同济大学线性代数第五版课后习题答案.docx

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1、第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:1 4 1-18 3201141-183=2x(-4)x3+0x(-1)x(-1)+1 x1 x8-0x1 x3-2x(-1)x8-1 x(-4)x(-1)c 方 匕c Q“co 匕 cc2)w/V=24+8+16-4=-4.ab=acbbacv cba- bbb-aaa- ccc=3 a be-1 cc214小(3)1 cc2 lz72z 214=b&+ ca2+ a ao-ba1- c*=(a-b)(b-d)c-a).x y x+y(4) y x+y x .x+y x yx y x+y解 y x+y xx+y x y=xx+yvyxx+x+

2、yx-x+-1=3%ah力一尸3*尸一尸一川二-2(*+尸).2 .按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1234;解逆序数为0(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13-(2/7-1)24-(2/7);解逆序数为若少：32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(2/7-1)2,(2/7-1)4,(2/7-1)6,(2/7-1)(2/7-2)(/7-1个)(6)13(2/7-1)(2/7)(2/7-2)2.解逆序数为。1):32(1个)

3、52,54(2个)(2/7-1)2,(2/7-1)4,(2/7-1)6,(2/7-1)(2/7-2)(/7-1个)42(1个)(2/7)2,(2/7)4,(2/7)6,(277)(2/7-2)(/7-1个)3 .写出四阶行列式中含有因子外/3的项.解含因子不切3的项的一般形式为(1)01/3a3r34s,其中乃是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.所以含因子外生3的项分别是(-1)1123勿2 a44=(-1)1 a 1由3 a2国4=一日11由3 a2 a4,(-1)a 1323534 a42=(-1)2 a 1&3334a42=ai 14 a2.4 .计算下列各行列式：420

4、72021111141100)/1T 2341110-o 4121 o2021T 23041100-3 q -&-C0T4207202111CN 1141110002411-1190179017T 2341101122423672023152)020042342312020242362023152 c-%4236T2O2315o=020042301T 2 o2310r*一-ah ac ae(3) bd -cd debf cf -ef-ab ac ae bbd cd de =adf bbf cf -ef b111=adfhce 1-11=4ahcdef.oold o 1 c 71 fp - oq

5、too!/OOI J 41 CT bETO OTOO r OOI J O1 CT 1* Jp - qtooQ-l。+- oold=(-1)(-1)2+,8+a-lo必d =abc杰 aZcchratM.+ab1二(一1)(一1)3+25.证明:a2 ab b2=(-l)3+1ab-a2 b2-a2ba-2。00ab-a- b2-a2b-a 2b-2a=(b-a)(b-a), 2(1) 2a a+b 2b=(a-b3,111ax+by ay+bz az+bx(2) ay+bz az+bx ax+by =(a3+Z73)y z xaz+bx ax+by ay+bz证明ax+by ay+bz az+

6、bx ay+bz az+bx ax+by az+bx ax+by ay+bzx ay+bz az+bxy ay+bz az+bx=ay az+bx ax+by +b z az+bx ax+byz ax+by ay+bzx ax+by ay+bzx ay+bz =a2 y az+bxax+by+b2z az+bx x ax+by y ay+bz3=a3二4x+b3 y=(a3+Z?3)a2 (a+1)2 (a+2 (a+3)2 b2 (Ip 0+2)2 (b+3)2 c2 (c+l)2 (c+2)2 (c+3)2 12 (d + l)2 3 + 2)2 3+3)2证明b2 c2 d-3+1)2

7、(a+ 2)2 (q+3)2 3 + 1)2 3 + 2)2 3 + 3)2 (c+1)2 (c+2)2 (c+3 (d + l)2 (2)2 (d+3)2(a-Q, 03-01, 02-6 得)a1 2a+1 勿+3 2a+5 b +l +3 +5 c2 2c+i 2c+3 21)阶行列式命题成立，即Dn-X=XP1+& XP 之+,+3n-2X+3n-,则2按第一列展开，有oo ： 一 oo - XOT -1T上1a=(_)-】anXa2= (-l)T(-l)Ta a2l%XDnL.1+Qrr-XP-QyX!11+-VQn-AX-dn .因此，对于阶行列式命题成立.6 .设阶行列式A=de

8、t(a)，把。上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转，依次得D尸%- ann,d2=4- ann，D3=4-* anaw ,ana, an%- an(n-l)证明。1=3=(1)丁。，*D.证明因为2=det(a,所以D=a ann(n-)二(_|l+2+-+(n-2)+(n-l)=(_)2 Q同理可证n(n-l)2=(T 尸a an=(-l)DT=(-l)D.an annn(n-l) n(n-l)。3=(-1)亍。2=(-1尸(T)k D=(D(T)D=D.7 .计算下列各行列式（以为攵阶行列式）：a 1（1）&=,其中对角线上元素都是a,未写出的元素1 a都是0;解o Q o -

