线性代数课后习题答案(同济大学第五版).docx
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1、线性代数课后习题答案(同济大学第五版)第一章行列式1 .利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 01解1一4-1-183=2x (-4) x3+0x (-1) x (-l)+lxlx8-0xlx3-2x (-1) x8-lx (-4) x (1)=-24+8+164=4.c 人 h c Qc解acbvbac-cba-bbb-aaa-ccc =3 abcalyc.1ci111 a b c a2 b2 c211b cb2 c2=bc-rca-ralf-a(?-b-clj =(a-Z)b-c)(c-a).x y x+y(4) y x+y x .x+y x yxyx+y解 y %+y xx+y x y=
2、*(A+y) y+ yx(x+y)+(x+y) yx-y-(x+y)-x=6xyx-y)-y6x yx-yx=-2 C?+/).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1234;解逆序数为0(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13(2/7-1)24(2/?);解逆序数为若立:32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(2/7-1)2,(2n-l)4,(2/7-1)6,(2ml)(2片2)31个)(6)13(2/7-1)(2/7)(2
3、/7-2)2.解逆序数为n(n-l):32(1个)52,54(2个)(2n-l)2,(2/2-1)4,(2/7-1)6,,(2/7-1)(2/7-2)31个)42(1个)62,64(2个)(2/7)2,(2/7)4,(2/7)6,(2)(22) g 个)3 .写出四阶行列式中含有因子可3的项.解含因子囱出3的项的一般形式为(-1)其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子加丽的项分别是(-1)a“a23a32a产(-1)句1 a23 a32 al尸一句1 a23 a3244,(1)did23a31al2=(1) a”a23a34al2=a”a23a3i&2.4 .计
4、算下列各行列式:4207202111 CM 1141100111104 CM4236-2023150200423411-2112312-rM0202423611-12 o 2315 T 11112242361T2O 2315o-020042301 T 2 o2310-911-Aabcdef.-11=adfbce 1-1oold o 11 c -1 To - o qt oooolu QI CT 人邛To OT oo IF oo Ju o 1- c T 1 IP t o 0700c3+dc2+ab a ad=-1 c 1+cd0-10-abcdvab+cch-ach-1.|l+a a 二| o1
5、Aad+cd1+ab15.证明:/ ab b2(1)2a a+h 2Z;=(a-Z?)3;111证明2a1aba+b1b22h1C2CC3-Aa2 ab-a2 b2-a22a b-a 2b-2a100=(b-a)(b-a)E ba =()3x=(标+分)_z )(a-c)(a-d)(b-c)b-d)(,c-d)(s+Zh-c+g);证明ld6/26/41 cc2c4lbz72/7414I6Z2I674loo o1b-ab(b-d)b2(b2-a2)I1c-ad-ac(c-a) d(d-d)c2(c2a2) d2(d2-a2)111bedb2(b+a) c2(c+a) d2(d+d)111=(b
6、-a)(c-a(da)O c-bd-b0 c(c-b)(c+b+d) d(d-b)(d+b+a)=(j)(c“)(/)(c6)( j)L+q)d(d+b+a)=(a-27)(a-c)(a-d)(Z-c)(b-d)(c-d)(a+tn-c+d). n , oo - - + oo 3 X 生 03。 xo - o a”11 -QX + , +/_1汨/ j口(。t +1)-(Q - J+DI n+l/ J1(+l)+(-1)+1_=(-1)2-(-1)2- n(Dn+l/ j1w+l/ j解再按最后一行展开得递推公式DkandnDi-2bnCfJ)2n2,即,尸-b“C)于是而02=11(44-匕
