同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式(11页).doc

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1、-第 1 页同济大学线性代同济大学线性代数教案第二章方数教案第二章方阵的行列式阵的行列式-第 1 页线性代数教学线性代数教学教案教案第二章方阵的行列式第二章方阵的行列式授课序号授课序号 01 01教教学学基基本本指指标标教学课题教学课题第二章 第一节行列式的定义行列式的定义课的类型课的类型新知识课教学方法教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段教学手段黑板多媒体结合教学重点教学重点n 阶行列式的定义、几类特殊行列式的值教学难点教学难点n 阶行列式的定义参考教材参考教材同济版线性代数作业布置作业布置课后习题大纲要求大纲要求理解 n 阶行列式的定义，熟悉一些特殊行列式的值；会用对角线法则计

2、算 2 阶、3 阶行列式。教教学学基基本本内内容容一、一、行列式的定义：行列式的定义：排列：排列：从1,2,n中任意选取r个不同的数排成一列，称为排列.全排列：全排列：将1,2,n这n个不同的数排成一列，称为n阶全排列，也简称为全排列.标准排列标准排列：12n也是n个数的全排列，而且元素是按从小到大的自然顺序排列的，这样的排列称为标准排列.逆序与逆序数逆序与逆序数：在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列1 2niii的逆序数记为1 2niii.标准排列的逆序数为0.奇排列与偶排

3、列：奇排列与偶排列：逆序数为偶数的排列，称为偶排列；逆序数为奇数的排列，称为奇排列.n阶行列式：阶行列式：由2n个元素(,1,2,)ija i jn排成n行n列的正方形的数表：111212122212nnnnnnaaaaaaaaa，由这个数表所决定的数121212()12(1)nnnp ppppnpp ppaaa-第 2 页称为由2n个元素(,1,2,)ija i jn构成的n阶行列式，记为111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaa，即：1212121112121222()1212(1)nnnnnp ppnppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa.其中12np pp表

4、示对所有的n阶全排列12np pp求和,数,1,2,ijai jn称为行列式的,i j元素，其中第一个下标i称为元素ija的行标，第二个下标j称为元素ija的列标.方阵方阵A的行列式的行列式:记矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA，则行列式通常也称为方阵A的行列式，记为A.有时为了表明行列式是由元素ija构成的，也简记为det()ijaA、ijn na或ijna.二阶行列式二阶行列式:1212121112()12112212212122(1)p pppp paaaaa aa aaa.三阶行列式三阶行列式:123123123111213()212223123313233(

5、1)p p ppppp p paaaAaaaaaaaaa112233132132122331132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a.二、三阶行列式也可借助于对角线法则来记忆：二、几类特殊行列式：二、几类特殊行列式：11122122aaaa-第 3 页下三角行列式下三角行列式：112122112212000nnnnnnaaaa aaaaa.上三角行列式：上三角行列式：11121n22211220=00nnnnnaaaaaa aaa.对角行列式：对角行列式：112211220000=00nnnnaaa aaa.斜下三角方阵的行列式：斜下三角

6、方阵的行列式：斜下三角方阵1n2,121,1000nnnnnnnaaaaaa A，则1212,11=1n nnnna aaA.三、主要例题：三、主要例题：例例 1 设122331121A，求A.例例 2证明521641642335a a a a a a是6阶行列式66 6ijDa的一项，并求这项应带的符号.例例 3计算下三角方阵11212212000nnnnaaaAaaa的行列式A（这样的行列式称为下三角行列式）.例例 4计算上三角方阵11121n222000nnnaaaaaAa的行列式A（这样的行列式称为上三角行列式）.例例 5设斜下三角方阵1n2,121,1000 nnnnnnnaaaAa

7、aa，证明：1212,11=(1)n nnnnAa aa.-第 4 页授课序号授课序号 0202教教学学基基本本指指标标教学课题教学课题第二章 第二节行列式的性质行列式的性质课的类型课的类型新知识课教学方法教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段教学手段黑板多媒体结合教学重点教学重点行列式的性质、方阵可逆的充要条件教学难点教学难点行列式的性质参考教材参考教材同济版线性代数作业布置作业布置课后习题大纲要求大纲要求理解n阶行列式的性质，会用性质计算简单的n阶行列式；理解利用行列式判断方阵可逆的充分必要条件。教教学学基基本本内内容容一、行列式的性质：一、行列式的性质：转置行列式：转置行列式：

8、将行列式111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaa的各行元素换为同序号的列元素，所得到的行列式1121112222T12nnnnnnnaaaaaaDaaa称为行列式nD的转置行列式.性质性质 1行列式nD与它的转置行列式TnD相等.性质性质 2互换行列式的两行（或两列），行列式变号.以ir表示行列式的第i行，以ic表示行列式的第i列，交换第i、j行记为ijrr，交换第i、j列记为ijcc.推论推论 1若行列式中有两行（或两列）对应元素相等，则行列式等于零.性质性质 3若行列式的某一行（或列）有公因子k，则公因子k可以提到行列式记号外面；或者说，用k乘行列式的某一行（或某一列），

9、等于用k乘以该行列式，即111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa.第i行（或列）乘以数k记作ikr（或ikc），第i行（或列）提取公因子k记作1irk（或1ick）.-第 5 页定理定理 1设A是n阶方阵，则等式nkkAA成立.推论推论 2若行列式的某一行（或某一列）元素全为零，则行列式的值为零.推论推论 3若行列式某两行（或两列）元素对应成比例，则行列式为零.性质性质 4行列式的拆分定理11121111211112111221212121212nnnkkkkknknkkknkkknnnnnnnnnnnnnaaaaa

