考研冲刺班高数讲义.docx

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1、考研数学中常出现三类非初等函数1 .分段函数例./(无)=7, (x),/2(ax a(1)注意分情况讨论例如：要求复合函数/(X)先考虑/() =f(x)a/)/) W1 j/ilAWl filfiW再考虑xa,fx)a x a xa,f2(x) a, f2(x) a(2)讨论/(x)在分段点。处的极限、连续和倒数，由于a点两侧表达式不同，所以必须先从左、右两侧讨论，由结果得出有关结论.口诀(1)：分段函数分段点；左右运算要先行.2 .用极限表示的函数(1)/(x)= lim/(x)(离散型) noo(2) f(x)= limg(r,x)(连续型) z-x先讨论极限得出/(X)的具体表达式，

2、再讨论其他问题.3 .变限积分表示的函数设尸(x)=/劝，/连续，贝IJ尸(x)=/(x)(2)设G(x)=/连续，1,02可导，则G(x)= ffp2(x)f2(x)- f 弧(x)pj(x)口诀(2)：变限积分是函数；遇到之后先求导.这部分内容有四个方面，其中以有关四个性质为重点.一.求函数的值域1 .求反函数的定义域2 .求闭区间上的连续函数的最大值和最小值.求/(x)在a,切上最大值和最小值，只需要比较/(x)在a,加上的端点，驻点和不可导点处的函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值.口诀(3)：函数值域先求反函；不行再算其最值.口诀(4)：端点、驻点、非导点；函数值中定最值.例1

3、.求=6方二的值域.解：我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。,13,1In y =/, x -1=；,In3 yV y所以原来函数的值域为(0,l)U(l,+oo)x =31+.它的定义域y，且yHl例2.设/(x)=2|sin tdt(1)证明/(x)是以乃为周期的周期函数(2)求/(x)的值域解：3n(1)/(%+乃)=1sin tdt =|sin|/M =/(x)(作变量替换f =+乃)可见，/(无)以乃为周期(2)只需讨论/(x)在0,封上的值域，为此，我们先找出f(x)在0,乃上的最大值和最小值。f(x)= sin x +-|sin x|=|cos x|-|sinx|令;

4、(x)=0,得两个驻点，芭=(,=今，/(x)在0,乃上没有不可导点，有两个端点0和乃比较/(O), f/(万)的函数值/(o)= psinrJr = l, f sin tdt = y25乃sintdt -sin tdt =2- y/23t/(乃)=F (-sin r W =1所以/(x)在0,乃上最小值为2-&,最大值为J5因此，/(x)在0,乃上值域亦即(一00,+00)内值域为2-后,及。二.有关四种性质1 .单调性口诀(5)：单调增加与减少；先算导数正与负.2 .奇偶性口诀(6)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘.公式：价/(x)为奇函数f f(x)d(x)=L2/(x)d(x)/(x)

5、为偶函数3 .周期性4 .有界性例1.求/= L x - ex )ln(x +-Jx2+1) dx解：f(x)= e*eT是奇函数，,力(7)=1-/=-/,(%)./2(x)= ln(x +Jx?+1)是奇函数,/力(-x)= In(一尤+ Jx?+1)= In +J), AX + N X2+1=Ini -lnQ +J/+1)=-%因此-eT)ln(x +J/+1)是奇函数,于是 I - jx6dx +0=2 x6dx -例2.设Fx)=/(x),则下列结论正确的是(A)若/(x)为奇函数，则尸(x)为偶函数。(B)若/(x)为偶函数，则尸(x)为奇函数。(C)若/(x)为周期函数，则尸(x

6、)为周期函数。(D)若/(x)为单调函数，则E(x)为单调函数。解：v.3(B)不成立，反例/(x)=/, F(x)=+1(C)不成立，反例/(x)= cosx +1, F(x)= sinx + x(D)不成立，反例/(x)=2x,/(尤)=/在(-oo,+8)内(A)成立，证明尸(无)=网0)+1/卜必，/为奇函数，F(-x)=F(O)+/m=/(0)+=/()+= b(x)尸(x)为偶函数。例3.设/(x), g(x)是恒大于零的可导函数，且尸(x)g(x)-/(x)g(x)0,则当 ax f(b)g(x)(B)/(x)g(a)/(a)g(x)(C) f(x)g(x)f(b)g(b)(D)

