考研日历高数公式大全.docx

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1、考研数学三公式汇总高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：和差角公式：和差化积公式：sin(a 1)=sin a cos p cos a sin 0cos(a /?)= cos a cos 0 sin a sin 0s is2名市夕2a-B c os2,.八、 tan a tan tan(a )=-sin a-sin p =2cos:.ex, B sin-1 tan a - tan /322/,小 cot a cot 81 cot(a /3)=n c a + p cos a + cos p -2 cos-ct B cos-cot p cot a22sh(a /?)= s

2、hach/i chash/3q c a +/? cos a - cos p -2sin-.a -0 sin-cha 土。)= chach/3shash/322积化和差公式：sin a cos /?=sin(+夕)+ sin(a -7?) cos sin p =；sin(a +4)- sin(a-) cos a cos 夕=；cos(a +夕)+ cos(a -) sin a sin 0=cos(a +/?)- cos(a-)倍角公式：sin 2a =2sin a cos acos la =2cos2 Qf-l=l-2sin2 a = cos2 or-sin2 a八2 tan atan la =

3、；l-tan- a八 cot2 a- cot la =2 cot ash2a =2shachachia =+2sha =2ch2a -1= chra + sh2a sin2 a + cos2 a -1;tan2 x+l = sec2 x; cot2 x+1= csc2 x;ch2x sh2x =1半角公式：a .11-cos a1- cos a sin atan = J=-；=2 v 1+ cos asin a 1+ cos aa ./I + cos a 1+ cos a sin acot = J=2 v 1- cos a sin a1- cos aX _-xi双曲正弦:shx =-；反双曲正

4、弦：arshx = ln(x +VP+l)2A .-X双曲余弦：c/tr =；反双曲余弦：archx =ln(x +/x2-1)2双曲正切：机”如=红二反双曲正切：=tHchx ex + e x2 l-x(。3。3)=(。0)(02 ab+b1), l2+22+“2/Q1)(2+1)6133/1+24-+=42、极限常用极限：=0；4l,lim标= l;lim%=1 nnkmn lim也心硬萄1(x)0,g(x)f 8,贝lj liml/(x)g(x)=e l/g(x)eiim*)g(x)两个重要极限limx-0包E = l,lim 包”= O;lim(l +)x =e = lim(l + x

5、)常用等价无穷小:1 cosx x2; x sinx arcsinx arctanx; VT+x 1x;ax -1 xlna; ex x + l;(l + x)“ l + ar; ln(l + x) x3、连续：定义：lim Ay =0; lim f(x)=/(x0)AxtOx-Xq极限存在。lim /(x)= lim=/(x；)XA第二章导数与微分1、基本导数公式：/(%)=i 吗= lini ()= lim (9.)Ax 6。 Ar*与 xx0导数存在0r(石)=a(k)C=0;(xa)r = oxa(sinx)r = cosx;(cosx)r = sin x;(tan x)r = sec

6、2 x(cotx)r =- esc2 x(sec x)r = sec x - tan x;(esc x)f =- esc x - ctgx(ax )r = ax In a(ex y = ex;(log“ W)=;(In国)=一；(arcsinx)=-=J=;(arccosx)=-J=;xlna xy/i-x2Vl-x2(arctan x)r =二;(arc cot x)r =1;(shx)f = hxchx)1= shx;=-z;(arshxY =- z ;(archx)f =;(6zrr/zx)=-z-ch xJl +父Vx2-1%-2、高阶导数：(_&)!(x)(t=-x-*=(x严=!;

7、产=优 In a =(，严=ex1(n)=(-lTn!.1 ln)_(-Dnn!,1(n) n)+l ，I )/、/1+1，I )/、/1+1x x x+a (x+a) ci-x (a -x)(sin Ax)(n)=kn +(cosAx)(n)=kn -cos(Ax + h);ln(a + x)(n,=(-ir1n ln(x)(n)=己严)=严(a +犬)xx牛顿-莱布尼兹公式：(“)=之/”心k=0=+/-卬+”( T)/-2)/+(匕1)(，匚a + i)(i)w)+加，)2!kl3、微分：y =/(x+Ax)/(%)= tfy + o(Ax); dy=fxx fx)dx连续= 极限存在o

