线性代数习题解答(同济大学(第四版)).docx

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1、第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:201(1) 1 4 1 ；-1831 1 1(3) a b c ；a b c201解 1-4 -1-183a b c(2) b c acabxyx + y(4) y x + y x .x + y% y=2x (-4) x 3+0 x (-l)x (-1)+1x1x8-0xlx3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)=24+8+164=4a b c(2) b c a = acb + bac + cba - bbb - aaa - ccc cab3ubc -43 b_ c1 11(3) a b c = be 1 2 3 4；(3) 3 4 2

2、 1；+ca(5) 1 3(2n1)+ab2-ac2- ba2-cb2 a2b2c2=(a-b)(b -c)(c -a)xyx + y(4) yx + yxx +yxy=+ y)y + jx(x + y)+(%+-j(6) 1 3(21)解(1)逆序数为0-(x + j)3- x3=3xy(x +j)-j3-3x2y -3y2x - x3- y3- x3=-2( x3+ j3)2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:(2)4132；(4)2413；24(2)；(In)(In -2)-2.(2)逆序数为4：41,43,42,32(3)逆序数为5：32,31,42,41,21(4)逆

3、序数为3：21,41,43n(n -1)(5)逆序数为一4,(2-1) 6,(2n -1) (In - 2)(-1)个(In -1)2,(2n-l)4,(6)逆序数为(-1)3252,54(In -1)2,(In -1)4,(2n-l)6,，(In -1)(In -2)(一1)个421个62,642个(2)2,(2)4,(2n)6,，(2n)(2n -2)(-1)个3.写出四阶行列式中含有因子“11。23的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为(-lYalpa2pa3pa4pt，其中，为p1p2P3P4的逆序数由于。1=1,。2=3已固定，3P4只能形如13口口，即1324或1342.对应的，分

4、别为0+0+1+0=1或0+0+0+2=2一。11。23。32。44和。11。23。34。42为所求(3)4124214112023-121；(2)10520123201175062a 104.计算下列各行列式:(1)-abbdbfac-cdcfaedeef(4)-1001()041104110125112312320217-1012 x(-l)4+3-1410-21423154一21202,342361122C4 C2-abbdbf=adfbce(4)a100-1242340200412-1012021032-1400109017901710-214=02315423602024一。2310

5、42300200=0ac-cdcf1aede一 ef=adf=4abcdef-10+ ar21+ ab100I 0a 0|1+ abb10c3+dc2-11+ ab10I ad1+ cd10=（一1）（一1产1+ ab1ad1+ cd=abcd + ab + cd + ad +1az 4- bx ax + by ay + bzx=(a3 +b3)yz5.证明:a=(b-a)(b-a) ab b2(1) 2a a + b 2b =(a -b)3；111ax + by ay + bz(2) ay + bz az + bx az + bx ax + bya2(a +1)2 b2(b +1)2 c1(

6、c +1)2 d2(d +1)2111(a +犷 S +2)2(C +2)2(d +2)2(a +3)2(b +3)2(c +3(d +3)2=0；x-100x-1(5) 000an an-l 0 月2证明a2左边=一2aC3-C”=(a -b)(a -c)(a -d)(b -c)(b -d)(c-d)(a + b + c + d)；0000=x+alxn1 H+ an_x + an.x -1a2 x + arub _ a28212ba 2b -2a00aal b。- a。b-a 2b-2a=(a -Z)3=右边八七力按第一列左边分开0x ay + bz y az + bx z ax + by

7、az + bx ax + by ay + bzy ay + bz z az + bx x ax + byaz + bx ax + by ay + bz八 rriH 八 x ay + bz 分别再分2L=a y az + bx z ax + by+0+0+8z az + bx x ax + by y ay + bzXz+ ba2左边=b2,2按第二列分成二项yyzXzX (1)2=右边ya2+(2a+1)3+223+3,2b2+(2b +1)(b +2)2(b +3)2c2+(2c + l)(c +2(c +3)2d2+(2d + l)(d +2)2(d +3)22a +14a+46a +92b

