将军饮马问题的11个模型及例题(18页).docx

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1、-第 1 页将军饮马问题将军饮马问题的的11 个模型及例题个模型及例题-第 2 页将军饮马问题将军饮马问题问题概述问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型基本模型1.已知：如图，定点 A、B 分布在定直线 l 两侧；要求：在直线 l 上找一点 P，使 PA+PBPA+PB 的值最小的值最小解：连接 AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求,PA+PB 的最小值即为线段 AB 的长度理由：在 l 上任取异于点 P

2、的一点 P，连接 AP、BP，在ABP中，AP+BPAB，即 AP+BPAP+BPP 为直线 AB 与直线 l 的交点时，PA+PB 最小.已知：如图，定点 A 和定点 B 在定直线 l 的同侧要求：在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PBPA+PB 值最小值最小（或（或ABPABP 的周长最小）的周长最小）解：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于 P，点 P 即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线 l 为线段 AA的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA，要使 PA+PB 最小，则-第 3 页需 PA+PB 值最小，从而转化为模型 1.已知：如图，定点 A、B 分布在

3、定直线 l 的同侧（A、B 两点到 l 的距离不相等）要求：在直线 l 上找一点 P，使PA-PBPA-PB的值最大的值最大解：连接 BA 并延长，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求；理由：此时PA-PB=AB，在 l 上任取异于点 P 的一点 P，连接 AP、BP，由三角形的三边关系知PA-PBAB，即PA-PBPA-PB4.已知：如图，定点 A、B 分布在定直线 l 的两侧（A、B 两点到 l 的距离不相等）要求：在直线 l 上找一点 P，使PA-PBPA-PB的值最大的值最大解：作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 BA 并延长交于点 P，点 P 即为所求；理由：根据对称的性质

4、知 l 为线段 BB的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB，要使PA-PB最大，则需PA-PB值最大，从而转化为模型 3.典型例题典型例题 1-11-1如图，直线 y=23x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，当 PC+PD 最小时，点 P 的坐标为_，此时 PC+PD 的最小值为_.【分析分析】符合基本模型 2 的特征，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小，由条件知 CD 为BAO 的中位线，OP 为CDD的中位线，易求 OP 长，从而求出 P 点坐标；

5、PC+PD 的最小值即 CD长，可用勾股定理-第 4 页（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答解答】连接 CD，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小令 y=23x+4 中 x=0，则 y=4，点 B 坐标（0，4）；令 y=23x+4 中 y=0，则23x+4=0，解得：x=6，点 A 的坐标为（6，0）点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，CD 为BAO 的中位线，CDx 轴，且 CD=21AO=3，点 D和点 D 关于 x 轴对称，O 为 DD的中点，D（0，-1），OP 为CDD的中位线，OP=21CD=23，点 P 的

6、坐标为（32，0）在 RtCDD中，CD=22DDCD=2243=5，即 PC+PD 的最小值为 5.【小结小结】还可用中点坐标公式先后求出点 C、点 P 坐标；若题型变化，C、D 不是 AB 和 OB 中点时，则先求直线 CD的解析式，再求其与 x 轴的交点 P 的坐标.典型例题典型例题 1-21-2如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（0，1），点 B的坐标为（32，2），点 P 在直线 y=x 上运动，当|PAPB|最大时点 P 的坐标为_，|PAPB|的最大值是_.【分析分析】符合基本模型 4 的特征，作 A 关于直线 y=x 对称点 C，连接 BC，可得直线 BC 的方程；

7、求得 BC 与直线 y=x 的交点 P 的坐标；此时|PAPB|=|PCPB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答解答】作 A 关于直线 y=x 对称点 C，易得 C 的坐标为（1，0）；连接 BC，可得直线 BC的方程为 y=54x54，与直线 y=x 联立解得交点坐标 P 为（4，4）；此时|PAPB|=|PCPB|=BC 取得最大值，最大值 BC=2223)2()1(=241；【小结小结】“两点一线”大多考查基本模型 2 和 4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练变式训练 1-11-1-第 5 页已知菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 A（5，

8、0），OB=4 5，点 P 是对角线 OB 上的一个动点，D（0，1），当 CP+DP 最短时，点 P 的坐标为（）A（0，0）B（1，12）C（65，35）D（107，57）变式训练变式训练 1-21-2如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC=2，BD=2 3,E 为 AB 的中点，P 为对角线 AC 上一动点，则 PE+PB 的最小值为_.变式训练变式训练 1-31-3如图，已知直线 y=12x+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y=12x2+bx+c 与直线交于A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为（1，0）（1）求