8、收敛n有界;可微o可导。左导=右导= 连续;不连续=不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理拉格朗日中值定理：f(b)- f (a)=-a),e (a,b)柯西中值定理：二幻=里竟w(a,b) F(b)-F(a) F、当F(x)= aM，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。2、泰勒公式：/(X)=/(/)+ f(x0)(x-Xo)+,。)(x-/)2+ f(J)(x-x0)n + Rn(x)2!no(x-xQ)n)余项：4(x)=尸) l = f(x+e(xx。)|； Ce(X。,x),ee(0,1)(n +1)!(+ l)!弧微分公式：ds = Jl + y公=yjxt)+ yt)2d

9、t = y/p2+ p2dO平均曲率:衣J篝卜Aa:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；As:MM弧长)M点的曲率：K = lim任=也=J1=“川(吗”)| a-ds师守“(小直线的曲率：K =0;半径为R的圆的曲率：K =-. R曲线在点M处的曲率半径：/?=4年工K |/|第四章不定积分1、常用不定积分公式：J f(x)dx = F(x)+ C;(J f(x)cbc)r =/(x); J Fx)dx = F(x)+ Cy+iixdx =-+ C(/*-1); jdx = ln|x|-i-C;axdx =fC; exdx = ex + C;na j sin xdx =- cos x + C

10、; J cos xdx = sin x + C;j tan xdx =-ln |cos x|+ C; J cot xdx = ln|sin x|+ C; f sec xdx = In Isec x 4- tan x|+ C;esc xdx = In |csc x - cot x + C = Inx tan 2+ C = -ln|cscx + cot xl + C;sec2 xdx = tanx + C; esc2 xdx = f 4 =-cotx + C;JJ cos xJJ sin- xJ sec x tan xdx = sec x + C; j esc x-cot xdx = - esc

11、x + C;sltxdx = chx + C;chxdx = shx + C;dx .-. /= arcsin x+C = -arccos x + C;4- dxx2dx a2+x21 + x2dx17x - a=arctan x 4-C = -arc cot x + C;7 = In2 2ax-a+ C；=arcsin +C; x2a1X -=arctan +C;dx 1 , a + x -z7 = In+ C;a x 2a a x=In(x + Jj2 2)+ C; a2a2+ln(4-!x2a2)+ C; x2dx = ya2/ x x Hurcsin 十 C 2、常用凑微分公式:半=2

12、d&华=一(与=/(ln x);y/xx x x江=dM +%2);(1-与)dx = d(x +)x/l + x2xxdx，八、=rf(ln tan x);cosxsinx3、有特殊技巧的积分(1) f-=-1(XdxJ asinx +/?cosx 十b2 j sin(x+)rcsinx+Jcosx ,4 ml.,-(2) ；dx Ax + dInkzsinx + pcosx 4-CJ 6fsinx +/?cosx(3)字- J!d(x-)x +, J (x-)2+(V2)2%X第五章定积分1、基本概念fh f(x)dx = lim Y)Ax,.= lim /(-)-= F(h- F(a)=

13、 F(x) I,(Fx)=/(%)Ja4tO“TO% ni-l1=1”连续n可积;有界+有限个间断点=可积;可积n有界；连续n原函数存在。)=1/力 n (x)= f(x) Ja凯：爪fMx)wa)-fMx)w(x)fiapaaJ f (x)dx =J f (p(t)(pXt)dt J m(x)Jv(x)=u(x)v(x)-J/ v(x)du(x)2、常用定积分公式：J：J(x)公=/(%)+ f(-x)dx ；f(x)为偶函数J(x)公=2j(x)dr； f(x)为奇函数J f(x)dx=O:/(sin jc)dx =nnnn仔/(cosx心；jj xf(sn x)dx =2/(sin x)

14、dx =2/(sin x)dxi,a+Tf T，一fJ f(x)dx =L fxdx =尼 f(x)dx: ja+nTf(x)dx = n fxdxWallis2 sinH xdx = onl|2 cosw xdx =In_2 = 0 一71 1 37,2 42 4.3,5一2 n n-3 n-l n 2 n，“为正偶数，为正奇数无穷限积分:f+aopbf(x)dx - lim f(x)cbc = F(+oo)- F(a);fx)dx - lim f(x)dx = F(-oo)- F(a);J-aT-ocJar +r brbf (x)dx = lim |/(x)dr+ lim | f (x)d

