同济大学线性代数第四版习题答案.docx

《同济大学线性代数第四版习题答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学线性代数第四版习题答案.docx（94页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一章行列式1 .利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)1418048=2x(-4)x3+0x(-1)x(-1)+1 x 1 x8-0x Ix3-2x(-l)x81x(4)x(1)=24+8+164=4.2)1a1=acb+bac+cba-bbbaaaccc=3abca -b -c .11b cb2 c21aa21hb-1cc2=bc+ca+ab-ac-ba-cb=(ac)(ca).X(4) yx+yyx+yxx+yxyx+yxy(3)3 4 2 1;=xa+y)y+yx(x+y)+(x+y)y%-产a+y)3T3=3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2

2、 .按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:(1)1234;解逆序数为0(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13(2n-l)24(2n);.(I)解逆序数为2:3 2(1个)5 2,54(2个)7 2,74,76(3个)(2n-l)2,(2n-l)4,(2n-l)6,(2n-l)(2n-2)(n-1个)(6)13-(2n-l)(2n)(2n-2)2.解逆序数为n(n-l):8 2(1个)9 2,54(2个)(2n-l)2,(2n-l)4,(2n-l)6,(2n-l)(2

3、n-2)(n-1个)10 2(1个)11 2,64(2个)(2n)2,(2n)4,(2n)6,(2n)(2n-2)(n-1个)3 .写出四阶行列式中含有因子的项.解含因子。11。23的项的一般形式为(一1)%1图23a3/4.”其中rs是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.所以含因子1123的项分别是(1)a 1132a44=(-1) I a 11 a23a32a44=-a 11 a23432a44,(-l)a 11。23的4。42=(-1)a 123434a42=11。23&34a42.4 .计算下列各行列式：(-234110一一0412102021-2304100125141

4、100o-02411-119017901702411-1172341L042361-2 oD15172 z(112211224236172 o2315o-0200423011- CN2310-020042341*721-2312T020242361-2 o2315-ah ac ae(3) bd cd debf cf -efahbdbfac-cdcfae de一 efb =adf b b11=adfbce 1111=4abcdef.OOI J o 1 c T1 fo t o47 oo7OOI J 41 CT b三o 07 oo T OOI J o 1 c T 1 fp t o 47 oo解a C

5、T 匕11 XJ 邛ooldc3+dc2-ai) a ad1,-1 c 1+cd =(1)(1严华0-10Tad+cd=abcd+ah+cd+ad+.5.证明:a2 ah b22 a+b 2b =a-b)aba2 h-a 0b2-a22b-2a0=(1产ab-a2b-ab2-a22b-2a=(b-a)(ba)ci b+a=(a-b)3.x y z =(a3+/73)y z xz x yax+by ay+bz az+bxay+bz az+bx ax+byaz+bx ax+by ay+bz证明ax+by ay+bz az+bx ay+bz az+bx ax+by az+bx ax+by ay+bz

6、x ay+bz az+bx=ay az+bx ax+by +b zZ ax+by ay+bzay+bz az+bx az+bx ax+by ax+by ay+bzx ay+bz z=a-y az+bx x +b2 zax+by yz az+bx x ax+by y ay+bz3=a+b3=标% y zy z x +b3 z x yx =(a3+Z73)y z(3)a2 b2 c2 d2( + l)2 + 1)2 (c+1)23 + 2)2 (6+2)2 (c+2)23 + 3)2 3+3)2 (c+3)2二0;(d+1)2 (d+2)2 (d+3)2证明一C3, C3-C2, C2-C,得)a

7、2(a+1)2(a+2)2(a+3)2 b2(b+l)20+2)20+3)2 c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2 d2(d + iy (d+2)2(d+3)2(4)12 4 Q G Q2 4 Iddd 1 cc2c4 lb/72/74a22a+12a+32a+5a22a+1h2 c22b+1c+1助+32c+32b+52c+5(C4-C3, C3-C2得)=b2 c22b+2c+ld22d+l 2d+32d+5d22d+lo -22222222=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明(5)/ 2 4 Iddd 1 cc2c4 lbz72/?4

8、 1loo111b-acad-ab(ba)c(cd)d(da)b2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2-a2)=(b-a)(c-a)(d-a)1 1 1bedb-(b+d) c2(c+a) d2(d+a)1 1 1=(ba)(ca)(dq)0cbdb0 c(c-b)(c+b+a) d(d-b)(d +b+a)=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)c(cb+a)四心+公=(qb)(ac)(。一d)(bc)(Z?-d)(cd)(Q+Z?+c+d).oo : 一 +X oo - X % o 二 o Q Ro 一 o 凡=x+QX+ 一 +一.证明用数学归纳法证明.当n=2时，=丫

