专练15（30题）（圆压轴大题）2022中考数学考点必杀500题（广东专用）（解析版）.docx

《专练15（30题）（圆压轴大题）2022中考数学考点必杀500题（广东专用）（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专练15（30题）（圆压轴大题）2022中考数学考点必杀500题（广东专用）（解析版）.docx（84页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022中考考点必杀500题专练15 （圆压轴大题）（30道）1. （2022广东珠海模拟预测）如图,。0是AABC的外接圆,AC是。的直径,点B是半圆ABC的中点, 点0是A0C上动点（不与点A、C重合），连接B交AC于点G.图1图2（1）如图1,过点8作B/AC,交A延长线于点，求证:所与相切;（2）若C=10, A = 6,求CG的长;（3）如图2,把AD8C沿直线BC翻折得到AEBC,连接AE,当点。在AOC运动时,探究线段AE、BD、 C。之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）详见解析;（2） ； （3） AE2 =2DB2 + CD2,详见解析.【解析】【分析】（1）连接OB,

2、求出08丄AC,根据8F C得到/FBO=90,问题得证;（2）作G丄C。交C。于点”，证明。 =G”，求出CD=8,根据tanZACD =-，4在mACG”中,设G” = 3a,则O”=3a, CH = 4a,求出C=一,G=一 ,根据勾股定理即可求出CG； 77（3）作 8W 丄 BE,使得 BM = BE,连接 EM , CM .证明 jABEs ACBM ,得至 AECM .证明 NCEM = 90, 得到CM2 = EM2 + EC2,根据数量关系进行代换即可得到AE? = 2DB2+ CD2.【详解】证明;（1）连接08,1 .。是 ABC的外接圆,AC是的宜径，点5是半圆8C的中

3、点,.ZBAC = ZACB = 45, OB I ACZABO = 45/ BF/ACNAB= 45 ,ZFBO = 90.6与0。相切;解:（2）作G”丄CO交。于点z7,，点是半圆周A5c的中点,2 .ZADB =/CDBAC是的直径/.ZAZ）C = 90.-.ZCDB=45：.DH = GH在MAACD中,AC = 0, AD = 6,：.CD = Stan ZACD -4在/?込CGH 中,设G = 3a,则0” 二 3。,CH = 4a二3 + 4。= 8, 7在/?込CGH 中,设G = 3a,则=3。,CH = 4a0, CH= , GH= 77在RtCGH中,CG = Jm

4、）+停j =与（3）结论:AE2 =2DB2+CD2作BW丄3E,使得= 连接EM, CM . ZABC = /EBM=90, . ZABE=NCBM , ;BA = BC, BE = BM ,/ABE 三CBM (SAS),:.AE = CM, ZBEC = /BDC = /BEM = 45 ZCE4/=90,:,CM2 =EM2 + EC. EM2 = 2BE2= 2BD2， EC = CD,.AE2 =2DB2+CD2/M【点睛】本题为圆的综合题目,考查了圆的性质,切线的判定,利用三角函数求线段的长,勾股定理等知识,综合 性较强.解第（2）步关键是添加适当辅助线GH,构造了等腰直角三角形

5、DHG和三边比为3:4:5的直角三角 形CGH:解（3）步关健是构造旋转全等，将三条线段转化在同一直角三角形CEM中,得出数量关系后再进 行线段的代换.2. （2022广东模拟预测）如图所示,Rt厶BC中:0C=9O,厶8=6,在A8上取点。,以。为圆心,以。8 为半径作圆，与AC相切于点。,并分别与厶8, BC相交于点E, F （异于点B）.（1）求证:8D平分MBC；（2）若点E恰好是厶。的中点,求弧BF的长;(3)若CF的长为1,求团。的半径长.【分析】(1)连接。,证明。5CJ得结论.(2)证明0。E, A08F是等边三角形即可解决问题.(3)如图3,过。作OM丄8c于A/,则= 四边