15、r = F(+oo)- F(-oo)J-oo/+-8 Ja瑕积分:pbpb/(x)6(x = lim f(x)dx = F(b)- lim F(t)J1-，Jr-a*/ f(x)dx = lim f(x)dx = lim F(t)- F(a);Jlib Jarbf(x)dx = f (x)dx+ f(x)dxJ aJ aJc+ 00M，p1收敛”侬散J M，。 X收敛31发散r()= exxndx =(-I)!,v(n +1)= r(n)= n!;r(l)=1;第六章定积分应用。(/)力;(夕(a) = a 叭/3) = b)1、平面图形的面积：直角坐标情形：A = J：|/(x)；A =参数

16、方程情形：JaJa极坐标情形：A =-，tp2(G)d02、空间立体的体积：由截面面积：V = J：A(x)必：|/(x)-g(x)|iZr ； A = J：M(y)-”(y)V = C 7rf2(x)dx;V =不二制一8气用山”为积分变量)旋转体:绕X轴旋转：J：J,V =27ryy)dy,V =2利夕(y),(y)(y为积分变量)绕y轴旋转:V =，2%x|/(x)也=，2%x|/(x)-g(x)也;(x为积分变量)V = j%/(y),2(y)dy(y为积分变量)3、平面曲线的弧长：s=（+2力= y+fx）dx=，夕2（。）+夕2（。）。总结求极限方法：1、极限定义；2、函数的连续性

17、；3、极限存在的充要条件；4、两个准则；5、两个重要极限；6、等价无穷小；7、导数定义；8利用微分中值定理；9、洛必达法则；10、麦克劳林公式展开；求导法：1、导数的定义（求极限）；2、导数存在的充要条件；3、基本求导公式；4、导数四则运算及反函数求导；5、复合函数求导；6、参数方程确定的函数求导；7、隐函数求导法；8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式/常用的高阶导数）；等式与不等式的证明：1、利用微粉中值定理；2、利用泰勒公式展开；3、函数的单调性；4、最大最小值；5、曲线的凸凹性第七章多元函数微分法及其应用一、定义：圣/）=（X。，为）=。（乂Mo二、微分：加入-（2心-二。（工），）&，=

18、oO可微，偏导连续n可微=连续+偏导存在,0Top全微分：dz = fx（x,y）dx+fy （x, y）dy三、隐函数求导:1 FCx, y)= O=y =.dr Fy2 F(x,y,z)= O = z =/(x,y)且dz _ Fx dz _ Fydx7i dyF四、曲线的切线和法平面x =(p(t)1、曲线方程L: y = t/(r),切线：殳2=生滋2=1二亘2,法平面：(八。伉)”0)0(幻Z = CO(t)叭to)(x-/)+)(y -%)+0(幻(z - Zo)= o2、曲线方程L：F = M),切线：=.=与=三=（x-1）= （广（F ）= （z（）z 死（万，X，3） 尸（

19、小，丁，心） FQx，、曲面方程：z = /（x,y）, 切 平 面。(如 %，z()(x-M)+ (% %, Zo)(y - (z - z0) = 0, Af02 x Mq x )/四、曲面的切平面和法线1、曲面方程：F(x,y,z)=O ,法向量：=尸，,切平法线:x-x0人(毛,)y-% z-zO fy(x0,y0)-1面：y0,z0)(x-)+ Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+ F:(x0, y0,z0)(z-z0)=0，法线：五、方向导数：Lcosa + fJ/os尸+工鼠cosy %梯度：grad%=,/%第八章：重积分一、二重积分：JJ /(x，y)dcr = JJ f(x