8、+14b+46b+92c +14c+46c +92d + l 4d +46d+94d +44b+44c +44d +46a +96A +96c +96d+9ab22第二项3 c 2c4-9c2b2-24444099992 ab2（4）左边-b2(b2-a2) c2(c2-a2)1111214a4b4c4d4a +44A +44c +44J +46a +96b+96c +96d+9a -ad2-a2d2(d2-a2)6a6b6c6d=00000=Xn- +an =右边6.设阶行列式OndetmQ,把。上下翻转、或逆时针旋转90、或依 副对角线翻转，依次得n(n-l)证明。I =。2 =(1)=

9、d,d3=d.证明 v D = det(,y)111=(b - a)(c - a)(d - a) b + a c + a d +a b2(b + a) c2(c +a) d2(d + a)=(b -a)(c -a)(d -a)x100b+acbd-bb2(b + a) c2(c +a)-b2(b + a) d2(d +a)-b2(b + a)=(b - a)(c -a)(d - a)(c - b)(d - Z) x11(c2+bc + b2)+ a(c + b)(d2+ bd + b2)+a(d + b)=(a -b)(a -c)(a d)(b - c)(b - d)(c-d)(a + b+c

10、 + d)(5)用数学归纳法证明x 1当=2时,。2=，+%*+”,命题成立.a2 x + a1假设对于(-1)阶行列式命题成立，即+,_2X +_I，则按第1列展开：-10X Dn=xDn_l+an(-ir 1所以，对于阶行列式命题成立.n(n-) 11同理可证。2=(一 1)2：an:=(一1)丁 DT = (一1)- D一1)D3=(-1)2 d2=(-1)2(_x)2 D =D = D7.计算下列各行列式(O及为左阶行歹U式)：a1(1) Dn =，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是o；1 ax a aax a Dn =；a(a - iy(a-n)n(-1尸(a-尸0+1=aa

11、1 a-n111提示：利用范德蒙德行列式的结果.O2n Dn = det(a),其中4.=1一；Dn =1 + a,1，其中“I/0(1) Dn =按最后一行展开000 01Q00 000a0 00000 a0(w-l)x(w-l)(再按第一行展开)(-l)n+1+ (-1产 a(n-D(n-l)= (-l)n+1 - (-I)+ a = a -a = a (a - 1)(w-2)(W-2)(2)将第一行乘(一1)分别加到其余各行，得Dn =xaa - x x -a a - x 0a0x-a a0()a - x 000 x -a再将各列都加到第一列上,得x +(n- l)aaa a0x-a00

12、Dn =00x-a 00000x-a=x +(n - l)(x -a)71-1(3)从第+1行开始，第+1行经过次相邻对换，换到第1行，第行经5-1)次对换换到第2行，经+(-1)+1=-次行2交换，得111n(w+l)aa 1a - fiDn+l =(-D 2anx(a -1尸(aa(a -If(a-n)n此行列式为范德蒙德行列式Dn+l =(-1)2f(a-i + l)-(a-j + l)(+1)一”+(1)+.+1=(-1)2 IlH/-；)=(-1)2(-1)2(川n+lNijNln+liJl=n(1)a(4)=C按第一行展开+(-1产也都按最后一彳obna. b.)11c %0dnt

13、0%0a. b.0110；C dJ0dn .0nini00dno an-i0bn-oax bl0Ci dCn-dn-1Cn00亍展开。/也”-2-。展也.2由此得递推公式:即而得(5)0.=1-JD2n =3/“-3)D2n_22n=Tidi-bici)D2 f=2ax bD)= a、d t L_J1111c%n0“=11(4一4，) i=lDn = det(r!r2012310122101a：)=“3210/z -1一2一3一4-111111111,111111 n-1 n-2 n -3 n -40。2+ C,。3+ C2-，3,1一111n-12/1Dn =ax(-2 a0(n111n-1

14、 n-2 n-3 n-000- 200.- 2-20- 2-22i -32n 42n 5,l +1111+%1111+%0-0(20-0(i3a30(卜nr11400000=(n-1C。4+，-1尸（一1）2-2C3C3一。4,1111*按最后一列wvu4uu上o 00- a n- an-i 10000-an 1+ an展开（由下往上）ax 00000-2a20.0000a3a3000(l + a)(a,a2_1)-00-a.000,4000-%-2-2000000-aa,0000-a2 a2000-3300+000.-i a,i000.0-an220000-3 a30000(I 4,4000

