【高分复习笔记】龙驭球《结构力学Ⅰ》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解（下册）.docx

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1、目录内容简介目 录第8章 渐近法及其他算法简述8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第9章矩阵位移法结构矩阵分析基础9.1 复习笔记9.2 课后习题详解9.3 名校考研真题详解第io章 结构动计算基础10.1 复习笔记10.2 课后习题详解10.3 名校考研真题详解第8章渐近法及其他算法简述8.1复习笔记、矩分配法的基本概念1 .名词解释转动刚度、分配系数、传递系数（1）转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。杆端的转动刚度以S表示,它在数值上等于使杆 端产生单位转角时需要施加的矩。常用转动刚度汇总如下:远端固定S = 4/远端简支S = 3/1远端滑动S = /远端自

2、由S 二 （2）分配系数M=M=其中,即称为分配系数。（3）传递系数M函仞这个比值0”，称为传递系数。传递系数表示当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。对等截面杆件来说,传递系数C随远端的支承情况而异,数值如下:r L远端固定 2远端滑动C= -1远端较支C =02 .基本运算环节(单结点转动的力矩分配)(1)力矩分配法的物理概念可用实物模型来说明。如图8-1-1所示为连续梁的模型。月K-图 8-1-1(2)计算步骤如下:设想先在结点B加一个阻止转动的附加约束阻止结点B转动,然后再加载荷。载荷在 附加约束处产生约束力矩，,且结构发生如图8-1-1 (b)所示变形。解除附加约束,使结构恢复到

3、原来状态,相当于在原有附加约束矩时处施加偶(,偶使结构产生变形,如图8-1-1 (c) 把图8-1-1 (b)、(c)所示两种情况叠加,就得到结构实际的变形,如图8-1-1 (a) 所示。此时将图8-1-1 (b)、(c)两种情况下的杆端弯矩叠加，可得图8-1-1 (a)实际 情况下的杆端弯矩。二、多结点的矩分配1 .多结点转动的连续梁和无侧移刚架的计算对于具有多个结点转动的连续梁和无侧移刚架，只要逐次对每个结点应用单结点的基本 运算，就可以渐近方式求出解答，求出杆端弯矩。2 .三跨连续梁的模型(1)连续梁ABCD在中间跨加祛码后的变形曲线如图8-1-2 (a)所示,相应于此变形的 弯矩是要计

4、算的目标。(2)先在结点B和C加约束,阻止结点转动,然后再加祛码。这时，约束把连续梁分成 了三根单跨梁，仅BC 跨有变形,如图8-1-2 (b)中虚线所示。(3)去掉结点B的约束(图8-1-2 (c),注意此时结点C仍夹紧),这时结点B将有 转角,累加的总变形如图8-1-2 (c)中虚线所示。(4)重新将结点B夹紧，然后去掉结点C的约束。累加的总变形将如图8-1-2 (d)中虚 线所示。从模型中可以看出,此时变形已比较接近实际变形。(a)图 8-1-2三、力矩分配法解对称结构1 .对称结构上任意荷载的计算作用在对称结构上的任意荷载,可以分解为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。2 .弯矩图和轴

5、图（1）在对称荷载作用下,弯矩图和轴图是对称的,而剪图是反对称的;（2）在反对称荷载作用下,弯矩图和轴图是反对称的，而剪图是对称的。四、无剪分配法1 .无剪力分配法的应用条件刚架中除杆端无相对线位移的杆件外,其余杆件都是剪静定杆件。2 .剪静定杆件的固端弯矩（1）根据静力条件求出杆端剪;（2）将杆端剪看作杆端荷载;（3）按该端滑动、另端固定的杆件进行计算。3 .零剪杆件的转动刚度和传递系数（1）在图8-1-3中,杆AB称为零剪力杆件。变形特点是结点A既有转角,同时也有侧移；受力特点是各截面剪力都为零,因而各截面的弯矩为一常数。图 8-1-3 （2）当A端转动时,杆端偶为MV，=,I，Mja =

