同济大学_第六版_高数练习册答案_上册.docx

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1、高等数学习题解答第一章(7-11)第六节极限存在准则两个重要极限2.3.0； I；1；0；2；2/3-12.3,4-1e e ;e ;O;e证明：X“显然单调递增,若ooa =(1-713)/2limx=(1+715)/2 nx4.,1解：/* j+2J/2+1. nn flim f = lim ,=1一8n2+n 5n2+1/. lim()=1第七节无穷小的比较=lim= 11 sin t1.(B)2.(A) c i 人， i. arcsin x3.证明：x = smr , hm当 x 0时，arcsin x x。4.解(1)lim x-0tan5x2x.5x 5= lim =102x 2(

2、2)lim xtO(arcsin x)=hmX(1-COS X) XT。x2(3)limln(l-2sinx)(6)(7)lim ktOlim xtOlim xtOXln(l +2x)-7 i-e -1= limx-0-2sinx 八=-22x=lim=53xtan x sm x.3sin x= lim ktOsin x tan xlim(sinx(l -cosx)3X cosxlim 单=1/21。 X3= lim xtO1- COS Xsinx= lim xtO第八节函数的连续性与间断点1.0；2.充要；3.2；4. D 5. B 6. C2Z -1l-2r7.解：lim/(x)= lim

3、-= lim =1x-02+1i+81+2-lim f(x)=-1x-(r/(x)在x=0不连续，且x=0为函数/(幻的第一类间断点。第九节连续函数的运算与初等函数的连续性1 . B2 .解(1)原式=我(2)原式=-1(3)原式=ln(lim吧在)= ln2xtO x/、店e”“-1 xIn.(4) 原式=hm= lim= Ina*-o x xtO x3 .解：由初等函数的连续性可知/(元)在(一%一1),(一1,0),(0,+oo)连续，lim f(x)= lim jvsin =0 w /(O)xtO+x-0+ x，/(x)在x=0处间断。lim f(x)= lim (2+ x)= lim

4、 f(x)=/(-l)x+rxT-rx-r/(x)在x =-l处连续总上可得/(x)的连续区间为(一 oo,0),(0,+0。)。第十节闭区间上连续函数的性质1 .证明：令/(x)= xlnx-l,则/(x)在1,2连续，且/(1)=一1,/(2)=(2此2-1)0,由连续函数的零点定理可知，至少存在一Je(l,2),使F(J)= O,即方程xlnx = l至少有一个界于1与2之间的实根。2 .证明：令/(x)= x-2sinx-3在0,+8联系，且F(0)=-30,由连续函数的零点定理可知，至少存在一Je(O,;r),使尸0=0,即方程x-2sinx -3=0至少有一个界于0与万2之间的实根

5、，所以原命题成立。3 .证明：令 F(x)= f(x)-x ,则 F(x)在a,b上连续，并且F(d)=/(a)- a0,由连续函数的零点定理可知,至少存在一点ea,b,使得/(自)=0,即至少存在一点4w a,使/)=自。第一章测试题一.选择题1. D 2.C3.C4.A5.B二.填空题1. 22.23.0,24.x2-2x +25.2三.计算题r211 .原式二lim1/=.标加+的*)62 .原式=limn =1n00COST-1_!_A2 zl3 .原式=lim (1+ cosx-l)cosx,= e2xtO5 .原式=limXf+00,1xsin7 V3,i- i tanx-smx6

6、.原式=hm 1 +x-014-sinx四 v limX00p(x)x3-=2,1+sin x lan x-sin * Itan x-sin x 1+sin x x3/. pyx) = x3 4- 2x2 + or + blim = limlxtO x *t0X + 2j + Q dUfl=1b =0/. p(x)= x3+2x2+ x2五. lim=2,.x =l处连续COSX21v lim= oo,：. x =为无穷间断点X_1 COS 7DC22y _17v lim-= lim=2,/(l)=0. x =1为可去间断点x1 a/x -1*T r COS 71Xv lim-= V2+ l,