15、00-l%000一%=(1+%)(%42,%-l)+4142- an-3an-2an +“2”3明n 1=(%。2%)(1+ Z-)8.用克莱姆法则解下列方程组:x+ x2+ x3+ x4=5,(1)x.+2x,- x i +4x 3=6510()1000100651也1按第三列（）展开00005600601500+560160150056500651001000100065651001507X.=1665=19+6x114=703按第四列展开5100006565100006100650067036650651+。=1+211=212一395212x.=; x.=466546659.问人取何值

16、时，齐次线性方程组 X,+32+%3=0有非零解?x1+2jux2+ x3=0z 11141121齐次线性方程组有非零解，则。3=0得=0或4=1不难验证，当/=0或;I =1时，该齐次线性方程组确有非零解.(14)%2%2+4=010.问4取何值时，齐次线性方程组2a+(3-A)x2+ x3=0X+ x24-(1- A)x3=0有非零解？解1-22-23 A11-21 A 3 + 4421-21101-2=(1-2)3+(2-3)-4(1-2)-2(1-2)(-3-2)=(l-2)3+2(l-A)2+2-3齐次线性方程组有非零解，则。=0得4=0,4=2或4=3不难验证，当a=0,4=2或4

17、=3时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1 .已知线性变换：占=2必+2%+%，无2=3月+%+5为，产3=3%+2%+3%，求从变量Xj,x2, x3到变量y,y2,y3的线性变换.解由已知:0、 故y2*2 :=3fl 332122 1Y1 5x1x.Ji%-7639、-7一 4人力Ji =-7Xj -4xy2=6x,+3x2-7x3%=3占+一4七2.已知两个线性变换占=2%+为，/=-2必+3y2+2%，产3=5+乃+5%，Ji =-3Zi +z2,，乃=2+Z3,3=Z2+3乙3,求从q,句，z3到x,x2,x3的线性变换.解由已知看(20X,=231丫必2 y25大力

18、1Y-316人 Z3,巧=-6zi +z2+3z3所以有2220-2)43(1)1-2J 7(2)(1,2,312；21(-1,2)；3(4)2140、1-134,101431一30(5)(X,X2,X3)(6)(1)10001020ana2oY113l1212V1341(2)(1(2、(3)1(-1(4)r21J 一1(X x21000“23fl3332-2kX3/-133;3 oJ 3、4x7+3x2+lxl 、1x7+(-2) x2+3xl、5x7+7x2+0xl ,2=(lx3+2x2+3xl)=(10)2x(-1)2)=1x(-1)(3x(7)0、431-30ii2x2、1x23x2

19、,1、21-2；X/ fl131r-213620“22a23“2333,=+ anx2+413%3412*1+22工24、26.35、649,-78、56,a23X313*1+“23*2+33*3)anxl + a22xi + a33x3+2nl2*途2+2al3*i+2a23x2x3(6)0、113;T00w32-201133(00、02100524024395.设A =2、3,0、2,(i) AB = BA 吗？(2)(4+ B)2=A2+2AB + B2吗?(3)(A + B)(A -B)= A2-方2吗？解10、J 2,则AB =3 4、4 6,BA =(A + 6)2 =但42 +2

20、A + 2132丫2 2、5人 2 5；8、J U,AB w BA8J8 14、=J4 29,(6 8、n 0、+(8 12)(3 4J10 16、15 27故(A + /)2 w A? +246 + 2(2 2Y0 2、(3)(A + B)(A-B) =2 5人。)0W6、9;A2-B13 8、4 11,0、3 4,2 8、J 7;(A + B)(A-B)A2-B26.举反列说明下列命题是错误的：(1)若A?=0,则A =0；(2)若A?= A，则4=0或A = E；(3)若AX = AY,且A W0,则X = y.0OJ0、0A2 = 4,但AwO且AwEAX =4Y且AwO 但X wV7