6、 MABS.AB = lAB由此可知,零剪力杆件的转动刚度为CH = - 1传递系数为五、矩分配法与位移法联合应用1.矩分配法与位移法联合应用的条件对于一般有结点线位移的刚架,矩分配法和无剪力分配法均不适用。为此,可联合应用 力矩分配法与位移法求解，用矩分配法考虑角位移的影响,用位移法考虑线位移的影响。務本结构2.矩分配法与位移法联合应用的计算原理图 8-1-4以图8-1-4 (a)所示刚架为例说明计算的原理。(1)采用修改的位移法(也称为线位移法)求解,取基本未知量只包含线位移,而不包 含角位移,位移法的基本结构如图8-1-4 (b)所示。(2)根据位移法的基本结构可知,基本体系为8-l-4

7、(c)、(d)两种状态叠加,位移法的 基本方程为kQi+0=0(a)弯矩方程可以表示为a/=M + j/p( b)(3)采用矩分配法求得基本结构在荷载作用下的附加反、和弯矩。(4)假设1 =1,基本结构产生附加反II和弯矩即(5)根据位移法的基本方程(a),求出节点线位移A =,心然后按式(b)可作出弯矩图。六、近似法1 .忽略剪和轴引起的变形。2 .在竖向荷载作用下忽略刚架的侧移一分层计算法分层计算法就是忽略侧移影响的种近似法,采用两个近似假设:(1)忽略侧移的影响,用矩分配法计算;(2)忽略每层梁的竖向荷载对其他各层的影响，把多层刚架分解,层层地单独计算。3 .在水平荷载作用下忽略刚架的结

8、点转角反弯点法多层多跨刚架采用反弯点法,基本假设是把刚架中的横梁简化为刚性梁。七、超静定结构各类解法的比较和合理选用1 .基本方程直接解法和渐近解法的比较(1)直接解法是首先建立基本方程,通常是一组线性代数方程,然后采用直接法求解这 组线性代数方程;(2)渐近解法分两种:首先建立基本方程,但解方程组时却采用迭代解法，这是种后半截的渐近法;不去建立线性代数方程组，而是根据力学概念，使结构的受力变形状态以渐近方式逼 近真实的受力变形状态,这是一种全过程的渐近法。2 .手算方法和计算机方法的比较(1)结构力学学科是在手算条件下逐步形成的,经典结构力学讲的都是手算方法；(2)计算结构力学是借助计算机采

9、用数值方法解决结构力学问题的个分支学科。3 .超静定结构解法的合理选用(1)从机算角度来看,一般都选用矩阵位移法，用个通用程序就可对各种形式的静定 和超静定结构进行计算；(2)从手算角度来看,省事且能满足精度要求的方法就是好方法,就是合理的方法。下 面主要从手算角度,针对不同的结构形式,说明计算方法的合理选用方案;超静定桁架超静定桁架由于结点位移太多,宜使用法。但计算桁架次应时,以力矩分配法为宜。超静定拱两校拱和无较拱需用力法计算。计算连续拱时，可取曲杆为单元,使用位移法或力矩分配 法。连续梁刚性支座上的连续梁,最宜采用矩分配法。弹性支座上的连续梁，宜用法或位移法。刚架无结点线位移的刚架,可采

10、用矩分配法。无结点角位移的刚架,可采用位移法或剪分 配法。超静定次数少而结点位移较多的刚架可采用法。多层刚架可采用无剪力分配法、 矩分配法或近似法。、超静定力的影响线1 .超静定力的影响线的作法（1）用力法（或位移法、力矩分配法等）直接求出影响系数的方法;（2）利用超静定力影响线与挠度图间的比拟关系的方法。2 .利用挠度图来作超静定力的影响线的步骤（1）撤去与所求约束Zi相应的约束;（2）使体系沿的正方向发生位移，作出荷载作用点的挠度图,即为影响线的形状;（3）将前图中的竖距除以常数8“（即在M图中对竖距进行放大和变换,把其中的参数 5”换成1）,便确定了影响线的数值；（4）横坐标以上图形为正

11、号,横坐标以下图形为负号。8.2课后习题详解A ,0 55kNmC貝日町X1 2m 卜 6m/8-1试用力矩分配法计算图8-2-1所示结构,图 8-2-1解:（a）求固端弯矩Mh = -gFpl= -20kN - m, M 8=1 + 1/2 =0, 7，m = 1 一。=- 求分配系数-T-VTD小常数 . 2nl . . 2m | 1 m . |并作M图。 =、尸p=20kN - in 8333放松B点进行力矩分配（B点的集中力偶应该与固端弯矩起分配）,分配过程如图8- 2-2所示,并作出M图如图8-2-2所示。0.6670.333_ 18-20200一 25-50-25-45-30-25

