大学计算方法（C）讲义课件.docx

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1、大学计算方法（C）讲义课件目录第1章绪论1.1 数值计算1.2 数值方法的分析1.2.1 计算机上数的运算1.2.2 算法分析第2章线性代数方程组2.1 Gauss消去法2.1.1 消去法2.1.2 主元消去法2.2 矩阵分解2.2.1 Gauss消去法的矩阵意义2.2.2 矩阵的LU分解及其应用2.2.3 其他类型矩阵的分解2.2.4 解三对角矩阵的追赶法2.3 线性方程组解的可靠性2.3.1 向量和矩阵范数2.3.2 残向量与误差的代数表征2.4 解线性方程组解的迭代法2.4.1 基本迭代法2.4.2 迭代法的矩阵表示2.4.3 收敛性第3章数据近似3.1 多项式插值3.1.1 插值多项式

2、3.1.2 Lagrange插值多项式3.1.3 Newton插值多项式3.1.4 带导数条件的插值多项式3.1.5 插值公式的余项3.2 最小二乘近似3.2.1 最小二乘问题的法方程3.2.2 正交化算法第4章数值微积分4.1 内插求积，Newton-Cotes公式4.1.1 Newton-Cotes 公式4.1.2 复化求积公式4.1.3 步长的选取4.1.4 Romberg 方法4.1.5 待定系数法4.2 数值微分4.2.1 2.1插值公式方法4.2.2 Taylor公式方法（待定系数法）4.2.3 外推法第5章非线性方程求解5.1 解一元方程的迭代法5.1.1 简单迭代法5.1.2

3、Newton 法5.1.3 割线法5.1.4 区间方法5.2 收敛性问题5.2.1 简单迭代一一不动点5.2.2 收敛性的改善5.2.3 Newton法的收敛性5.2.4 收敛速度第1章绪论1.1 数值计算现代科学的发展，已导致科学与技术的研究从定性前进到定量，尤其是现代数字计算机的出现及迅速发展，为复杂数学问题的定量研究与解决，提供了强有力的基础。通常我们面对的理论与技术问题，绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型，因此，求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。一、 本课程的任务：寻求解决各种数学问题的数值方法一一如何将高等数学的问题回归到初等数学（算术）的方法求解一一了解计算的基础方

4、法，基本结构（否则只须知道数值软件）一一并研究其性质。立足点：面向数学一一解决数学问题面向计算机一一利用计算机作为工具充分发挥计算机的功能，设计算法，解决数学问题例如：迭代法、并行算法二、 问题的类型1、离散问题：例如，求解线性方程组Ax = b 一一从离散数据：矩阵A和向量b,求解离散数据x；三、 连续问题的离散化处理：例如，数值积分、数值微分、微分方程数值解;四、 离散问题的连续化处理：例如，数据近似，统计分析计算；1.2 数值方法的分析在本章中我们不具体讨论算法，首先讨论算法分析的基础一一误差。一般来讲，误差主要有两类、三种（对科学计算）：1）公式误差一一“截断误差”，数学c计算，算法形

5、成一一主观（人为）：数学问题一数值方法的转换，用离散公式近似连续的数学函数进行计算时，一般都会发生误差，通常称之为“截断误差”；一一以后讨论2）舍入误差及输出入误差一一计算机，算法执行一一客观（机器）：由于计算机的存储器、运算器的字长有限，在运算和存储中必然会发生最末若干位数字的舍入，形成舍入误差；在人机数据交换过程中，十进制数和二进制数的转换也会导致误差发生，这就是输入误差。这两种误差主要是由于计算机的字长有限，采用浮点数系所致。首先介绍浮点数系1.2.1计算机上的运算一一浮点运算面向计算机设计的算法，则先要讨论在计算机上数的表示。科学记数法浮点数：约定尾数中小数点之前的数全为零，小数点后第

6、一个数不能为零。目前，一般计算机都采用浮点数系，一个存储单元分成首数和尾数：XXXXXXX首数/尾数(t位)其中首数存放数的指数(或“阶”)部分，尾数存放有效数字。对于进制，尾数字长为t位的浮点数系F(p,f,L,U)中的(浮点)数，可以用以下形式表示：%d ,d. fJfl(x)= i(1-+ )X BC / J ，Q o q J P pl pt y Qdj =23、,I此处，指数/(称为阶)限制在L4/4U范围内。以下记实数系中的实数为xe R ,它在浮点数系F(0,t,L,U)中对应的浮点数记为fl(x)eF(j3,t,L,U)夕进制，尾数位数，阶的范围。几乎所有近代计算机都采用“二进制

