数/(u

28、, v)由关系式/xg(y),y=x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)#O,那么,- dudvxex 设/(x)=J51=.设总体X服从正态分布NR,/),总体y服从正态分布N(M2，i),X1,X2,X,和匕，打,匕,分别是来自总体x和y的简单随机样本，那么22-, th_(Xi又)+Z3-7) E Ij=i_.+丐一2二、选择题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)函数f(x)=-在以下哪个区间内有界x(x-1)(x-2)2(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(l,2).(D)(2,3

29、).设/(x)在(y,+8)内有定义，且 lim/(x)= n, g(x)=1,那么发散T 8 W,.假设(”+%)收敛，那么“，都收敛. n=lzi=l n=l那么以上命题中正确的选项是(A)(2).(B)(2).(C).(D).(11)设/1)在a,b上连续，且/(4)0,/9)/(。).(B)至少存在一点X。e (a,b),使得/(与)/(b).(C)至少存在一点与e (a,份，使得/(%)=0.(D)至少存在一点沏e (a,b),使得/(与)=0. D (12)设阶矩阵A与8等价，那么必有(A)当|A|=a(a#0)时，|B|=a.(B)当| A |= a(a #0)时，|81=-a

30、.(C)当|A|XO时，|B|=0.(D)当|A|=0时，|B|=0.(13)设阶矩阵A的伴随矩阵A*0,假设备,。2，4，。4是非齐次线性方程组心=6的互不相等的解，那么对应的齐次线性方程组Ar =0的根底解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.(14)设随机变量X服从正态分布N(0,l),对给定的a e (0,1),数“满足PX 4= a,假设口|X| Kg(t)dt， xe J aJ a证明：j hxf(x)dx 0);,1D(II)推导丝=。(1-4)(其中R为收益)，并用弹性J说明价格在何范围内变化时, dP降低价格

31、反而使收益增加.(19)(此题总分值9分)设级数的和函数为S(x).求：(l)5(x)所满足的一阶微分方程；(ll)S(x)的表达式.(20乂此题总分值13分)设=(1,2,0), a2=(1,a +2,3a)r, a,=2,a +2b)7, P (1,3,3)r,试讨论当a/为何值时，(I )不能由4,0(2,03线性表示;(II )厂可由四,0(2,013唯一地线性表示，并求出表示式；(III)用可由t,0(2,013线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.(21)(此题总分值13分)设阶矩阵( b b3 b 1) I )求A的特征值和特征向量；(II)求可逆矩阵P,使得p-hP为对角矩阵

32、.(22)(此题总分值13分)设A,8为两个随机事件，且P(A)= L, P(BA)=, P(A|8)= J,令432求(I)二维随机变量(x,y)的概率分布；(II) x与y的相关系数2X丫；(III) z = x2+ y2的概率分布.(23)(此题总分值13分)设随机变量X的分布函数为其中参数a 0,41.设X”Xz，,X为来自总体X的简单随机样本，(I )当a = l时，求未知参数用的矩估计量；(II)当a = l时，求未知参数力的最大似然估计量；(III)当夕=2时，求未知参数a的最大似然估计量.2004年考研数学三真题解析一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题

33、中横线上)假设limq胆土(cosx 勿=5,那么”1 b =4. xo / a【分析】此题属于极限求参数的反问题.【详解】因为 lim-(cosx-b)=5,且 lim sinx.(cosx-b)=0,所以 x-0 ex - ax-0lim (/一 a)=0,得a =1.极限化为 x-0lim S*n A-(cos x-b)= lim (cos x-Z?)= l- b =5，得 b =-4. xo / axo x因此，o = l, b =-4.【评注】一般地，lim0=A, g(x)(1)假设 g(x)0,那么/(x)0；(2)假设/(x)f0,且那么g(x)-0.设函数/(u, v)由关系

34、式/xg(y),y=x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)wO,那么直J.dudv g2(u)【分析】令u = xg(y), v = y,可得到f(u/)的表达式，再求偏导数即可.价于二gG）dudv g2（u）1 / 1s X -）122,那么“/（尢_1）公=【详解】令 u = xg(y), v = y9那么/(u, v)=一+ g(y), g(u)所以，=L du g(v)Xex(3)设 f(x)=1 l-2【分析】此题属于求分段函数的定积分，先换元：X-1=3再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令= f(x - i)dx = J,1= J* i f(x)dt2-2 F= xe dx +