7、 ，x =2处连续12 y/x -1六.设存在一点x e a，H，使/(x)0.(出寸，/(幻0,由零点定理，在备x之间至少存在一点fwQ使/(1)=0又/(x)在卜无零点，；.矛盾上恒为负七.设*(x)=/(x)-/(x + a)贝|J(O)=/(。)一/(“)，(a)0所以/(x)在x =0处连续。. Ay /(Ax)-/(O)/(醺) sin2 Ax因为 hm 上=hm = lim -= lim-=1rf Ax -0 Ax AfO AjC 。(Al)”所以/(x)在x =0处可导.第二节函数的求导法则1、2ln2+2x +6x”2、( cosx-e，sinx)| o =1(sec2 x-

8、 l)(x2+1)-2x(tanx-x) tan2 x(x2+1)-2x(tanx-x)、许万(，+i)24、求下列函数的导数(1) =2(x2+1) x 2x =4x(x2+1)=4/+(2)2arcsinxyjl-x2(4)(1 ) - x(2x)1 + %2(1-x2)2(1-X2)2xxx(lnx)T -ln,; xxlXX2222c(5)=e + %6一(一2%) = e、(1 2% )(6) =sec x tan x = tan xsecx(ex +e-x)(ex +e-x)-(ex-e- Xex-e-x) _4_ 4e2x(1+e-* (1+1)2 -+1产(8) = mcosm

9、xcos x + sinmxxnxcos-1 xx(-sinx)=cos xmcosmxcosx-nsinmxsinx)5、解：当xwO时2-2-22、 &x ,2,XX 2%(e - 1)2% e 2e + 2f (%) = 4 = XX而当x = 0时，因为./(Ax) - /1(0) . /(Ax) e(Ax)2 -1 . (Ax)2.1hm -:L-L-L = lim - = lim- = hm -4- = hm -AxAx A-。(Ax)-(Ax) -0Ax所以不可导(也可由函数在x = 0处不连续得它在x = 0处不可导)综合练习题1、证： Vx G (-00,+00)ru 、 r

10、 Ay r /(x +Ax)-/(x)/(x)/(Ax)-/(x)f (x)= lim =lim= lim/x -*0 Ax Ax/(Ar)-l/(O + Ax)-/(O)=/(x) hm =/(x) hm 工-=/(x)/(0).to AxAx2、证明:(1)设x)是奇函数，且/(x)可导广(x)=lim( lim (AroArAx-oA r=lim 7(aAx)+/(x)= Hm x Ax)x)=,& f Axad - Ar即:(r)=/(x)。(2)设/(x)是偶函数，且/(x)可导/，(-x)=lim litn ，Ax心一0Ar= lim /(-Ax)-/= lim/(x-Ax)-/(

11、x)=-fM 加一。 AxAr-。(-Ar)另：也可用复合函数求导法/(-%)=-/(x)=/(-X)=/(-xX-l)=-/(x)=/(-x)=/(x)(2) /(-x)=/(x)=/(-x)=_T(-x)(-l)= r(x)=/，(-x)=-/(x)3、解：由于/(x)在x =0处不连续，因此/(x)在x =0处不可导二,x0y(x)=不存在，x = o2x ,x 04、yr = auxa+ax na-axa+aa -na-axna=aaxa，+ax0时，lim/(x)=imxa sin=0=/(0),所以/(x)在 x =0处连续 x-0xtOx当 al 时，lim /(X)-八)= i

12、imxT sin，=0,即/(x)在x =0处可导，且/(0)=0 xf x-0i xa11 a-21 y n但其导函数为/()=产sin7-x cos750，x =0当。(2时，在x =0处不连续当。2及xwO时/(X)= axa sin - xa2 cos xx有 lim fx)- lim(x“ sin - xa2 cos )=0=/(0) x-0x-0jq%从而r(x)在x =0处连续。6,-2/(x)/(x)2/(x)(2) y =；/4(x)fx)(3)V =2xe，/)+)7、解：/，/、 I-/(X)/(Q) v、/、 C /f (a)= lim-= lim-= lim(x +