7、x)g(x)/(a)g(a)解：(A)成立只需/(x)/g(x)单调减少(B)成立只需/(x)/g(x)单调增加(C)成立只需/(x)g(x)单调减少(D)成立只需/(x)g(x)单调增加 f鼎=Lf(x)g(x)一/(x)g Q)0,纲单调减少 g(x)于是x 20,/42f(42当国2时，|/(x)=0,./(x)=40=4当国42时，若|/(=|4一/卜2,则要求2WYW6,故&国42时，则/(尤)=4一(4一/)2,而忖2,则/(x)=0综合起来0,|x| V2/l?W4-(4-x2)2, V2|-r|2四.有关函数方程例1.设ba均为常数，求方程sin(x + ft)ln (x +

8、b)+-(x + b)2+- sin(x + a)ln (x + a)+ yj(x + a)2+1=0的一个解。解：令:“)=令nfln(r +J，+1)则原方程为f(x + b)-f(x + a)= Osinr和ln(r +JPT7)均为奇函数，./)= sin fln(r + JTT)是偶函数，如果(x + b)=-(x + a),则/(x + b)=/(x + a)方程就成立。因此x =-;(a +乃是方程的一个解。例2.设/(x)在0,+o。)上可导，/(0)=0,反函数为g(x),且=求/(x)解：两边对x 求导得 gfxf(x)=2xes +x2ex于是 xf(x)=x(2+ x)

9、e ,故/(x)=(x +2产，/(x)=(x+lx+c,由/(0)=0,得c =-l贝 ij /(x)=(x + lx-l口诀(7)：正反函数连续用；最后只留原变量。1.2极限一.有关无穷小(量)口诀(8)：极限为零无穷小：乘有界仍无穷小。1 .有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)2 .等价无穷小代换当x f 0时(1) sin x - x(2) tanx - x(3) arcsinx - x(4) arctan x - x12(5) 1-cosxx2(6) ln(l + x) x(7) ex x(8) (l + x)a-lar (a 是实常数)3 .无穷小的阶的比较r a(x).lim=

10、 I3队x)(1) /=0, a(x)比(x)高阶无穷小(2) /0wl, a(x)与(x)为同阶无穷小(3) /=1, a(无)与夕(x)为等价无穷小(4) /= oo, a(x)比(x)低阶无穷小八，x-sinx例1.求 hmz5 sin x1. x-sinx1-cosx 1解：原式=hm= lim=-xt。 x33x26例2.设当x 0时(1-cosx)ln(l +*2)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比(e-1)高阶的无穷小，则正整数等于()(A)1(B)2(C)3(D)4解：.T-cosx gx?, ln(l + x2) x2, xsinx xn+l,由4(+ l)2,故=

11、2选(8)例3.设a(x)=(吗/r,尸(x)=(1+力，则当xf 0时a(x)是以)的(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小sin 5%.a(x). a (xl .5rhmX = hmH = lim1。p(x)。/3x)1。/.(1+ sin x) cos x选(C)二.有关两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在。准则2.夹逼定理。例1.设0七0,3-x10,；.01时，01时，x“+_x“= Jx“（3-x“）-x”=H（j3_x“一区）x,1+l xn,则尤“单调增加。根据准则1, limx“=/存在 noo把 X+I = Jx“(3-x”)两边取极

12、限，得/=7/(3-/)I2=31-I2,/=0(舍去)得/=3/2,=3/2口诀(9)：递推数列求极限;/rl/1352n -例2.求hm”5(2462,刀人1352解：令x 2462n则0x“y，于是000.kn n sin 例3.求limg-T81I +一 k缶1sin 42yn +1*=ini基本公式1而，之/(&)=T8 n 占 n单调有界要先证；两边极限一起上：方程之中把值找。，）1242n， y n ，352+112n + l,于是原极限为0.k兀sin 1 njjV sin ,1占 nn h kjf（x）dxsinxdx =27t而 limLsinn在271271由夹逼定理可知

