考研线性代数.docx

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1、线性代数部分第一章行列式强化训练(一)选择题1.I (i ,ai+a2,ai ai*as)1I ( a：t as ,a) I.应选(A).2.1*|-54+4=-lk=l.故应选(B).3.斛利用行列式性质.0000000000000000-1000一100000(-1)000000100=(-1)*(-I)-,t2-H4.14 IA1|=ICI.C-l)*|-34,| f| I，=(-3)*. I4*II2B-* I=2=(-l)J 6小IBIb应选(C).注解题过程中所有公式都应该熟记或熟练推导.6.分析由于齐次线性方程组有非零陋，故必有系数行列式等于零.二、填空题 7.分析 该行列式的计

2、算方法很多.考虑到其中每行(或每列)元素之和都相等.利用行列式的性质.容易将其化为三角形行列式.12 111-1100解原式，=；二5 T 0 1 0-10 0 11-1000注 本题用特征值法it肆也比较简单.8.10 00 16 00 001 11 00 10 00 01 0 0 1 010001解4十8二(2%23丫+8),|as| = | (2*20+8) | =4| (明6) |=4( | (a ,p,7)I + L a，B，6) I ) = 4( I A | 十 I )二20.9.解2411 +4n-4a =2K4n + lx4n+( -1 )x4n+0x4M10.解IAI = (

3、-l)(5-9)=4.I-2AU 1=(-2)，Li I =j- = -2.3-2-1解B=(at ,a2.a3)-13 f =AC,0023-2-1ICI=-13-2=2(9-2)=14,002于是I0I = IAI ICI=7= IA Ixl4v IAI =-T.12.解由于4与8相似,故矩阵6的特征值为十,千6”的特征值为2.3,4,5.所以的特征值/ j 4 n为1.2.3.4,故1x2x3x4=24.三、解答题13.解 由于所给行列式仅为3阶行列式，直接计算即可.1 2 3b 1 a =5a-6-7 =3 1 2.lfn= 1 x4| 4-( -1 )x1-11=b1a=312得方程

4、组5a-6=7,4i-36=-12t解得 a = 3.6=8.14.I x-210-1r2-fi !?x-2 10-1 JF 2解fix)1Cf 3x-3 1 x-2 -23JF | 4x -3 x-7 -3= |i-2 lllx-7 讣-3+5),由/(*)=0,不难看出x=0,x=L15.(1)此为行和相等的行列式，自第2列至第n列都加到第1列 分别加到第2至n行可得。0,A? + 1 Xj4qc-2100x-2100x-31x-2-14x-3x-7-6然后把第1行的(-1)倍注 对于抽象型行列式的计算,可能涉及矩阵的初等变换，考查行列式的性质.也可能用特征值、相似 等处理.=-n（，T）

5、n （勺-勺）+2H%口（%f）i !1/ ia1/n 时.r(A8) Wnm.有 I ABI =0.应选(A).分析本题考查初等变换与初等矩阵之间的关系.要清空初等矩阵的作用,搞清A与8之间的变换关系.解由于8是由4交换第1,4列，再交换第2,3列得到的,即有8=福产,.于是8=P；PJa=P,P)彳1,所以(1)=1,应选(8).注当1=6时,由于Q)=l/(P)W3T=2,而P非零，故r(P)可能为1,也可能为2二、填空题11.分析本题求方阵高次弃，想“两法。由于4)=1.故采用“秩I法”.解困A=2| l.-t o|=叩.故4*=ap：apTap =a ( p a)( p a)-( p

6、 a)p,-H=(pTa)-，apT.又2=2.1因此4.=2a岬，2一12.分析根据问题特点不难看出，本题采用“对角化法”和“秩1法”求方阵的高次解.解由题设 P 可逆.4= P%口6.41n2=P (apT)2-.(apT)=apTap-apT=a(pTa)(pTa)-( Ba)2011=(P，)apI.由于I J I j 011pTa =(0.1.i) a =l,apT= d (0,M)=00 c .111从而(apT)Bn=00 a .又I 10 cP = E(2.1(1).P=(2.1(-1)=-11 C .I 001iodIoiilIioo因此aOT2=-iidoodiio0oJI