9、该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC|的值最大，求出点 M 的坐标.拓展模型拓展模型1.已知：如图，A 为锐角MON 外一定点；要求：在射线 OM 上找一点 P，在射线 ON 上找一点 Q，使AP+PQAP+PQ 的值最小的值最小.解：过点 A 作 AQON 于点 Q，AQ 与 OM 相交于点 P，此时，AP+PQ 最小；理由：AP+PQAQ，当且仅当 A、P、Q 三点共线时，AP+PQ 取得最小值 AQ，根据垂线段最短，当AQON 时，AQ 最小.2.已知：如图，A 为锐角MON 内一定点；要求：在射线 OM 上找一点 P，在射线 ON 上找一点 Q，使AP+P

10、QAP+PQ 的值最小的值最小.解：作点 A 关于 OM 的对称点 A，过点 A作 AQON-第 6 页于点 Q，AQ 交 OM 于点 P，此时 AP+PQ 最小；理由：由轴对称的性质知 AP=AP，要使 AP+PQ 最小，只需 AP+PQ 最小，从而转化为拓展模型 13.已知：如图，A 为锐角MON内一定点；要求：在射线 OM 上找一点 P，在射线 ON 上找一点 Q，使APQAPQ 的周长最小的周长最小解：分别作 A 点关于直线 OM 的对称点 A1,关于 ON 的对称点 A2，连接 A1A2交 OM 于点 P，交 ON 于点 Q，点P 和点 Q 即为所求，此时APQ 周长最小，最小值即为

11、线段 A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知 AP=A1P，AQ=A2Q，APQ 的周长 AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当 A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4.已知：如图，A、B 为锐角MON 内两个定点；要求：在 OM 上找一点 P，在 ON 上找一点 Q，使四边形四边形APQBAPQB 的周长最小的周长最小解：作点 A 关于直线 OM 的对称点 A，作点 B 关于直线ON 的对称点 B，连接 AB交 OM 于 P，交 ON 于 Q，则点 P、点 Q 即为所求，此时四边形 APQB 周长的最小值即为线段 AB 和 AB的长度之和；理由：AB 长为定值，由基本模型将 PA 转

12、化为 PA,将QB 转化为 QB，当 A、P、Q、B四点共线时，PA+PQ+QB的值最小，即 PA+PQ+QB 的值最小.-第 7 页5.搭桥模型已知：如图，直线 mn,A、B 分别为 m 上方和 n 下方的定点，（直线 AB 不与 m 垂直）要求：在 m、n 之间求作垂线段 PQ，使得 AP+PQ+BQ 最小.分析：PQ 为定值，只需 AP+BQ 最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点 A 沿着平行于 PQ 的方向，向下平移至点 A，使得 AA=PQ，连接 AB 交直线 n 于点Q，过点 Q 作 PQn，交直线 m 于点 P，线段 PQ 即为所求，此时 AP+PQ+

13、BQ 最小.理由：易知四边形 QPAA为平行四边形，则 QA=PA，当 B、Q、A三点共线时，QA+BQ 最小，即AP+BQ 最小，PQ 长为定值，此时 AP+PQ+BQ 最小.6.已知：如图，定点 A、B 分布于直线 l 两侧，长度为 a(a 为定值)的线段 PQ 在 l 上移动（P 在 Q 左边）要求：确定 PQ 的位置，使得 AP+PQ+QBAP+PQ+QB 最小最小分析：PQ 为定值，只需 AP+QB 的值最小，可通过平移，使 P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点 A 沿着平行于 l 的方向，向右移至 A，使AA=PQ=a,连接 AB 交直线 l 于点 Q，在 l 上截取PQ=a（P

14、 在 Q 左边），则线段 PQ 即为所求，此时AP+PQ+QB 的最小值为 AB+PQ，即 AB+a-第 8 页理由：易知四边形 APQA为平行四边形，则 PA=QA，当 A、Q、B 三点共线时，QA+QB 最小，即 PA+QB最小，又 PQ 长为定值此时 PA+PQ+QB 值最小.7.已知：如图，定点 A、B 分布于直线 l 的同侧，长度 a(a 为定值)的线段 PQ 在 l 上移动（P 在 Q 左边）要求：确定 PQ 的位置，使得四边形四边形 APQBAPQB 周长最小周长最小分析：AB 长度确定，只需 AP+PQ+QB 最小，通过作 A 点关于 l 的对称点，转化为上述模型 3解：作 A