13、,口诀（10）：数列极限逢绝境；转化积分见光明。例4.求 lim sinf 力 X-KC y b . tan.r(l-cosx) 1tanx 1=hmJ= lim= ro x(1- cosx) 2 io x 21解：v JA+1)T|sinr|t/r = sin tdt =2设乃X(+1)肛则2n =卜|sin tdt 卜也彳力=2(+1)2n 1 p I .2(+1)于是-I sin tdt 8n 兀7162由夹逼定理可知lim f Isin tdt =KT+OO X J)11兀三.两个重要公式八一 sinx公式1. hm10 Xlim(l + v)v = e o公式2. limf 1+|=

14、 e ; lim|1+- n JUJl + tan x Jl + sinx例1.求hm彳ra。x(l - cos x)解：原式=lim ,(tanl)-(sinx：l)x(l - cosxVl + tan x + Jl + sin x)例2.设/(X)在(一8,+8)内可导，且1加/(%)=6, X00= lim/(x)-/(x -1)XT81 X - C J18求c的值解：由条件易见，c#0由拉格朗日中值定理，有/U)-/(x-1)=:(如一(尤一1)= f其中自介于(x-l)与X之间，那么lim/(x)-/(x-l)= lim / G)= e Xf 8Xf 00d)于是，/=e ,2c =

15、1,则c =42口诀(11)：函数之差化导数：拉式定理显神通。四.洛必达法则1、第一层次(直接用洛必达法则)9型和方型0002、第二层次(间接用洛必达法则)0.8型和8-00型1- Inx例 hm xlnx = limxtO+xtO+13、第三层次(再间接用洛必达法则)1，型，0型，8型“八lim (x)ln f(x)lim/(x)g)= XT*而 limg(x) In /(x)一定是0 oo 型 XT*再用第二层次方法处理口诀(12)：待定极限七类型；分层处理洛必达。对于(幻尸=网*产=eC,是常用的方法口诀(13)：基指函数最复杂：指数对数一起上。例1.求liMx-0|2COS Xk e-

16、ix x2- sin- x cos x 解：原式=hm；x sin x=lim*-0=limx-0=limx-0=limx021 2 cx sin 2x4x44 .2x sin 2xcos2x44x31,a xsin4x42x31 - cos 4x _ 4 sin 4x 4 =lim=-6 厂 i0 12x3例2.设函数/（x）连续，且，（0）工0,求lim11 f（x-t）dt解：原式=lim”x-0q f(Li)du（分母令工一，=U ）f(t)dt + xf(x)-xf(x)=lim： f(u)du +4(x)（用积分中值定理）= lim 汽/、（自在。和x之间）一。区）+9）、(SO)

17、/(o)/（0）+/（0）-2例3.求limx0nx 10+Inx hm lim sin x In xlim x In x解：原式=e*r*=e1/xe0=1五.求分段函数的极限例.求lim.v-0解：limXT。-lim10+2 + e， sinx2 + e* sinx1 + e*(-x)2e * + e * sinx=0+1=1口诀（14）：无穷大比无穷大：最高阶项除上下。x-02 + e sinx1 + e*kl二1六.求极限的反问题例1.设lim；bx sinx 小解：把极限用洛必达法则原式左边=lim 7&+如果b #1,则极限值为0,令极限为1,则b = l h - cos x&人

18、22x-0因此原式左边=lim y= lim .=-=Q + x 1-cosx ioJq + x yja2山一=1,得出。=4。 yja例2.设 y(x)在(0,+oo)内可导，y(x)0, lim /(x)=l ,且满足 XT+OOlim力TO/(元)ex ,求，(x)lim/n f(x+hx)-n /(x)解：lim /|-O因此,xln /(x)=,in /(x)=-4-, ln/(x)= xx1f(x)= ce x ,由 lim/(x)=l,可知c = l x+Q0贝Ij /(x)= e r七.其它例1.设曲线丁=/(%)与丁=5也在原点相切,=1x = 0lim2-noo于是则/自/

