西北工业大学_自动控制.docx

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1、R(s)s(0.5s+l)C(s)-r-A，2 = -1 Jl - K第四章线性系统的根轨迹法闭环系统的性能由闭环零极点分布决定。当开环传递函数中某个参数变化时，闭环系统特征方程的系数也相应变化，闭环极点也要改变(解根难)。研究闭环极点随开环某参数变化而变化的规律，进而讨论闭环系统性能的变化趋势，是具有理论和实际工程意义的课题。(调参、设计等)。根轨迹的特点： 图解法，简单； 特别适用于研究当系统的开环参数变化时，系统性能的变化趋势问题; 近似方法，不十分精确。4.1根轨迹的基本概念1、 根轨迹的概念：当开环系统某一参数从0到8变化时，闭环极点在S平面上变化所描绘出的轨迹。例1：系统如右：G(

2、s)=-=5(0.554-1) s(s +2)根轨迹增益K*=2K。闭环传递函数为：不，、C。) K*=-rR(s) s2+2s+ K闭环特征方程为：Q(s)=/+2s + K*特征根为：4=-1+ J1- K当系统参数k*（或k）从零变化到无穷时，闭环极点的变化情况如表4-1所示。表4-1 K K=000时系统的特征根K*KA4000-20.50.25-0.3-1.710.5-1-121-1+j-1-j52.5-l+j2-1-J2CXDOO-l+j单调过程振荡过程K =01co系统总稳定3、闭环零极点与开环零极点之间的关系:例2：系统如右:K*= KR/、&K,(s +2)(s +4)8&K

3、2s(s +3)(s +5)15v =1&(s +2)、Gs(s +3)&(s +2Xs +5)c I -，1+ GH(s) j &($+2)(5+4) S(s +3)(s +5)+ K*(s +2)(5+4) s(s +3)(s +5)开环极点开环零点闭环零点=前向通道的零点+反馈通道的极点(不随K*变化，易得到，不必专门研究。)闭环极点与开环零点，开环极点和根轨迹增益K*都有关系(需专门研究)。令 l+G(s)=O,模值条件：|g（s）|一,-1s-p即相角条陆NGHG)=_，p=(2k + l)如右系统、设开环传递函数可写为GH(s)=长(s-z)(sy)开环增益于根轨迹间的关系:Zj

4、= Pj =0者除外)(s) =G(s)1 + GH(5)GH(s)= KSZ)(SzJ=-(根轨迹方程)(S-P|)(s-p”)|GH（s）|= i（模值条件）卜一pJ卜一 pjs = Pj i = l,2,终点：K*=8s =& j =1,2,m/：1而仁叫*乌=1琲=828卜一 Z|卜一 ZJ 182、根轨迹的分支数及对称性：分支数=)(s)的阶数=Max(n, m)=特征根的个数.般地11件.有n各分支根轨迹对称于实轴尤为实根在实轴上力为复根必成共甄对出现根轨迹必对称于实轴例、见上例1、23、实轴上的根轨迹:从实轴最右端的开环零极点算起，奇数开环零极点到偶数开环零极点间一定是根轨迹，否

5、则一定不是证明：见右图为例说明+%+%-以+&+a+a+05=0+360-180+360+0+0=-18CAS是根轨迹上的点。定理：当开环极点有2个，开环零点有1个，并且在复平面上有根轨迹时，则复平面上的根轨迹一定是以零点为圆心的圆弧。证明：(见下面两页)要求：对于二阶系统的根轨迹，一定要能画的熟练准确。例:例：单位反馈系统，其开环传递函数为G(s)=4，画出当5(5+1)K*=0-8时系统闭环根轨迹，证明根轨迹是圆，求出圆心和半径。解：G(s)J(s +2)卜=2K* s(s + l)v = lD(s)= s(s +1)+ K*(s +2)= s2+(1+ K*)s +2K*_(1+ K)

6、J(1+ K*)2_8KS,2=1.222(实轴上的根轨迹：根位于复平面时，有(1+ K*)2 K =2i圆心:半径:(-2, 0)V2分离点44处,有a=（i+k*）2-8k* = o解出：小巴平性能分析:快:K. =0.17160-, = J. =-0.58578 a211K： =5.8284 - 6 =乩=3.41422 d?22单调振荡 不振荡K*=0K；K；oo t l d t x d2 t I ；%=。；R；%?稳:全过程稳定准:r=4 A Aes K2KTcr: + 4(y + 2 + o? = 0(ct + 2) + of = 2 =圆心:（-2,0） 半径:灰4、根之和一iN