9、o oQ o o - o 1QOOQ10 0.0o o o - Q o（按第行展开）ooo oo Q o Qo产loooooa+(-1产。.a(n-l)x(n-l)a二(-1严(-1),.a+4=a一2=a-2(存_1)(一2)(一2)XQ)Daa xa解将第一行乘（-1）分别加到其余各行，得x aaD,尸a-xx-a0a-x0x-aax 000 x-a再将各列都加到第一列上，得二奸(/7-1 )a(.x+(n-l)a a a0x-a 0D.=00 x-a x-a(3)n+13T)”3l)Tq11(an)(q_/7)Tan1解根据第6题结果，有5+1)加=（T）2an-a1ci13-4严3D1

10、a-n(a-n)nl(a-n/此行列式为范德蒙德行列式.Q+产（T尸川）n+l/ /!(4)% =/7(H+1)=(-1 尸 n-；)rt+lZ j+l)”+(-1)+1 _=(-l - ri(Dn+li j=n(D.n+lijlax bC1 4解4b“%=囚夕（按第1行展开）ci a%0q b、c44-100 dna b+ (-1产+勾Q d1,5=。4一1，C1 ul an-再按最后一行展开得递推公式D2QndnDln-2bnCnD2n-2y 即 DzrFSndrr-bnCn)Dzn-2-于是4,=n(M -%)。2i=2而D2=所以D2n=n(q4-.Z=1(5) zdet(),其中8尸

11、15；解为=15,1234_”.321031A cll1111 o 112.0123-1 11 10-1 n-2一3一40-1111 111 i 1111 1111n- n-2 h-3 n-AOO-2-2-000-2-oooo .zi-1 2n-3 2h-4 2n-5n-1 +。11 1 + %- 1 111 1+q=(1 产 i(/7-1)2”.其中(6)2 =a/ 一a#0.1+q1111+%,-111 l+atlq 一。2%一出00%一。30030.0.0000111。3000an-an-10000an1+4”100-00al110-00al011-0000011n-000.-011+

12、Q 100.00ax01000皈100100000.01*000001+工=（4%）（1 +i=8.用克莱姆法则解下列方程组:%+/2+毛+工4=5西+2%2-毛+4玉=-2.2石3%2-七5/=23%+工2*2毛+1卜4=解因为4211-1114-1-)22)5- O1g=-426, D4=CN CH11112A5-2-2O-2115I-2I-2O-5%+6=1%+5%2+6%3=0(2)x2+5x,+6x4=0.天+5%+6/=0.x4+5x5=-1145,00065006506510clI4一II)005100000651065106510051000=1507, D尸000650065

13、1065106510011 c(l)clI)0006511 cn)(If)0065106510051000000650065111CT)116510051000JI4221LI111100651065106510051000一一A所以15071145703-3952121-665,26657665,%-蔬-%一嬴._a+x,+%3=09.问44取何值时，齐次线性方程组%+售2+工3=0有非%1+2/,+毛=0零解？解系数行列式为211D=1 R 1=一.121令80,得0=0或2=1.于是，当=0或时该齐次线性方程组有非零解._f(l-/)-2x2+4x3=010.问A取何值时，齐次线性方程组

14、玉+(3-4)居+%3=0%+X2+(14)工3=0有非零解？解系数行列式为1/I 24 I 11/I 3+A 4D=23-21=21-/11111-2|101-/1=(1-A)3+(A-3)-4(1-)-2(1-2)(-3-A)=(1-2)3+2(1-2)2+A-3.令)0,得心0,心2或2=3.于是，当/U0,心2或心3时，该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1 .已知线性变换:%=2%+2%+%2=3y+%+5% ，%3=3%+2%+3%求从变量%1,检上3到变量yi,%小的线性变换.由已知:1丫靖(-7-49%26 3 -7 % ，3 2-4X =-7%-4%+9天 A-B=(

15、o .(A+B)(A-B)=g 羽.而心叫淌-北=第),故(4+为(44W/2_仔.6 .举反列说明下列命题是错误的：若4=0,则4=0;1 O o O贝IJ用=0但/wo.(2)若4=4贝ij SO 或 A=E-解取A=Q J,则4=儿但40且(3)若2券/ Y,且40,则*= Y.则AA斗匕且40,但上Y.7.设A=求 22,43, . . ., 4rfl OY 1011。)U 11a 1J =I 2/11)8.设 A=解首先观察22允。无0 O-、o 1刈140 A o OV Ao 1 OA140400-2400 无OO 犬OO 乂 /f l /mk/V=a2.a=A4= A3-A=A5