19、(。)-0 n= 2/(O)=2解：由题设可知/(O)=O,尸(O)=(sinJp +2。+.+”例2.设pl,求limn解：原式-8 y=f xpdx =p +11 .3连续一.连续与间断例1.设/(X), g(x)在(一8,+8)内有定义，/(X)为连续，且/(X)#O, g(x)有间断点，则卜列函数中必有间断点为必）g（.（C）/bW）瑞解：令加)三1, g(x)=:可见g/(亦1；g(x)l,加三1,皆为连续函数，故(A),(B),(C)不成立，而(D)的成立用反证法。如果胆=连续,则g(x)=/(x)(x)连续与假设矛盾,故g!”!必有间断点/(尤)例2.求lim(里叱Ff=/(x)

20、的间断点，并判别其类型。解：x*kn、考虑ln/(x)= lim1In(粤上 sinr sinx sin x Jcosr=Hm 上.*= jf cosr smr sinxsinxX：./(x)= einx (x 丰 k兀)可见x = hr为间断点，x =0是可去间断点，其它皆为第二类间断点。二.介值定理及其推论例1.设/(x)在0,1上连续，且/(0)=0,/(1)=1,证明存在Jg(0,1),使得/团=1证：令 g(x)=/(x)+ x-l,则 g(x)在0,1上连续，g(0)=-10,根据介值定理推论，存在4(0,1)使8t)=0,即证。口诀(15)：函数为零欲论证；介值定理定乾坤.例2.

21、设/(x)在0,2上连续，/(0)+/(1)+/(2)=3,求证存在1时，lime（i）=+oo , nooM002ax + h由/（X）在X =1处连续性（.可导一定连续）lim /（x） = lim x2 = 1, /=Li,可知a + b = l,再由x = l处可导性,H=lim匚工存在f x-1/2（1）= limXT】（以+力/x-1（1）= limf = ax!根据洛必达法则，/；（l）=lim =2, x-r 1=2, Z?= l-a=-l,于是X 1x = l, fx）=X 0L2刖=0,/(l)=0由2/市出】./O + sin x)-3/(1- sin x)8x a(x)

22、。再由条件可得hm八7= hm+j =8,xtosinxxT|_sinx sinx人 r /(l + r)-3/(l-r)令sin x = f,上式左边=hm-= lim/(i)-/(i)+3lim/0-0-/a)/0I/0( I)=川)+3/=4/(l)=2于是切线方程为y -0=2(x -6)即2x-y-12=0四.高阶导数1、二阶导数dy例：设x = s(r),y =),求一7。 dx解.=()心=区=pS 1eW)“dx (pt) dx2 dx dt dx p(t)fdt2、n阶导数r3例：设y =求y()(正整数)x2-3x-4-解:13x + 12y = (x + 3)+13 A

23、-h 1 Z/(x-4)(x + l)x-4 x +1=(x +3)+段(无一4尸+(x +1厂(九-2)An)=(T)(_2)(_)641_5_(x-4)M+l (x + l)l)i!641=5|_(x-4)n+l +(x + l)n+,口诀(18)：有理函数要运算；最简分式要先行。口诀(19)：三角高次耍运算；降次处理要先行。例：y = sin，x + cos* x,求2.2微分中值定理一.罗尔定理口诀(20)：导数为零欲论证；罗尔定理定乾坤。口诀(21)：导数、函数合为零；辅助函数用罗尔。1 .模型 I：设/(x)在上连续，(a,b)内可导，/(a)=/(b)=0, g(x)是(a,b)