7、2,U）、判断根轨迹的正确性闭环根之和保持一个常数2)3)、判断分离点大致位置、确定极点的相对位置证明:G(s)”(s) =K*(s Z|一(s-z,“)Ksm+blSm-+-+bm)(s_Pi)(s p“) + a2s+%=Z(-p，)i=lm-n2 r/n .n-1,n-2,D(s)= s +qs +a2s Ha n+ K*s“-2+ K*b,“=s+ a,sn-1+(a2+ K*)s-2+.+(fln+ K*b“J=（S 4 ）（s 4 ）（S - 4 ）q =Z（-4）=2（-化）i=i/=!即：4=tp，=-q/=1 !=1 -切22时，在S平面上有一部分极点随K*变化向左移,则另一

8、部分必然向右移，移动的总增量为0,保证根之和为常数。如右根轨迹：Z4=Zp，=- 2（=1i=15、渐近线：n-m个极点趋于无穷远点的规律。，、JSP、八D、2-1 0汽Pi一汽句n m（2%+ 1）% =n - m“广义重心”如右根轨迹:%=俳；*=90将闭环极点、闭环零点（不一定是开环零点）标在s平面上，便可以计算闭环性能。注：1）、根轨迹法研究的是当系统参数变化时，闭环极点的变化规律。2）、根轨迹法的目的：在于通过研究参数变化、根变化的规律，来研究闭环系统性能的变化规律。例1、系统结构图如右:I、作K,=0t8时的根轨迹。解：G（s）=舟蒜1、起点、终点2、分支数、对称性3、实轴上的根轨

9、迹4、根之和5、渐近线:nme = i月n-m(2k+ 1)4Q =n-m014+2 =-1.53-1Qk + 1)4 _ +9003-1用根之和解释为什么根轨迹是这样6、分离点坐标d重根特点N(s)= s(s + l)(s +4)+ K*(s +2)=(s +4)(s-d)2=0d 是重根7z7s=dN(s)=s(s +1)(5+4)+ K*(s +2)=(s - d)2+(s -4)2(s-d)=0 dsds/s(s + l)(s +4)-K*乳+2), dsdss(s + l)(s +4)-K*(s +2)ln5(5+ l)(s +4)=ln(5+2) dsdsIn s + ln(5+1

10、)4- ln(s +4)=ln(5+2)dsds111 s=d 111=s s+15+4s+2分离点d的一般公式:n 1m iy=y(=i d - Pi j=i d - Zj即有:1111d d+ d+4 d+2+= 试根：（1）、现在根轨迹上判断一下d的大致范围：-0.5-1之间。（2）、先取4=-0.5;上面方程不平衡。再取4=-0.6;上面方程反相不平衡（选择方向对，但过头了）选乙=-0.55;方程基本平衡（K1=0.589）（3）、d的精度至I0.5x5%=0.025以内即可。II、分析当K*=0-8变化过程中,单调振荡K*=0 f（ = 4时）-8闭环系统动态性能的变化规律。系统始终

11、稳定。III、确定两复数闭环极点实部为T时，标出闭环极点、零点，定性分析其性能。闭环零点中装点中极点+（S）Z = t|匚同见上页根轨迹图闭环极点：（用根之和）4=-3 J系统动态性能主要取决于一对共辄复极点4、4实际响应对应的0%应比只有4、4时要小（4比之更靠近原点O具体指标的数值可以用P160相应公式计算。求一对复根实部为T时对应的根轨迹增益及三个根的坐标。解法一、先山根之和法则解出单根23XA =-1+j/T-汝+4=化=0-1-4=-5/.4=52=3*由模值条件求出相应的KK*J|s +1|s +4|=3x2x16/ + 2s + (K*-2),+ 5八(4+尺)s + 2K3 .

12、2S +cs2s2+(4+K*)s2s1 +6s中彳；(K -2)s + 2K(K*-2)s + 3(K*-2)b +2|X 由长除法解出4、4坐标：0($)= s(s + DG +4)+2)= i+5s2+(4+K*)$+2K*依题意，应有：2K*-3(K*-2)=0解出：K*=6，商为：s2+2s +(K-2)= s2+2s +4=0解出：4,2 =2 /4 -4x4= -l；V3解法二：依题意有:(s) = (s +1 + ja)(s + 1- j(t)(s 一4)=s(s + l)(s + 4) + K*(s + 2)左边展开式+a右边展开式=/ + 5s2 +(4 + K*)s +

