概率论与数理统计习题答案-修订版(详细)-复旦大学.docx

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1、概率论与数理统计习题及答案习题一1 .略.见教材习题参考答案.2 .设4B, C为三个事件，试用/, B, C的运算关系式表示下列事件:(1) 4发生，B, C都不发生；(2) A与B发生,C不发生；(3) A, B, C都发生；(4) A, B, C至少有一个发生；(5) A, B, C都不发生；(6) A, B, C不都发生：(7) A, B, C至多有2个发生；(8) A, B, C至少有2个发生.【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC(4) JU5UC= J5CU JSC JABC DABCUAB CUABC L)ABC=4BC(5) ABC = AJBJC(6) ABC

2、(7) ABCUAB CDABC U ABCUAC UABC U ABC = ABC = A U B U C(S)ABUBCUCA=ABC UABCUABCUABC3 .略.见教材习题参考答案4 .设48为随机事件，且P (4) =0.7,尸(1-8)=0.3,求P (刘).【解】尸(翔)=1-尸(J5) =-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65 .设4, 5是两事件，且尸(J) =0.6,尸(8)=0.7,求：(1)在什么条件下尸(AB)取到最大值？(2)在什么条件下P (AB)取到最小值？【解】(1)当48=4时，P (AB)取到最大值为0.6.(2)当4UB9时,P (A

3、B)取到最小值为0.3.6 .设 A, B, C 为三事件，且 P (Z) =P (B) =1/4, P (C) =1/3 且 P (AB)=尸(BC) =0, P (AC) =1/12,求才, B, C至少有一事件发生的概率.【解】 P (/1UBUC) =P(A)+P(B)+P(Q-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)11113=-|=4 4 3 12 47 .从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？【解】尸c；3c/OC：8 .对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期

4、日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设小=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7$,有利事件仅1个，故1 1 P (小)=不=(-)5(亦可用独立性求解，下同)7- 7(2)设上=五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故(3)设出=五个人的生日不都在星期日P (小)=l-P(Ji)=l-(y )59 .略.见教材习题参考答案.10 .一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出件(nN).试求其中恰有zn件(/WM)正品(记为4)的概率.如果：(1)”件是同时取出的；(2) 件是无放回逐件取出的；(3)”件是有放回逐件取出的.【解】 PU)=C；C/C；(2)由

5、于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P；种，次抽取中有m次为正品的组合数为C：种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有P；种，从2M件次品中取n-m件的排列数为P；4种， 故7Mpm pw-m p(4)一p;由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成可以看出，用第二种方法简便得多.(3)由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为M种， 次抽取中有加次为正品的组合数为C：种，对于固定的一种正、次品的抽取次序, 用次取得正品，都有M种取法，共有“种取法，-加次取得次品，每次都有 N-M种取法，共有(N-M) I种取法，故P(A

6、) = C W (JV - My,-m / N此题也可用贝努里概型，共做了重贝努里试验，每次取得正品的概率为丝，则取得 N加件正品的概率为11.略.见教材习题参考答案.12 . 50只钾钉随机地取来用在10个部件匕其中有3个钾钉强度太弱.每个部件用3只钾 钉.若将3只强度太弱的怫钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个 部件强度太弱的概率是多少？【解】设/=发生一个部件强度太弱尸= C；C；/C；=焉13 . 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率.【解】设4=恰有i个白球(i=2,3),显然也与4互斥.故p(4U4

7、)= p(4)+p(4)=行14 .有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒，求:(1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.【解】设4=第，批种子中的一粒发芽,(i=l,2)(1) P(44)= P(4)P(4)= 0.7X0.8 = 0.56(2)尸(4 U30. 如图阴影部分所示.n 3O21p .602 422 .从（0, 1）中随机地取两个数，求:(1)(2)【解】两个数之和小于9的概率; 5两个数之积小于1的概率. 4设两数为xy,则（Xjrjl.(1) x+y .(2)xy=0.9即为(0.8) ，八，(n-1)!