13、a)g(x)=2ag(o)i X-a a X-axfa第三节高阶导数1、解：y=1- ex tan x + ex sec2 xyr,=-(-ex tanx + e-x sec2 x)+(-e-A sec2 x + ex -2secx-secxtanx)(2sec2 xtanx-2sec2 x +tanx)2、解：yr = fr(nx)(lnx)z = fr(lnx)xy=-2广(In x)+,/(In x),=二(In x)-/(In 刈 XXX X23、解：了=2(l +2x)Tl +2x=22.(-1).(1+2x)-2),=23.(T).(2).(1+2x)-3=23.(-i)2.2!.

14、(i +2x)-3y)=24.(厅.3!.(1+2x)yyM =2n (1)T.( l)!.(l +2x)-n =仁)!综合练习题1、2(1) y=-=2(l-xy2;y*=2-2-(l-x)-3(l-x)-y=22-3(l x)Y ;=2!(1x)Y+d3万(2) yr =-2cosxsinx =- sin2x = sin(2x +; y=2sin(2x +-)yw =22sin(2x +);y(n=2n- sin 2x +(n + l)|或-22x +(-呜2、y = cos(z? arcsin x)一厂一Vl-x7yn =-sin(n arcsin x)7+ cos(h arcsin x

15、)*/，=l-x代入方程即得证。3、yr = Inaaxfr(ax)+ af(x)fXx)yn =naax faxnaa2x fnax)na +/(r)/r(x)2 ln+ q1_2_i4、y=-/; y=彳(x-l)(2x-x2)2=”2jx(2- x)2llx-x2(2x - x2)第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率1、l + e2、2bx -ah -03、一0n正44、y-8=3(x-5)jcy-3x +7=05、解：两边分别对x求导得2y 察/(X)+/(x)+/(y)+矿(y)察=2x axax移项整理得：=23-1。)dx 2yf(x)+ xff(y)6、解：两边

16、取自然对数得lny = sinxlnxIciri V两边分别对x求导得上y = cosxlnx +3 yx移项整理得：y= xSin，(cosxlnx +/)Xr dy 2/1X/1 dy dy sec2(x+ y+1)7、解：上=sec?(x + y +1)(1+上)=上=dxdx dx 1-sec (x + y+1)dx2 di dx_2sec(x + y +1) sec(x + y +1) tan(x + y +1)(1+ yr)l - sec2(x + y +1)l-sec2(x+y + l)2sec(x + y +1)-2sec(x + y +1) sec(x + y +1) tan

17、(x + y +1)(1+ y)l-sec2(x + y+1)2_2sec2(x 4- y +1) tan(x + y +1)_2sin(x 4- y +1) cos3(x + y +1)1- sec2(x + y +1)3cos2(x + y +1)-12陋 dy3产一33(Z-l)/八8、解：上=-二=1)dx (2相,+1)2(，+/)2d当x = l时，由2招+1=1得f=0,于是电=一；心123(1)d2y d ,dy、2e3，-。-1)132-t=(J ,-,dr dr dr +1)4 e” e(+ t)4 e2(+ t)d2y =3从而瓦7,2 X=1综合练习题1、解：当x5时，

18、两边取对数得两边对X求导得 yr-= y12341=dHx-l 5(x-2)5(x-3)5(x-4)5(x-5)移项整理得,|(x-2)2(x-3)，i 6 i1、(1) dy = -xdxI7 X Jf 1,2341y (x -1)5111(x 4)4(x 5)(x l 5(x-2)5(x-3)5(x-4)5(x-5)分(，)+/(，)一尸一dx -f一d2y =(T(区)=1/一生一，)一(/)drd ,1、尸d、；出广_匕(32一/”“一出一 f8一/”)dt(1)(4)Xn+ + C n +1第五节函数的微分(2) 26 + C (3) -e6x +C 6(5) gsin(3x + l