13、2K*2-2,=5比较系数有：l + 疗-24=4 + K* -(1k 4 4 = 2K*4 = -3联立解出：,K* =6a) = a/3例2、系统如右，k*=0-8,画根轨迹。G(s) =s(s + l)(s + 2)K* 2R(s) e C(s)S(S + l)(S+2)r-K实轴上的根轨迹：（-00,-2,-1,0渐近线：分离点:d d +1 d +2经整理得3J2+6J +2=0故，4=-1.577, d2=-0.423,显然分离点位于实轴上间，故取d =0.423 o根轨迹图K1=|-0.423卜0.423+1|-0.423+2|=0.3857、与虚轴地交点是临界稳定点一一劳斯表第

14、一列出现0的点O(s)= s(s +1)(s +2)+K*= s3+3s2+2s + K*=s3+3s2+2s +6=(d+2)(s +3)nK =66-K*KsnK*=0(起始点)s =+jy/2S=j是特征根(s) =3 + 3s2 + 2s + K*实部-3co2 + K* = 0虚部一加 +269 = 0例=0 f K = 0co2 = 5/2 K； = 6性能变化趋势:单调b%=0振荡振荡发散0.385 - K；= 6 -OO不稳定8、出射角、入射角:出射角外：根轨迹离开开环复数极点的切线与正实轴的夹角入射角气:根轨迹进入开环复数零点的切线与正实轴的夹角4=180 +(Z%-Z%)%

15、 =180。+ %-2.j二l六1例3设系统开环传递函数为:K*(s + l.5)(s +2+/)(s +2-j)s(s +2.5)(s +0.5+ jl.5)(5+0.5- jl.5)利用相角条件：由(a)：(。1+。2+03)-(仇+。3+/+%)=-180=%=180+(Z%ij=l j=t川由：m3+仍+%)-(4+名+%+%)=180 n %=180+ Z %- Z %,J=lJ=1内%=1800+56.5+19+59-(108.5+90+37)=79=180+153+199+121+63.5-117-90=149.5例4如右图所示系统，K*=0-8,画闭环根轨迹。解：1G(s)=

16、s(s+j)s 1+- s(s +2)Kss(s +2)+2Kk 开环增益=2二 K 二 K ,2s(1+2s +2)5(5+1)2+1 y = i实轴上的根轨迹：-1-12渐近线：3-3(2攵+1)471=+，乃33起始角：一(4+2+名)=7T1350+%+90=1804=180-135-90=-45与虚轴交点：O(s)= s(s2+2s +2)+ K = s3+2s2+ s + K =0实部：-2(o2+K=0虚部：-加+20=0cox =0,&=0co2=/2, K?=4性能变化趋势:单调T振荡振荡发散K =04 oorJT CT%?稳定不稳定叱4a _2A-22、闭环极点的确定*1)

17、、给定K ,确定根轨迹上全部极点的位置。例：如右系统:G(s)H(s)=s(s +3)(s*+2s +2)先画出系统根轨迹如右：(已知K*=4)解1、D(s)= s(s +3)(52+2s +2)+ K*= s4+5S3+8s2+6s + K*先在复数根轨迹上试根：移动小的位置，使满足模值方程:体- P-Rj-pJ 也一 P3I /一 p/= K +4得:=-0.24+ jO.864=一0.24-/0.86(s -4)(s -4)=$2+0.48s +0.7972K 除.O(s)/_2不,%(s-4)(s-4)L+4.52s +5.04=(5+2)(s +2.54)得：4=-24=2.54可用

18、模值方程) 、可用根之和例:已知系统开环传递函数为:G(s)=；5(0.055+ 1)(0.0552+0.25 + 1)解2、先在实轴上试根(求出分离点d处对应的K；=5.28.可判定K*=4时，、儿一定在实轴上。用模值条件，移动4(z ,得出：4=-24=-2.54利用根之和，4、4合起来向左移动的总量为：2-(3-2.54=1.544、4因分别向右移动号=0.774,3=-0-23，0.86。解3、试出两根大二;解出：4、4画出K由Of oo时闭环系统的概略的根轨迹解:GG) =400K5(5 + 20)(52+4s + 20)K*5(5 + 20)(5 + 2 + 74)(5 + 2 -

19、 ；4)K*=400K开环极点：Pi =0, p2=-20 pJA =-2741、轨迹起点、终点、分支数：起于P,终于00处，共有4条轨迹分支。2、实轴上的根轨迹：（0,-20）3、渐近线:nntn-m0 + （2（2 +）4 + -2-46（pa =（2k + D=45,135,45,135。4、出射角：9/）（=180+ Z %-Z %3=180-116.6-l 2.5-90=-39 j=l J=I岸35、分离点：由分离点公式有：（，,P2之间必有分离点）1111c111=0d - Pi d-p2 d-py d-p41111cI11=0d d +20 d +2+；4 d-2-j4即:1 1