21、.解(10|23*设4=，求1411利用数学归纳法证明：Ak=(1、g 1)0当k =1时，显然成立,假设左时成立，则4+1时0、 b0、1由数学归纳法原理知：4=%10、8.设A=021，求 A”.100勾解首先观察oYa102A 1A2220227A3= A2 A=0矛3矛00(下k必T由此推测A*=000(AN 2)用数学归纳法证明：当攵=2时，显然成立.假设A时成立，则A +1时,/兼kg-1Ak+l=Ak A=02*00k(k -1)尸、0蒙(00、1乙/+1(k +1)乃 t=0户00(k + l)k一42(k + I)!*-1+1/矛由数学归纳法原理知：A*=001你一1)2-2

22、、2k必T9.设A,8为阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B71也是对称矩阵.证明已知：Ar = A则= Br(BTAf = BrArB = AB从而AB也是对称矩阵.io.设A,b都是阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是 AB = BA .证明由已知：Ar = A Bt = B充分性：AB = BA AB = btA= AB =(AB)r 即AB是对称矩阵.必要性：(AB)，= AB = Br A1= AB = BA - AB.11.求下列矩阵的逆矩阵:rl 2、(cos。一 sin。(1):(2)、25J(sin。 cos。，q3、52-1、4-2；-41,100120(4)213J

23、212(6)0200、100083052,解|a|=1&i=5, A2j =2 x (1), A2=2 x (1), A22=1-2、12 I J（2）|4卜1/0 故A-1存在An =- sin A22= cos 8sin。、cos。.7(3)A=2,故A-1存在=213-21623一一一a /In=*i IT=-13T a A故000、(4) A =200130214,|A|=24421= A31= A41= A32= A42= A43=00 03 0 =-121 42 01 3=32 10 01 3 =-52 11A12=(-l)3211A14=(-1)5211A24=(-1)6211A

24、13=(-1)4211A23=(-1)5211201 0=-122 4001 0=-42 40020=-221111012121I 8同=I/O24故4T存在31124”A12413Am=1=2=010(6)A =由对角矩阵的性质知41=-242=5=0A 24-2A112.解下列矩阵方程:(1)6l-l 2J(010、(Am =。勺=。&3=244=-50、一3(0-1J4奴=。442=。443=-3444=81-41-2-1-1A(432)(1)(3)(-28 J 3(1i -1(4)13.5TY4一6、(2(3-5V4-6、3、2-12-1Y10(2ifl234丫731 V1(212H2

25、一23、08,3、2-2-31、-2，1人0-1人10、2)J_T6123013、5X一和一七=2,2%-x2-3x3=1,3Xj +2x2-5x30.1人“3/T=o(2)方程组可表示为2故有14 .设A=0(左为正整数)，证明(E - AY1=E + A + A2+-+ Aki.证明一方面，E =(E - A)l(E - A)另一方面，由A=0有E =(E A)+(A - A2)+ A Ak 1+(A*1 Ak)=(+A +A2+Afe-1)(E-A)故(-4)T(E-4)=(E +4+42+4t)(-4)两端同时右乘(一 A)一】就有(E-A)t = E + A + A2+ Akl15

26、.设方阵A满足42- A-2E = O,证明A及A +2E都可逆，并求/pl及(A +2EY1.证明由 A? A-2= O 得 A? A =2E两端同时取行列式：1A? A|=2即|蜀4一同=2,故国工0所以A可逆，而4+2E =42|A +2E|=|a2|=|A|20故A+2片也可逆.由- A-2=O = A(A-E)=2E=2相-)又由 A? A 2E = O =(A +2E)A -3(4+2E)=-4E=(A +2E)(A -3E)=-4E/.(A +2E)-,(A +2E)(A -3E)=-4(A +2E)-1:.(A +2EYl =-(3E-A)033、16 .设A=110,AB = A +2B,B.0fW 0、o /()；(2) i)利用数学归纳法.当左=2时A2= PAPPAP1=尸A?pT 成立假设女时成立，则盍+1时Ak+i =Ak-A = PPPAJ31= PA