6、形CDOM是矩形,设圆的半径为r,则OA= 6- r. BM = FM = r- 1,证明 MDOAOMB ,由比例线段可得出r的方程，解方程即可得出答案.【详解】(1)证明:如图1中,连接。.图1.AC是。0的切线, :.OD1AC, .ZADO = 90, .ZC = 90 ,?ADO ?C,：.OD/BC, ? ODB ? DBC, .OD=OB, /ODB = NOBD, ? OBD ? DBC,3。平分6。.(2)解:如图1中,连接OE, OF .QAE= OE= OB, AB = 6, AE= OE= OB=2,Q?ADO 907, DE= -OA= 2, 2 DE= OE= OF

7、= 2, DQDE是等边三角形,. /DOE = 3,：ODHBC. ?AOD ? OBF 60?,QOF = OB, DOEB是等边三角形, ? FOB 60?,8尸的长二色避二空.1803(3)如图2中,连结。,过。作OM丄BC于 M,图2则= 四边形CDOW是矩形设圆的半径为，则。4=6- r. BM = FM = r- 1 ,QDO/BC, ? AOD ? OBM ,而 ZADO = 90。= /OMB , DADODOMB ,.OA OD OB BM .6- r r 9r r- 1解之得r = !或 (舍弃)，。的半径为万.【点睛】本题属于圆综合题,考查了切线的性质,矩形的判定,相似

8、三角形的判定与性质,等边三角形的判定和性 质,弧长公式等等，解题的关键是熟悉相关性质,学会用转化的思想思考问题.3. (2022广东模拟预测)如图1,有一块直角三角板，其中AB = 16, zACB = 90 , NCAB = 30, A、B在x轴上,点A的坐标为(20,0),圆M的半径为3b,圆心M的坐标为(-5,36),圆M以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动,运动时间为t秒;求点C的坐标;(2)当点M在ABC的内部且。M与直线BC相切时,求t的值:(3)如图2.点E、F分别是BC、AC的中点,连接EM、FM,在运动过程中，是否存在某时刻,使EMF = 90 ?若存在,直接写出t的

9、值,若不存在,请说明理由.【答案】(1) C(8,4)；(2) t=18s； (3) t = 15土加.【解析】 【分析】(1)如图1中,作CHS48于，.解直角三角形求出C, 。即可.(2)如图1-1中，设团W与直线8C相切于点N,作于”.求出。的长即可解决问题.(3)设3+),EF=-AB=8,由血/=90。,可得EA+A/尸=1尸,由此构建方程即可解决问题.【详解】(1)如图1中，作C7M48于，.斗图1EL4 (20, 0),48=16,团。/1=20, 08=4.在 RfflL48c 中,0EUCS=9O, AB=16, SCAB=30, SBC=-AB=8, 2CH=8C,sin6

10、0=4石，8=8ccos60=4, SOH=8, 0C (8, 473 ).(2)如图1 - 1中，设团M与直线8c相切于点N,作于.RLWN=A/=3 6,MNS1BC, MHSiBA,fSiMBH=mMBN=30, BH =上 A/4=9,回点 M 的运动路径的长为 5+4+9=18, 団当点M在团48。的内部且回与直线8C相切时，的值为18s.(3) 13c (8, 473)，B (4, 0), A (20, 0).aCE=EB, CF=FA,回E (6, 2。)，F (14, 2)，设 M ( - 5+3 3帀),EF=AB=8.WEMF=90,配:M?+M6=E尸,团(6+5 - /

11、) 2+ ( 73 ) 2+ (14+5 - t) 2+ () 2=82,整理得:t2 - 30/+212=0,解得:f=15土 JFJ.【点睛】本题是圆的综合题，考査了平移变换,解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识,解题的关键 是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.4. (2022广东模拟预测)问题提出:如图 1,在四边形 ABC0中,AB = AD = 3, ZBCDZBAD=90P , AC = 4.求5C + C)的值.问题解决:有一个直径为30cm的圆形配件。,如图2所示.现需在该配件上切割出个四边形孔洞。4BC,要求 NO = ZB = 60。，OAOC,并使切