16、= A4M =3矛3公犬3犬,023 J4矛6心无,0 A4 J5才10霜犬5才0犬龙k光7空三D尤-2 Ak _2A _0不k无TI 00无用数学归纳法证明：当k=2时，显然成立.假设4时成立，则Ah-1时，k(kD、 尤-2Ak+= Ak-A=(左+1)无龙+10-1(k+l)k-2(女+1)龙-1尤+1/由数学归纳法原理知:-2龙7 - 尤比L 2攵次无O尢 o O9 .设46为阶矩阵，且/为对称矩阵，证明8么6也是对称矩阵.证明因为AT=A,所以(BTAB) T=BBTA) T=BTA TB=BTAB,从而是对称矩阵.10 .设46都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是金房64

17、证明充分性：因为且金氏84,所以AB)T=BA)T=ATBT=AB,即是对称矩阵.必要性：因为工餐48匚氏且（/约仁/民所以AB=AB)T=BTAT=BA.11 .求下列矩阵的逆矩阵:。解.14=1,故41存在.因为(cosg -sinY,(sinS cos y解Y需郎)”，故和存在因为4*-fAl AiVf cos。sin.一(A242厂(-sing cos)所以 a-cos% s吗|A|1-sing cos%)fl 2-1(3) 34-2(5-41 Jfi 2-n_z/m=12 344 412 312 3 AAA解 A=342.|Z|=2wO,故41存在.因为(5-41J-420A*=13

18、61-3214-2所以10313-27-1J(a a2o(4) (3-32-dn 0).IanJ“ o,解A=%.,由对角矩阵的性质知01Ian)J_ oy-1%0. J_tan12.解下列矩阵方程:OOIo L V AOOIlooS lko-I zwTooS Iko -OJOOI looX OOI loo o I /II z I-o 一c o 9o L zr k XXIIA o 一 ITlVI Lc-Io.J/&)/(掷(2/x(1 X13.利用逆矩阵解下列线性方程组:再+2/+3%3=12x+2x2+5x3=2;3玉+5/+演=3解方程组可表示为、%心也 z/m故故有1 ,x-x2-x3=

19、l (2)/( A-)=2 E=43(/1_)=24i E= A-=1(A-E),又由/l2-A-2 E= O(A+2E)A-3Ay2 E)=-4 En (42)(43)=4 E,所以(/+2)-i(/+2)(43)=-4(42 E)(A+2E)T=；(3E-A).16 .设/为3阶矩阵，求|(2/尸5#.解因为a-lJtA*,所以IAIl(2A)-1-5A*H-A-5IAIA-l T，A-1一皂A-】I 222=|-2A11=(-2)3|/|-1|=-8|/iri=-8x2=-16.17 .设矩阵2可逆，证明其伴随阵力*也可逆，且(2*尸=(41)*.证明由4t=占A*,得/*=|/|41,

20、所以当明可逆时,有 I Z1I|2*|=|/|41|二|4-乜0,从而2*也可逆.因为所以(才尸=|/4又 A=(AT)*TAI(AT)*,所以IA I(#尸=|4-1 A|/i |4|(41)*=(41)*.18.设阶矩阵力的伴随矩阵为/*,证明：若|/|=0,则/*|=0;(2)|/*|二|证明用反证法证明.假设则有#(#尸=6由此得/=/#(/*尸=|/|?/*尸二。，所以#=2这与|/*快0矛盾，故当|/|=0时，有|/*|=0.(2)由于A-i=J1A*,则44*=|引；取行列式得到 IAI|划件|二|.若|/隹0,则|/*|二图厂1;若|力|=0,由知|/*|=0,此时命题也成立.

21、因此(033、19.设4=110, ABA+2B,求81-123；解由/氏42可得(42) A4故3 311 02 3)3 3、2 3i oJf-233Yf 0B=(A-2EyiA=1-101l-l 21) l-l20.设A二011 z I,且 ABE=A+B,求 B.解由/任4+6得(4)历22_即(/-)氏(石)(/+).因为IA-E匕=-1。0,所以（/-与可逆，从而B=A+E=0 3 02 o 1z( 71 O 221.设冷diag(1,2,1),/*H4=2E48二求8解由得(/l*-2)H4=-8；氏-8(/*-2)141=-8网/*-2)二一8(|4|22/尸=-8(-2E-2A

22、)-1=4(存尸=4diag(2,1,2)=4diag(,-1,)0 0 0 8 o O 1 O3O 1 O - 1 11 (!)=2diag(1,-2,1).22.已知矩阵2的伴随阵A*=且264一1二用0+3二求 B.解由|力*|=同3=8,得|4=2.由2历口=历口+3得AB=By3A,以32-甲43网E-AA=3(-；A*尸=6(2-A*)T23.o O 0-1 0 0 6 00 6 0 36 0 6 0o O 0-6 o O 1 O O 11 O 31 O - O zf I I6设AP=X,其中尸二7-1 -4-1 00 2解由尸3代A,得人必尸1,所以41=2=闩。/1.(14)h