7、01I1001注在计算初等矩阵与矩阵乘枳时,要充分利用初等矩阵的作用，即左（右）乘初等矩阵，相与于对矩阵作相应的初等行（列）变换.13.分析由于A中的零元素构成了矩形块，故考虑利用分块法求解.0 0 0.0, 3 1 0 32 1。二0 00 0CB O3loblBCI 66000,BC=560000 c0 c6 :0 tHUO BlV1 oI 3o db a =B=000000-T0000021 T3 1 0 30 2于是注本题也可用初等般求逆,但不如分块求逆法简单.解(A+2E)(aJE)=(4+2E)YA+2E)(A-2)= IA+2EI(4-2E).301-101IA+2I =040=

8、60,/i -2Af=00 C005001-101(A+2E)(A2-AE)=6000(001注遇到此类问题，不要急于求(A+2E)和工-4，应先利用相关的基本公式化简后再求解.解4口于是-2-2w=.)”缶)丁 =(W将141二T-代入上式.得 两边取行列式得A(24)-,-5A* =-2E.IAII(2A),-S4- l=-2J=-8,K2A)-15A * I =-8 =-16.IAI17.IAI =3.可知101 =所以18.=2.可知IA-2BI= 10.解 由于A为3阶矩阵,且人)=1b4.&使，1 =2,且有由上式.得取=E,则 41K =-X2B = -41 A心于是B-1000

9、 I 600001000600=(11 H60600+0T1 030-1Z01=|； A=|； 1 .8.B：为2x2矩阵于是问题变为求用(A.4) r aA. B -tAzBi =。.r(B) = 2.：;l h j 5 i I i d T 912d 二二 JJ ,88li注SB=也符合问题要求.5-11800825.解若5)=3用有r(AB)= r(4),与(45)64)矛曲故是)3;同理4)3,于是1aI181=-110=。+人3=0,021ab-3IAI =202=4(2&-a-3)=0,32-1解方程4可得a=1.6=2.126-0-3=0,显然“4)=2,r(AS)r(4)=2,且

10、 A8WO,r(AB) N 1.故 r( AB)=1.26.分析由于本题需要求行向量组的一个极大线性无关组.故对A进行初等行变换求联.解10-11443044a3423-55-ca =3或a =-7时,r(4)=3.10-1103a4o00(a+7)(3-a)000-a-73-a当a =3时.A的第1.2.3行组成A的行向量的极大无关组.为a =-7时/的第1.2,4行组成A的行向盘的极大无关组一EAB =解(I)0 aa an 0 Oil 2I 114 ox10 kan Lin 01kiq/1j；4=001lau,00 kan 1 lMBI=|10111 Aux W|IE+45I WO ,即

11、/会士时.E+AH可逆.kl(2)由于(4)=4,故4可逆.于是有(EAB)A =(AA AB)*A=(A +B)1A .4=(A +B),于是(E+48)7=(4十町“=(一”门“=(4“)D=(4),8)=(E+A8)“A 故(+)为对称矩阵.28.(2)题设等式条件右乘(4+3E)，得8( A+3E)= A+E,即B4+38=4+于是有2BA+6B =2A+2E,(2BA-A)+3(2B-E)= A-,(2B-E)A+3(2B-E)= A-E,(2B-)(A+3E)=4-E.上式两边取行列式，得I2B-IIAi-3I = IA-I ,解(1)由8=(2A+E)(A-2).有(2A+)8=

12、A-2E 即2AB+B=A-2E,2A5+A +8+e =2A-?E,A(2BE) T(28+E)=24-E,| AT,(2B+)=2A-E,两边取逆,(2BE)| A+4=|24-q ,(2BfE),卜甘4 g4= L-3E)|(M-3E)=2(4A-3E)-J-(4A-3+5),eT(4A-3E)L(4A-3E)-1612于是(25+E) z =+e+9(44-3E) t 二由于认-1 =00-100-1=0, IA+3I =3 0 014 00-13JQ9ia _l33故I26-EI=O,即25-不可逆.29.解由于对任意实数都可逆,有L-WO,即4无实特征值,即方程akA=O无实数解，

13、应有624oc0-证(I)由定义可知只需证明(a/a)=a4a=0.由于(a.4a)=(Aa.a),于是有故有a?Aa=0,a与4a正交.(2)用反证法.设4-E不可逆，则存在非零列向量明使(4-E)a=0,即4a=a,与a和4a正交矛盾，故可逆.同理可证4+E可逆.(3)利用正交矩阵的定义验正因tt(A-E)(4隹尸是正交矩阵.(4-E)(A+E)*(4-E)(4+E):(4-E)(4+E)”(A-E)”(4+E)=(A+E),(4+E)4-(4fE)(A+E),(A-E)-,(A+E)=(4-fE)(A-E)(4-E)*(4+)= E.第三章向量强化训练(三)选择题解应选(D).向量组线性