12、割出的四边形孔洞。4BC的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面 积最小的四边形。45C?若存在,请求出四边形。4BC面积的最小值，及此时。4的长;若不存在，请说明 理由.【答案】4立(2)S四边形。18c最小为石,此时(长度为5【解析】【分析】(1)将8c绕点逆时针旋转90得E,证明C、D、E在同一条直线上,由是等腰直角三 角形得出结果;(2)类比(1)的方法，将08绕点顺时针旋转60至COE,连接8E,分析得:S四边形8。=S/AOB+SABCO=S/COE+S/BCO=SBOE - S/BCE=g - SBCE,故使BCE 的面枳最大，因 4BE=30, ZBCE=120a ,故作正B

13、EF,作它的外接圆。进而求得其最大值.解:(1)如图1,: NBCD=NBAD=90 , AD=AB,：.ZB+ZADC=180 ,.可以将Z8C绕点逆时针旋转90得/),；.NADE=NB, AE=AC, ZCAE=90 , BC = DE,.,.ZJf+ZJZ)C=180o ,：.C,、E在同一条直线上,BC+CD = CD+DE=CE=丘AC =4近；(2)解:如图2,图2连接08,；Z4OC=60 , OA=OC,.将N08绕0点顺时针旋转60。至COE,连接8E,；.ZBOE= 60 , OE=OB,BOE是等边三角形,：.BE=OB=15, ZBEO=60 , NCBE= NABO

14、= NCEO,：.ZCBE+ZCEB=60 ,:.NBCE=120 ,四边形 OABC=S/AOB+S/BCO=S/COE+S/BCO=S4BOE - S4BCE=召-S/BCE,4要使四边形OZ8C的面积最小,就要使ABCE的面积最大,作正BE凡作它的外接圆/,作直径C, 当C与C重合时,SABCE最大,SZ8C最大=3X15X (lx ) =/3 , 2234.S四边形。/18c最小= G，15此时。4 = OC= 2,=F = S 耳.cos 302【点睛】本题考查了用旋转构造图形,利用三角形全等和等腰(等边)三角形的性质和知识,解决问题的关键是作 辅助线和利用“定弦对定角”等模型.5.

15、 (2022广东模拟预测)已知,aABC内接于。,点为BC中点,直径历经过点,连接E.如图1,求证:BAE = ZCAE；(2)如图 2,连接。8、AF, NBOE = 2ZABC,求证:AF2OD；如图3,在(2)的条件下，/E和8c交于点G,若A = 8G, aACG的面积为100,求。8的长.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解(3)6【解析】【分析】(1)利用垂径定理结合圆周角定理得出答案:(2)过。作。歴4F于点K,连接4。、OC,利用已知得出团。附。K,进而得出答案;(3)过作38c于点,得出EDGsGAHG ,再证明AEFsoeg,进而得出答案.证明:E图1粧户是直径,D为B

16、C中点、aBE=EC，EZfiA = ZC4；(2)证明:如图2,过。作。KI3J尸于点K,连接。、则尸=2FK,图2SBOE=2ZABC, NAOC = 2NABC,BZAOC=ZBOE,环是直径,。为BC中点,0NBOE = NCOE, EFLBC.aZBOE = -AOE = ZF, 2OK&AF, EFIBC,IS NBDO = NOKF = 90,在团。8O和瓯。4中ZBDO = ZOKF/2，尸为的直径,0E4F = 9O ,BEF1BC.0ZE,ZX；=ZE4F = 9OO,BZE=ZE, AEFs DEG,EF AE nn EF 8aEG DE 3a 2 2a 团E尸=6伝=

17、12， 008=6.【点睛】此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识,熟练应用全等 三角形的判定与性质是解题关键.6. (2022广东清远模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,点A/的坐标是(5, 4),必与轴相切于点C, 与x轴相交于 B两点.(1)则点B, C的坐标分别是 (, ), B (, ), C (, )；(2)设经过 8两点的抛物线的解析式为(x-5) 2+%,它的顶点为,求证:直线均与0A/相切;在抛物线的对称轴上，是否存在点P,且点尸在x轴的上方，使胡8c是等腰三角形,如果存在,请求出 点P的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)2；