7、(即尸=2)：位、字节和字分别是指位数不同的二进制数。例如十进制转换二进制11=20000000122=20000001044=220000010088=230000100099=23+2000010011010=23+21000010102727=16+84-2+1=24+234-2+2000110111字节位是一个二进制数(即。或1)；字节是8个二进制数字；上表的最后一列是字节。单精度浮点数(single precision)按32位存储，双精度浮点数(double precision)按64位存储。精度用于指明每个浮点数保留多少位以及尾数和阶数各分配多少位。单精度浮点数的尾数为23位、阶

8、数为8位；双精度浮点数的尾数为53位（包含符号位）、阶数为11位（包含符号位）。双精度浮点数的等价二进制数如下所示：64位f jdd gdddd111指数（含符看位】符日位52位尾数浮点数的特点：1、实数转换到浮点数浮点化，缺点:总会产生误差（除极个别的情况：x =2，,/=0,1,2,）按四舍五入，绝对误差：一（举例），优点:浮点化产生的相对误差有界（与数字本身的数量级无关）|不）卜三3x 2注：设实数XWR,则按夕进制可表达为：4八 d d A j d. fix =(+-4+,+1+)x八，一02.fI,2 pt pt 410 dj 。, j 2,3, ，, f 41,按四舍五入的原则，当

9、它进入浮点数系/时，若4+1尸，则4 d、d.jfl(x)=( H y HF -)x Pp俨x1 d d d +1若4+12彳/，则力(工)=(方y11丁)xP2 D 俨0对第一种情况:V-fl（刈=（需+pp 22对第二种情况：卜一以小年也一X, V（；）x=JpP 乙乙就是说总有：|x-/7（x）|42，T2另一方面，由浮点数要求的14d、0,有国之加,，将此两者相除，便得X一力（x）叁夕-，x 2P2、每一个浮点数系的数字有限：2（/3-l）/3-（U-L +）+3、浮点数系中的运算非自封闭，（因为数字有限、尾数字长有限、指数数字有限等）例：在尸（10,4,-5,5）中,x =.5420

10、 xl0-2,y =.2001 xlO3,运算 x*y 和 x/y,的结果显然已不在此浮点数系内，而x+y或x-y也不在此浮点数系内，需/7（x。y）结果才在此浮点数系内。浮点运算应注意：1）避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数参加运算；2）避免“大”“小”数相加减；3）避免相近数相减，防止大量有效数字损失；4）尽可能简化运算步骤，减少运算次数。原因：记= max|b（x）|= max ,由卜一力（刈44可，可得：|（x o y）- fl（xo y） A|x y（。表示任意一种四则运算）此处是由机器字长（实质上是尾数字长，的大小）确定的常数（它反映了实际运算的精度）。显然，若要求运算的

11、舍入误差小，应使运算结果（如：x土较小。尤其是小分母运算：-=e，小=大误差。y y y其次，当浮点数系中两个数量级相差较大的数相加（或减），注意到由于浮点数系中数字字长的有限性，可能导致“大数吃小数”。例如，F（10,4,-5,5）中 x =.8231xl03, y =.2317xlO-1,则x y =.8231 xlO3.2317 xlO-1=.8231xl03.0000xl03=x似乎y （|W|x|）没有参加运算。第三，同样，由于浮点数系中数字字长的有限性，当两个相近数相减时：例如，在尸（10,8,-5,5）中，x =.82317844xl03,y =.82317832x 103,两数

12、相减： x-y =.12000000x10-3,计算结果仅剩2位有效数字，而原来参加运算的数字有8位有效数字，这将严重影响最终计算结果的精度。1.2.2算法分析作为一个可用的算法，必须考虑其效率和可靠性，定义：计算机完成一个乘法和一个加法，称为一个浮点运算（记为flop）；注：由于计算机在运算时，加（减）法所耗时间远少于乘（除）法，所以通常只须计算乘法的次数，因此也有“一个算法需要多少个乘法”这一提法。1、计算效率可计算性（计算复杂性空间、时间）例：解线性方程组Ax=6的Grammar方法：七八，其中是方程组系数矩阵A对应的行列式，而| A,|则是以右端向量6替代A的第i列所得矩阵对应的行列式