14、相关的充分必要条件是其中至少一个向量可由其余向量线性表示,本例选项(D)是这一命题的逆否命题,当然正确.选项(A)与向量组cn,8,.a的线性相关性无关；而选项(B)只是向量组a.,8.，a线性无关的必要条件;选“(C)也只是向量组叫，,a,线性无关的必要条件,例如向量(0.0,0,1)显然不能由向量(1.0,0.0),(0,1,0.0),(1,1,0,0)线性表示，但这四个向量是线性相关的.故应选(D).解取叫=(1.0):a?=(-1,0),%二(0)，显然a1，%，叫线性相关，但叫十四=(。)会选项(A)借误;6.%线性无关.故选项(B)也错误;8不能由a1,3线性衰示,故选项(D)也不

15、正确事实上,选项(C)正是向量组5.5.0线性相关的定义，当然正确.故应选(C).3.解由民%，%线性无关可知夕，%线性无关，而万，四。2线性相关，故/必可由线性表示，进而可由/A。?，田线性表示。由于A =(!./,aj.a4,a4)=3-11003111000-14214010022T 300000显然 r(ai.a2,a)tcu .a9)=3,而“a .s .m )=2.所以 ai .a3,s不是向量组 on,s,ou,as 的极大无关组.故应选(A).分析由于|.02皿线性无关,则可知：若a .氏串3可由on,8,a3线性表示为（仇,一,）=（6,3%）K, M冉岛,也线性无关Q秩，（

16、长）=3解对四个选项中的向量组印.印平分别由J,%,四线性表示为=,a,5）弱=1,2.3.4,则知11.秩航）=3,得因,%串3线性无关;011I 11al11i3|I113I，峡”即）=3,得自B隗线性无关;k2=121-01-1-01-1I 0311I 031 II004IKi=11J- OljJoil，秩 r(M)=2,得仇线性相关;I I 311 I 02 J I 000K4 =01-1-01-1,秩r（K）=3.得自岛,向线性无关.故应选（C）.6.解秩.（5.4）=八则向量组中任意.1个向量相关，至少一组，个向量线性无关.不能确定任意r个向量线性无关，所以选项（A）、（ B）均不

17、正确.只有当,二时/维向量组6,s.，5与维向量空间等价,故选第（D）正确.故应选（D）.解由于向量组氏R .d可由a】，.a线性表示,因此秩r(p(，即，,d) Wr( on .a2.，a),且 r(ai,aj ,a,p%,平,); r(ai ,a：,a,)= q.故应选(B).解100对于选fli(B).一方面(Oh-a：.a：-a皿)=(5.a?皿)-11 C =(6.)P,即向量组(5-a：,0-1 I10(a：-a；.s )可由向量组a, a,6线性表示,另一方面，内为-I 1(“J逆，则(叫，.,4)=(a.f .qf.0-1110(a； P a!-a;.a;-a3.aj 11(.

18、即5,a：必可由向量组5-5, a：-cg .a.、个向I 11等价.故应选(B).).分析利用矩阵乘枳的秩的不等式r( A)+r( B)-nr(AB) Cmin( r(A),r( B).解因为4为mx/i矩阵,且其列向量线性无关,所以4的列秩为跖从而r(4)=儿由于r(4)e(B)FW r(AB)%则秩的列向量组线性无关，同时4的行向量中有个行向量线性无关，通过一系列初等行变换4即可化为标准形|2.而初等列变换做不到,从而选项(A)、( B)均不正确.类似地，若ms,则矩阵4只可用初等列变换即可化为(E.,O)故应选(D).二、填空题11.解对4=(3,%,四)施行初等行变换:只有当卜1#0