18、 0； 8； 0； 0； 4；(2)见解析(3) (5, 4+J55 )或(5,6)或(5, 4).【解析】【分析】(1)连接A/C、MA,设过点M与y轴平行的直线交x轴于,由切线的性质得出MC班轴,MC=MA=5, OC=MD=4,得出点C的坐标;由A/D匹!8,得出=8, 0A=90。，由勾股定理求出。,得出8。、0、 OB,即可得出点、8的坐标;(2)把点,4(2, 0)代入抛物线得出A-4.得出顶点的坐标,得出DF、MF,爲勾股定理.得出FA2 , 证出4I+必2=河产，由勾股定理的逆定理证出ELW/!尸 =90。，即可得出用与!W 相切;(3)由勾股定理求出BC,分三种情况:当尸8=

19、PC时,点P在8c的垂直平分线上,点P与“重合, 容易得出点尸的坐标:当BP=8C=4行时，山勾股定理求出PD,即可得出点P的坐标:当PC=BC=4 时，由勾股定理求出得出尸。,即可得出点尸的坐标.解:连接MC、MA,设过点M与轴平行的直线交x轴于。,如图所示:如M与轴相切于点C,0A7(轴,IW (5, 4),0A/C=A/J=5, OC=MD=4,0C (0, 4),血4二DB,耽/=90,ELW=不二3，05)=3,0OJ=5-3=2, 05=5+3=8,EL4 (2, 0), 5 (8, 0),故答案为2, 0； 8, 0； 0, 4； (2)解:把Z! (2 0)代入y = (x5)

20、+ k ,解彳号左=44团,449M (5,)49 2590A/F=4+ = , DF =,4 44動=4。 +。2 =0E42 + AAf2 = A/F2= 16田田与aw相切;（3）;理由如下:解:存在;点尸坐标为（5, 4+755）或（5, 历）或（5, 4）由勾股定理得:BC= 40cOB2 = 4，分三种情况:当，8=PC时,点P在8c的垂直平分线上,点P与A/重合EP （5, 4）；而BP=BC=A时,如图2所示:窮D=Jb*B =V80-32 =-Jt -EP (5, 71 )；图2当尸C=8C=4有时,连接MC,如图3所示:图3则 0PA/C=9O,根据勾股定理得:PM= y/

21、pc2 -MC2 = 780-52 = /55，朋D=4+后,EIP （5, 4+5/55 ）；綜I.所述:存在点P,且点P在x轴的上方,使E1PBC是等腰三角形,点尸的坐标为（5, 4+序）或（5, 亓）或（5, 4）,.【点睛】本题是二次函数综合题目,考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股 定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识;本题难度较大,综合性强,特别是（3）中,需要 进行分类讨论,运用勾股定理才能得出结果.7. （2022广东珠海二模）如图1,在正方形8co中，48=10,点。，E在边8上,CE=2, DO=3,以点。为圆心,OE为半径在其左

22、侧作半圆0,分别交。于点G,交C。的延长线于点./G=；(2)如图2,将半圆。绕点E逆时针旋转a (TVaV180。),点。的对应点为,点的对应点为,设A/ 为半圆。，上一点.当点落在。边上时,求点M与线段8c之间的最短距离;当半圆。/交8c于P, R两点时,若尿的长为n,求此时半圆。与正方形8CZ)重叠部分的面积;当半圆与正方形5c。的边相切时，设切点为N,直接写出tan团EN。的值.【答案】(1)6【分析】(1)连接。G,如图1,先由正方形的边长与已知线段求得半径。E,再由勾股定理求得。G,进而得G；(2)如图2,过点。，作。，翩C于点Z/,交半圆。，于点M,反向延长。交O于点。,由三角形

23、的中 位线求得。,进而由线段和差求得M便可:由弧长公式求得团尸。的度数,再根据等边三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算便可;分两种情况:当半圆。与正方形8c。的边8c相切时;当半圆。，与正方形8c。的边8相切时.分 别求出结果便可.(1)连接。G,如图1,图1团正方形8co中,48= 10,血iD=CD=4B=10, 0JDC=9O,0C=2, DO=3,OG=OE=CD - CE - OD=1Q - 2 - 3=5, DG=yJOG2-OD2 =4，EL4G=J)- DG=10 - 4=6,故答案为:6；(2)如图2,过点。作EBC于点H,交半圆0,于点M,反向延长，交。于点Q,则回0C=