10、aaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa.性质性质 5行列式某一行（或某一列）的k倍加到另一行（或另一列）的对应元素上去，行列式的值不变.即111211112112121122121212nniiiniiinjijijninjjjnnnnnnnnnaaaaaaaaaiaaaiakaakaakajaaajaaaaaa.第i行（或第i列）乘以数k到第j行（或第j列）上记作jirk r（或jickc）.二、方阵可逆的充要条件二、方阵可逆的充要条件定理定理 2n阶方阵A可逆的充分必要条件是0A.定理定理 3设A、B是两个n阶方阵，则ABAB.推论推论 4设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B满足

11、ABE（或者BAE），则n阶方阵A可逆，且1A=B.三、主要例题：三、主要例题：例例 11211211211212461 2223 22 3 1236 1236912233 343234234.例例 2112233112331123322331122311223113311223312233122ababababaababbabababababaababbabababababaababbab-第 6 页例例 3计算行列式022213042113160731.例例 4计算行列式2111121111211112D.例例 5计算行列式7111141111211115D.例例 6设矩阵1111kkkk

12、aaaaA，1111ttttbbbbB，1111tkktccccC，若矩阵ACDOB，证明：DA B.例例 7计算行列式22nnababDcdcd ，其中未写出的元素为0.例例 8判断下列矩阵是否可逆：(1)111111111A；(2)213101121 B.例例 9设矩阵ACDOB，其中A、B分别为m阶、n阶可逆阵，求1D.例例 10设n阶方阵A满足22AE，证明矩阵AE可逆，并求1AE.授课序号授课序号 0303-第 7 页教教学学基基本本指指标标教学课题教学课题第二章 第三节行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开课的类型课的类型复习、新知识课教学方法教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、

13、自学教学手段教学手段黑板多媒体结合教学重点教学重点行列式按行（列）展开教学难点教学难点行列式按行（列）展开参考教材参考教材同济版线性代数作业布置作业布置课后习题大纲要求大纲要求理解余子式、代数余子式的概念和性质；理解行列式按行（列）展开的法则；会用行列式的性质和按行（列）展开的法则计算简单的n阶行列式。教教学学基基本本内内容容一、余子式与代数余子式：一、余子式与代数余子式：1.余子式余子式：对任意的1,i jn，在n阶行列式A中划去第i行和第j列后剩下的1n阶行列式称为,i j元素ija的余子式，记为ijM2.代数余子式：代数余子式：记(1)ijijijAM，ijA称为n阶行列式A的,i j元

14、素ija的代数余子式.二、行列式按行（列）展开：二、行列式按行（列）展开：定理定理设行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA，则有11221niiiiininikikka Aa Aa Aa AA1,2,in，称为行列式A按第i行展开，以及11221njjjjnjnjkjkjka Aa Aa Aa AA1,2,jn，称为行列式A按第j列展开.推论推论设ijA,1,2,i jn是行列式A中元素ija的代数余子式，则11220,ijijinjna Aa Aa Aij或11220,ijijninja Aa Aa Aij.有关于代数余子式的重要性质：有关于代数余子式的重要性质：-第

15、 8 页1,0,.nikjkijkAija AAij或1,0,.nkikjijkAija AAij其中1,0,.ijijij是克罗内克（Kronecker）符号.三、主要例题：三、主要例题：例例 1计算行列式3111142203000312.例例 2计算行列式1111201115335112.例例 3证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111nnnjiij nnnnnxxxVxxxxxxxx ，其中记号“”表示连乘积.授课序号授课序号 0404教教学学基基本本指指标标教学课题教学课题第二章 第四节矩阵求逆公式与克莱默法则矩阵求逆公式与克莱默法则课的类型课的类型

16、新知识课教学方法教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段教学手段黑板多媒体结合教学重点教学重点伴随矩阵、求逆公式、克莱默法则教学难点教学难点伴随矩阵的性质参考教材参考教材同济版线性代数作业布置作业布置课后习题-第 9 页大纲要求大纲要求理解伴随矩阵的概念和性质；熟悉矩阵的求逆公式，会用伴随矩阵求逆矩阵；理解克莱默法则。教教学学基基本本内内容容一、伴随矩阵与求逆公式：一、伴随矩阵与求逆公式：伴随矩阵伴随矩阵：设ijaA是n阶方阵，ijA是A的,i j元素ija的代数余子式，则矩阵1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵.引理引理设方阵*A是n阶方阵A

17、的伴随矩阵，则必有*AAAAA AA EA.定理定理 1如果n阶方阵A可逆，则有求逆公式1*1AAA.二、克莱默法则：二、克莱默法则：定理定理 2（Cramer（克莱默）法则）：如果线性方程组AX 的系数行列式不等于零，即0A，则方程组有唯一解：1212,nnDDDxxxAAA，其中(1,2,)jDjn是把系数行列式的第j列元素用的元素代替后得到的行列式.定理定理 3如果线性方程组AX 的系数行列式不等于零，即0A，则方程组一定有解，且解是唯一的.定理定理 4如果线性方程组AX 无解或有无穷多解，则它的系数行列式0A.定理定理 5如果齐次线性方程组0AX的系数行列式不等于零，即0A，则它只零解120nxxx.-第 10 页定理定理 6如果齐次线性方程组0AX有非零解，则必有它的系数行列式等于零，即=0A.三、主要例题：三、主要例题：例例 1设二阶矩阵abcdA，因为=abadbccdA，所以当0adbc时，矩阵A可逆.且由于A的伴随矩阵*dbcaA，所以1*11dbcaadbcAAA.例例 2判断矩阵123231312A是否可逆，若可逆，用求逆公式求逆矩阵.例例 3用克莱默法则求解线性方程组1231231231,221,231xxxxxxxxx.例例 4问取何值时，齐次线性方程组12312312330,10,10 xxxxxxxxx有非零解？