概率论与数理统计答案(浙江大学).docx
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1、浙大第四版(高等教育出版社)第一章概率论的基本概念1.M写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(一1)s =史照表小班人数n n n J(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。(-2)S=10, 11, 12, ,n, (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”, 如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满 4次才停止检查。(- (3)5=00, 100, 0100, 0101, 1010, 0
2、110, 1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111, 2.-设/, B, C为三事件,用力, B, C的运算关系表示下列事件。(1) /发生,8与C不发生。表示为: /月二或/一(48+4。或4 一(8UC)(2) A, 8都发生,而C不发生。表示为:Z8仁或ZB-48C或ZB-C(3) A, B, C中至少有一个发生表示为:A+B+C(4) A, B, C都发生,表示为:ABC(5) A, B, C都不发生,表示为:彳而或S- (Z+8+O或ZuBuC(6) A, B, C中不多于一个发生,即4, B, C中至少有两个同时不发生相当于/瓦耳C,ZC中至少有一个发生
3、。故 表示为:AB + BC + AC .(7) A, B, C中不多于二个发生。相当于:7,瓦彳中至少有一个发生。故 表示为:彳+耳+彳或不记(8) A, B, C中至少有二个发生。相当于:AB, BC, ZC中至少有一个发生。故 表示为:AB+BC+AC6.三设4 8是两事件且尸(4尸0.6, P (8)=07问(1)在什么条件下尸(48)取到最 大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (18)取到最小值,最小值是多少?解:由尸(/) = 0.6,尸(8) = 0.7即知6,(否则/8= 6依互斥事件加法定理,P(A U B)=P (A)+P (5)=0.6+0.7=1.31 与尸(/
4、U B)W 1 矛盾).从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (A U B)(*)(1)从0WP(Z8)WP(4)知,当AB=4,即ZC8时尸(N8)取到最大值,最大值为P(AB)=P(A)=0.6,(2)从(*)式知,当ZU8=S时,尸(/8)取最小值,最小值为P(JB)=0.6+0.7-1=0.3 .7四设 /, B, C 是三事件,MP(A) = P(B) = P(C) = ,P(AB) = P(BC) = 0 , P(4C) =.求出B, C至少有一个发生的概率。o解:P(A, B, C 至少有一个发生户P(/l+8+C)=尸(4)+P(B)+P(0P(8C)一315
5、P(AC)+P(ABC)= t-V + 0 = T 4 Oo8 .五在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26 个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少?记/表“能排成上述单词”V从26个任选两个来排列,排法有用$种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词:55个小岩奇9 .在电话号码簿中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率。(设后面4 个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1, 29)记/表“后四个数全不同”后四个数的排法有IO4种,每种排法等可能。后四个数全不同的排法有/4P(/1) = T = 0.50410410 .六在房
6、间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录 其纪念章的号码。(1)求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件/,/ 10人中任选3人为一组:选法有($)种,且每种选法等可能。又事件4相当于:有一人号码为5,其余2人号码大于5。这种组合的种数有1x(2)求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3人,选法有(?)种,且 每种选法等可能,又事件B相当于:有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有lx11 .七某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。在搬 运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问个定货
7、4桶白漆,3桶黑漆和2 桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少?记所求事件为人在17桶中任取9桶的取法有C二种,且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有x C: x故_ C| x C: * C; _ 252()一份 243112,八在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。(1)求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件力; 在1500个产品中任取200个,取法有(瑞)种,每种取法等可能。200个产品恰有90个次品,取法有幡那种f400YH1500200(2)至少有2个次品的概率。记:A表”至少有2个次品”8。表不含有次品”,山表“只含有一个次品”,