13、。由线性代数知识可知，若4=（%），则|a|=Z（t）J）的其中a国,i“）是由1,2,变换到 i,i2，。所需的置换次数。可见每计算一个行列式，需要（一1）.！个浮点运算；因此，按Grammar方法解方程组约需N =（2一1）.！个浮点运算。当=20时 N。9.70728x102。，用一个运算速度为IO*/秒的计算机进行求解，约需3.078x105年（日前报道我国计算机已达到3840x108/秒，这仍需近10年）。而n=20的方程组应该说是一个小型的方程组。因此Grammar方法是一个不能接受的算法，它缺乏可计算性。第二章将介绍的Gauss消去法和迭代法就有较高的效率，具有很好的可计算性。2

14、、计算可靠性作为算法，除了考虑其效率外，必须重视可靠性，它包括两方面：问题的性态和方法的稳定性问题的性态所计算的问题当原始数据发生小扰动时，问题的解一般也发生扰动。问题的性态一一问题的解对原始数据发生变化的敏感性。原始数据小扰动n问题解小扰动问题是良态的大变化问题是病态的例：线性方程组:U613一1247一60 若将方程组的系数改写成具有2位有效数字的小数:1 .OOxj + 0.50x2 + O.33x = 1.8计算结果/(X),扰动后的数据X n计算结果/(I),若对问题/存在常数m,满足关系式：f(x)-/(x)m xf(x)-f(x)十f(x)或m = supx-xx则称(相对误差之

15、比的上界)m为该问题的条件数，记作m = cond(f)；由微积分中值定理知识容易计算出，当时，cod(f)=。f (x)|稍后我们在第二章将对线性方程组的性态作进一步的分析。算法的数值稳定性：1例：计算 I= e J xnexdx ,=0,1,8；o解：由微积分知识，可得计算公式，=1-射，/“_1=(/), n我们将准确值与计算结果列表如下：方法，01516A，8准确值.6321.3679.2642.2073.1709.1455.1268.1124.1010.6321.3679.2642.2074,1704.1480.1120.2160-.72802.6320.3680.2643.2073

16、.1709.1455.1268.1124.1010由上表可见，方法中，原始步的误差，随着计算步数的增加被严重地放大,特别是4竟变成负数(注意：被积函数是非负函数)，而方法则相反；这是因为方法中，若前步有误差b：7j=/j+b,则Ik kl=1 klk-i kB =1卜一kB，说明/*T的误差b，经一步计算后被扩大了左倍，随着左的增大，误差将被大大地扩大；而通过同样的分析可知：方法中的误差则被缩小左倍。算法的数值稳定性：算法对初始误差导致的最终误差的可控性,如果最终误差被有效地控制，则称算法是稳定的，否则就是不稳定的。第二章线性方程组求解线性方程组：jX|+ CC2X2anxn = P(2.1)

17、.,一21xl +a22x2+-+ a2nxn = PlAx = b 。”内+an2x2+-+ annxn =pn其中2.1 Gauss 消去法2.1.1消去法设计方法原则：面向计算机（事先未知元素，编制程序），例:=x = 12x)+x2=3%1- x2=0基本思想：降维一一N维问题转化为N-1维问题一一逐次降维，依次进行消去过程一一对方程组（2.1）由上而下逐步消去对角元*=1,2，-1）以下的a*（i=k+使之转化为如下等价形式，达到目标：%内+/2七+%“七， a22x2+-+ a2nxn=p2.a,= pn从而，可进入回代过程，再由下而上，逐步解得（Z =,-1,2,1）：这儿的%*

18、（%=1,2,-1）主元对问题（2.1）设a”#0,目标：将第2n方程的a的系数的1，,a”1转化为0；方法：“第个方程”-2生X “第1个方程（攵=2,3,），得到n%内+%29+%/=4。义巧+=新的第左行，元素变化：(tzu =0), a.= atj -1ikakj,=/3t -lik/3k,经过-1步消去(注意：以下无元可消)，得到(2.2)式。注意：每计算1个/,%,a力分仅需1个浮点运算回代：第一步,第二步 x“t=一 a%,，第_%+1步4=乩一（%*+1+1+-,+即% k = n-l,-,2,1;运算量：消元：n元方程组：第1步消元：对第i(i =2,3,)行，共n-1行;每

19、1行：计算/,(=2,3,1个乘除法(或“浮点运算”)，计算新的曙=%-41%=2,3,”)；1)=胃T抠共5-D+1个乘除法(或“浮点运算”)，第1次元共(-l)l +(n-l)+ l= n2-l个乘除法，因此，消元的运算量2M3 n25Zd)=Z伙2-l)E-=，+9/； k=nhlk=32。回代：第1步，求X需要1个乘除法(或“浮点运算”)，即：第2步求X”T 用2个乘除法(或“浮点运算”)，一般，第步求X-A+1用k个浮点运算，因此,回代的运算量=”+1)；k=2Gaw消去法的总运算量：T =-+ n2-。33例24：解线性方程组例:%1+2x2+%3=02%|+2x2+3%3=3-X