19、) + C(2) dy = d(e lnc0SA )=(cos x) d(x In cos x)-(cosx)(in cosx - x tan .r)dx(3) dy = dQrcsinI -6(x)扬(x)=0d(e(x)2加(x)2(初-(pM(p(x) dy =，比，当双x）0时-9（元）（x）dx，当 e（x）0时注：也可按微分的定义式d），=/（x）dx先求/（x）然后写出微分。第二章测验题dxI1、(1)尸(2)(3)2e3rc皿4(1+X)6nI I I 2/(-)-/X-)2/()/,()(-)或工-xxxx2、 (1) D (2) D (3) C3、计算题(1)解：两边对X求

20、导得2yy + ev+x/y=0于是的夕 I心2生ln(l +/2)J 工4fdrl + J(3)解：由y-lim= lim=1x-0+ Xx-0+ Xlimxf(r1.2 sin xlim -X”尤所以尸(x)=1+ x1.xsin 2x-sin12 x(4)解：设y第三章3.11.否,x2,x 0x3x +2(x 2)(x 1) x 2 x 71142.是，一293.证明：设/(x)= arcsinx + arccosx,由于尸(x)=0,所以/(x)= cTTTT又由于/(0)= y ,所以/(x)=5,即 arcsin x + arccos x =一。24.设 f(x)= aox+al

21、x+fM = aonx+a,(n- l)x2+ an_,显然/(0)=0,/(x)在0,幻上连续，在(0,x)内可导，/(0)=/(xo)= O,由罗尔定理知，至少存在一点Je(0,x),使/(g)=(),即方程OoxT +卬(-1)/-2+ a,i =0必有一个小于X。的正根。=、十 a-b , a a-b =、丁1 Ina - In/?1口一5.要证ln,只要证一一即可a h ba a-h b设/(x)= lnx，g(x)= x，两函数在b,a满足柯西定理,则至少有一点J e (瓦a)使得na-nb _1a-h A加门1na-lnb1,口、十即可得到一o+1x-o*1 xro+x2v x-

22、ln(l + x).(3)原式=lim= limI。xln(l + x) iox - ln(l + x)x21-lim 101 + x = 1 2xnx lim lim sin x In x -0+ (4)原式=e*f* =e xlim e x-o+ xlim xXT0+ = Jsinxlim In y = lim xtOx-0In sin x-In x= limx-0X2 -xsinx6x2cosx 1=lim si = limx-02%.r-0xcosx-sinx2x2 sin x= limx-0xcosx-sinx2x3所以，原式(6)原式=limX-8-9X-x2limX00.-x21

23、 + x -2x-3= lim-(x-e2x13.31.解 p(x) = 3 + 10x-6x2/(-I) - -13p(1) = 5p(x) = 10 12xP(-l) = 22pm(x)=-12所以 p(x)=113(1+ x)+11(1+ x)2-2(1+ xT312-1-2.原式=1111州(1+)3-(1尸)=lim-(l +3/)3+(l-204)XT8XX10 J= lim-(l + r-r2+O(f2)-(l-f2+0(t2)一。t28r 1,3521 Az 3=r +-0(广)二一W 28 t 23.利用/的麦克劳林展式得/(x)= xex =%4-x2+5+xn (1+ h

24、+综合练习题1 .略2 .解：分别给出了(x),/(0),/在x = c时的泰勒展式1,/(x)=/(C)+/(c)(x - c)+-fO(X c)2(1)/(0)=/(c)+/(c)(0 c)+；/&)(0c)2(2)/(I)=/(C)+/(C)(l c)+:/(42)(1-C)2-得：/(I)-/(o)=r(C)+ g)(1-c)2一|/(c)|=/(I)-/(O)- g6)(1- c)2-)C?2a +-b(l-c)2+c22a +-22_lx2(2x-空-+0,)(1+ V-+0(/)-武2+ x)3 .原式二lim1J工10X34=-33.41 .错误2 .解 y-12x3-12x2