7、)%;=2ax b、q 4所以。(陪-姐).1=1(5) ZMet(a”),其中 a,:尸解 aij=| i-j,(6)D=det(a.)=r-rir2 T3。2+q=(7尸Dn =1234一一二 o nn3210- fsj 11 o11._1012-01233-)222 o -)2200一一:000-2一n-2n-32n-42n-531)2其中1+ q 1111+出*1111+4金311+10000- H6Z100001一2a20.0010一%a3001000an-an-10000一“1+tz/1114-15-2-2O8.用克莱姆法则解下列方程组:二1114-11111)-1-212-315
8、I-2I-2O-A42一一5-2I-2IO 11111-211113一一2115114-15-2-2O04 Jn 21.吟=3,Q 1 D、rA1-5/一万一/,与所以=-1145,00065006510651011 n 510005玉+6%=1x1+5x2+6a3=0x2+5x3+6x4=0.x3+5x4+6x5=0x4+5x5=1解因为000650065065106510051000=1507, D2=000650065106510651001i 11一一20006511 C(l-D C(IJ n,u 11065106510051000=703, D.=00065006511A cu,11
9、6510051000一一421A2=looo0065065106510051000所以r_1507 r 1145703 r ,-395 r 21216652665366546654665Axx+x2-x3-Q9.问4取何值时,齐次线性方程组玉+月%2+七=0有非零解?xt +2/zx2+x3=0解系数行列式为A 11D=1/Ll 1=一川.1241令加0,得/=0或2=1.于是,当片0或时该齐次线性方程组有非零解.(1-2)-22+4=010.问A取何值时,齐次线性方程组2X+(3-/i)x2+x3=0有非零解?百+%2+(1丸)%3=0解系数行列式为D=1zl 22 3-A1 1411-21
10、A 3+/1 421-A1011-2=(1-2)3+(2-3)-4(1-2)-2(1-2)(-3-2)=(1力,+2(1A)+A3.令必0,得A=0,2=2或 Q3.于是,当A=0, Q2或Q3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:xl=2yl +2y2+ y3%2=3乂+%+5%,x3=3yl+2y2+3y3求从变量M,心,用到变量几上2,必的线性变换. I . I 7 yly2% zr 916A37f-6112-4101%=-6Z+Z2+3z3所以有%2=12Zi-4z2+9z3.a3=-10z1-z2+16233.解(11设人=11U-i1 A (123、1,
11、 B=124,一2-2、4(I 13AB-2A=311J T1人l-lo丫人1Xu _1111-1u 1111zr k2-254.计算下列乘积:431-21丫7、(2)求3AB-2A 及 ArB.23、-2451Jfl 1-211J1322)-172029一2,Xm7341MV o1丫7、(4x7+3x2+ lxl、-232= lx7+(-2)x2+3xl(123)2;、5x7+7x2+0xl ?(123)2=(lx3+2x2+3xl)=(10).1(-12);(?罚,故U+0(J-而H才一皮6 .举反列说明下列命题是错误的:(1)若才=0,则4=0;解取A=C1),则才=0,但麻o.若才=4
12、贝IJ 4=0或4=解取A=(j :),贝IJ才=4但麻0且麻(3)若4笈/匕且上0,则不Y.解取A=(o o X=-1 y=(01贝ij力心力匕且但四Y.7 .设 A =解A?=A = A?A =(i oYi o)i o1人41)3A 1Jf210)8.设4=021,求、00%解首先观察。1 OYA 1 0、(X-A2= 0 A 1 0 A 1、0 0 410 0乙0I。22 1 )22 220后设无 o4A3243储322,勿4尤,(00九)(无5九10均A5=A4-A=0尤5力(00尤 J用数学归纳法证明:当岳2时,显然成立.即1)小一2)(A 010假设4时成立,则A+1时,龙k无7A
13、k+l=AkA=0无00龙+1出+1)尤T(31龙-J=0尤+1也+1)无700尤+19 .设46为A阶矩阵,且力为对称矩阵,证明46也是对称矩阵.证明因为=4所以(Ha助=区犬氏Fab,从而力8是对称矩阵.10 .设月,6都是阶对称矩阵,证明是对称矩阵的充分必要条件是力必力.证明充分性:因为心4 F=B,且AB=B4,所以(A/=(BA)=/E=ab,即48是对称矩阵.必要性:因为心4 E=B,且(第力及所以 ab=mt=eat=ba.11.求下列矩阵的逆矩阵:解 A2 D4=L故存在.因为cos。-sin,)(sin。cos。),解Y需言盼小1犯故下存在因为4*=fAi A2i=( cos
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