20、j -3x2=2解：利用增广矩阵（因为线性方程组的解仅与系数与右端常数项相关）-122一31 OV33f02,产 t、210(1一213.-112儿=%2102-112、-65-33、4054,解=%-3-21032、-441-10252-22-13、一21245,4203-362116533741844、25-960,2丫20321-1433125421、31-12q11149161011261218276444131624J1681256190,J 76b2423430、Y123423454021-1-2-3344543321一-155757d1112-2071q2-134I-1()-11

21、-10277-40212-11-142)10-3b2-11、2.1.2（列）主元消去法算法中，若第左步：i） akk =0或 ii)|au|a；J i = k +,-,n则按照原来的简单Ga“ss消去法算法可能无法执行，也可能出现大误差:例：在浮点数系尸(10,5,-10,10)中计算；方程组-0.250001875解：按Gauss消去法解： r.10000*10-4 .20000*10 .10000*10|_0.499998749ei=02000ed)k .20000*10.30000*10.20000*1 Oy.10000* ICT4.20000*10.10000*10、-.40000*

22、IO6-.20000*10%x =(.00000*10.50000*10)，误差大，原因：若有误差%=%+乩=凡+S则3=%-4%,则演变为2=%-/*(%+=玛+/*，诙=4T(凤+m=A+/*；这说明前步各元素的误差均被放大/*倍。克服方法，将按绝对值最大的元素交换到主元位置，使圈41,使前步的误差不再被放大。.10000*10720000*10.10000*10行川行、.20000*1()1.30000*10.20000*10-r .20000*10.30000*10.20000*1。oogio-、.10000*1()-4.20000*10.10000*10).20000*101.300

23、00*10.20000*10n、.20000*10.10000*10x =(.2500010.50000*10)r消元过程中，第左步消元(A = l,2,，-1)以第左行为基准，消去其后的-个方程的区”(系数矩阵第4列以下的元素)，Gauss消去法要求主元 akk 0 o为避免出现出=0作为主元，并使前步的误差不被放大，应使VI,为此应使：=/，通常采用按列选主元的列主元消去法：若卜”/=林词曲1%+|/,卜”/,便将第左行与第加行交换,使。，.与%交换位置，使新的第左行执行在原始Gauss消去法中的角色，保证将作为除数的主元|%|以| i = k +,-,n ,从而重复前述的Gauss消去过

24、程。列主元消去法的效果：1 .算法稳定，即计算误差能被有效控制；2 .当矩阵A的行列式网R0时，算法总可以执行完成；注：若矩阵A是对称正定或严格对角占优，则不选主元，消去法也是稳定的;矩阵严格对角占优的定义：对角元的绝对值大于该行其他元的绝对值之和,即以|勿叫加问题：为什么系数矩阵A严格对角占优时，不选主元的消去法也是稳定的？为保证消去法是稳定的，计算应如何进行？注意：第一步消元= a,a,： a,- cr,.由于占优：也|1,u|n|它的效果与主元消去法的心|W1一样，误差不会被放大。但因此算法也应适当改变，应先对第一行计算此值，然后从第2列起逐列从上到下计算。且第一步消元后生成的右下方5-

25、1)*(-1)阶矩阵仍是严格对角占优，以第二列为例：力引同+詈=同+底后为%|=；=3六3j=3 aH j=3aw ；=3= ZK|+|2|告1%|+曷一仔 g21|+,2)|a”尸3%即新的第二行的对角元绝对占优，其他也可同样证明。j=3例2-2：列主元消去法求解例2-11210(2233,22332233-1210吁1-1/-%-I -302j，io2il-l -302卜尸%-2%诟*同样得到原方程组的解x =(l -11)J2. 2矩阵分解2.1.1 Gauss消去法的矩阵意义矩阵的三角分解若将Gauss消去法解方程过程中产生的(ij)作为一个单位下三角矩阵一其对角元为1.对角线上的元素