23、 _f-l -4Y-1013/27312732)-111A02J_1_11-683-684J-I 33Jfl 1 A24 .设 AEP,其中尸=10-2 J T L求次4）=邓（5尽64/2）.解 dA)=A8(5餐6A+A2)=diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)=diag(1,1,58)diag(12,0,012diag(1,0,0).4不A尸二&P0(A)P*OY-2 -2 2、-3 0 325 .设矩阵A 6及/+8都可逆，证明41十日1也可逆，并求其逆阵.证明因为/T (/+4夕=歹+41=4+歹,而/T(/k为夕1是三

24、个可逆矩阵的乘积，所以41(4约1可逆,即ZT+夕1可逆.(/r+3i-i=/Ti(/+B)厅 i二a/+约-%.26.计算113 3 _ - 3 2 2 0 o 1 o o Ho o 0 113 10 2 0 2 10 0 1000(A. ENE B. (A 4q + 吟104k442 o一一为43 3 -2 o4 o所以A eNe b1a A4+b1o 4人。b2) o b2 J(1 2 5 20 1 2 -40 0 -4 3 (0 0 0 -9jA 7 113 3_ - 3 2 2 0-01001000/ 人0 11310 2 02 10 0rlo o b2 4 3 9 _ -5 2 4

25、 0-2 10 0 100027.取”3=-。=。=?),验证。/楙制4一一O 11 OO 2dd o Oo 111 O二 O h-1-1AOTO - OHnBl。AcIAI 11iciiaiC Q* ICIIfilD310）28 .设A=4-3求|郊|及4.n 2 uI 22；4 二解令A=（：3），4=（；9,A,0?0o 4厂I。凰IA8HA8|馈|TA|8|&|8=1016.A4 =A4 0 54空厂 o24 026 24J29 .设/?阶矩阵/及s阶矩阵8都可逆，求ACA= En OBc.no eY由此得no。纥-ggggA A 36C3=A-l c4=o G=0， c2=b-所以（

26、O AY ob o）一a- o J-解O B由此得A-o-B夕-AAAQr所以（督卜（一浸.豺（A。丫/”21（C B）d3 Oj（A 0丫。4）=（叫 AD.）=出 O （c B）d3 D4-CDi + BD3 CD2+ BD4-o Es叫=纥AD,=O CD+BD3=O CD2+ BD4=Es30 .求下列矩阵的逆阵:0032008521005200/乂/解38-253285B-25221A5200380025-2500-1200/ IA003200852100r52 o G o O4J00310212。方Xz/l-T -OBo o o 1-4 Ac o o 1-312 zz 1一一x-l

27、/ O1-2165240004-20031第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:m7113_-234o o o123, I7o 2-r解2031(下一步：+(-2)/1,为+(-3)/i.)(304-3jI o 2- r-00-13(下一步：比(-1),/5+(-2).)l00-20j(下一步：/3-/2.)fi o 2-n001-3(下一步：/3-3.),0003)713一一1211 O o o O rlo W(下一步：八十(-2)2/1+/3.)AolJO 1 O o o O rlo Wfo 0,0(3)347_234 o o oA 7133r3(下一步：ex2+

28、(-3)/i,+(-2)fi.)-u(下一步：/3+/2,1+3/2.)C33o 1 o200Ooe（下一步：2+2.）530o 1 olooroo w1323-13-431-35-41-23-20-34-2-1；1-13-43、3-35-412-23-203-34-21J(下一步：/2-3/i,/3-2/1,74-3/1.)3860一一74860一13435_1000 loo（下一步：花（一4）,生（一3）,比（_5）.）32224222Z -1111111000rlo o w(下一步：fl-3/2,-/2,/4-/2.)（下一步：4-2/5,13-3Fz,/4-2/2.）（下一步:/2+2

29、/1,/3-8/i,/4-7/i.）2200-o 1 o o400011/(Ooe7403二3234二10873223-仁13 H一7）403j（23解12聊3-212-3A41211J1-2fo -1120-8（0-7Alro（下一步：/2X（-1）,/4/3.）（下一步：/2+/3.）-2o2o）20-211I 1-234 o o o 1 o2700 o 1 o o1 o o o369258147zf lx=XMJ711 cl)-11 o 1 o loo /7 Ao V loo ole /设2 7 7 o o 11 IL o 11 1 o o o 1 o o 1 o 1 o o z/m zf是初等矩阵且1,2),其逆矩阵就是其本身.是初等矩阵旦1,2(1),其逆矩阵是-1O 1o 1 o loo旦1,2-1)二m7 Tol o 1 o loo Y- A 369258147 u I o 1/ loo1 oA222528-A I 7Tolo 1 oo o3.试利用矩阵的初等变换，