25、-48+48令y=0,解得/=-2,2=1,七=2在区间(-00,-2), V 0,函数单调减小在区间(1,2), y0,函数单调减小(=36x2-24x-48(1网口在区间-8,-在(-00,+8)内连续，故在令 y=0,解得 x4=-,x5=-+ V131 n1-V131+ c 而,+co , y 0,在区间,，y 0,而 y3J133,l-VTsLJ 1+ V13/1-屈1+屈1-00,|和,+00内曲线为凹，在|,J133，当x = l时，函数取得极大值8,当x =-2时，函数取得极小值-127内曲线为凸。尤=匕巫,x =3匕近为拐点。3 .解 y-3ax?+2bx, y-6ax +2

26、b因为点(1,3)为曲线y = a)?+b/的拐点.3(6a +2A =0 a =o故，解得n23= i b =)I 24 .证明：令/(x)=lnl +IX J 14-X/(x)在(0,+8)上单调增加又 v lim /(x)=0, x 8，/(x)/(+8)=0即 Ji+!l x)1+ x5.证明：设 F(f)= e,/(f)= e在（-8,+oo）内,f（t）= e0曲线在（一8,+8）内为凹弧削”），）ex+ey -即e 223.51. （1）错误（2）错误（3）正确）（4）错误（5）错误2. 13.解/(%)=6%2一一18+7令尸(x)=0,求得驻点玉=1,超=3/w(x)=12x

27、-12因/(1)=240,故/(x)在x =3处取得极小值，极小值为/=-474. 3x2+2ax + b因+ ax2+。4+。在=2处取极大值3,在x =3处取极小值故广=0,/(3)=0,/=3(_1512+4+/?=0a =一25即127+6x +8=0解得 b =18,/(3)=-8+4。+2b + c =3c 115 .解/(x)=cos x -1令/(x)=0,求得驻点x =0由于)=万，/(0)=0,/(万)=-%,经:匕较/(x)在x =%取得它在一肛万上的最小值,在X =-7F取得它在-4，万上的最大值左。6 .证明：lim型=-0(x-a)4存在常数50,使得当xe(a A

28、a + S)时，/厂匕口0(x-幻-/(%)/()即/(a)为极小值7 .61.解定义域为(一8,+8)奇函数，关于原点对称，以下讨论仅在0,+8)上进行yf =3-3x2 yn =-6x列表如下X0(0,1)1(1,+8)y+0y0y的图形拐点单增凸极大值点单减凸图略2.解定义域为(8,l)U(1,+8)无奇偶性，周期性Y有铅直渐近线1二-1,因为lim一=8 x1+ xx(2+ x)w列表如下X(-8,-2)-2(-2,-1)(TO)0(0,+8)y+00+y4-+y的图形单增凸极大值点单减凸单减凹极小值点单增凹图略3.71. 22. at解广(X)= L /(x)=一二，由曲率公式，得长

29、= XXdK dx1-2/(l + /f人 dKn A.zg, V2而 V2令=0,解得x =,而/ dx22= In 22(b i故曲线曲率最大点的坐标为,-ln2.3.81 .解设/(x)=-3/+6一1, x g 0,1因为/(x)在0,1连续，且/(0)=-10故由零点定理知在（0,1）内至少有一个J使/亿）=0又因为尸（x）=3（x 1）2+30所以/（x）在0,1上单调增加于是在（0,1）内/（x）的零点是唯一的，即方程/一3x2+6x 1=0在（0,1）区间有唯一实根。以下用二分法求这个根的近似值kbk中点X*4）符号0010.500+100.5000.250+200.2500.