26、均为0一L的对应元素；将Gag消去法消元过程最后得到的上三角矩阵一一对角线以下元素均为0记作或U (仅考虑方程的系数矩阵部分)；如例2.1,再将L与7或U相乘：1Y1210)(1210、7=21-213=2233/11八%L -302J(1121(12、或LU=2121=222 1 0、-2 1 3一 I 1 2；1)消去法的矩阵意义：以例2-1说明1-21、1可见，一般的第一步消元是:A :二夕% :二% :二%即OOr， I= 7A A :A即即即即即即r 1 ，1 ： ，1a a a若记第左步消元后形成的矩阵为特别：”A,b)=(a),*)则第i步消元是将以下初等矩阵左乘矩阵形成、因此，

27、Gauss消去过程从矩阵运算的角度来看，是L,-L-2L2L（A,b）=（U,y）其中（/为上三角矩阵，y为向量： Ah 411241、2242U =.2.1.2 矩阵分解人=心注意到初等矩阵具有性质：1、=/,及口忆7W/= L= J 竽./川人21I I .* I .1 f- n,l ,2n,n-%因此，我们有（4=右乜-卬/似力=-10）根据矩阵乘积的性质，有 A = LU这就是基本的矩阵三角分解一一Doolittle分解一一将矩阵分解为单位下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积。从矩阵乘法与行列式的关系可知，若矩阵A三角分解得到A=LU,则有： det A = det L * det U，由

28、于下三角矩阵或上三角矩阵的行列式是全部对角元的乘积，因此可利用三角分解求矩阵对应的行列式的值。例如：上述例2.1方程组系数矩阵对应的行列式的值是-1,下例2.3对称正定矩阵对应的行列式的值为144o 当系数矩阵为A的方程组可以顺利求解（不必选主元）时，解的过程显然是唯一的，因此它的Doolittle分解必然也是唯一的，从而可以通过待定系数的方法获得该矩阵的Doolittle分解（通常称为“直接分解”或“紧凑格式”）。2.1.3 其他三角分解除了上述的单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积形式以外，还有其他类型的分解，例如下三角矩阵和单位上三角矩阵的乘积，单位下三角矩阵与对角矩阵、单位上三角矩阵的乘积

29、LOML对于对称矩阵，可以分解成LO矩阵分解的形式，特别是对称正定矩阵，可以分解成GG形式（称为Cholesky分解），其中G 为下三角矩阵由Doolittle分解的唯一性可知这些形式的分解也是唯一的。这些不同的分解都可以通过矩阵乘积的方法取得。下面例2.3以对称正定矩阵为例,说明通过矩阵乘积的方法取得矩阵分解的不同形式。当然，当矩阵的Doolittle分解存在唯一时，这些不同的分解分别时唯一的,因此可以通过待定系数的方法取得，也即通过直接分解的方法取得这些分解例2-3：4 -2 0-2 2 -30 -3 13、41-70-31374、（4由此可知:4-2 0-2 2 -30 -3 1341-

30、71-% 10-3134-2 10-3 4、43 21-% 10-3132-1 10 -31-3 13 %-X 0 11-3 31 %0123 1 3J(4 -2 0 4、1 -3 34 21 I 9, 70-3进一步可以考察矩阵左上方各阶顺序主子式与三角分解所得矩阵的左上方的各阶顺序主子式的关系：若记矩阵A的各阶顺序主子矩阵为4。A,，同样的记号也适用于矩阵L,U,则有4肉=切，从而矩阵4的各阶顺序主子式的值等于U的相应的顺序主子式的值：det(A(*)= det/(*)(A:=1,2,),(因为det(L)三1)。以例2-3矩阵分解为例，容易得到：由此，也很容易看到，一个对称矩阵通过Ga心

31、s消去过程得到的LU分解(其中L为单位下三角，U为上三角矩阵)，当U的对角元全部为正数时，该对称矩阵必为对称正定矩阵。由Gazs消去的过程可知各次主元是”,22,，人”(矩阵。的对角元)，可知当矩阵A的各阶顺序主子式均非零时，(原始的)Gh心s消去法可以顺利完成,这是因为当各阶顺序主子式均非零时，22,均非零，即Gzavs消去法可以顺利完成。因此得：定理2.1若阶方阵的各阶顺序主子行列式均非零,则存在唯一的LU分解,其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。进一步，当矩阵A非奇时，列主元Gz心s消去法必可顺利完成：因为当矩阵 A非奇时，A的第一列必不全为零，故通过选主元，可进行第一步消元，即算法