20、, y)dxdy =f(x, y)dy =/(x, y)dxdd1JJ f (pcos 6、p sin 6)pdpdO = J, d。，；/(pcos 仇夕 sin 6)pdpD&的二、重积分的应用：1、体积：V = jjj drdydz = jjz2(x,y)- z1(x,y)dxdy2、曲面Z： z =/(x,y)面积：S = JJJl +2(x,y)+ f；(,y)dxdy f%3、质量：A/= p(x,y)dcr 或 M =(JJ (x, y, z) dv第九章无穷级数一、常数项级数n=l8收=iw 1 收 项数吃=1 /p,；交错产级数:收敛U OP0基本定理：收敛o部分和有上届5“

21、b比较审敛法：大收小收，小发大发比较审敛法的极限形式：同阶：同收同发；低阶：同收；高阶：同发卜1,收敛比值/根值审敛法：p =imL(1,发散=1.失效3、交错级数:(-1)”(20)n=lW Un莱布尼茨审敛法:r级数收敛，5Mpb;qoS,收敛00,发散利用收敛的必要条件：lim”,尸0=发散; noo利用正项级数(比值/根植)审敛法：p = limH008 = !吧弧j）n收敛1,绝对值发散n发散=1失效二、基级数：f a“（x-Xo）n=0fl/p,0/7/?=oc qToo v1oo,p =02、常用等式：8XY01r=-!-（|x|i）, Zx=F（kli），工（一1）炉=户（国1

22、）n=01- Xn=1- X=o1+ XJ=-ln(l-x)(-1x1),(-1)-= ln(l + x)(-1x1) n=l nZ (+1)炉=Z 叱=n7(W Dn=0n=(i x)01811V!x2n+1=Y!x2n-=-n 禽2+132-12(|x|1)oo2/1+1arctan x=V(-l)n(|x|=1+ XHF d+；XG (-00,+oo)M ！2!n00丫2T35r2n-lsinx = V*(l)n-1= x卜二1- H:F；XE (-00,4-00)念(2n-l)!3!5!(2n-l)!“x2ny2r4r2ncosx =1(-1)H=11+(l)1；X G (-00,-1

23、-00)士(2n)!2!4!(2)！.8,丫丫2丫3nln(l +%)= X(_l)T上二兀一二+(_1)”|上+；XG(-1,1M23nzi .( a(a l)(a 2)(a +1)(14-x)=1+：xn=li a(a-l)2= l + ax +x +2!3、泰勒展开：na(a-l)(cr-n + l) n.,%+； xe(-l,1)nlf(x)=4(x -/,凡=/ g (%), R)=om lim/x)=0 noo(n +1)!(X-X0)+l,(X0,X)第十章微分方程一、基本类型的一阶微分方程:1、可分离变量方程:窑=/(x)g(y),分离变量，两边积分J焉= J7(x)公2、一阶

24、线性微分方程：包+2度)丫=。(幻 dxJ。(无)=0齐次:通解：y = e。(尤)h。非齐次:通解：y =!(jQ(x)e+ C)3、全微分方程:P(x, y)dx + Q(x, y)dy =0(其中Pv = Qx)通解：w(x, y)=C (1)、分项组合法；(2)、特殊路径法：u(x, y)=P(x, y0)dx+ Q(x, y)dy = C. JrJ%(3)、偏积分法；=u(x,y)=j P(x,y)dx +J (y)dyP(x, y)=-= u(x,y)=j P(x,y)dx +c(y)Q(x, y)二空 n c(y)=Q-P(x,y)dx =(y) oxdyJ二、可化为基本类型的一

25、阶微分方程:(1)齐次方程:电=/(马或=/(坐曳)，令ax x ax a2x+b2y x(2)准齐次方程:电=y(qx+4y+。) dx a2x+by-c2a2。0,令平+3+0解得) a2x-b2yc2dY ra.X+b.Yx 壬入 Y=f (-再令“=-oqa2bdX a2X+b2YX=0,=4=/(x+4 y).令= alx + blya dxOyX + bxy-c2(3)=/(ar+0y + c)令= or+by + c。dx(4)伯努利方程：空+ P(x)y = Q(x)ya(a *0,1),令 z =k=+(1-a)P(x)z =(1-a)Q(x) dxay(5) P(x,y)d