9、；=%2+平+。2，命题成立假设对于（-1）阶行列式命题成立，即c _-1, w2_L）n-i=X +i X +,+dn-2X+dn-9则）按第一列展开，有027oo - XOT iT X i=xDfl-+dn=xn+ciXn +cin-x+cin.因此，对于n阶行列式命题成立.6.设八阶行列式Q=det（旬），把。上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转，依次得D1 =，D2 =ain ann41 an，D3 =ann %an a证明。=)2=(-1)2 D, Di=D .证明因为Q=det(勾)，所以a anD=(T)ia anan ann=(一an, a2n ann(一1)=(-)

10、l+2+,+(-2)+(-l)0=( D.同理可证/i(n-l)2=(-1产a anan annn(n)/i(I)二(一1产Q7=(l)一 D.n(n1)n(n1)n(n1)2=(-1)丁 d2=(-i)-(-1)丁。=(-1产)。=。.7.计算下列各行列式(2为女阶行列式)：a 1(1)D=，其中对角线上元素都是。，未写出的元素都是0；1 aDn =(按第n行展开)ooooo Qo 40loooooa+(I)? a(n-l)x(n-l)a (n-l)x(n-l)=(-i)+1(-iya(n-2)(n-2)+an =an-an2=a2(a2-l).x a (2)D“= a.x a a解将第一行

11、乘(-1)分别加到其余各行，得D=x a a Q-X X-Cl 0,cix 0 xci ,a-x 000400再将各列都加到第一列上，得Dn =x+(n-)a00a a xa 00 xa a OO=x+(n-1)a(xa)nl.0000an(tz-l)n (a-n)naTaQ 1a-n111xa(3)2+产解根据第6题结果，有1an(a-n)n(a-n)11a aaT 严a31)此行列式为范德蒙德行列式.n(n+l)2+l=(T)k 口(41+1)一(4一/+1) n+li jw(w+l)=(-1尸 iin)n4-l/1（+l）+（T）+1_二（-l（-1）-. n（/-7） n+l/ j=n

12、（nn+l/ janhn（4）%=% bxq 4q byq d（按第1行展开）解anD2n =dn-4-i o0 dn+（1）”Cn-a b c d再按最后一行展开得递推公式2bCD2n.2,即 D2n=（。泡hnCfD2n-2于是。2”=11（44-%）。2i=2而。2=：2=。14一配1，所以.1=1（5）=det）,其中 ajj=i-j;1234一一二 o nH3 ooo?1-13210- nx 1111llTn-411日11一一：广000-2OO-2-2一11110123a=det(%.)=r-ri)222.+cQq+1一 a 1X o o O -/I-。 a - o o O j ao

13、-o O 3-00O 出/3 o Olqo - o O，一.-q 2+r“-1-11T_q _%药:禽OOI - o o o 1 T Io oITO - o o4al10000%01000药1001000000100000二。避2an(4%。)Q+Z)=i ai8.用克莱姆法则解下列方程组:(1)%+%2+%3+%4=5 xi+2x2x3+4x4=2.2X3x2Xj5x4=-23%+%2+2&+11%4=0因为D=1111 CM2-14315=-142, D =1211，-1114-1111-212-315-2-2O=-142,123- JI 2 A/1114- I11111-2-)22)5-

14、 o 111 CM Qu=-284,2=1111 cn2-2-3-214511，.4211一一所以 X=缶=L &=方=2,毛=苗=3(2)5%+6%2%+5%2+6天二1=0%2+5为+6%4=0.%3+5*4+6*5=0x4+5x5=1解因为=1507,000650065106510651001OOO 一一566=0006500651065106510051000=/)037-00065006511X CIIA cll2CII51A6510051000=-1145, D.=000650065106510-_ CIIJ cnc545100022一一11CU入71100651065106510

15、05100000065 u o o o n065106510051000一一2所以r_1507.1145 r _703 r _-395_212665-6656654-665-54一丽,/x +工+尢0不；江+；=0有非零解？%+2售2+13=0解系数行列式为411D=11=/一以121令)=0,得片：0或于是，当修。或加1时该齐次线性方程组有非零解.C(1-2)xi-2x2+4a3=010.问A取何值时，齐次线性方程组2百+(3-田5+%3=0有非零百+12+(11)%3=0解？解系数行列式为D=41-11213+x.41-A101-2=(1A)+(43)4(14)2(14)(3冷=(1)3+