30、12530.1250.2500.188十40.1250.1880.15750.1570.1880.17360.1730.1880.267+70.1730.2670.220+80.1730.2200.196+90.1730.1960.185+100.1730.1850.179一110.1790.1850.182120.1820.1850.183+130.1820.1830.1834=0.1832 .43 .错误4 .解-12x3-12x2-48x +48令y=0,解得/=-2,4= LX3=2在区间（8,2）,y0,函数单调减小在区间（l,2）,y0,函数单调减小当x = l时，函数取得极大值8

31、,当x =-2时，函数取得极小值-127=36124x 48令），“=0,解得乙=1+.，匕=一无在区间-8,工业,+oo , y”0,在区间3 J,y”0,而 yi-VB 11-在(-00,+8)内连续，故在-00,和叵+8内曲线为凹，在I 3)内曲线为凸。=三叵,x=为拐点。333.解 y-3ax2+2bx, y=6ax +2b因为点(1,3)为曲线y = a/+8氏2的拐点36a +2b =0 a =o故4,解得 n2l3= YI 24.证明：令/(x)=lnl + n-(X)1+ x尸爪-(。/./(X)在(0,4-00)上单调增加又 v lim /(x)=0, x 00(x)/(+8

32、)=0即 ln(l +，VI x) l + x5.证明：设 f(t)= e, fH(t)= e:在(一8,+00)内，/(，=-0曲线在(一8,+8)内为凹弧.()23.51 .(1)错误(2)错误(3)正确)(4)错误(5)错误2 .13 .解了(x)=6x2_12x-18+7令尸(x)=0,求得驻点再=-1,=3/(x)=12x-12因/(1)=240,故/(x)在x =3处取得极小值，极小值为/(3)=-474 .解/(x)=3x?+2ax + b因/(x)=/+a/+以+。在兀=一2处取极大值3，在x =3处取极小值故尸=0,/(3)=0,/=3,1512+4。+=0a =一25即42

33、7+6x +8=0解得 b =18,/(3)=-8+4。+2b + c =3c 115 .解/(%)= cosx-1令尸(x)=0,求得驻点x =0由于f(-7T)=万，/(0)=0,/(4)=-7C ,经匕较/(%)在工=乃取得它在一万，上的最小值一万，在冗=-乃取得它在-71,4上的最大值71 o6 .证明：limo(x-a)4/.存在常数50,使得当凡。+3)时，-)一个)0x-a)，/W /()即/为极小值3.63 .解定义域为(一8,+8)奇函数，关于原点对称，以下讨论仅在0,+8）上进行y-33x2 y-6x列表如下X0(0,1)1(1,+8)y+4-0y0y的图形拐点单增凸极大值

34、点单减凸图略4 .解定义域为（一8,-l）U（-l,+o）无奇偶性，周期性有铅直渐近线x =-l,因,_ x（2+ X）一1（1+一（1列表如下X2为 lim= ooX1+ X2+才X(-00,-2)-2(-2,-1)(TO)0(0,+oo)+00+铲+y的图形单增凸极大值点单减凸单减凹极小值点单增凹图略3.74. 25. at6. 解/(x)= L /(x)=A XXdK l-2x2人 dK _一5，左一dx (.2 Vdx(l + x-户故曲线曲率最大点的坐标为X，由曲率公式，得长=（1+ X2V2（五0,解得x =注，而/注212L那2J=-ln2)22.解设/(x)= Y -3x?+6

35、x -1, x g 0,1因为/(x)在0,1连续，且/(o)=10故由零点定理知在(0,1)内至少有一个J使-0)=0又因为为 Q)=3(x 1)2+30所以/(x)在0,1上单调增加于是在(0,1)内/(x)的零点是唯一的，即方程/一32+6-1=0在(0,1)区间有唯一实根。以下用二分法求这个根的近似值k%bk中点X*/人)符号0010.500+100.5000.250+200.2500.12530.1250.2500.188+40.1250.1880.15750.1570.1880.17360.1730.1880.267+70.1730.2670.220+80.1730.2200.196+90.1730.1960.185+100.1730.1850.179一110.1790.1850.182120.1820.1850.183+130.1820.183