24、内的连续函数，则存在Je(a,b),使/G)+gG)/=0成立。证：令 F(x)= eG/(x),其中 G(x)=g(x)于是尸(x)在a,“上连续，在(a,b)内可导，尸(。)=尸0)=0根据罗尔定理，存在使尸6)=0而尸(x)= eG(*)/(x)+ e。 G(x)/(x),二e。叫/团+g勖仁)=0,而e。*。因此/G)+gG)/G)= o例1.设/(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，/(0)=/(1)=0,=试证：(1)存在使/(力=/7(2)存在ge(0,)，使尸(幻-加8=1()为任意实数)0(1) = -10 ，2证:(1)令e(x)=/(x)-x,显然，伊(x)在0,1上

25、连续,(2)令尸(幻=广”0(6=*/(6-%(相当于模型1中，g(x)=/l , G(尤)=一西),/(0)=(p(ri)=0,尸(。)=尸(力=0产(6在o,上用罗尔定理,存在自6(。,力使尸中)=。即：-“/-力仁)一小1=0从而广一4/(g)Y=i2 .模型n：设/(x), g(x)在L上连续，(。力)内可导,且/(。)=0, g(b)=0,则存在使fG)g团+fgG)=o证:令(x)=/(x)g(x),则尸(。)=尸()=0,网x)在上用罗尔定理，存在Je(a,b),使尸仔)=0,即-G)g 团+f(g 4)=0例2.设/(尤)在0,1上连续，(0,1)内可导，/(0)=0，k为正整

26、数，求证：存在自(0,1),“仔)+妙G)=(证：取a =0, b = l,令g(x)=(x-l)”,则g=0,用模型H,存在e(O,l),使/必-1广6)=0/岁-i)+仔=0,即4广体)+仔=/皖)3 .例3.设/(x)在0,乃上连续，1/(x)dx = O,1/(x)cosxdr =0,求证：存在刍(0,乃),殳 g(0,乃)匕#&，使。)=/(另)=0证：令F(x)=/。)力(0x),使得纲=噌-6一f(7) b-a证：令g(x)=/,用柯西中值定理，存在77 e (a,。)，使。)一)=鱼再在a,b上对f(x)用拉格朗日中值定理存在J e (a,b),使/一/(a)=/GXb-a)代

27、入上式得小)=少整理得/(力 b-a口诀(22)：寻找或无约束:柯西拉氏先后上。例2.设/(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，且0)=0,/(1)=1,证明：(I)存在Je(O,l),使得/6)=1-4（ID 存在774e（o,i）, n*q，使/（力尸（7）=1证：令 g（x）=/（x）+ x-l,则 g（x）在0,1上连续，且g（0）=l0,用介值定理推论存在gw,1）,使g（3=o,即/G）=12（II）在0,句和白,1上对/（X）用拉格朗日中值定理，存在（04），使得/=）,一）=力6-。百存在.0,1）,7 H 77,使得-J（MG）1-（Y）&,9 T T T”（办/（7）=1

28、口诀普底寻找点有约束；两个区间用拉氏。三.泰勒公式（数学一和数学二）例.设/（X）在0,1上三阶可导，且/（o）=l,/（1）=2,/1-j =0证明:存在.（0,1）,使得厂N 24/(x)证：在工=工处展开拉格朗日型余项的二阶泰勒公式令x = 0代入，得（注意/0)/（0）=/(0,-)2令x = l代入，得/(0=/（3另24|/（1）-/（0）|=242.3导数的应用一.不等式的证明例1.求证：当x0时，(x2- l)ln x (x -1)2证：-/(x)=(x2-l)lnx-(x-l)2,只需证明x0时，/(x)0,可知/(1)=0,f(x)=2xnx- x +2-,/,(1)=0X

29、由于/(x)的符号不易判别，再求导得了(HuZlnx + l + l，f(l)=2, X再考虑了”(%)=攻匕臼可见当0xl时，_T(x)0；/(X)单调减少，当10,/(X)单调增加，/(1)=2是/(x)的最小值，由于/(x)0,./(x)单调增加，而/(1)=0,/.0 x 1时，/(X)0,则/（X）单调减少，lx0,/（x）单调增加于是，x0时，f（x）0证一：对f(x)= In。在口向上用拉格朗日中值定理得ln2-ln2 a =(b-a)(a e时，单调减少 Xg(x)=1- A e)故 g g()=-=-4 xe e故21nJg ,贝ijhf b-lr|2 a&(b-a) g e