8、同上,200个产品不含次品,取法 有(盟)种,200个产品含一个次品,取法有(华)(第种4 =&,+由且Bo, 4互不相容。P(A) = 1-P(A) = 1- P(B0) + PBX) = 1 -(1100 (400丫1100)(20 J 1 9 J(1500)(1500)I 200 JI 200 13.A从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?记A表“4只全中至少有两支配成一对”则彳表“4只人不配对”V 从10只中任取4只,取法有(,)种,每种取法等可能。要4只都不配对,可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取一只。取法有尸爪等哈 v10尸(4) = 1-尸
9、(不=1一盘=导15 .十一将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1, 2,3,的概率各为多少?记4表“杯中球的最大个数为i个 i=123,三只球放入四只杯中,放法有43种,每种放法等可能对小:必须三球放入三杯中,每杯只放一球。放法4X3X2种。(选排列:好比3个球在4个位置做排列)66对42:必须三球放入两杯,一杯装一球,一杯装两球。放法有C;x4x3种。(从3个球中选2个球,选法有C;,再将此两个球放入一个杯中,选法有4 种,最后将剩余的1球放入其余的一个杯中,选法有3种。P(4)=Cl x4x343916对小:必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯
10、子,放入此 3个球,选法有4种)16 .十二50个钾钉随机地取来用在10个部件,其中有三个抑钉强度太弱,每个部 件用3只钾钉,若将三只强度太弱的钾钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱, 问发生一个部件强度太弱的概率是多少?记N表“ 10个部件中有一个部件强度太弱”。法一:用古典概率作:把随机试验E看作是用三个钉一组,三个钉一组去制完10个部件(在三个钉的一组 中不分先后次序。但10组钉加完10个部件要分先后次序)对氏 钾法有C;oXC*xCZxC2种,每种装法等可能对4:三个次钉必须钏在一个部件上。这种钾法有(C:xC:7xCZ3)IO尸8)=C;xC%xCZxCxlO1C;0 X C:7
11、 XX C:31960= 0.00051法二:用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列,顺次钉下去,直到把部件卸完。 (钾钉要计先后次序)对氏 钾法有A;。种,每种钾法等可能对出 三支次钉必须支在“必2, 3”位置上或“4, 5, 6”位置上,或“28, 29, 30”位置上。这种钾法有W X福+国X留+ Aj + 4:; =10xAj x3:;种pJ吟售“50! = 0.00051 196017 .十三已知 P(A) = 0.3, P(8) = 0.4, P(AB) = 0.5,求P(814 u 月)。解一:P(A) = 1-P(A) = 0.7, P(B) = 1-P(B
12、) = 0.6, A = AS = A(B05 = 07 - P(B A)P(月 |/) = M = ; = P(8|/) = m 故 P(AB) = P(A)P(BA) = 尸”团型嗡甯=P(BA)P(A) + P(B)-P(AB)j.= 0.25 0.7+ 0.6-0.518 .十四P(4) = (,P(BM) = |, P(-3) = :,求P(/u8)。1X1解:由口川5)注瑞(%丁)口人有六高”言由乘法公式,得尸(48) =尸(4)尸(8|4)=4由加法公式,得 P(4 U 8) = P(A)+ P(B) - P(AB) = ! + !-4=4612s19 .十五掷两颗骰子,已知两颗
13、骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用 两种方法)。解:(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间,求 事件A发生的概率)。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x, y) (x,尸1,2,3,4,5,6)并且满足x,土尸7,则样本空间为S=(x,y) (1, 6 ), (6,1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每种结果(xj)等可能。A=掷二骰子,点数和为7时,其中有一颗为1点。故尸(4)=高=5 o 3方法二:(用公式P(*8)=PAB)P(B)S=(x,y)| x =l,2,3,4,5,6;y = 1,2,3,4,5,6每
14、种结果均可能A= 掷两颗骰子,x, y中有一个为“1点,B=掷两颗骰子,x,+y=l则尸(8)= $ =卷,尸(/8)=多,626622故p(川田=竺工史=2二41) P(B) J 6 3720 .十六据以往资料表明,某一 3 口之家,患某种传染病的概率有以下规律: 尸()=尸孩子得病=0.6, P(即尸尸母亲得病|孩子得病=0.5,尸(CMB)=尸父亲得病|母亲 及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解:所求概率为尸(4B以)(注意:由于“母病”,“孩病”,“父病”都是随机事件, 这里不是求AB)P (4B)=尸(4尸尸(8M)=0.6x0.5=0.3, P (C AB)=