19、,即AKI时.联4)=3,这时任意一个3维向量8都可由5,a*a,线性表示.故答案为AWL12.对4 =(仪1，% ,ct, B)施行初等行变换:011 -10 -10 ，十14-314.解设A = (a.8,8)对A进行初等行变换:A-只有当。+1二0,即。=-1时，r(4)= r(5&，a力=2.故应填。=-L15.解由于=(a1, a3, at)K,I -I 1-110 2 1 -11-1-I001-11|1-1121T0212T I00当卜2=0,即k=2时，帙r(K)=23,由8皿线性无关得自，仇，防线性相关.故此题答案为A=2.16.111=1时，秩 r(A)=23,此时 r(Aa

20、1,Aa2.Aa,)= r(A)3.故此题答案为UL18.解由于a,+p,a3+p线性相关,则存在常数X.tta,+p=k(%+似.解之.得B =：+四+合四，其中1-A AAXl，否则若X =1.则5=%.与5.四线性无关性矛盾，即向量B可用a,线性表示为p=s+az,X为不等于1的常数.1A1一人三、解答题19.解对矩阵4=(%，,巧a, a,=-T-ai -rT-a2.注 此类问题必须把向量按列排井作初等行变换.若只是求向量组秩的问题.初等行列变换都可以.取四.明为向量组的极大无关组，为把用极大无关组线性表示.进一步把4化为行最简形:由行最简形可知.a2=-at +4%, a4二 a-解

21、对矩阵（5,5.6,P）施行初等行变换:b15b 一-1-2/b1+”36一般表达式为方啊:；的一般柝J-20 1.即即I十斗aj +Aa2+as,4 为任意当2+y#0.即a# T时j( a,a2,a,)=3,则p可唯一地由a,a,a,线性表示.当a=-4时，继续对（a,.a,.地行初等行变换:211(8皿，8，。)-00100-1*1 a =-4.60O 时,r（ a,8.aj）=2,而 r（ou ,8,*,0）=3,则得 B 不能由 a1，a ,cu线性表示.%。=-4,6=0时,，（on a 必）=r（d a 必，B）=2,Pi ,ft)= 2,所以两组向量等价.003 i0 023.

22、21-120000(3)对（6,az,Bi ,仇,伍）施行初等行变换:1123112311123112340111101111(a，8.Pi.p：.Pi )=1345:0222-10000-J01111011I100000显然帙5%.）=2,而（即,冉居）=3,所以两向量组不等价.I 二 口 a.a,:即.仇,佐)的，J ；I 11(X ： A)=( a taz .as 邛】，氏，再)=I a 11alia当。=1时.11 a 11-2-2-I 0 a11a |o *2 a+2I 00(l-a)(a+2)lo Ma 4a+：11111-2-dI 1111111000033-J 0000 oJ,

23、00 oh9blI 00 olo 3J此时秩，(aia ,aj )=1,r(%.隹串1= H 6.8皿,仇R3,则可知a1.a2,a9可由向量组d,伏,由线性-但向量组自，仇率e.a线性表11-21-2-2当。=-2时，(4 i 8)-01-1000.000001此时/( a, a,5)=2mBi.aB )=2,但“串一 Bz,%)=3,每个向量组均不能由另一向量组线性表示.25 .法1用定义法研究。法2由于三组向量都可由四,%,%线性表示，故以此可建立出矩阵等式，然后考查表示式的系数组成的矩阵是否可逆即可。请参阅第8题。26 .请仿照例3.6讨论。27 .征先证明&b上一是线性无关的.由于酊

24、&工是基础解系,故线性无关,若明黯，&.,J线性相关，则可可由和线性表示,从而可满足齐次方程组Ar=0.于是推得4go,而T|为非齐次方程组Ar=b的解，而叱0,故矛盾，所以土&,七 ，&线性无关.下面证4酊f线性无关.设有一组数lo,扁，,J.使%*n+M 中和)+4i(fi+fa )心_(中)=0.即(+4.JTI+A：1-i-Aj 4,1：6=0,由前面可知F，&，线性无关,故faj+Ai+Az +、,=0,=0J=0.显然只有;人尸=A.,=0,故,E+1线性无关分析由于6 a线性无关,aB线性无关，则可知若存在#。，且)乂必也a尸%d+人生，则+&%-&禺-A冉=0,即存在正零向量丫