30、e证二：令夕(x)= In2 x ,则尹(x)=,(px)-2-ex ex当xe 时，e(x)0,.,.夕(x)单调减少，又x夕小)=W -v = e因此,ex0可知MO单调增加于是e a b In?-，即 In2人一In2。)二.极值与拐点例1.设f(x)的导数在*=。处连续，又=贝Ila x-a(A) x = a是f (x)的极小值点(B) x = a是/(x)的极大值点(C) (。,/(。)是曲线=/(尤)的拐点(D)尤=。不是/(x)的极值点，(。,/(。)也不是曲线旷=/(的拐点证：由 lim =-1可知 lim f f(x)=0 lv lim(x - a)=01xa % qx-a

31、xa再由f(x)在x = a处连续性可知/(a)= lim /,(x)=0xa因此 f(a)= lim 二/3=-lo %1一，：故/(%)为极小值。工0Xq V 0,1 A0/(o)= lim 小匕C= limy = lim 汇出xtO X-0 I。 X 1。1=lim1-3/ r(x)2= lim -= lim -=10x-0 I XJ 10 x XT。1./(o)是极小值。三.最大值和最小值1 .求/(X)在a,句上最大值和最小值2 .实际应用题（略）第三章一元函数积分学3.1积分的概念与计算-一般方法口诀（24）：第一换元经常用；微分公式要背透。口诀（25）：第二换元去根号；规范形式可

32、依靠。遇至！I yla2-x2,令 x = tzsin/;遇至！I y/a2+x2,令 x = a tan f,遇至U Jx2-a2,令 x = a sect口诀（26）：分部积分难变易；弄清u, v是关键。例1.设/（X）的一个原函数（x）=也2卜+Jx?+1）,求/=解：/= jxt/f（x）= xf（x）= xF（x）- F（x）+ C)-ln2(x + 7x2 +1)+C例2.设尸(x)=/(x),当x NO时，/(x)尸(x)=尸又F(0)=1, F(x)0,2(1+ x)-求 f(xx 0)解：21/(x)F(x)dr =2 J F(x)rfF(x)=尸(x)+ G尸(0)=1,/

33、. C =0又尸(x)0,因此尸(x)=xJl + x贝 ij y(x)=尸(尤)=型1+ XXxe2(1+ x)%例3.设/(sin2 x)=求/=sinxf(x)dx.解一：令=sin2 x,则sinx = Vw,x = arcsin7w,/(w)=nil . rarcsin Vx ,则 I =-tdx=-21-x arcsin x +2 JJl-x -1d y/-X=2/l x arcsin x +2yx + C一 a .2 n.i Jx sinr ,.,解一：令工=sin则/=,dx =2costsintdtVl-x cosr贝I=2 sin r cos tdt =-2 cos t=-

34、2rcosr +2 cos/Jr =-It cos /+2 sin r + C-2y/-x arcsin Vx +2vx + C例4.设连续函数/(x)满足/(x)= Inx- j /(x)dx,求 j f(x)dx.解：令/(x)dx= A，则/(x)= lnx-A两边从1到e进行积分，得J f(x)dx = J In xdx j Adx =(xlnx x) I；A(e 1)于是 A = e-(e-l)- A(e -1), eA = l,A =-贝iJf(x)dx =-例5.设/(x)连续，且 f=；arctan/,/(1)=1,求 J f(x)dx解：变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理。令=2x - r,贝ijj =_f(2x=2x f(u)du - uf(ii)du代入条件方程后，两边对x求导，得2/(“k+2x2/(2x)-/(x)-2xf(2x)-2-(x)=Jr14-Xf(u)du =+ xf(x)令x = l代入，化简后得= q递推方法例