16、2(1A)+A.3.令 D=0,得/1=0,=2或加3.于是，当心0,&2或&3时，该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1 .已知线性变换：%=2乂+2%+必“2=3%+%+5%，x3=3yl+2y2+3y3求从变量xi, x2,小到变量y,”,乃的线性变换.解由已知:由25 %，故 = 3137-63一一-43 2y =-7 xr4x2+9A3%=6%+3%27天%=3%1+2%2-4工32 .已知两个线性变换士=2y +%|Ji=_3Z|+ Z2x2=-2y+3y2+2y3,/必=2&+号，&=4y +%+5%=2+323求从Zl, Z2, Z3到Xi,应,3的线性变换.解由已知(

17、x A1x2(2=-21401丫消20=-231411Y-31220-6112-49-10-116、卜Jxl=-6zi+z2+所以有%2=124-422+%3.x3=-10Zz2+l 6Z3fl 113.设4=11-1fl3AB-2A=31 u(05=30-5129(123、B=-1-24,求3AB-2A 及 A%(051J23、-2451Jfl-21u6 oj-21ATB=1i i Y i4.计算下列乘积:431丫7、1-232(570A1J(-2-1=-21乂41322A -172029-2j31丫7、-2327 oAU(2)(123)2; J23)-2451)55)5-9(4x7+3x2

18、+lxl )=lx7+(-2)x2+3xl、5x7+7x2+0xl ?解(123)2=(lx3+2x2+3xl)=(10).(3)1(-12);1(-12)=2x(-1)2x2)1x(-1)1x2,3x(-1)3x2,f-24)=-121-36)fl 31)(4i -132)?(40-2)fl 31、214 Oi 0-121-134；1-31(40-2)12 .解下列矩阵方程：=-1o 11 112 5 28-3 - -n21 -o 32)7 oo 2 z/h l)7 1 -3 o-4111 -一一-o 1-r22 u6 O6 3O 21 O4| 7 3To TO-271 O O 1 o OX

19、7O 1 o OrooYYi解x= 1040-23 Y1 0 0、-10 0 10 人0 1 oj01oOY1 -4 3V1 0 0、(2 7 1 o O- 7 12 32)020-10011人1-20人010,13 .利用逆矩阵解下列线性方程组:%+2%2+3%3=1(1)2xi+2x2+5x3=2;3X1+5x2+x3=3解方程组可表示为%=1从而有-+Ak15 .设方阵A满足A2T-2E=。，证明A及A+2E都可逆，并求A1及(A+2E)T.证明由 A2-A-2E=O 得 A2-A=2E,即 A(A-E)=2E,或 A-A-E)=E,由定理2推论知A可逆，且47=夕4-).由 A2-A-

20、2E=O 得 A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,或(A+2E).；(3E-A)=E由定理2推论知(A+2E)可逆，且(A+2E)T=；(3E-A).证明由A2T2E=0得A?-A=2瓦两端同时取行列式得衣_川=2,即AA-E=2,故|A|WO,所以 A 可逆，而 A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|20,故 A+2E 也可逆.由 A2-A-2E=O =A(A-E)=2E=A-1A(A-E)=2A-1E=笛=；(A - E),又由 A2-A-2E=O=(A+2E)A-3(A+2E)=-4E=(A+2E)(A-3E)=-4 E,所以(A+2E)7(A+2E)(A

21、-3E)=-4(A+2 E)-1,(A+2E)T=；(3E-A)16 .设A为3阶矩阵，|A|=；,求|(2A尸-5”.解因为 nJ/*,所以|(2A 尸一5A*|=jAT5|A|AT|电削管 TI =|-2A-,|=(-2)3|A-|=-8P4|-1=-8x2=-16.17 .设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且(A*)T=(A-)*.证明由4t=a*,A*=AA-所以当4可逆时，有A*=AnA-l=An(),从而 A*也可逆.因为A*=|A|A，所以(A*尸平口4又A=4(AT)*=MT)*，所以(A*尸=-】二囿7囿(47)*=(47)*.18 .设阶矩阵4的伴随矩阵为A*,证明：若