12、计其过程25.一 I 一Mffi（单位:kN m）图 8-2-2（b）考虑去掉悬臂部分CD,去掉后在C点施加大小为!0kN m的顺时针偶矩。”;，.=,F = - 18kN m （集中力引起）%=；X 10kN - in =5kN - m （附加偶引起）J=Mg, + l/J = - 13kN , m, Mg = lOkN , in求固端弯矩（注意,C点的附加偶传递到B点的作用不能忽略）as = 0. 667, /jlbc = 0. 333求分配系数放松B点进行分配,分配过程如图8-2-3所示,并作M图如图8-2-3所示。计弟过程.6710dilTIrrrh（単位:kN m）图 8-2-4解:

13、(a)、(b)结构中杆件既有侧移,剪力也不静定,所以不能用无剪分配法计算。(c)结构中,竖杆为剪静定杆,斜杆两端无垂直于杆轴的相对线位移,所以是无侧移 杆，可以用无剪力分配法计算。(d)、(e)、(f)结构中,竖杆为剪静定杆，横杆为无侧移杆,可以用无剪分配 法。8-3试讨论图8-2-5所示结构的解法。用什么方法?各杆的固端弯矩、转动刚度和传递系 数如何确定?图 8-2-5解:(a)只有一根立柱,且横梁外端的支杆与立柱平行,可以用无剪力分配法。横梁CD、BE按近端固定支承、远端较支来计算其固端弯矩，因而有= 3/；7, S庵=3県,传递系数均为0；竖杆AB按B端滑动支承、A端钱支来计算其杆端弯矩

14、，因而有:其转动刚度及传递 系数均为0;竖杆BC按B端固定支承、C端滑动来计算其固端弯矩,因而有传递系数为- 1。(b) BCD部分只有一根立柱,且横梁外端支杆与立柱平行，可以用无剪力分配法;而 BEFA部分用矩分配法计算。BC杆按B端固定、C端滑动来计算其固端弯矩,因而有=,传递系数为 1；CD杆按C端固定、D端钱支来计算其固端弯矩,因而有用，=苞，传递系数为0;BE和BF按B端固定,E、F端絞支来计算其固端弯矩,因而有川=3,川S卅=3, 传递系数均为0;AB杆按两端均固定来计算其固端弯矩,因而有=4厶,传递系数为1/2。行 3OkN/m赧咖叫耕出生EEI=eDr 55f亠 2m 十4m8

15、-4试作图8-2-6所示刚架的M图(图中EI为相对值)。图 8-2-6解:（1）求固端弯矩,l/Jn = 15kN , in, M, - -4_/： = -60kN , in M/h =24* = ，514，m=23（2）求分配系数3_一；F= 0.257, “即=0.22923(3)放松B点,进行力矩分配,分配过程如图8-2-7所示,并作M图如8-2-7所示。400kN片40kN/m勿B,LLLLLLLLLLiD勿 EE X 比2 X 4 X6m I 3m I 3m I 6m v图 8-2-78-5试作图8-2-8所示连续梁的M、Fq图,并求CD跨的最大正弯矩和反。图 8-2-8解:求固端弯

16、矩嶋.=-J = -300kN m.FJ=0 二3(X)kN mM：“= -*=-180kN 求分配系数x4出】:2x4 +告4602=0. 4.4“ =0. 6%- x 4=24x4 + x366图 8-2-9力图（单位:kN）10.33 |0.67|0.4 |0.61CC夕 労 现 场00 300 -180050 100200 亠!00-44 v88-132 07.335 - 14.6729.33 14.665-2.933 -5.866 -8.799 ).489 0.9781 955 0.978-0.196 * -0.391-0.587 0).033 0.065 13006557,8611