15、 -P(C AB)= -0.4=06从而 P(ABC )=P(AB)- P(C |43)=0.3x0.6=0.18.21 .十七已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机地取一只,作 不放回抽样,求下列事件的概率。(1)二只都是正品(记为事件A)法一:用组合做在 取法等可能。10只中任取两只来组合,每一个组合看作一个基本结果,每种p(m =28= 0.62法二:用排列做在10只中任取两个来排列,每一个排列看作一个基本结果,每个 排列等可能。网小_封_ 28一有一次法三:用事件的运算和概率计算法则来作。记小,生分别表第一、二次取得正品。q 778尸=尸(44)=PP(& Hi) = -
16、x- = (2)二只都是次品(记为事件B)法一:C; IP(B) = = ; c;。45法二:法三:- 211p(b)= p(44)= p(4)p(4I4)= %x/ = (3) 一只是正品,一只是次品(记为事件C)法一:CIO法二:P(C) =(C;xC;)x星 _ 1645法三:尸0 =尸(4彳2+4工2)山14与442互斥=尸尸(石 |4)+p(Z)p(4|4)=奈3+后5=书(4)第二次取出的是次品(记为事件。)法一:因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作,法二:法三:p(0 = p(4Z + 44)且4不与彳出互斥82211= p(j1)p(j2M1)+ p(j1)p(j2M1)
17、=x1+1x-l-=j22.十八某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是 多少?记H表拨号不超过三次而能接通。4表第,次拨号能接通。注意:第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。h=a,+aa2+a a 4三种情况互斥p(”)= p(4)+尸(4)尸(4 M)+P(4)p(4 14)p(a 144)19 19 8 13=+ X 4- - X X=10 10 9 10 9 8 10如果已知最后一个数字是奇数(记为事件8)问题变为在8已发生的条件下,求, 再发生的概率。=p(4 + P(AX B)P
18、(A21 凤)+ P(4 I B)P(A2 I BA. )P(A31 BA, A2)-1+4x1,4 3 1 _3-5+5X4+5X4X3-524.十九设有甲、乙二袋,甲袋中装有只白球用只红球,乙袋中装有N只白球 M只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋 中取到)白球的概率是多少?(此为第三版19题(1)记小,生分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋”再记8表“再从乙袋中取得白球二B=43+殳8且小,生互斥P (B尸P (4)尸(8 小)+ P (A2)P (B A2)n N +1 m N=xTxn + m N + A/ + 1 +加 N + M + 十九(
19、2)第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球。 先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白 球的概率。记Ci为“从第一盒子中取得2只红球”。C2为“从第一盒子中取得2只白球”。C3为“从第一盒子中取得1只红球,1只白球”,。为“从第二盒子中取得白球”,显然CI, C2, C3两两互斥,C,UC2UC3=5,由全 概率公式,有P (。)=尸(G)尸(DQ)+P (C2)P (DC2)+P (C3)P (D| C3)f 5 I C: 7 I6 =53 Cg 11 C, 11 C; 11 - 9926二十一已知男人中有5%是色盲患者,女人中
20、有0.25%是色盲患者。今从男女 人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解:小=男人,42=女人,B=色盲,显然小U/2=S,小由已知条件知 P(4) = P(4) = g。P(81 4) = 5%, P(BA2) = 0.25%由贝叶斯公式,有1 5_P(4B)P(4)P(8|4)210020P(B)P(4)P(8|4)+ P尸 4)1 5 + 125212 100 2 10000二十二一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P,若第一次 及格则第二次及格的概率也为尸;若第一次不及格则第二次及格的概率为5(1)若至少 有一次及格则他能取得某种资
21、格,求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率。解:4=他第i次及格, i=l,2已知尸(小尸尸(4尸P,尸(4|%) = %(1)8=至少有一次及格所以后=两次均不及格 = A,A2:.P(B) = 1-P(B) = 1-P(4 A2) = - P(4 )P(彳2 14)= i-”p(4)W p(4lZ)p3.=1一(1 一尸)(1_) = -p_p1 222(2)R4&)幽意)(*)由乘法公式,有P (小儿尸尸(小)尸(/2|4) = P2由全概率公式,有尸(4)=尸(4)p(& I4) + P(4)P(41%)= P P + (1-P) y上+E 22将以上
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