8、1，3!(n-2)!(3) =-rL = -；P2 =,n nn38 .将线段0,团任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】设这三段长分别为xjM-x-y.则基本事件集为由0xa,0ya,0a-x-y Q X y x+(a-x-y) y y + (a x - y) x构成的图形，即0x 20 y 2x+yC) = P(ABJAC)=P(AB) + P(AQ- P(ABC)P(AB) + P(AC)-P(BC)42 .将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率.【解】设4=杯中球的最大个数为/,/=1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放

9、法有43种，杯中球的最大个数为1时, 每个杯中最多放一球，故p（4）=等而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故C1 1p(4)= W = L343 16因此3 19P(J2) = l-P(/l1)-P() = l- = - o lo lop(4) =C；C阻4J91643 .将枚均匀硬币掷2次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2次硬币，可能出现：4=正面次数多于反面次数, 8=正面次数少于反面次数, C=正面次数等于反面次数, A, B, C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （4）=尸（B）.所以尸（野由2重贝努里试验中正面出现n次的概率为p（c）=q（

10、；）T故p（j）= li-q_44 .掷次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设4=出现正面次数多于反面次数, 8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知 P （J） =P （B）（1）当为奇数时，正、反面次数不会相等.由（工）+尸（3）=1得尸（4）=尸（8） =0.5（2）当为偶数时，由上题知1 a. 1p（）=-i-cn-r45 .设甲掷均匀硬币+1次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 【解】令甲片甲掷出的正面次数，甲&=甲掷出的反面次数.乙，产乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.显然有（甲正乙正）=（甲“W乙m） = （+1-甲反乙反）=(甲反21+

11、乙反)=(甲反乙反)由对称性知尸(甲正乙正)=P (甲反乙反) 因此(甲Q乙#)=；46 .证明“确定的原则”(Sure-thing)：若 P (川C) P(BQ,P(AC)P(BC),则尸(4) 邮(8).【证】由P (4|C) 2P(B|S,得尸(ZC) P(BC)P(C) P(C) 5即有P(AC)NP(BC)同理由P(AC)P(BC),得P(AC) P(BC),故P(A) = P(AC) + P(AC) P(BC) + P(BC) = P(B)47 .一列火车共有节车厢，有网上2)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少 有一个旅客的概率.【解】 设4=第，节车厢是空的，(i=

12、l,簿)，则p(4)= = (i-%nnp(44)=(i-p(444)= (i-)*其中九，2,是1，2,，中的任-1个.显然节车厢全空的概率是零，于是11E = Zp(4)= (i)*=c；a)*/=innS2= z 尸(44)式：(1-%l/ Jnst= Z 尸5人式丁。s“=oP(U4)= 51-52 + S3-. + (-1)+,5 i=l=c：（I）y（1 - 2y + +（_1）C：T （I -3）*nnn故所求概率为n17*7 11-P（U4）= 1-CI,（1/+C（1）,-+（-i）n+1c：-（iy0.试证明：不论e0如何小，只要不断地独 立地重复做此试验，则/迟早会出现的

13、概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1一（1一） T1（T8）49 .袋中装有用只正品硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只， 将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设4=投掷硬币r次都得到国徽8=这只硬币为正品m- n由题知P（B） =,P（B） = 加+加+1 _P（AB） =,P（AB） = 则由贝叶斯公式知尸=迺=p）cP 尸（8）P（川 8） +尸（8）P（4|8）m 1二m+ 2 二 mm 1 nm+ 2十1m + n 2r m + n50 .巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有

14、N根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又 有多少？【解】以S、&记火柴取自不同两盒的事件，则有尸（可）=尸（鸟）=g .（ 1）发现一盒已空， 另一盒恰剩r根，说明已取了 2-厂次，设次取自S盒（已空），次取自星盒， 第2-共1次拿起S，发现已空。把取2-厂次火柴视作重贝努里试验，则所求 概率为Pi=2Ci（g）（；）g = C二或式中2反映以与盒的对称性（即也可以是4盒先取空）.（2）前2”-1次取火柴，有-1次取自反盒，”-r次取自&盒，第2/w次取自 盒，故概率

15、为2151 .求“重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由(7 + PY = C*% + Cnpqn-1 + C；p2q”-2 + c：pq。= 19 PY=+ Qpqi + C：p2qi 一+ (_1)CV以上两式相减得所求概率为月=CM+C犷尸+=；口-(夕-= 1l-(l-2Pr若要求在重贝努里试验中/出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p2=il + (l-2p).52 .设48是任意两个随机事件，求尸 (A+B) (A+B) (A + ff) (A+B ) 的值.【解】因为(4U8) D (AuBf=ABDAB(A U5) A (4U B )