17、5.71115.71s321.45321.390配过程如图8-2-9所示,并作弯矩图和剪图如图8-2-10所示。Frc =407.97kN（向上），Ga =66. 43kN（向上） 由剪图可知随“66弯矩在剪为处最大,距D点9 m处,则,66.43x1.66. .T . ,.=kN m = 55.144 m8-6图8-2-11所示某水电站高压水管,受管内水重及管道自重作用。试作水管的弯矩图和剪图。设EI为常数。图 8-2-11解:AB悬梁部分可以去掉，相应地在B截面施加一个逆时针的092集中力偶。求固端弯矩,1/。= -0. 02,=9-0. Oh/2 =0. 115,Mlt= - -ql2%

18、 = ；）/，% = ,J=，: =0. 0833M = 7 =- 57r =0. 43,m =M=0.5 求分配系数固端弯拉0.020.115-0.08330.0833-0.08330.0833放松。0,01360.0181 0 U09放松。0.00230.00450.0045 0 0023放松C-0.001-0.0013杆端野矩 0.020.1004-0.130.0788-0.078800856C截面所受的弯矩绝对值最大,因此先放松C点,分配过程如图8-2-12所示。图 8-2-12根据所求的杆端弯矩求出剪，作内力图如图8-2-13所示。O.KXM9/-0078的0.085印:图 8-2-

19、1380kN15kN/m小E3m I 3m6m8-7试作图8-2-14所示刚架的M图。设EI =常数。lH = _ 4J = -60kX m.:=-F|./ =60kN in 881/；,： = -：,图 8-2-19=-= -240k m.=-看=-120k , m求固端看矩求分配系数外二。,七=1-0.2=08进行力矩分配,计算过程如图8-2-19所示。据上所述,作出刚架的内力图如图8-2-20所示。120MW单位:kN -m)4S 三三-si三一三。网中位:kN)图 8-2-20120号户脚单位:kN)(7=IOkN/m屮“中”，霜屮”小ABCDE, 4m . 4m . 4m . 4m8

20、-10试作图8-2-21所示刚架的内力图。设El =常数。图 8-2-21解:图中为正对称结构,取半边结构研究,如图8-2-22所示。0.5 0 6.670.50.3330.33301-13.336.6713.333.330-13.3313.33片 10kN/m一 0.55-1.11一 1.11-1.11-0.550.280.280.1412 78ABCK-0.05-0.05-0.056.95-6.9515 64-1.16-14.49Fr半边结构图3.33-0.55勿以0.14-0.033.47-0.58力勿勿m计算过程（单位:kN . m）图 8-2-22M= 一，衿=一 13. 33kN

21、, in, Mkk = -MiH = 13. 33k、, tnMe = -13. 33kN m, M% =的!= 13. 33klN m 求固端弯矩求分配系数4As =AF = - , 3=bc=bg =0.333进行力矩分配,计算过程如图8-2-22所示。图（単位:kN）图 8-2-238-11试作图8-2-24所示刚架的M、Fq、Fn图（图中I为相对值）。/=O5I216 3m7=05127=2.74250kN250kN195kN 195kN I 65mEsz-夕=42kN/m开开卄幵幵tm!开开开1.78图 8-2-24解:图中为正对称结构,取半边结构如图8-2-25所示。求固端弯矩=卜

22、骞黑。 x8. 15 -0.5)黑:；(2 x8. 15-6.5)1=-883. 22kN m( 250 x0.5，195x6.5、,” e ,%=(通而 一 RTi)kN m = -509. 28kN mMh = - y x42 x8. 15:kN - m = -929.92kN * tnMm = -x42 x 8. 152kN , m = -464. 96kN m求转动刚度2 744 xO 512= 4=0.336. S俯二4二 日鼻. 234月S1=3祈=0. 234. 15. 75S/uf = huiB点Aag=0.3360.336 + 0.234=0.589=窮 =0. 218,S.

23、 =4im:=,：；.弟 =0. 166求分配系数4AB =0.4110234% 0.234 + 0.218 + 0.166=0.379921=0.353人”0.234 + 0.218 + 0.166 / c=0.268进行力矩分配,计算过程如图8-2-25所示。104.8图 8-2-25据上所述,作内力图如图8-2-26,8-2-27所示。445Mffl（単位:kN m）q图（单位:kN）图 8-2-26 102.4尸n图（単位:kN）图 8-2-274kN 12kN 12kN 4kNEl El(7=lkN/m图 8-2-28解:根据对称性,取半边结构如图8-2-29所示。A点左边可以去掉,

24、相应的在A截面施 加一个2 kx.m的附加力偶作用，CD部分去掉，附加个水平支杆。求固端弯矩MI； = - I黑 7(2-0.7) kN in= -5.46kN in心,=;j，kN tn = -2. 94kN * in求转动刚度Sw = tu; = -jE = 1.5E, S4c =4i4c = 1.333EA点S,:f： =4ict = ： E = l ,S, = 1. 333EC点求分配系数1.5 门!.333 4g=0.529 八1 反=0.57I -1.5 + 1.333, Aac=0471仆 1 333 + 1,七=0429 计算过程如图8-2-29所示。图 8-2-29据上所述,

25、作M图如图8-2-30所示。35LnTnTmTTTTr50 187i 0.187图 8-2-30IOkN/mmmmm./i=4图 8-2-31只需考虑反对称情况。选取半边结构如解:（a）将荷载分为正对称和反对称两种荷载, 图8-2-32所示,采用无剪分配法计算。半边结构图图 8-2-32M% = -yFpZ= -30kN - m,= -30kN - m求固端弯矩66求转动刚度/jlHl =；=0. 857, u,H. =0. 143产粧! +0. 167产刷图 8-2-33(b)采用无剪分配法计算。求固端弯矩唬=/心 X 10 x4N m =20kN.mSra 一2求转动刚度=3, SBC =

26、3，1 = 12见=3 + 2 = 2,=0. 8分配过程如图8-2-34所示,并作M图如图8-2-34所示。图 8-2-34 8-14试作图8-2-35所示刚架的M图。(a)(b) 2OkN/m二三如EZ97=5El=210m图 8-2-35D =555?解:（a）将荷载分为正对称和反对称两种,正对称情况采用力矩分配法,反对称情况采 用无剪力分配法。正对称情况,选取半边结构如图8-2-36所示。3kN/m熒6m0.5710.4299-5.14-3.863.863.86-3.863.86-9-2.57-11.575m正对称半边结构图计算过程1（単位:kN-m）Mr - 一 五ql2 = -9k

27、N , m, Mra - - Mb =9kN - ni 求固端弯矩n i始=- - 1. 333，SttE = = 求分配系数貞:1 =。571，Me=O- 429用分配法,计算过程如图8-2-36所示。反对称情况,选取半边结构如图8-2-37所示。3kN/m反对称半边结构图计算过程2（单位:kN-m）图 8-2-37Mh =-36kN in9 M=qF = - 18kN in 36求固端弯矩5八=,小= = 0 333 , Sre = 3i.=3363。19求分配系数用分配法,计算过程如图8-2-37所示。20.06A假!（単位:kN m）20.06图 8-2-38 (b)将荷载分为正对称和

28、反对称两种,正对称情况采用力矩分配法,反对称情况采用无 剪分配法。正对称情况,取半边结构如图8-2-39所示。正对称半边结构图毋-12-27计算过程1(単位:kN-m)=-= - 30kN m, Mtt = 15kN m36求固端弯矩, . A7求分配系数A/S =4/ =Jra - 2二 0. 4 , ba 二 0 6反对称半边结构图反对称情况,取半边结构如图8-2-40所示。计算过程2（単位:kNm）图 8-2-40求固端弯矩M；= _ gql = -11.25kN - m8求分配系数Nre = 0 89，见= 0. 1119 216.8Krn 三三三二二二!将中求得的结果叠加,作M图如图

29、8-2-41所示图 8-2-41/|=0.919kN38kN/2=0,3956=0,395Eoo/)=0.96=03956=0.395A8m“）8-15试作图8-2-42所示刚架的弯矩图。图 8-2-42解:荷载分解成正对称和反对称两种,只需计算反对称情况,取半边结构如图8-2-43所 示,采用无剪分配法。M=-! x9. 5 x 3. 8kN m = - 18. 05kN m = Mvm:Mks = -y x28.5 x3. 8kN - m = -54. 15kN - in = Mr求固端弯矩求分配系数= 3xL8=5.4=S.二 33=3 x 1. 8 =5.4 = S* 。=0 395