25、，使得丫能同时由4,叫及B一瓦线性表示o方程组尢叫%也二时非零解ooh,四岛.B:线性相关且7=1 a1+2a2-(1)证由于5./,d，隹为3维向量,所以叫，叫，自串2一定线性相关，即存在不全为手的数储4，3.，使Am&zctri心01&4%=0.又由于on ,a及仇.5都线性无关.则丫:&16.七小二-七印-后仇为柞零向量,既可由6,叫线性表示,也可由线性表示.(2)解为求小印+幺仇=0的非零解洗对(8,6 RR)施行初等行变换:11121121112100(11.01,p.阳)=0-10-1一001一010101010-11021001001由此可得齐次线性方程组49-心8+扃以启由=0

26、的通解为从而所有能同时由a .s和即,B?线性表示的向量=&(6+a“= M2.-1.I).29.解(1)设从基(6皿,6)到基(%.仇隔)的过渡矩阵为P,则满足:(P1?2?3)=(al .a2 a )Pv(2)设刈=(1,0,0)?在两组基下坐标分别为(孙,2，X3)T和(力.力，力)二则7-第四章线性方程组强化训练(四)一、选择题1.解4r=。仅ri零解的充分必要条件是秩/(，)=/!.叩Ar=O。非手解的充分必要条件是秩r(A)r(4)= r(A )nuM的列向最组线性相关,所以命题&正确.同时，(4)5保证不了 r(A)5,所以命题不正确最后.由于Ar =6无解or(A)r(A ).

27、知当Ar无解时.r(A)线性相关.8.cu也线性相关.故选项(A)、( B)借误.由a：+ou =0得ou =-a：+0aj.即au可由a：.a线性表示.故应选(D).4.M 由题点可知&=(1.0.0.1)1.6=(2,1.0.1)：为齐次线性方程组Ar=0的解.即=04&=0.可得a(+cu =0.2a 1-hu =0.则 at =Oa .a：=ou ；同时f=(1.0.1.2)，为Ax=p的解.即有p=a,+a3+2a4=a3-a4.则知p可用8.a,线性表示.故应选(C).注由基础解系6,&可知r(6.oti .aj.a )=2,且r(6.a：.a4)=1.所以6,a：,8.8极大无关

28、组中必包含8.而。=6+a-2a中8的系数非零.所以选项(A)、(B)、(D)均不正琬5.就由于秩r(4):1,故齐次线性方程组Ar=0的映础解系中应含有37=2个线性无关的解向第,所以选项(B)、( C)借误.而对于选项(D),由A。=5X0可知/不是Ar=。的解选项(D)不正确.冬实上.当匕+&+乂=0时AA+eq+B%=&)+&式飞-4),其中A分别是Ar二。的解,且线性无关,所以应选(A).6. 用基础解析的三个条件考查四个选项即可。7. 注意，把已知条件通解中的第2项去掉。解依题意.线性方程组的联础就系中只含有一个线性无关的解向敬=(1.0,2,0)1则可知秋/(，)=4-1=3.1

29、41=0.且0t +2otj =0.即0),0,.a,.a,中极大无关组可取为.a,.q .或%.%.a,.乂由4.4=14归=0.可知011.0：,01,.(,都是方程组4*=0的解.综上所述4-=0的联础解系可为6.a,.ou.故应选(D).8.解命题显然正确.事实匕线性方程组4r=0解空间的维数为n-r(A).线性方程组8r =0睇空间的维数为n-r(B).若4r=0的*都是般=0的解.则Ax=0的解空间定是a =0解空间的f空间方”-r( A) W” r(8).即 r(A)Mr8)成立.由于命题正确.显然命题也是正确的.故应选(A).命题足命题的逆命题.不正确.例如取4、8如下：=|：

30、: B =| o 0 J .则 r(A)=2,r(8)= l.r(A)x(B).但Ar =0通网为旦然不满足r=0.命题也是错误的.请读者自行举出反例.解由于r(4)=r(8).所以8的行列式181=0.否则/(6)=1(4).因此的二0必行非零解.故应选(D).同时排除(C).及他选项可通过举反例揖除,例如,容易验证r(8)= r(4)=2.而Ar二a有唯一解.排除(A).32012101000 C1 I 0 C显然r(4)= r(8)=234=a有无穷多解.排除(B).10.分析若齐次线性方程组Ar=0的某础解系为其中r为4的秩为Ar=b的一个解.则/E+却+&.4代一线性无关.呷非齐次线性方程组Ar二b的任解向量组的佚W/i-r+L解对(6.6.6)施行初等行变换ai.a：8当22时g,8)=3,则可知r(4)= I .故应选(