26、x + Q(x, y)dy =0(其中A 丰 QJ =曰=一萼蟀 dx (ax, y)(6)关于如勺线性方程/伯努利方程：dxdx+ P(y)x = Q(y)；+ P(y)x = Q(y)xa,z = xaaydy(7) P(x,y)dx+Q(x,y)ify = O (其中4 wQJ求积分因子方法：1、分项组合法：常用全微分公式；2、公式法：方程有形如“(X)的积分因子(Pv -(2V)=(p(x)=(x)= ceQ(2)方程有形如“(y)的积分因子:(1.-Qx)= w(y)= w(y)= ce(3)齐次方程的积分因子w(x, y)=5xP+yQ三、可降阶的高阶微分方程：(1)山=/(%)连

27、续积分n次；dx(8) /= f(x, y)令 y，= p,则 y= p，= p，= f(x9 p)(9) y=/(y,y),令y= p,则=。半 np?=/(y,p) ay ay四、二阶常系数齐次线性微分方程y+、+小=0特征方程：产+厂+4=0A =/?24q 0, A。弓=通解：y = p?4q =0,彳=弓=通解:y =(G + C2x)er,AA = p2-4通解：y = eax(C cos J3x + C2 sin J3x)四、二阶常系数非齐次线性微分方程y+ y+夕y =/(x)通解y(x)=齐次通解丫(%)+非齐次特解y*(%)工不是特征根k = o、/*)=*)=特解形式y*

28、=xkQm(x)eAx几是特征单根k = l是特征重根k =2,(2)/(x)= f(x)=eXx 7(x)cos o)x+ Pn(x)sin cd x=特解形式y.=xe*M(x)cosox +婷鬻鬻:一：l4+，碗特征根k =)线性代数公式汇总1、行列式1 .行列式共有一个元素，展开后有!项，可分解为2行列式；2 .代数余子式的性质：、&和%的大小无关；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0；、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|4|；3 .代数余子式和余子式的关系：%=(-1产&=(-1产4 .设行列式。：”(I)将。上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则2

29、=(-1)=D;n(n-l)将O顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为则a=(-l)丁 D;将。主对角线翻转后(转置)，所得行列式为则2=。；将。主副角线翻转后，所得行列式为2,则2=。；5 .行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n-l)、副对角行列式：副对角元素的乘积x(-l)F-；、上、下三角行列式(Pl=lkp :主对角元素的乘积；n(n-l)、|，|和|/|：副对角元素的乘积x(-l)k ;、拉普拉斯展开式：:=同冏、画、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6 .对于阶行列式|A|,恒有：|A-A|=An+其中S*为A阶主子式; A=l7 .证明|A|=0

30、的方法：、|a|=-|a|；、反证法；、构造齐次方程组心=0,证明其有非零解；、利用秩，证明r(A)”；、证明0是其特征值；2、矩阵8 . A是”阶可逆矩阵：|a|*o (是非奇异矩阵)；0 r(A)=(是满秩矩阵)OA的行(列)向量组线性无关；齐次方程组Ar=0有非零解；0 Vbe R, Ar = b总有唯一解；0 A与E等价；。A可表示成若干个初等矩阵的乘积；o A的特征值全不为0;047是正定矩阵；oA的行(列)向量组是ZT的一组基；=A是R1中某两组基的过渡矩阵；9 .对于”阶矩阵A : AA= AA =AE无条件恒成立；10 .(4，*=(6尸(A ,)T=(Ar)-(，)=(*)*

31、(AB)t = BtAt(AB)= BA(AB)-= B A 11 .矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;12 .关于分块矩阵的重要结论，其中均A、8可逆：A、若4=4,则：kA-I、|a|=|a|4| IA|；l 切、e;丫=卜0：(主对角分块)、匕nT，=f0. U；(副对角分块)O)(I O )、e二丫 y s：(拉普拉斯)o B I O B oB(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组13.一个mx矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：I。等价类：所有与4等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A

32、、B,若r(A)= r(8)oA B14 .行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1;、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;15 .初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)、若(A,E)(E,X),则 A可逆，且 X = A、对矩阵(48)做初等行变化，当A变为E时，B就变成4T5,即：(E,H B;、求解线形方程组：对于个未知数个方程Ax = b,如果(A,b)(.),则A可逆,且x = A；16 .初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；4、A=&,左乘矩阵A,4乘A的各行