30、= S侦=S1H%=u 4+0 95 = 932.W = 0 0680 395,“偈=乳 公=。064 =,5 = 1-0.064 x 2 = 0. 872U。X X J Q半边结构图计算过程（单位:kNm）用分配法,计算过程如图8-2-43所示。图 8-2-43据上所述,作M图如图8-2-44所示。 kNm)图 8-2-44lOOkN三二三方8m8-16试联合应用力矩分配法和位移法计算图8-2-45所示刚架。图 8-2-45解:原刚架受力可分解为图8-2-46 (a)正对称荷载作用和图8-2-46 (b)反对称荷载作 用两种情况。(a) 50kN50kNS) 50kN50kNlokNm一Wb

31、=skN、m图 8-2-46 (1)正对称荷载作用分析取半边结构如图8-2-47 (a)所示,用力矩分配法求解。(b)59.5859.5813.3346.25-13.3323.135 0.75-25-15.42-40.42图 8-2-47计算杆端弯矩Z0 = 一:： = - 13. 33kN 111V/r( = 13. 33kN - inFva(2l-a)=-=- 75kN , in 尸Mkc = - -2厂=-25kN in吼=4 =4x3 = 12S(e =1:=2i(i =2x2 =4从，=0.75,出=0.25计算分配系数 弯矩分配 具体分配过程见图8-2-47 (b) 根据的计算结果

32、,以及体系的对称性得到“图如图8-2-48所示。图 8-2-48 (2)反对称荷载作用分析采用位移法求解,基本体系如图8-2-49 (b)所不。取半边结构如图8-2-49 (a)所示,b)E7NPI0 一图 8-2-49利用力矩分配法求解在荷载作用下的“p图。a.杆端弯矩求解M(t = - 13. 33kN , m.3 x50 x4Mce -= -37. 5kl inS, I =4i, I =4x3 = 12Sct = 3t = 3 x2il:l) = 3x2x2 = 12=0. 5 b.分配系数c.弯矩分配分配过程见图8-2-50 (a) d. 图7.25kNm-7.25根据计算结果可得到半

33、结构的“p图如图8-2-50 (b)所示。25.4kNm24.54kN15.45kN图 8-2-50e.求取隔离体如图8-2-50 (c)所示,求得马=-24.54kN。利用力矩分配法求解支座E向右产生单位位移时立1图。a,杆端弯矩以及分配系数求解=与当=-= -4. 5kN - m円=Nce =0-5b.弯矩分配具体分配过程见图8-2-51 (a) c.求解人图根据以上计算结果可以得到半边结构的立1图如图8-2-51 (b)所示。图 8-2-51(b)列位移法方程,求 A + % 二 a = 纽= nrd=|7.41.41必图根据必 +%,求得”2图如图8-2-52所示。图 8-2-52叠加

34、M和M图,即=M +弘,得到最终M图如图8-2-53所示图 8-2-5340k N/mHHED1=22/=1B(mz8-17试联合应用力矩分配法和位移法计算图8-2-54所示刚架。图 8-2-54解:原刚架受力可分解为图8-2-55 (a)正对称荷载作用和图8-2-55 (b)反对称荷载作 用两种情况。(a) 20kN/m皿“(b) 20kN/m图 8-2-55(1)正对称荷载作用分析取半边结构如图8-2-56所示。20kN/m图 8-2-56= 処=- - X 20 X 6? = -60kN.nl廊 1212M)=-M3. = 60kNm杆端弯矩求解 分配系数求解s4=4i = 4Snr =

35、 4/ = 8弯矩分配等 !30 -60204020-2001010弯矩分配过程如图8-2-57所示。图 8-2-57M图根据以上计算,以及图形的对称性,作“】图如图8-2-58所示图 8-2-58(2)反对称荷载作用分析取半边结构如图8-2-59 (a)所示,采用位移法求解,基本体系如图8-2-59 (b)所示。(a) _20kN/m(b) _20kN/m图 8-2-59用矩分配法计算荷载作用下的图a.杆端弯矩求解X ql2 20 x62 “可,)k1212M；) = - Ml)h = 60 kN *niS=4“ =, SI)E = 4/n/f =I 2内“ -,/用=4E%=4=亍% =% =41Red =，:=:b,分配系数求解 c.弯矩分配弯矩分配过程如图8-2-60所示。-4.27 Yf I6002064-1610.671.422.85-0.570.190.38-8.54 -2.131.421.14