22、同=0,则H*|=0；证明(1)用反证法证明.假设H*|M,则有a*(a*)t=e,由此得 A=4 A*(A*尸=H|E(A*尸=0,所以A*=O,这与H*|WO矛盾，故当囿=0时，有H*|=0.(2)由于A-占A*,则A4*=|A|E,取行列式得到AA*=An.若囿WO,则|A*|二|A|t；若囿=0,由(1)知l”=0,此时命题也成立.因此以*|=同1.(033119 .设4=110, AB=A+2B,求反(-123)解由 AB=A+2E 可得(A2B=A,故(-2B=(A-2E)-A= 1-13 3Yf 0-1 012 1J l-l3 3、2 3i oJfi o n20 .设 A=020

23、, M AB+E=A2+B,求8.U 01J解由 ab+e=a2+b 得(A-E)B=A2-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).001因为|A昨010=-1W0,所以(A-E)可逆,从而100(2 o n B=A+E=030.U 02)21 . A=diag(l,-2,1), A*BA=2BA-SE,求 A解由 A *BA=2BA-SE 得(A *-2E)BA=-SE,B=-8(A*-2E)_1A_1=-8A(A*-2E)-1=-8(AA*-2Ar1=-8(|A|E-2A)-1=-8(-2E-2A)-1=4(E+A)-1=4diag(2,-1,2)=4diag(,1,)=2diag(l,

24、2,1).1000、22 .已知矩阵A的伴随阵A*=； g，K ABA-l=BA-l+3E,求日、0-308,解由H*|=|A|3=8,得|A|=2.由 ABA=BAl+3E 得 AB=B+3A,B=3(A-E)_1A=3A(E-A-1)r1A=3(E-1A*)-1=6(2E-/l*)-16 0 0 0)0 6 0 06 0 6 0,、,. o 1 o -1 o T o-Bl。而 A B _1 I.A B A B卸 C D1-U,故 C C Df34 o28.设4=4-3求四及o N U22乙乙)解令 a=c -34=e s,则 a= a故 A=o XJ =o %)，M+IA8M涉4fHi8=

25、10.A4 =24 026 254005429.设阶矩阵A及s阶矩阵8都可逆，求(1)GQGGE。)7 C4G Ac cA DoGGA-o。&-C3GCG In 纥。- ggg AABOA-由此得所以(A 0丫 Dx D, BD3 d4AQ,二OCD,+ BD3=OCD2+BD4= Esad2+bd3 cd2+bd4A-O-BB-22AA(A OV_( A-1 OC B)_(一&1。-1 B-lJ-30.求下列矩阵的逆阵:0032008521005200)/2112253285B-_ En O-2538B-A-100252500-1200 z/lmk0004003102122解|,3+(-3)

26、小)(304-3)(02一1)-13(下一步：WT),+(-2).)n o 2-p(下一步:r3T12.)00001-31。fl00-2(2-fri 02、00A10；0100001-303,2(下一步:3+3.)001(000f fl，（下一步:厂2+3%）000、0100010o 1J(下一步：ri+C-2)r2, r,+r3.)01001000.1Jfo 2-3”(2) 03-43;(04-7-1J02-3 P解0343(下一步万2+(-3)n,小+(-2)，|.)(04-7-1J(02-31)02010)0013(下一步:r3+r2, n+3r2.)0013(下一步:rt+2.)、00

27、 T 一3,、0000f0105A-0013(0000,f 1-13-4313-35-412-23-2 O、3-34-2-1J解3 1 o T4 4 2 2z -3 5 3 413 2 3二二13 2 3（下一步:r2-3r, r3-2ri, r4-3rI.）4 8 6 0- 13 4 3 5_ _ _ 1000 1 o o o31113）222j（下一步：n-3r2, r3-r2, r4-r2.）3 2 0 02 2 0 0-o 1 o o-1O o o1 o o o（2 3 1 -3 -7、1 2 0-2-43-28 3 0（2 -3 7 4 3）2 3 1 -31 2 0-23-2 8 3（2 -3 7 4-7-40V（下一步:4一2r2,小-3% r4-2r2.）101-24 41 11 1112 0 0o o ofo12 9 810 8 7（下一步:，2+2ri, r3-8r, rA-,1r.）(下一步:12,2X(-1),)2To o o 1 o o 1 o o o zr k0 -2）-1 -1j A （下一步：5+%）0 0;23 4 o o o 1 o 2TOO o 1 o o 1 o o oA求3 62 5 8 14 7 r I-A - 711 11o 1 oloozr LAo V loo1 o z010、解