24、9O。,F QB 1月1c图2根据三点共线及垂线段最短可得此时点例到8c的距离最短,E0C=0。=02C=90,团四边形。，8是矩形,ZHQ=CD=10, HQCD.团点。是EF1的中点,点。是P的中点,或広=8,13OQ = goE = 4,团0，=6, 田CE=2,。=3,0O=1O- 2 - 3=5,即半圆的半径为5,国A/=1, 即点M到8c的最短距离为1;由可知半圆。的半径为5,如图3,设即H的度数为图3由题意得,嬴的长为=看、5 =q,团0Po7? = 60,甌尸0尸+团EOH=120,由。120- 25团S扇形尸,0,产+ S扇形eo，r =松。x 5 =汽团。7?=尸,鹹。7?

25、尸是等边三角形,”山此时半圆。与正方形8。o重叠部分的面积为竺回 +交TT；43当半圆。与正方形8。的边8c相切时,如图4,过点作DHNE,与NE的延长线交于点,作EGWN于点 G,则 NG=CE=2, O,N= O,E=5fB图4良G=5 - 2 = 3,田 CN=GE=42 一y=4.DN = Rn? +C= JI16，NE=、cNC=20S.den=；DE.CN=；EN DH，SDH =DECN 8x4 16/5EN 一 2 小aNH=y/DN2 -DH2 =5r256 184116=55DH 80tanB7V) =-；NH 9当半圆与正方形/188的边8相切时,如图5,此时N与重合,则

26、E尸EWB,DZEFSCD, DE 84团 tan 团 ENQ =EF 10 5【点睛】 本题主要考査了圆的有关知识,矩形的判定和性质,勾股定理,弧长公式,解直角三角形,利用分类思想 解决问题是本题的关键.8. （2022广东模拟预测）如图，8是130的直径,点C是!30上一点（与点, 8不重合）,过点C作直线（1）求证:直线尸0是团。的切线.（2）过点/作CEP。于点，交。于点E,若。的半径为2, sin鼠C=5,求图中阴影部分的面积.0【答案】（1）见解析:（2）, 【解析】【分析】(1)连接0C,由直径所对的圆周角为直角,可得明C8=90。:利用等腰三角形的性质及已知条件以400= 助8

27、C,可求得(3OCQ=90。,按照切线的判定定理可得结论.(2)由sin团C=,可得皿C=30。,从而可得的 度数,进而判定S4E。为等边三角形,则EL40E 的度数可得:利用SAEO,可求得答案.【详解】AB是团0的直径，0a4c8=90.,OA = OC,00C45=0JCO.Eia4c0=EL48C,WCABL4BC=&4CO+ACQ=QOCQ=90,即 OCW5。, 回直线尸。是团0的切线.(2)连接OE,Elsin血!C=,ADQPQ,0HDJC=3O, EL4CD=l3ABC=60o.00BAC=3O0,00BAD=0DAC+0BAC=6O,又!204 = OE,团04EO为等边三

28、角形,00JOE=6O.心阴比=S扇形-SMEO=S- 50力sin6060 c2 1 c c x2 x2x2x 36022团图中阴影部分的面积为6.【点睛】 本题考查了切线的判定和性质,求弓形的面积和扇形的面积,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性 质,以及三角函数,解题的关健是熟练掌握所学的知识进行解题.9. （2022广东模拟预测）如图,为。的直径,C为上一点,D为AB上一点,BD=BC,过点作AE丄交CO的延长线于点E,CE交于点G,连接4c,4G,在4的延长线上取点,使/尸C4 = 2NE.（1）求证:C是。的切线;（2）若AC = 6, AG = M,求的半径.【答案】（D见解析

29、:（2） 5【解析】【分析】（1）根据题意判定a8aC8,然后结合相似三角形的性质求得/AGA2/E,从而可得/FC4=NAG。, 然后结合等腰二角形的性质求得/FCgO。,从而判定C是。的切线;（2）由切线长定理可得AF=C/，从而可得/必C=2NE,得到AC=A,然后利用勾股定理解直角三角 形可求得圆的半径.【详解】（1）证明:vZB=ZAGC, ZADG=ZCDB,：aADG4DCB,BD BC GO 一 G4 ,： BDBC,:.GD=GA, :.ZADG=ZDAG,又AE丄AB,：.ZEAD=90, ZG4+Z/MG=ZE+ ZADG=90,.ZG4E=ZE,/. AG=DG=EG,

30、 ZAGD=2NE,ZFC4=2NE,.ZFC4=ZAGD=ZB,5是的直径,. ZC4B+ZB=90,乂 QQ4=OC,:.ZACO=ZCAB,.-.ZFC4+ZACO=90,.ZFCO=90,即。是。的切线;(2)C是。的切线,AEABf:.AF=CF,.ZE4C=ZFC4=2ZE,AC=AE=h,又AG=DG=EG=M，在Rt/XAD石中,AD = DE2-AE2 =J2y/10-62 = 2 .设。的半径为,则AB=2x, BD=BC=2x-2,在RtZABC中,62+(2尸2)2= (2,解得:k5 ,.。的半径为5.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与

31、性质、勾股定理等,熟练掌握相关定理 与性质是解决本题的关键.10. (2022广东广州模)如图,在平面直角坐标系中,直线产x与双曲线y = 交于/, B两点,其中 x的坐标为(1, a), P是以点C( -2, 2)为圆心,半径长为1的圆上一动点,连接尸，。为尸的中点.求双曲线的解析式:将直线y = x向上平移用(m0)个单位长度，若平移后的直线与团C相切，求用的值求线段。长度的最大值.【答案】丄(2) ? = 4 y/2 或2 = 4 + y/2宇【解析】【分析】(1)先求出点的坐标,然后利用待定系数法求解即可;(2)由题总得平移后的直线解析式为y = x+，,如闇所示,被直线 = *+根与

32、圆C的切点为D,与 交点为，连接OC,过点C作CQr轴于E,先证明。、C、0三点共线，求出。=o，0,的长即为?的值，据此求解即可;(2)如图所示，连接8, PC, BC,证明。0是国必8的中位线，把求。的最大值转化成求尸8的最大值， 即转化成求圆外一点到圆点距离的最大值,由此求解即可.(1)解:0点4 (1, a)在直线产x上,0a=l,团点的坐标为(1, 1), 团把点A坐标代入到反比例函数解析式得1 =,团=1,国反比例函数解析式为y=丄:解:由题意得平移后的直线解析式为=+m.如图所示,设直线y = x+%与圆C的切点为,与y轴的交点为,连接0C,过点C作CSr轴于E,倒点的坐标为(0

33、, m)OH二M,团点 C (-2, 2),0CE=OE=2, OC = 4(-2)2 + 2? = 2近120co=45,豳。，=45,同理可证鲂。=45,0380C=90 ,即 0。3/18,13直线、 =苫+m与直线8平行，团OC与直线、=*+切垂直,乂团直线y=x+利与圆。相切于点c,EIC。与直线=+m垂直，EC, 0、0三点共线,团圆C的半径为!,页OD = OC-CD = 2広-1，000077=90, 0004=45,0007/0=45,007/= 00 = 2-1，0O7/ = VOW2+OO2 =4 - 近,0m=4-0同理当切点在圆上方时可以求得切=4 +应,综上所述,若

34、平移后的直线与团C相切,1 = 4一夜或? = 4 +企;解:如图所示,连接P8, PC, BC,由对称性可知、8关于原点对称,即。是8的中点,团点8的坐标为(-1, -1),团0是尸的中点，1200是S4P8的中位线,SOQ = PB,团要想。最大,则P8最大,PB = 8, 8c2=50,结合图形，四边形8C的面积为aAB。与aBC。的面积和，求解即可得;(3)根据题意作aAC,然后作aACD的外接圆自0,过点。作。4c于E,。値BC延长线于尸,利用三 角形内角和定理及锐角三角函数解三角形可得/ABC = 60 . AC = tan NA8aBe = 2，5,根据四边形/18co 是准平行

35、四边形,得H! ZABC = ZADC = 60,由等边对等角及三线合一性质可得/ACO = NC4O = 30 , CE = AE = ；AC = 6 利用锐角三角函数可得OE = 1, CO = 2OE = 2,由矩形的判定可得四边形CFOE是 矩形,BF = BC+CF = 3,利用勾股定理得出80 = 2,结合图形可得:当点在8。的延长线时,8O的 长有最大值,求解即可得.(1)证明:m/APC = NCP8 = 60,SZAPQ = 60, ZAPB = 120,国四边形尸8c是圆的内接四边形,0 ZAPS+ZACB = 180.fflZACB = 60,QAQ = AP , ZAP

36、Q = 60 ,13 AApQ是等边三角形，3 厶QP = NAC8 = 60 ,又 !3NQACWNQ8C,国四边形03c是准平行四边形:(2)如图所示：连接8,团四边形8c。是圆内接四边形, 0ZBAD+ZBCD = 18O, ZABC+ZADC = 180.EWC不是直径,SZABCZADC.田四边形ABCD是准平行四边形,S1ZBAD=ZBCD, ZABCZADC,团 /BW = ZB8 = 90, 鲂是直径,0BD = 1O,AB2 + AD2 = BD2 036 + AD2 =100.0AD = 8.aBC2+CD2 = BD2，BC = CD,0BC2=5O,团四边形/IBC。的

37、面积为:S.abd + S 及!) =-xABxAD+-xBCxCD=49；22= -x6x8 + -xBC2,2 2=49,团四边形ABCD的面积为49；3 3)如图所示:根据题意作“然后作C的外接圆团,过点作合的JC于,。凡広。交3c延长线于F,0ZACB = 9O, ZBAC = 30, BC = 2, 0ZABC = 6O . AC = tan ZABC?BC = 2/5.田四边形ABCD是准平行四边形,且/BCDZBAD,BZABC = ZADC = 60,fflZAOC = 120（旦 OE丄 AC, OA = OC,13 厶CO = NC40 = 30, CE = AE = -A

38、C = y/3 ,aOE = CE-tan Z.ACO =tSnSC- CO = 2OE = 2,回 OC = OD = O4 = 2,I3O丄 AC, OF丄BC, ZECF = 90.团四边形CFOE是矩形，I3C = O尸=,OE = CF = 1, BF = BC+CF = 3,0BO = ,8尸 + FCP = +（可=26,13当点在80的延长线时，8o的长有最大值,鮎长的最大值为:8。+。= 2+2.【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质,等边三角形的判定和性质,直径所对的圆周角为直角,利用勾股定理, 锐角三角函数解三角形,等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等，理解题意,作出相应

39、辅助线,综合运 用这些知识点是解题关健.（1）求证:8c是圆。的切线;12. （2021广东惠州三模）如图，在血48c中，0C=9O, 。平分站力C交于点。，。为4B上一点, 经过点,。的圆。分别交8, AC于点、E,尸，连接EE(2)求证:AD2=AF*AB-,5(3)若BE=16, sinB= 求？I。的长.【答案】（1）见解析（2）见解析、60对【解析】【分析】（1）连接。,证/C4）= /O”,进而得到尸。AC得/ODB = NC = 90。,即可解决问题;（2）连接。F,先证所 BC得/AE尸=N8,再由圆周角定理得/AEF = NA。,则/B = NA。,然后证aABDsaA。,AB-.AD=AD-.AF,即可得出结论;（3）先由锐角三角四数定义得sinB =与一二,设。的半径为，则，”二,求得,进而得到AE,OB 13r+lo 13A8的长度，再由三角函数的定义求出质,最后利用（2）的的结论即可解决问题.证明:连接0。,如图1所示:EL4。平分皿。,038。=团。,130/ =。,瓯8。=回。,回回。=130。，0PZ50JC,昵。8=团。=90,138c3。，又