15、 点关于 l 的对称点 A，将点 A沿着平行于 l的方向，向右移至 A，使 AA=PQ=a，连接 AB交 l 于 Q，在 l 上截取 QP=a（P 在 Q 左边），线段PQ 即为所求，此时四边形 APQB 周长的最小值为AB+AB+PQ，即 AB+AB+a典型例题典型例题 2-12-1如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为【分析分析】符合拓展模型 2 的特征，作点 B 关于 AC 的对称点 E，再过点 E 作 AB 的垂线段，该垂线段的长即 BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答解答】

16、作点 B 关于 AC 的对称点 E，再过点 E 作 ENAB 于 N，则 BM+MN=EM+MN，其最小值即 EN 长；AB=10，BC=5，AC=22BCAB=55，-第 9 页等面积法求得 AC 边上的高为55510=25，BE=45，易知ABCENB，代入数据解得 EN=8即 BM+MN 的最小值为 8【小结小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题典型例题 2-22-2如图，AOB=60，点 P 是AOB 内的定点且 OP=，点 M、N 分别是射线 OA、OB

17、 上异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是（）ABC6D3【分析分析】符合拓展模型 3 的特征；作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交OA、OB 于 M、N，此时PMN 周长最小，其值为 CD 长；根据对称性连接 OC、OD，分析条件知OCD 是顶角为 120的等腰三角形，作底边上高，易求底边 CD.【解答解答】作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、N，如图，则 MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，BOP=BOD，AOP=AOC，PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，COD=BOP+BOD+AO

18、P+AOC=2AOB=120，此时PMN 周长最小，作 OHCD 于 H，则 CH=DH，OCH=30，OH=OC=，CH=OH=，CD=2CH=3即PMN 周长的最小值是 3；故选：D【小结小结】根据对称的性质，发现OCD 是顶角为 120的-第 10 页等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题典型例题 2-32-3如图，已知平行四边形 ABCO，以点 O 为原点，OC 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，AB 交 y 轴于点 D，AD=2，OC=6，A=60，线段 EF 所在的直线为 OD 的垂直平分线，点 P 为线段 EF 上的动点，PMx 轴于点 M 点，点 E 与 E关于 x

19、轴对称，连接 BP、EM（1）请直接写出点 A 坐标为，点 B 坐标为；（2）当 BP+PM+ME的长度最小时，请求出点 P 的坐标.【分析分析】（1）解直角三角形求出 OD，BD 的长即可解决；（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形 OPME是平行四边形，可得 OP=EM，PM 是定值，PB+ME=OP+PB 的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，此时 P 点为直线 OB 与 EF 的交点，结合 OB 的解析式可得 P 点坐标；【解答解答】（1）在 RtADO 中，A=60，AD=2，OD=2tan60=2，A（2，2），四边形 ABCO 是平行四边形，AB=OC=6，DB=62=4

20、，B（4，2）（2）如图，连接 OPEF 垂直平分线段 OD，PMOC，PEO=EOM=PMO=90，四边形 OMPE 是矩形，PM=OE=，OE=OE，PM=OE，PMOE，四边形 OPME是平行四边形,OP=EM，PM 是定值，PB+ME=OP+PB 的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，当 O、P、B 共线时，BP+PM+ME的长度最小，直线 OB 的解析式为 y=x，P（2，）【小结小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题典型例题 2-42-4-第 11 页如图所示，在平面直角坐标系中，RtAOB 的顶点坐标分

21、别为 A（2，0），O（0，0），B（0，4），把AOB 绕点 O按顺时针方向旋转 90，得到COD（1）求 C、D 两点的坐标；（2）求经过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点 E、F（点 E 在点 F的上方），且 EF=1，使四边形 ACEF 的周长最小，求出 E、F 两点的坐标【分析分析】符合拓展模型 7 的特征，通过作对称、平移、连线，可找出 E、F 点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出 E、F 坐标.【解答解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,C 点的坐标是（0，2），D 点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解