33、元素；右乘，4乘4的各列元素；、对调两行或两列，符号E(i,j),且E( i,力=E( i ,例如：1=1;、J I L、倍乘某行或某列，符号E(i(A),且E( i(外|)=E4(,例如：C yl p 、k =-(A #0);k1”J、倍加某行或某列，符号E(4(A),且E尸=E(-A),如:kY(-A、1=1(A =0);、1 j17 .矩阵秩的基本性质：、04r(4,.)4min(i,”)；、r(Ar)= r(A);、若 A B,则 r(A)= r(B);、若尸、。可逆，则r(A)= r(PA)= r(AQ)= r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(r(A),r(B)r(A,

34、B)r(A)+r(B);(X)、r(A + B)r(A)+ r(B);(X)、r(AB) min(r(A),r(B);(X)、如果A是/nx”矩阵，8是xs矩阵，且A5=0,则：(X)I、8的列向量全部是齐次方程组心=0解(转置运算后的结论)；II、r(A)+ r(B) ra*ra +C：W +C=;m=()注：I、(0+8)展开后有+ l项；JJ =(一1)(一?+1)=加 c()= c=1123 mn Ilk组合的性质：C： = C；m=C；+ M、利用特征值和相似对角化：y=仁:；力 C：=2 r=0r(A) = nr(A) = -1 ;r(A) A*X=i.X); AA、A=|a|A-

35、1|A*|=|A|20.关于4矩阵秩的描述：、r(A)=, A中有阶子式不为0,+1阶子式全部为0;(两句话)、r(A) n , A中有”阶子式不全为0;21 .线性方程组：Ax = b ,其中A为/nx矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组4r=6有，”个方程；、”与方程组得未知数个数相同，方程组Ar = b为元方程;22 .线性方程组4x=b的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；23 .由个未知数m个方程的方程组构成“元线性方程:4与+%与+4*”=4、,。21项+”*2+ainXn =.amXx,+aml

36、x2+amxn =bA为mxn矩阵,方程，个未知数)、(q %)叫=B (全部按列分块，其中=)；、内+4X2+a“x=0(线性表出)、有解的充要条件：r(A)= r(A)n (般为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性24. m个维列向量所组成的向量组A ：构成nxm矩阵A =(apa2,am);Fm个”维行向量所组成的向量组5:月,夕；，.比构成mx”矩阵B=;、此,含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；25 .、向量组的线性相关、无关。心=0有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出o = b是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示。是否有解；（矩阵方程）26 .矩阵

37、4*.与入.行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组心=0和&=0同解；（%例14）27 . r（Al）= r（A）;（片0例15）28 .”维向量线性相关的几何意义：、a线性相关 a =0；、a/线性相关。a/坐标成比例或共线（平行）；、a,y线性相关。共面；29 .线性相关与无关的两套定理：若多,4,a,线性相关，则a，,a,a,+1必线性相关；若q,a”，a,线性无关，则如%,a-必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）若r维向量组4的每个向量上添上“_/个分量，构成维向量组5:若A线性无关，则8也线性无关；反之若5线性相关，则4也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延

38、长后仍无关，反之，不确定；30 .向量组A （个数为r）能由向量组8（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r Vs（二版定理7）；向量组4能由向量组8线性表示，则r（A）4r（B）;（4定理3）向量组4能由向量组B线性表示O/LV =5有解；= r（A）= r（A,B）（%定理2）向量组A能由向量组B等价or（A）= r（B）= r（4B）（%定理2推论）31 .方阵A可逆=存在有限个初等矩阵4,%,不使A =厅；、矩阵行等价：ABAQ = B （右乘，。可逆）；、矩阵等价：A - B PAQ = B （P、Q可逆）；32 .对于矩阵4“与二”:、若A与8行等价，则A与8的行秩相等；、若A与8行等价，则-=0与咫=0同解，且A与8的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；33 .若4“纥*”= J,，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由8的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）34 .齐次方程组出:=0的解一定是ABr=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、ABx=0只有零解= Rr =0只有零解；、fir =0有非零解nA麻=0一定存在非零解；35 .设向量组纥“他也，也可由向量组4“：，%，.