七年级第二章有理数及其运算.docx

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1、第二章有理数及其运算知识点回顾1.正负数的概念：像5, 1.2, 1， 20%, K这样的数叫正数，它们都比0大。2在正数前面加上“一”号的数叫做负数，如-5, -1.2, -L -20%, -71负数都比0小。20既不是正数，也不是负数，是正负数的临界点，是基准。为了突出数的符号，可以在正数前加“+”号，仍然表示正数，如：+5, +1.2, +1, +20%2（强调：正数前的“ + ”号可省略，但是负数前的“一”不能省略。带有“一”号的数不一定是负数，比如一（一3）, a,取决于a是正数，负数，还是0）2 .正负数的作用：常常用正数和负数表示一些意义相反的量，在用正负数表示相反意义的量时注意

2、带单 位。3 .有理数的分类：无限不循环的小数是无理数，如万，其他的小数都可以化成分数，是有理数。分类1：正整数：如1, 2, 3, 4（首先是正，其次是整数，两个条件）整数4 o负整数：如-1, -2, -3, -4（首先是负的，其次是整数）有理数分数C正分数：1.2, 20%, 1，2.34（首先是正的，其次是分数）I 2I负分数：-1.2, -20%, -L -2.34（首先是负的，其次是分数）2（注：正整数和0统称为自然数，即0, 1, 2, 3, 4）分类2：正整数：如1, 2, 3, 4（首先是正，其次是整数，两个条件）希有理数正分数：如1.2, 20%, 1，2.34.（首先是正

3、的，其次是分数）2有理数 0 r负有理数，负整数：-1, -2, -3, -4,（首先是负的，其次是整数）I 负分数：-1.2, -20%, -L -2.3,.（首先是负的，其次是分数）2（注：万是正数，但不是正有理数。最小的自然数是0,最小的正整数是1,最大的负整数是-1。没有最大的正有理数，正整数；也没有最小的负有理数，负整数。）4 .数轴的概念：规定正方向，原点，单位长度的水平直线叫数轴。单位长度是任意规定的，不是固定不 变的。5 .数轴与有理数：任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示。原点表示0,正数在原点右侧，负数在原点左侧；用数轴表示有理数时，先定位，再定距离。利用数轴比较

4、有理数的大小：右边的始终比左边的大。6 .相反数：如果两个数只有符号不同，则其中一个数叫另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。相反数在数轴上的特点：分居原点两侧，且到原点的距离相等。(3) a+b = Oo a = -ba, b 互为相反数。a的相反数为-a, a+b的相反数为-(a+b) =-a-b, a-b的相反数为-(a-b) =-a+b=b-a.0的相反数为0,反之，相反数是它本身的数只有0,注意同绝对值等于它本身的数的区别。7 .绝对值的概念：绝对值是在数轴上定义的，同时也是绝时值的几何意义。一个数a所对应的点到原点 的距离叫做该数的绝对值，记作：,例如：+2的绝对值为1+21=

5、2, -3的绝对值为1-31=3。绝对值是一个距离，因此一个数的绝对值是非负数。绝对值等于0的数是0,绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，如1x1=2, x=2,解绝对 值方程用整体思想,如|xT|=2,则xT=2,从而有x=T或3。绝对值几何意义的推广：数轴上A表示数a, B表示b,则1AB| = |a-b|,反之|a-b|的几何意义为A,B 两点之间的距离。比如：|x-2l的几何意义为x到2的距离，|x+l|表示x到T的距离，利用绝对值 的几何意义解有关题有时更简单。比如|xT|=2即x到1的距离等于2,显然1左右两边各1个， 一个为3, 一个为T。8 .互为相反数的两个数的绝对值

6、相等，反之，绝对值相等的两个数不一定相等，可以互为相反数。还可 用这个结论进行化简，如l-x |=2可先化简为|x|=2,从而x = 2。9 .去绝对值符号 正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值既可以说是它 本身，也可以说是它相反数，因此，当反过来说时，要注意0。即绝对值等于它本身的是非负数， 绝对值等于它相反数的是非正数。比如：la-bl=b-a可知去绝对值符号之后是相反数，则a-bwo用符号表示：a=r 或者lal= ,去绝对值符号应该有整体思想，将绝对值符 a, a 0a,号11里看成一个整体，分类讨论这个整体是正，0,还是负。比如：u_=T，xNl

