全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)(12页).doc

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1、-第 1 页全等三角形问题全等三角形问题中常见的中常见的 8 种辅种辅助线的作法助线的作法(有答有答案案)-第 2 页全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等之间的相等1.1.等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”法法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.2.倍长中线：倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.3.角平分线在三种添辅助线角平分线在三种添辅

2、助线4.4.垂直平分线联结线段两端垂直平分线联结线段两端5.5.用用“截长法截长法”或或“补短法补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.6.图形补全法：图形补全法：有一个角为有一个角为 6060 度或度或 120120 度的把该角添线后构成等边三角形度的把该角添线后构成等边三角形7.7.角度数为角度数为 3030、6060 度的作垂线法度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为遇到三角形中的一个角为 3030 度或度或 6060 度度，可可以从角一边上一点向角的另一边作垂线以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成目的是构成 30-60-90

3、30-60-90 的特殊直角三角形的特殊直角三角形，然后计然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。三角形创造边、角之间的相等条件。8.8.计算数值法计算数值法：遇到等腰直角三角形遇到等腰直角三角形，正方形时正方形时，或或 30-60-9030-60-90 的特殊直角三角形的特殊直角三角形，或或40-60-8040-60-80 的特殊直角三角形的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二这样可

4、以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形构造全等三角形2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形构造全等三角形3)遇

5、到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置-第 3 页?E?D?C?B?A?P?Q?C?B?A上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将

6、某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.例 3

7、、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.应用：应用：1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.四、借助角平分线造全等四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD2、如图，ABC 中，

8、AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB于E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.应用：应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理

9、由。五、旋转五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。（1）当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。（2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB于点 M，交 AC 于 点 N，连 接 MN，则AMN的 周 长(第 23 题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图-第

10、5 页为；应用：应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1），易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明2、（西城 09 年一模）已知:PA=2,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当

11、APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.3、在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1图 2图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是；此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（II

12、I）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示）参考答案与提示参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE故 AD 的取值范围是 1AD4例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.解：(倍长中线倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长 FD 至 G 使 FG

13、2EF，连 BG，EG,显然 BGFC，在EFG 中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知EGEF（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN-第 6 页?E?D?C?B?A在BEG 中，由三角形性质知EGBG+BE故：EFBE+FC例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.解：延长 AE 至 G 使 AG2AE，连 BG，DG,显然 DGAC，GDC=ACD由于 DC=AC，故ADC=DAC在ADB 与ADG 中，BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有B

14、AD=DAG，即 AD 平分BAE应用：应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和 等 腰RtACE，90,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CDAC解：（截长法）在 AB 上取中点 F，连 FDADB 是

15、等腰三角形，F 是底 AB 中点，由三线合一知DFAB，故AFD90ADFADC（SAS）ACDAFD90即：CDAC2、如图，ADBC，EA,EB 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC解：（截长法）在 AB 上取点 F，使 AFAD，连 FEADEAFE（SAS）ADEAFE，ADE+BCE180AFE+BFE180ABC-第 7 页?D?C?B?A?P?Q?C?B?A故ECBEFBFBECBE（AAS）故有 BFBC从而;ABAD+BC3、如图，已知在ABC 内，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是BAC，ABC的角平分线

16、。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法,计算数值法）延长 AB 至 D，使 BDBP，连 DP在等腰BPD 中，可得BDP40从而BDP40ACPADPACP（ASA）故 ADAC又QBC40QCB故 BQQCBDBP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分ABC，求证：0180CA解：（补短法）延长 BA 至 F，使 BFBC，连 FDBDFBDC（SAS）故DFBDCB，FDDC又 ADCD故在等腰BFD 中DFBDAF故有BAD+BCD1805、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC解

17、：（补短法）延长 AC 至 F，使 AFAB，连 PDABPAFP（SAS）故 BPPF由三角形性质知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+

18、AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE=AC-第 9 页 F E D C B A证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60 度,则BAC+BCA=120 度;AD,CE 均为角平分线,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60 度.则COF=AOC-AOF=60 度=COD;

19、又 CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.解：解：(垂直平分线联结线段两端)连接连接 BDBD，DCDCDG 垂直平分 BC，故 BDDC由于 AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，故有EDDF故 RTDBERTDFC（HL）故有故有 BEBECFCF。AB+ACAB+AC2AE2AEAEAE（a+ba+b）/2/2

20、BE=(a-b)/2BE=(a-b)/2应用：应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，E D G F C B

21、 A(第 23 题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图-第 10 页BE+DF=EF，求EAF 的度数.证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE，AF=AG，所以三角形 AEF 全等于 AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45 度例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。(1)当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。(2)若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。解：(计算数值

22、法)（1）连接 DC，D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，故有 CDAB，CDDACDCD 平分平分BCA90，ECDDCA45由于 DMDN，有EDN90由于 CDAB，有CDA90从而CDEFDA故有CDEADF（ASA）故有 DE=DF（2）SABC=2,S四 DECF=SACD=1例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则AMN的周长为；解：(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC 的延长线与 BD 的延长线交于点 F，在线段

23、CF 上取点 E，使 CEBMABC 为等边三角形，BCD 为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，-第 11 页在DMN 和DEN 中，DM=DEMDN=EDN=60DN=DNDMNDEN，MN=NE在DMA 和DEF 中，DM=DEMDA=60-MDB=60-CDE=EDF(CDE=BDM)DAM=DFE=30DMNDEN(AAS)，MA=FEAMN的周长为 AN+MN

24、+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1），易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明2、（西城 09 年一模）已知:PA=2,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB

25、及 PD 的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.3、在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1图 2图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是；此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示）（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN