小升初奥数知识汇总-小升初奥数常考内容.docx

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1、第一讲计算综合【内容概述】1.2.nX (n+l)=nX (n+1) X (n+2)-(n-l) XnX (n+1)4-3；从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：12+22+32+3.平方差公式：a2-b2=(a+b) (a-b).【典型问题】虢四级数：*1.试比较a、b的大小.【分析与解】1,1a =：,b =：2+2+98 H98 HAB其中 A=99,B=99+一.因为 A98+,100A B96 +9798 + - B97+2+3+98+- B所以有a 63h + c + d 61a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82.评注：不能把不等式列为，如果这样将+崛+得

2、到a + b + c)60a+b+d60a+c+d)60(3)b+c+d603(a+b+c+d)240, a+b+c+d80,因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.2 .用1,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABCXDE-FGHXIJ的计算结果的最大值.【分析与解】为了使ABCXDE-FGHXIJ尽可能的大，ABCXDE尽可能的大，FGHX IJ 尽可能的小.则ABCXDE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所

3、以为7、9,然后为3、5,最后三位数的个位为1,并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751,93.贝IJFGHXIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468X20.所以 ABCXDE-FGHX IJ 的最大值为751X93-468X20=60483.评注：类似的还可以算出FGH X IJ-ABC X DE的最大值为640 X 82-379 X 15=46795.3 .将6,7,8,9,10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少？【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10,为

4、了让和数最小，10两边的数必须为6和7.然后考虑9,9显然只能放到图中的位置，最后是8,8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算.8X7+7X10+10X6+6X 9+9 X 8=312;9X7+7X 10+10X 6+6 X 8+8 X 9=313.所以，最小值为31最4 .一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【分析与解】设这个两位数为ab=10a+b,它们的数字和为a+b,因为10a+b=(a+b)+9a,所以10a+b三9a (mod a+b),设最大的余数为k,有9a三k (mod a+b).特殊的当a+b为18时，有9a=

5、k+18m,因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18,即0,9,也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18,即最大为17时，为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；悌二种情况I：余数其次为15,除数a+b只能是17或16,除数a+b=17时，有9a=15+17m,有一 ，（t为可取0的自然数），a是一位数，a=13+17t显然也不满足；39 t除数a+b=16时，有9a=15+16m,有/一一（t为可取0的自然数），因为a是一位数,a=7+16t所以a只能取7,对应b为16-7=9,满足；所以最大的余数为15,此时有两位数79+（7+9）=415.5.用1,2

6、,3,4,5,6,7,8,9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少？【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百9 x x一 X X位为9,减数的百位为1,如果差的百位为8,那算式就是如下形式：8 x x剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7,因为百位数字为8,所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2,因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：97X97X97X97X96X-15X-14X-13X一12X-14X8XX，8XX8XX，8XX8XX96X96X95X95X94X-13X

7、-12X-13X-12X-12X8XX8XX8XX8XX8XX *得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1,可能的算式形式如下97一15XX97-14XX9-174XX9-173XX-917 x2 x82X，82X，83X，84X，85 X97 x96 x96X96x95X95X-12 x-13 x -12X -12X -13X -12X84 x 82 x 83X，84x 82x 83X .但这时剩下的数都无法使算式成立.再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8,因此，算式可能的形式为：92 x 92 x 93

8、x 93 x 94 x-13x -14 x -14 x -15 x-15x78x*78 x-78 x*-78 x _78x 94x 95x-16x -16x78x f -78x,再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：-152-162784783,所以差最大为784.6.4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等.这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？12a+l（其中m、n、a, b均为非 2b+l【分析与解】设这四个分数为上1_、2m 2n零自然数）有+-+

9、,贝！有=-,2m 2n 2a+l 2b+l 2m 2b+l 2a+l 2n我们从m=l, b=l开始试验：1111111111=+=+-,=+-=+,263443124661111111111+_+_+=+420588,53061010,11111=+=+,65101212我们发现，和5分解后具有相同的一项而且另外两项的分母是满足一奇一偶,5610满足题中条件：+-+,所以最小的两个偶数和为6+10=16.5156107.有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】13个整数的和为100,即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为

10、12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个.但是我们必须验证看是否有实例符合.当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132,而2个不同的奇数和最小为1+3=4.它们的和最小为132+4=136,显然不满足:当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90,而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16,还是大于100,仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56,6个不同的奇数和为1+3

11、+5+7+9+11：36,满足，如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,9,11的和即为100.类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2,4,8,10,16,1.3.5,7,9,11,13,15满足.所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个.第四讲几何综合内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系.与上述知识相关的几何计算问题.各种具有相当难度的几何综合题.典型问题1.如图30-2,已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积

12、为多少图 30-2平方厘米?【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关.设正方形CEFG的边长为X,有：1 I Ox x2Swcd=10x 10=100, S正方形的G=x2, S叩=5DGxGF=(10-x)x=-y-,Ii10x+x2又 Saab。=万 x 10 x 10=50, SMef =5(10+X)X=-.阴影部分的面积为：S正方形ABC。+ SE方形CEFG + SadgF -BEF2 10%-X2“10X+X2 UC/F4.LW、=100+三+50=50(平方厘米).22方法二：连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.有DFB、AD

13、BC共底DB,等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,4DBC的面积-x!OxlO =5O (平方厘米).2阴影部分4DFB的面积为50平方厘米.2 .如图30-4, ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI 等于多少度?图30-4【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有NI=18O-(N1+N2),而Nl=180-N3, N2=180-N4,有NI=N3+N4-1800同理，ZH=Z4+Z5-180, ZG=Z5+Z6-180, ZF=Z6+Z7-180, Z E= Z 7+ Z 8-180,ZD=Z8+Z9-180, ZC=Z9+Z 10-180, ZB=Z1O+Z1

14、1-18O0, ZA=Z11+Z 3-180则NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG+NH+NI=2X (Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+ Z11)-9X180而N 3+N 4+N 5+N 6+N 7+N 8+N 9+N 10+N 11正是9边形的内角和为(9-2) X 180=1260.所以 NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG+NH+NI=2X 1260-9 X 180=9003 .长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形.考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形

15、拼接成一个更大的长方形.例如，短边长分别是1,2,5,6,12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示.请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设ai=la2aKa/a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a a%&, a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一.图30-6【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出.第一类情况：以为特征的有7组:第1种情况第谢情况第7种情况为特征的有6组:第10种情况第8种情况第9种情况第二类情况：以第12种情况第13种情况第三类情况有如下三组:第14种情况第16种情况第15种情况共有16

16、组解，它们是：(1,2,2.5,5,7.25),(1,2,2.5,5,14.5).(1,2,2.25,2.5,3.625),(1,2,2.25,2.5,7.25).(1,2,5,5.5,6),(1,2,5,6,11),(1,2,2.5,4.5,7),(1,2,2.5,4.5,14),(1,2,5,12,14.5),(1,2,5,12,29),(1,2,2.25,2.5,4.5),(1,2,5,6,12).13102514W 78131014 .如图30-8, ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E, F分别为边AB, BC的中点.则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米？图 30-8【分析与

17、解】如下图所示，连接EC,并在某些点处标上字母,因为AE平行于DC,所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2,所以：Sadcg =1：4,S“GD X SAECG = SmeG X SgcG，且有 SMGD = SaecG，所以 SmeG S&ADG =12,而这两个三角形高相同，面积比为底的比,即EG： GD=1:2,同理FH： HD=1:2.有 SmeD = SgEG + SGD 而 SgEQ 二万 X / X S ABCD =18（平方厘米）有 EG: GD= Smeg : S“gb 12所以=6（平方厘米）Smgd =_xSga =12（平方厘米）同理可得S.c=6（平方厘米），

18、S皿-12（平方厘米），S3；=4Smeg =4x6=24（平方厘米）乂 S&GHD =MX：G NDCH =24T2=12（平方厘米）所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24（平方厘米），所以剩下的阴影部分面积为72-24=48（平方厘米）.5.图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米？图30-10【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG.DC设4AEG的面积为x,显然aEBG、BFG、4FCG的面积均为x,则ABF的面积为3x, Smbf=x20x10=100即x =那么正方形内空白部分的面积为4%=酬所A

19、ABF 233以原题中阴影部分面积为20x20-&=%（平方厘米）.336.如图30-12,若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1.求阴影部分的面积.【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等.我们把左下图中的每一部分阴影称为A,右下图中的每一部分阴影称为B.119乃大半圆的面积为3A +38+3上小圆的面积=x32x%=.222而小圆的面积为万，则A+B=7T 7T 5原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为一+=一万7.如图30-14,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4, BC=3, A

20、C=5,求AD边扫过部分的面积.（乃取3.14）图30-14【分析与解】如下图所示,如下图所示，端点A扫过的轨迹为端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD, AD所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分.显然有阴影部分面积为S直角+ S扇形ACT S直角认CD S扇形CD，D 而直角二角形A!D C、ACD面积相等.所以篝心-篝5=*田苧=7峥平方厘米）即AD边扫过部分的面积为7.065平方厘米.第五讲数论综合【内容概述】涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题.1 .如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少？【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。所以n小于5.I第二种情况:当n为4时,如果其内含有5的倍数(个位数字为。或5),显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0：如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1,2,3,4或6,7,8,9；它们的积