7、1 -x, x 1去两个绝对值符号需用到零点分段法：例如：化简lx-ll + lx + 21,两个零点分别是-2, 1,故分成三段来讨论，x-2, -2xl10 .绝对值与原数的关系：特别地，当取“”时，a为负数，当取“=”时，a为非负数。11 .有理数的加法法则：同号两数相加，结果取相同的符号，再将绝对值相加。异号两数相加，如果绝对值相等，则和为0,如果绝对值不等，则结果取较大绝对值数的符号，再 用较大绝对值减较小绝时值。一个数同0相加，结果等于这个数。(4)加法计算步骤：先定号，再定值。12 .有理数加法运算律及原则： 加法交换律：a + b = b + a ,加法结合律：(a + b)

8、+ c = a + (b + c),这两个运算律往往一起用。简便运算原则：互为相反数的两个数可放在一起先算，分母相同的可放在一起先算，能凑成整数的 可以放在一起先算，正负数可分别放在一起算，一组数据都在某个数上下徘徊，可设该数为基准。13 .有理数的减法法则：减去一个数，等于加上该数的相反数。14 .有理数的加减混合运算：在加减混合运算中，如果有括号，可以先算括号，也可以先去括号，去括号 原则：负负得正，一正一负得负，或者正号省略。去括号后，将减法变成加法，再用加法简便运算原 则进行计算。15 .时差的概念：甲地与乙地的时差=甲当地时间-乙当地时间。16 .水位变化(利用有理数的加减解决实际问

9、题)：读懂题，题中所给正负数可能相对于基准，也可能相 对于前一次纪录。17 .有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异好得负，绝对值相乘：任何数与0相乘，积仍为0。推 广到多个数相乘：积的符号由负因数的个数决定，偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负，然后 将每个数的绝对值相乘。18 .倒数：两个数的乘积为1,则称这两个数互为倒数，。没有倒数；倒数等于它本身的数只有：-1, 1 负倒数：两个数的乘积为-1,则称这两个数互为负倒数。19 .有理数乘法运算律：乘法交换律：ab = ba ,乘法结合律：(ab)c = a(bc),乘法对加法分配律：a(b + c) = ab + ac注意乘法分配律的

10、逆用，即提公因式，括号里一律看成“ + ”号。比如(-8)x(1 !-) = (-8)xl + (-1) = (-8)x 1 + (-8)x(-1)，1.3x2-1.3x12 = 1.3x24-1.3x(-12) = 1.3x2 +(-12)20 .有理数除法法则：除以一个数，等于乘以该数的倒数；0除以任何非零数都为0, 0不能做除数。21 .乘方：本质就是相同的数相乘的运算，为了方便而引入一个新的符号：an=axax.lxaxa,乘方的 结果叫毒，a叫底数，n叫指数，读作：a的n次惠(方)；若底数是负数，或者分数，应该用括号括 起来，比如：(_2)5, (I)4 =22 .乘方的重要结论(应

11、通过乘方的定义以及乘法的运算法则和运算律去理解记忆)(1)正数的任何次事都是正数；负数的偶次嘉是正数，负数的奇次基是负数；一个数的偶数次基为非负数，即/20。(2)注意(-。)与一优的区别，前者表示-。的n次嘉，后者表示a的n次幕的相反数。 0，=0, r =是偶数。(4)规定：a = l(a0), 0无意义。-1 是奇数(5) x2 = 16 x = +4, x4 = 16 =x = +2, (x + 1)2 =16=x + l = +4=x = 3, - 5(注：当指数为偶数时，X有两个；当指数为奇数时，X只有一个)(6)平方等于本身的数有：0, 1；立方等于本身的数有：0, 1, -k(

12、7)指数运算性质：amxan=am+n, am xbm =(axb)m, (am)=amn23 .有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除(同时有多个乘除，必须按先后顺序计算)，最后算加减； 如果有括号，可先算括号，如果括号前是加减号，可考虑去括号，如果括号前是乘号，可考虑用乘法 分配律。典型例题考点1.用正负数表示意义相反的量。例1：如果向东走了 10米记作+10米，小强向西走了 20米，应记作；小强向东走了-15米 的含义是;小强先向东走了 10米，再向西走了 30米，最后又向东走了 5 米，则小强最后的位置可记作：。变式训练：下列说法正确的是（）（A）若向南走记为正，则-10米表示向北走-1

13、0米；（B）若温度上升了 5匕记作+5C,则零下6应记作-6；（C）班上有男生20人记作+20人，则班上有女生23人应记作-23人。（D）若向东走记为“ + ”，则向西走了 30米可以表示为向东走了-30米。考点2.有理数的分类例2：下列说法：（1）正有理数和负有理数统称为有理数；（2）存在最小的整数；（3）存在最小的自然数;（4）正整数和负整数统称为整数；（5）正数和分数统称为有理数；（6） 0时最小的正数；（7）-1是最 大的负整数。其中正确的有。变式训练：将下列各数填在相应的集合括号内1，-6, 10%, 7, 0, 3,14, 200%, 3 万，一生，2.34. , 一2.543,

14、n2413整数集合,非负整数集合,分数集合,自然数集合,负数集合,正数集合。考点3.数轴的考查例3：将下列数表示在数轴上，并用符号连接：-支-（-1）, 0, 1-2.5142变式训练：1 .大于-4.3不大于2的整数有 o2.a,b,c在数轴上的位置如图所示，试比较a, -a, b, -b, c, -c, 0的大小，并用符号连接。 11_11c a 0 b考点4.相反数的考查例4：下列结论正确的有任何数的相反数都不等于它本身；符号相反的两个数互为相反数；若一个数大于它的相反 数，则这个数必是正数；表示互为相反数的点到原点的距离相等；两个数之和为0,则这两个数 必定互为相反数；互为相反数的两个

15、数之和必为0。变式：如果a 0,b 0 ,那么下列各式中大小关系正确的是（）A. abba B. -baba C. b -a a -b D. -a b a 0, blnl, 则 mn； 若 mn,则lmllnl； 若ImlH Ini,则 m/n； 若 mHn,则ImlH Ini2 .已知lal=2, lbl=5.ab；la+bl=a+b；la+bl=-a-b；分别在上述三种情况下求a+b的值。3 .若（lxl-l）2+ly + 2l=0,则x + y =4.计算 J-1I+|1-匕+23 21 + 1;2009 20082010考点6.有理数的加减运算例10.下列说法正确的是（）（A）两个数相

16、加，结果一定大于其中一个加数；（B）正数减去负数，差为正数;（C）负数减去负数，差为负数： （D）正数加负数，和不是正数就是负数。5 31例 11.计算（+3） + （-1一）一（一5一）一（+3.25）6 46例12.计算_+_+_+!+!1x2 2x32008x2009 2009x2010() 1 2 + 3 4 + 5+ 99 100例13.已知东京与北京的时差为1小时，纽约与北京的时差为-13小时，当北京时间为10： 00时，东京和 纽约的当地时间分别为多少例14.已知a, b,c在数轴上的位置如图1-1,用“”或“”连接则 ab 0 a+c 0, b+c0, c-a 0I IIIb

17、c 0 a变式训练：1.下列结论不正确的是（）(A)若a0,b0,则a+b0；(B)若a0,b0,则a-b0；(C) a0, bb, 9Aa+b0；2.计算- +- + . + ! +1x3 2x48x10 9x11(D)若a0, b0。2 6 12 20 30 423.计算 1 3 + 5 7 + 9 11 + 97 994.巴黎与北京的时差为-7小时，若从北京到巴黎的航班需要20小时，现从北京当地时间8： 00坐飞机飞 往巴黎，到达巴黎时，巴黎当地时间为多少？考点7.有理数的乘除运算例15.如果两个数的和是负数，乘积是正数，那么这两个数（）A.都是正数B.都是负数 C. 一正一负D.同号例

18、16. a,b为有理数，如果2 = 0,那么（）aA. b=0 且 awO B. b=0 C. a=0 或 b=0 D. a=0 且 b=0例17.计算：iia71（1）（-4A）x（-11）x-（2） 99x（-36）32 472小 ，5 31、-24x(+)6 8 12(4) -3.59x(-)-2.41x(-) + 7x(5)(_x(-l；)+(-2；)+(-2(6) 27 4-(-9)97变式训练1.五个数相乘，积为负数，则其中正因数的个数为2.有理数a,b,c满足a+b + c0,且“反x(_52)_(_2 嶙(-2变式训练 1.若lx-ll+(y + l)4=0,则xQ + y的n

19、(2) (-0.125) m ： (1) (-2严 x (-0.5严 x (11)7 x (-8)13 x (-|)9巩固练习选择题1.下列说法正确的是：（）A、正整数和负整数统称整数;B、正分数、负分数统称分数;C、零既可以是正整数也可以是负整数;D、一个有理数不是正数就是负数2.下列说法:互为相反数的两个数绝对值相等;绝对值等于本身的数只有正数,不相等的两个数绝对值不相等；绝对值相等的两数一定相等。其中正确的有：（）A, 0 个；B、1 个；C、2 个；D、3 个3.下列说法中不正确的是:A、最小的自然数是1； B、最大的负整数是一 1； C、没有最大的正整数；D、没有最小的负整数4.如果

20、a表示有理数，那么下列说法中正确的是（）（A） +a和一（一a）互为相反数（B） +a和一a一定不相等5.（C） a一定是负数不小于-4的非正整数有（(D) - (+a)和 + (-a) 一定相等A、5个B、4个C、3个D、2个6.已知。、为有理数，且a0,A、a b /? -aB、-b a b-aC、-a b -b a D、-b b -a b,则 a2b2:F列各式成立的是(B. (-x)4=-x4C.若a, b不全为零，则a+b5; D.若aWb,则a2b2.C. (x-y)=(y-x)3 D. -x3=(-x)311.如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧，那么这两个有理数的枳（）A

21、. 一定为正B. 一定为负 C.为零D.可能为正，也可能为负12.下列说法正确的是（）A.负数没有倒数B.正数的倒数比自身小C.任何有理数都有倒数D.-1的倒数是-1二.填空题._ 13 . -0.125的相反数的倒数是。b a O c14 .有理数a, b,在数轴上的位置如图所示,则a+b_0, a-b_0, aXb_0, a+b_0。15 . 一 (2. 9) -; +(-2.6) -： 一 + (-2. 6) -16 .绝对值小于n的整数有。17 .如果 2a3,贝“3 司=, |2-a| =.18 .已知 |x| = 3,= 4,且xy,则 x + y=19 .实数a、b在数轴上的位置

22、如图所示，那么化简la-b卜时的结果是 o111 bOa20.在下列数中，负分数有个；非负整数有_217, , 6, 0, 3. 1415, 5, 0.62,32a b c22 .已知a、b c都是有理数，目.满足以 + U + U = i a b c三.计算题23 . (1) -8=(-15) +(-9)-(-12)；(2)(-311(3) ()x(3) + (-1) + 3；(4) 一5241(5) 1- + -|x(_36)(6) 112 9 67个。-11.,则代数式：6-坐的值为ahc22.111) (7) -12 (4.2)-f-)5 73513 1 3-(i+6-4)X241H-

23、5)；(7) -2 (-)100+810 (-O.125100).(8) -(-2)2 -3h-(-1)3 +0x(-2)372 154、(9) -13x 0.34x- + -x(-13) x0.34(10) (-4)+(-2)2-(1-0.5x-)x 12(11) I1 +11 +11 - I1(12) 1248128J_J6-T2-J30-42(14) 1-2 + 3-4 + 5100 + 101100 99101 100102 10199 102四.解答题.、八一八 I a I I b I ab24 .已知ab0,试求11的值a b ab25 .已知a、8互为相反数，c、d互为倒数，团的

24、绝对值等于2,求的值.a + h + c知识点填空1 .正负数的概念：像5, 1.2, 1， 20%,乃，这样的数叫,它们都比02在正数前面加上“一”号的数叫做,如-5, -1.2,，-20%, -71 负数都比02既不是正数，也不是负数，是正负数的临界点，是基准。为了突出数的符号，可以在正数前加“+”号，仍然表示正数，如：+5, +1.2, +1, +20%2（强调：正数前的“ + ”号可,但是负数前的“一”不能省略。带有“一”号的数不一定是负数，比如一（一3）, a,取决于a是正数，负数，还是0）2 .正负数的作用：常常用正数和负数表示一些意义 的量，在用正负数表示相反意义的量时注意带单位

25、。3 .有理数的分类：无限不循环的小数是无理数，如；T,其他的小数都可以化成分数，是有理数。分类1：正整数：如1, 2, 3, 4,（首先是正，其次是整数，两个条件） 0、负整数：如-2, -3, -4（首先是负的，其次是整数）I正分数：1.2, 20%, 1，2.34.（首先是正的，其次是分数）【负分数：-1.2, -20%, -L -2.31“（首先是负的，其次是分数）2（注：正整数和0统称为,即0, 1, 2, 3, 4分类2：如1, 2, 3, 4（首先是正，其次是整数，两个条件）正数、：如1.2, 20%, 1，2.34（首先是正的，其次是分数）2有理数C、J 负整数：-1, -2,

26、 -3, -4,（首先是负的，其次是整数）I 负分数：-1.2, -20%, -J., -2.31（首先是负的，其次是分数）24.数轴的概念：规定的 叫数轴。5 .数轴与有理数:任何一个有理数都可以用数轴上唯一的 来表示。原点表示,正数在原点,负数在原点;用数轴表示有理数时，先定位，再定距离。利用数轴比较有理数的大小：右边的始终比左边的。6 .相反数：如果两个数 不同，则其中一个数叫另一个数的,也称这两个数互为相反数。相反数在数轴上的特点：分居原点,且到原点的距离 o a+b = Ooa, b 互为。a的相反数为，a+b的相反数为, a-b的相反数为.0的相反数为,反之，相反数是它本身的数只有

27、 o7.绝对值的概念：绝对值是在数轴上定义的，同时也是绝对值的几何意义。一个数a所对应的点到原点 的 叫做该数的绝对值，记作：lai,例如：+2的绝对值为1+21=2, -3的绝对值为1-31=3。绝对值是一个距离，因此一个数的绝对值是 数。绝对值等于0的数是0,绝对值等于一个正数的数有 个，且互为,如1x1=2, x=,解绝对值方程用整体思想，如|x-l|=2,则=2,从而有x=T或3。 绝对值几何意义的推广：数轴上A表示数a, B表示b,则|AB|=，反之I a-b |的几何意义为A, B 两点之间的距离。比如：Ix-2|的几何意义为x到 的距离，|x+l|表示 到 的距离，利用绝对值的几

28、何意义解有关题有时更简单。比如|xT|=2即x到1的距离等于2,显然1左右两 边各1个，一个为3, 一个为-1。8 .互为相反数的两个数的绝对值,可用这个结论进行化简，如|-x |=2可先化简为|x 1=2,再求解。9 .去绝对值符号 正数的绝对值是,。的绝对值是0,负数的绝对值是 o。的绝对值既可以说是它本身，也可以说是它相反数，因此，当反过来说时，要注意0。即绝对值等于它本身的是, 绝对值等于它相反数的是.比如：la-bl=b-a可知去绝对值符号之后是相反数，则a-bWO用符号表示：lal=V 或者lal= ， a, a ”时，a为 数，当取“=”时，a为 数。11 .行理数的加法法则：同

29、号两数相加，结果取 的符号，再将绝对值相 o异号两数相加，如果绝对值相等，则和为0,如果绝对值不等，则结果取 的符号，再用。一个数同0相加，结果等于.12 .有理数加法运算律及原则： 加法交换律：a + b = h + a .加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c),这两个运算律往往-起用。互为相反数的两个数可放在一起先算，分母相同的可放在一起先算，能凑成整数的可以放在一起先 算，正负数可分别放在一起算，一组数据都在某个数上下徘徊，可设该数为基准。13 .有理数的减法法则：减去一个数，等于 该数的 o14 .时差的概念：甲地与乙地的时差=当地时间-当地时间。15 .有理数

30、的加减混合运算：可考虑先将减法转化成,再利用加法法则，运算律进行计算。16 .有理数的乘法法则：两数相乘，同号得,异好得,绝对值:任何数与0相乘，积 仍为。推广到多个数相乘：积的符号由 的个数决定，偶数个负因数积为,奇数个负因数积为,然后将每个数的绝对值比如：abc0,则a,仇c中有 个正数。若abc,xy 4-x = -2x 2x + 3xy +16 .找规律：通常有两类，一类是数字规律，一类是图形规律。数之规律：找第n个数与项数n的关系，通常有平方关系，乘枳关系，相差一个常数等。比如:12342337445576, , ,再比如：12 3 44 9 1 25寻找前后两项的关系，比如差是否有

31、规律。比如：1, 4, 7, 10,，再比如：1, 3, 6, 10, 15, 图形规律：法一：通过前几幅图，转化为数字规律。法二：分析法：寻找图形的特点，按行安列分开数，然后相加。寻找后一幅图与第一幅图相比，增加的与n的关系。比如：教材中构成正方形的火材棍的根数问题。典型例题考点1.代数式的概念及列代数式。例1：在式子8, 2/8 + 1, x + 1 = 2, !, 5x-60, a中是代数式的有（）3x + yA、6个B、5个C、4个D、3个例2：下列各代数式：。.3；20%x；a-b + c；=一；m-TC ,不符合43书写要求的有 个。例3：根据题意列代数式。（1） a的平方的3倍与

32、a除以b的商的差； （2）解释代数式：/一/；（2）某商品2009年的售价是a元，若以后每年以10%的速度增长，则2011年的售价为一若2010年增长10%, 2011年在2010年的基础上又下降20%,则2011年的售价为，（3）某项工程，甲单独做需要x天，乙单独做需要y天，那么甲，乙合作，共需要 天。（4）如图：正方形的边长为a,用代数式表示阴影的面积。若a=2cm时，求阴影的面积（结果保留兀）。变式训练：1.下列各式中，属于代数式的有.3 6。+ 1； S - nr1 ；7；。6； 3： m ； -2x2y+ 3x + lr一y2 .某商品打8折后的价格为m元，则原价为 元。3 .某市水费标准按如下方法计费：每月不