20、1+d J + 202(d + 2)(d + 2)2 +42=0当开环零极点数24时，一般得用试探法。利用试探法解出：d-15.16、与虚轴的交点：O(s)= s(s +20)(s2+4s +20)+ K*=0=s4+24S3+100S2+ do。.+4*= os = j(o=69.=0,3)?=4.1虚部：一24加+4000=0*1390K =1390(K =3.47=)400至此，可以画出根轨迹的概略图，(如前页示)可以用之分析K/时的特性。注：用以上法则，只能概略的画出根轨迹来(误差20%)并非每一题全部法则都要用。开环零极点的位置有时略有变化，根轨迹可能有显著的不同，要依据情况具体分析

21、而确定(关键在于分离点的确定)例：系统结构图如右；K*=Of oo,画根轨迹解；实轴上轨迹：（-货渐近线:*=90。n-mG(s)K(2s + 1)49(广 6)(s + 1)274O(s) = 4s3 + / +(14K - 10)s + 7(K -1) = 0虚部：-jW +7(14-10) =0=2 14AT-10 co =实部：_疗+7(。1) = 0fg2=7(K-l)联立(1)、(3)两式，14-1O=7(K_1)=根轨迹如图：借助于根之和的法则分析性能:不稳定 稳定Q不稳定 单荔散1-亍振戢散8f条件稳定系统问题：若把上结构图化为如右形式:开环传递函数变为:（s +1）2（3 s

22、-l）+2Ks （s +1）2（s-：）+ ZkslKlK=4=4若作图 K*7 PM）心一死心一外产IF印4224开环极点位置也在变，很难研究，对此问题，可用广义根轨迹法来研究。4.3广义根轨迹法1、参数根轨迹94年西工大硕研考题（15分）例1、已知单位负反馈系统的开环传递函数为1,、一（5+ d）试绘制4=0-8的根轨迹，并求出系统在临界阻尼比（）的闭环传递函数。解（1）闭环特征方程：D（s）= s=S做等效开环传递函数a1 aG （s）=53+ S2+5 SS24-5+ S（44做根轨迹：（如右）2（5+ l）+-（5+ a）4441a4:S +:）22一上分离点：:+/T = od +

23、23d +d(d +)解得：J =-1/6渐近线：二丁221“33(2k 4-1),7T*=一=土/虚轴交点:令S=j、3211D(s)= s +s +s +Q 44-实部:co2+=04=0, a =01,CD =12(2)时,闭环极点位于分离点处，对应a值是:lx -&=26625427.另一极点位于4=一2 Zoo 31 z 2、(s + ) 427G + 3(S + ：)23 o1 z 、一(s + a)(s)-;-(s +$(s +；)23 o例2单位反馈系统开环传递函数为G(s)=篝箸求T = Of 8变化的根轨迹解法一:(5+26)G()=-;s2(s+)叱*615K =AT =

24、615x26=15990D(s)= s2(Ts + r)+615(5+26)= Ts3+52+6155+15990取:G*(s)=八3s2+615s + 15990八3(s +27.3)(s+ 587.7)分离点:4,=-615.55754=-40.5(舍去)=-1190|t/+27.3|.|J +587.7|=0.0004156与虚轴交点：D(5)= Ts3+52+6155+15990实部：-02+15990=0 f o =715990=126.45令s =,615虚部：Tfi/+615。=0 T =0.0385终止角：3%-(d+%+。3)=(2女+1)万71仍=，乃解法二、1,1(52+

25、6155+15990)-(5+27.3)(5+587.7)取 G*(s)= I=15SS令JL =0f 8(相当于T =8f 0)画出的根轨迹与前同，只是箭头方T向反向即可。不振一振寸侬.0.00041564 T;=0.0385-oo（注：有一闭环零点Z=-26）例3、系统结构图如右图所示,K=4,1)、00,绘制根轨迹。R(s) E(s)OC(s)s(s+a)2)、r = rH,ess = ?解:D(s) = 52 + as+ 4 = 0G*(s) =as + 4 (s + j2)(5 J2)绘制根轨迹如右图所示定夕= 45。的极点：小=-成土 jg当夕=45(J =0.707)时,cr%