32、乙号4可执行，得到从严0,且其下方全为零，因为det(L/A)= det AwO,所以|的代数余子式det A1也非零，(det A = det(LIPt A)= det A：/0),即矩阵A：非奇，因此下一步列主元Ga心s消去可进行，由此，可完成全部消元过程。2.1.4 解三对角矩阵的追赶法上带宽 q ： ji + q =0下带宽p :i j + q ajj =0定理2.2若4=心(7(Doo/Me分解),则L(下)带宽p,U(上)带宽外证明：对二和三阶矩阵显然.(确定p,q),对矩阵的阶作归纳证明:设对-1阶矩阵结论成立.令(T (y WTTA=(v2 Vp+100),W，=(卬2 Wq+

33、I 00),卜B )可验证(介绍分块运算)：由归纳假设= L/U,因此a最后的矩阵乘法：前者是初等矩阵左乘实际上是Gauss变换矩阵相乘，后者按分块运算容易得到。特殊情况,p = l, q =一一三对角矩阵：由前述的方法，很容易将它分解成两个特殊的下、上三角矩阵的乘积:其中因为未讲矩阵的直接分解，此处可由确定分解形式、待定系数方式取得：%=仇，k =九.1，以=一4。_1，攵=2,3,从而，在解方程组7k = d,其中d =(4,么，,分尸时，可以将该方程组转化为求解两个简单方程组：Tx = d0Ly = d,Ux = y,通常被称为“追赶法”：m=%1 yk = dk -&=2,3,，这只是

34、Gauss消去法的一个具体应用，在计算机上的应用可以节约存储空间，减少运算量。若手工计算，实际只需应用Gauss消去法即可。例32、1、(2、23121-11-342311247141-11一56,5 I0,|x|=0 x =0, Vx e Rn ,2) 正齐性口同=|训4/aeR,xeRn ,3) 三角不等式卜+乂|引却+帆，Vx,yeRn；常用的范数1-范数 m =闻+闷+,2-范数 H2=(h|2+|x2|2+-+|x|2)2-范数凡=maxki|，M ,修),注：一般若不指某特定的范数，则范数符号不作下标，记为H；2、矩阵范数矩阵 AeL(Rmxn)，与之相应的一个非负实数，记作同,如

35、果它满足条件：1) 非负性同 NO, p|=0oA =0, VAwL(Rk),2) 正齐性|陷=同|琳,3) 三角不等式M +司引川+愀，VABeL(RE),4) 恒网引那耳，VAeLCRg) W(Rx。),因为矩阵与向量相乘仍是向量，因此：特别要求一种矩阵范数与一种向量范数:5) |Ay|4W|, VAGL(RE),xeR矩阵与范数的相容性;与前述三种向量范数分别相容的常用的三种矩阵范数:1-范数Ml = maxZkJ，（最大列和） j 0,且|x|w =|A/r|=0当且仅当 Mx =0,又由 M的非奇性，当且仅当x =0时才有断=0,因此：|目“=0当且仅当x =0；正齐性：|同|用=|

36、M（ar）|=|a（Mr）|=同|幽|=同|乩三角不等式：I*+y|”=|m（x+y）l=I +叫上1%1+1叫I=ML+ WL因此，按此定义的范数国”是范数；b.仿前，容易证明|N“=|M4M定义了一种矩阵范数。关于相容性：IHL =1的Ml=|图“四囤=同”|儿3、范数的等价性：I乩引44砒,亲丸4M 4M4、矩阵谱半径：p（A）= max同居为A全体的特征值i = l,2,，卜有（对任何一种范数）P（A）4 Mli ,/ Ax = Ax, x#0=|2|x|Zx|=|Ax|A p（A）|6|=|Ax| HIliiTii以及 FilI例Ir = ft Ax = Ax* Ax = A(x*-

37、x)=Ae = e = Alr =|e|A-7|r|得到。此处，MMa1从本质上反映了方程组右端的相对误差匕|导致解的相对1111II 川 I误差凶的数值关系，反映了方程组原始数据发生扰动时，方程组解发生变化 lxl的大小。比较前已提到的“问题的性态，数|国卜反映了方程组的性态。因此称此数为方程组或矩阵的“条件数”，记作。以4)=|可卜7卜由于总有 Cond(A)(实际上，除了 A =1外，几乎总有ConJ(A)1),而从推导可知，畀卜喟(此处表示相当于”)，因此一般总有修哥;产 L -,1(1.001-2.0001,1，卜口上例中：A-= A 4寸=3x3.001/0.003=30010.003-0.4991.000)11”引111对于更一般的矩阵A和右端向量力均发生扰动44和/b的情况，有H IIaII证明：网|x|-|Bx|x| TWIIIM = Q TlMlH