22、析式为 y=ax2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得16a+4b+c=0c=4解得 a=-12，b=1，c=4，所求抛物线的解析式为 y=-12x+x+4；（3）只需 AF+CE 最短，抛物线 y=-12x+x+4 的对称轴为 x=1，将点 A 向上平移至 A1（2，1），则 AF=A1E，作 A1关于对称轴 x=1 的对称点A2（4，1），连接 A2C，A2C 与对称轴交于点 E，E 为所求，可求得 A2C 的解析式为 y=-14x+2，当 x=1 时，y=74，点 E 的坐标为(1,74)，点 F 的坐标为(1,34)【小结小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和

23、平移的顺序可互换.变式训练变式训练 2-12-1-第 12 页几何模型：条件：如图 1，A，B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图 2，已知平面直角坐标系中两定点 A（0，1）和 B（2，1），P 为 x 轴上一动点，则当 PA+PB 的值最小是点 P 的横坐标是，此时 PA+PB=（2）如图 3，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点，连接 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 A

24、C 对称连接 ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是（3）如图 4，在菱形 ABCD 中，AB=10，DAB=60，P 是对角线 AC 上一动点，E，F 分别是线段 AB 和 BC 上的动点，则 PE+PF 的最小值是（4）如图 5，在菱形 ABCD 中，AB=6，B=60，点 G 是边 CD 边的中点，点 EF 分别是AG，AD 上的两个动点，则 EF+ED 的最小值是变式训练变式训练 2-22-2如图，矩形 ABCD 中，AD=15，AB=10，E 为 AB 边上一点，且DE=2AE，连接 CE 与对角线 BD 交于 F；若 P、Q 分别为 AB 边和 BC 边上的动点，连接

25、EP、PQ 和 QF；则四边形 EPQF 周长的最小值是_.变式训练变式训练 2-2-3 3如图，已知直线 l1l2，l1、l2之间的距离为 8，点 P 到直线 l1的距离为 6，点 Q 到直线 l2的距离为 4，PQ=4，在直线 l1上有一动点 A，直线 l2上有一动点 B，满足 ABl2，且 PA+AB+BQ 最小，此时PA+BQ=变式训练变式训练 2-2-4 4如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点 B 作 BDBC，交 OA 于点 D将DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的

26、两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点 E 和 F（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点 P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ=1，要使四边形 BCPQ的周长最小，求出 P、Q 两点的坐标-第 13 页中考真题中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使 A、B 到它的距离之和最短？小聪以街道为 x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A 点坐标为（0，3），B 点坐标为（6，5），则 A、B 两点到奶站距离之和的最小值是2.如图，矩形 A

27、BOC 的顶点 A 的坐标为（4，5），D 是 OB 的中点，E 是 OC 上的一点，当ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是（）A（0，）B（0，）C（0，2）D（0，）3.如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=3，动点 P 满足 SPAB=31S矩形 ABCD，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（）ABC5D4.已知抛物线 y=x2+1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F（0，2）的距离与到 x轴的距离始终相等，如图，点 M 的坐标为（，3），P 是抛物线 y=x2+1 上一个动点，则PMF 周长的最小值是（）A3B4C5D65.如图，点 A（a，3）

28、，B（b，1）都在双曲线 y=上，点 C，D，分别是 x 轴，y 轴上的动点，则四边形 ABCD 周长的最小值为（）ABCD6.如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，D、E 分别是 AB、BC 边上的动点，则 AE+DE的最小值为（）ABC5D7.如图，RtABC 中，BAC=90，AB=3，AC=6，点 D，E 分别是边 BC，AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为8.如图，等腰ABC 的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC 上，且 BF=3FC，EG 是腰 AC 的垂直平分线，若点 D 在 EG 上运动，则CDF 周长的最小值为9.如图，菱形 ABCD

29、 的边长为 6，ABC=120，M 是 BC 边的一个三等分点，P 是对角线 AC上的动点，当 PB+PM 的值最小时，PM 的长是（）-第 14 页ABCD10.如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD 平分CAB 交 BC 于 D 点，E，F 分别是 AD，AC 上的动点，则 CE+EF 的最小值为（）ABCD611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=（x0）的图象与边长是 6 的正方形 OABC的两边 AB，BC 分别相交于 M，N 两点OMN 的面积为 10若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN的最小值是（）A6B10C2D212.如图，ABC 中，A

30、C=BC=2，AB=1，将它沿 AB 翻折得到ABD，则四边形 ADBC 的形状 是形，P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB 上的任意点，则 PE+PF 的最小值是13.如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 C、D 两点，连接 AC、BC，已知 A（0，3），C（3，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MBMD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P，使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC

31、相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在四边形 ABCD 中，B=C=90，ABCD，AD=AB+CD-第 15 页（1）用尺规作ADC 的平分线 DE，交 BC 于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，证明：AEDE；若 CD=2，AB=4，点 M，N 分别是 AE，AB 上的动点，求 BM+MN 的最小值15.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及顶点 M 的坐标；（2）连接 AC、BC，N 为抛物线上的点且在第四象限，当 SNBC=S

32、ABC时，求 N 点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点 C 作直线 lx 轴，动点 P（m，3）在直线 l 上，动点 Q（m，0）在 x 轴上，连接 PM、PQ、NQ，当 m 为何值时，PM+PQ+QN 的和最小，并求出 PM+PQ+QN和的最小值16.如图，直线 y=5x+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，过 A，C 两点的二次函数 y=ax2+4x+c的图象交 x 轴于另一点 B（1）求二次函数的表达式；（2）连接 BC，点 N 是线段 BC 上的动点，作 NDx 轴交二次函数的图象于点 D，求线段 ND长度的最大值；（3）若点 H 为二次函数 y=ax2+4x+c 图象的顶

33、点，点 M（4，m）是该二次函数图象上一点，在 x 轴、y 轴上分别找点 F，E，使四边形 HEFM 的周长最小，求出点 F，E 的坐标17.如图 1，已知抛物线 y=（x2）（x+a）（a0）与 x 轴从左至右交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C（1）若抛物线过点 T（1，），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点 D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由（3）如图 2，在（1）的条件下，点 P 的坐标为（1，1），点 Q（6，t）是抛物线上的点，在 x 轴上，从左至右有 M、N 两点，且 MN=2，问 MN 在

34、 x 轴上移动到何处时，四边形 PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点 M 的坐标18.如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线经过 A（1，0），C（0，5）两点，与 x 轴另一交点为 B已知 M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P 是第一象限内抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；-第 16 页（2）当 a=1 时，求四边形 MEFP 的面积的最大值，并求此时点 P 的坐标；（3）若PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形 PMEF 周长最小？请说明理由19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 P1（x1，y1），

35、P2（x2，y2），可 通 过 构 造 直 角 三 角 形 利 用 图 1 得 到 结 论：P1P2=他还利用图 2 证明了线段 P1P2的中点 P（x，y）P 的坐标公式：x=，y=（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）已知点 M（2，1），N（3，5），则线段 MN 长度为；直接写出以点 A（2，2），B（2，0），C（3，1），D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐标：；拓展：（3）如图 3，点 P（2，n）在函数 y=x（x0）的图象 OL 与 x 轴正半轴夹角的平分线上，请在 OL、x 轴上分别找出点 E、F，使PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值2

36、0.如图，直线 y=kx+b（k、b 为常数）分别与 x 轴、y 轴交于点 A（4，0）、B（0，3），抛物线 y=x2+2x+1 与 y 轴交于点 C（1）求直线 y=kx+b 的函数解析式；（2）若点 P（x，y）是抛物线 y=x2+2x+1 上的任意一点，设点 P 到直线 AB 的距离为 d，求 d 关于 x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点 P 的坐标；（3）若点 E 在抛物线 y=x2+2x+1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，求 CE+EF 的最小值21.如图，在平面直角坐标系中，OA=6，以 OA 为边长作等边三角形 ABC，使得 BCOA，且点 B、C 落在过

37、原点且开口向下的抛物线上（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图中，假设一动点 P 从点 B 出发，沿折线 BAC 的方向以每秒 2 个单位的速度运动，同时另一动点 Q 从 O 点出发，沿 x 轴的负半轴方向以每秒 1 个单位的速度运动，当点 P运动到 A 点时，P、Q 都同时停止运动，在 P、Q 的运动过程中，是否存在时间 t，使得PQAB，若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由；-第 17 页（3）在 BC 边上取两点 E、F，使 BE=EF=1 个单位，试在 AB 边上找一点 G，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得四边形 EGHF 的周长最小，并求出周长的最小值本人所著初中几何模型与解题通法已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买本人所著初中几何模型与解题通法已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。2.包含 79 个中考热门模型，约 500 道优质中考原题；3.包含 18 个中考热门专题，每个专题包括模型介绍、方法原理、例题精讲、变式训练和中考真题，做到理论联系实际，讲练结合。4.例题精讲具有启发性，包括解题思路的分析，解答过程，易错点和技巧的总结，使读者触类旁通。