16、=ABU AB所求(N+ 8)(N+ 8)(7+ 历(4 +与)= (ABUAB)n(AB + AB)=0故所求值为0.53 .设两两相互独立的三事件，A, 8和C满足条件：ABC=, P(J)=P(B)=P(Q 1/2,且(AUBUC) =9/16,求尸(/).【解】由尸(4 U 8 U C) = P(A) + P(B) + P(C)- P(AB) - P(AC)- P(BC) + P(ABC),9= 3P(J)-3P(J)2=-lo1311故P(N) = j或彳，按题设尸(4) 0/(4|8)=1,试比较尸(/UB)与P(4)的大小.(2006研考)解：因为P(AU 5) = P(A) +

17、 P(B)-P(AB)PAB) = P(B) PAB) = P(B)所以(4U8) = P(/) + P(8)-P(8) = P(Z).习题二1 .一袋中有5只乒乓球，编号为1, 2, 3, 4, 5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X = 3,4,5尸(X = 3) = ： = 0.1,3P(X = 4) = - = 0.3尸(X = 5) = |1 = 0.6故所求分布律为X345P0.10.30.62 .设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X表示取出的次品个数，求：(1) X的分布律；(2)

18、 X的分布函数并作图；(3)133PX-,PlX-,PlX-,PlX2.【解】故X的分布律为X = 0,l,2.=|吟CC2 12P(x = l) = = .C 35C1 1P(X = 2) = R = -k / 35X012P22351213535(2)当 好0 时，F (x) =P (XWx) =022当 0Wxl 时，F (x) =P (Xx) =P(X=0尸 一3534当 lx2 时，F (x) =P=P(X=0)+尸(六 1)=一当 x22 时，F (x) =P (Xx) =1故X的分布函数0,x 022二到 0x,1X 23312P(1X1) = P(X = 1) + P(1%1)

19、 = |34 1P(1 % = 0.096P(X = 2) = Cj(0.8)20.2 = 0.384P(X = 3) = (0.8)3 =0.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,x00.008,0xl尸(X)= 0.104,1 x20.488,2 x3P(X 2) = P(X = 2) + PX = 3) = 0.8964 . (1)设随机变量X的分布律为PX=k=a,其中Q0, 1, 2,4 0为常数，试确定常数a(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N, k=l, 2, , N, 试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知1 =之尸(X

20、 = k) = a = aeAk-0*=0 k!故a = e(2)由分布律的性质知NN1 = Z P(X = k) =, = a*=i*=iN即a= .5 .甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、丫表示甲、乙投中次数，则(3, 0.6)，丫6(3,0.7)(1) p(x = y)= p(x = o,y = o)+p(x = i,y = i)+p(x = 2,y = 2)+尸(X = 3,Y = 3)=(04)3(0.3)3 +C；0.6(0.4)2c； 0.7(03)2 +C； (0.6)2

21、0.4C； (0.7)2 0.3 + (0.6)3(0.7)3= 0.32076(2)p(xy)= p(x = i,y = o)+p(x = 2,y = o)+p(x = 3,y = o)+p(x = 2,y = i)+p(x = 3,y = i)+p(x = 3,y = 2)= C；0.6(0.4)2(0.3)3 +C；(0.6)20.4(0.3)3 +(0.6)3(0.3)3 +C；(0.6)2().4C；0.7(0.3)2 +(0.6)3C；0.7(0.3)2+(0.6)y (0.7)20.3=0.2436 .设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,

22、且设各 飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则片6(200,0.02),设机场需配备N条跑道， 则有P(XN)0.01200Z Goo(0.02)* (0.98严-* N)y -o.oiLk=N+l 底：查表得N29.故机场至少应配备9条跑道.7 .有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问事事故的次数不小于2的概率是多少(利 用泊松定理)？【解】设X表示出事故的次数,则(1000, 0.0001)P(X2 2) = l-P(X = 0)-P(X = l)= l-e-,-0.1xe-18 .(2知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P六1=P-2,求概率PAM.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则C1(l-p)4=C；/(l-p)3故P3所以p(% = 4) = C(-)4- = .5 3 3 2439 .设事件/在每一次试验中发生的概率为0.3,当X发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了 5次独