北师大版七年级上册第五章一元一次方程知识点总结(5页).doc

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1、-第 1 页北师大版七年级北师大版七年级上册第五章一元上册第五章一元一次方程知识点一次方程知识点总结总结-第 2 页一元一次方程知识点一元一次方程知识点（一一）、方程的有关概念、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2.一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数 x 的指数都是 1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如：1700+50 x=1800，2（x+1.5x）=5 等都是一元一次方程.（例 1）3方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.（例 2）注：方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的

2、含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（二二）、等式的性质等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc;如果 a=b(c0)，那么ac=bc（三三）、移项法则移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项（例 3）（四四）、去括号法则

3、去括号法则1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变（五五）、解方程的一般步骤解方程的一般步骤（例 4）1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2.去括号(按去括号法则和分配律)3.移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4.合并(把方程化成 ax=b(a0)形式)5.系数化为 1(在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 x=ba).一一列一元一次方程解应用题的一般步骤列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意（2）找出等量关系：找出能够表示

4、本题含义的相等关系（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案二二、一元一次方程的实际应用、一元一次方程的实际应用1.1.和、差、倍、分问题：和、差、倍、分问题：增长量原有量增长率现在量原有量增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现.例 1：兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁，多少年后兄的年

5、龄是弟的年龄的 2 倍？解：设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的 2 倍，则 x 年后兄的年龄是 15+x，弟的年龄是 9+x（点拨：-3 年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的 3 年，是与 3年后具有相反意义的量）-第 3 页1.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程_.2.用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是_、_.面积是_.2.2.等积变形问题：等积变形问题：（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积.（2)常见几何图形的面积、体积、周长计算

6、公式，依据形虽变，但体积不变圆柱体的体积公式V=底面积高Shhr2长方体的体积V长宽高abc例 2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到 0.1 毫米，3.14）解：设圆柱形水桶的高为 x 毫米，依题意，得1.一根内径为3的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8、高为1.8的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了.3.工程问题工程问题：工程问题：工作量工作效率工作时间完成某项任务的各工作量的和总工作量1例 3.一件工程，甲

7、独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得，(115+112)3+x12=11.甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少1m，若5天完工，两队每天各挖几米？4.行程问题：行程问题：路程速度时间时间路程速度速度路程时间（1）相遇问题：快行距慢行距原距（2）追及问题：快行距慢行距原距（3）航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度抓住两码头间

8、距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系例例 4 4.甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。（1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？解：解：设快车开出 x 小时后两车

9、相遇，由题意得，解：解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，解：解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，解：解：设 x 小时后快车追上慢车。由题意得，-第 4 页解：解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，例4.1.已知轮船逆水前进的速度为m千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度是_。1.A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？5.商品销售问题商品销售问题（1）商品利润率商品利润商品成本价100%（2）商品销售额商品销售价商品销售量（3）商品的销售利

10、润（销售价成本价）销售量（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售有关关系式：商品售价=商品标价折扣率（5）商品利润=商品售价商品进价=商品标价折扣率商品进价例 5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解：设该工艺品每件的进价是x元,标价是（45+x）元.依题意，得:8（45+x）0.85-8x=（45+x-35）12-12x1.一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出

11、，结果每件仍获利 15元，这种服装每件的进价是多少？6 6.流水行船问题流水行船问题顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。解答这类问题，一般要掌握下面几个数量关系：船速：在静水中的速度水速：河流中水流动的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度船速+水速=顺水船速船速水速=逆水船速（顺水船速+逆水船速）2=船速（顺水船速逆水船速）2=水速顺水船速=船速+水速=逆水船速+水速2过桥问题过桥问题一列火车通过

12、一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题。解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。基本公式有：桥长+车长=路程-第 5 页平均速度过桥时间=路程过桥时间=路程平均速度7 7.数字问题数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为 a，十位数字为 b，百位数字为 c十位数可表示为 10b+a，百位数可表示为 100c+10b+a 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9，0b9，0c9）（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n2 表示；奇数用 2n+1 或 2n1 表示.例 7一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是 8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的 2 倍多 l0求原来的两位数