26、J相应有 D(s)=+$+4=(5+ V2-jV2)(5+ V2+ jV2)=(5+ V2)2+2= s2+2V25+4比较系数：a =242也可使用模值条件：ad-j2-d + j2G(s) =s(s + 2 5/2)%=壶=亚（开环增益）a%=0.7074.33%O(s)=3.5 3.51弧V22.475”r)=r A 1-=0.707v=i Kv2K产&例、已知系统特征方程D(s) = s3+as2 + Ks + K=O当a取不同值时,K =0-8的根轨迹不同解：取等效开环传递函数：G*(s)K(s +1)s2(s + a)分离点方程：2 +一 =一=2d2+(3 + a)d +2a =

27、 0d d + a d + 1分离点:(3 + a) J(3 + a)2 -4x4判别式- 10。+ 9= (a- l)(a -9)+ -Va2-10a + 944确定根轨迹出现不同分离点形式时a对应的范围,并画根轨迹.分离点数2、零度根轨迹实质上正反馈时的根轨迹G1土G H(s)根轨迹方程:GH=1GH =+f(2k + l)乃180根轨迹NGH d +2d =0d + l + jd +1- j d +1d2=-2d =2d =0从相对的观点看根轨迹：已知开环传递函数G(s)=空952(5+tZ)求分离点d：!+1+：=工 a a d + a a 4-13d +2a _1d(d +a) J

28、4-12d2+(+3)d +2q =0(a +3) Q(a +3-16=： oo相当于K*=27.8变化时描述出来的根轨迹K*系统在d=-3出的分离角问题变化为K；系统的起始角问题K*=27-0时的根轨迹部分，可以看作是K系统K1=0-27时的零度根轨迹 a=13时：4，=-4再=1,2-5.732当两支根轨迹在4=-2.268相遇时由根之和：A3=-13+2x2.268=-8.464由根之积：K；=8.464 x 2.2682=43.54D(i)= s3+13s2+(K；+43.54)(5+1)=(s +2.268)2(S +8.464)+ k；(s +1)= D,(s)K；=0- oo =

29、 K*=43.54 t ooK=-43.540 o K*=0-43.54-8.464-2x2.268+16=：3-1根轨迹的对称性：开环零极点均为偶数且对称分布于某纵轴左右，则例：单位反馈开环传递函数：G(s) =s(s + 4)($2 +4s + 20)根轨迹对该纵轴对称。画根轨迹解： G(s)=-s(s +4)(5+2+ j4)(5+2- j4)1、实轴根轨迹(-4,0)2、渐近线042+ J4-2 J47=(21+1)%=45。135I。4-03、“十”竖线上轨迹的确定：有极点分布对称于。=-2,根轨迹应对应跑又由根之和，Pi，2对称走，P3，Pq只能上下走利用相角条件cr =-2, P

30、3，P4之间部分是根轨迹这样可能出现以下三种情况：分析：可以有与虚轴交点、分离点来确定是哪一种。4、与虚轴交点：0(5)=5(5+4)(52+4s +20)+ K*=s4+Ss3+36s2+S0s + K*s=jo)=J8/-36疗+80/O+K*=0实部:043602+k*=o虚部：8fy3 + 80y = 0q=0 f K；=0丝3=士厢 f K；=260可判定是第一种。5、分离点d： d+4+ d 2(d +2)八解法一:- + ?=0d d+4 J + 2-j4 d + 2 + j4d(d +4)(J +2)2+42,0、+2产+42+ d(d +4)2(d +2)2( J2+4d +

31、10) nt/(J +4)(J +2)2+42 t/(J +4)(J +2)2+424=-2(K*=64)解出：/42-4x10 r*d23=-2 jV6=-2 J2.4495(K =100)2解法二：分析复平面分离点A的特征一是“=-2+为当K*取极大值时的点。由模值条件：K=|A-/ji|-|t1-p2|-|A-p3|-|A-p4|A=-2+ ja)A=2+ j(oA -0|-2+ j(oA +4|-2+ ja)A +2- J4|-|-2+ ja)A +2+ j4|=2。+y；*.22+y：-(4+ iya)2=64+12ty：-4dk*=0令：=246yA -4：=0,da)A, coA

32、 =V 6=2.4495A 点坐标：Sa =-2+,2.4495最后作出根轨迹如上页图示：注：当开环零极点分布对称于某c而且零极点数均为偶数时，一般根轨迹是对称于C的。k*T时,系统性能分析：(注意各个阶段不同闭环极点在各轨迹分支上的相对位置)K*:0 f 64100-260情定oo1,2-(52+25+2)令 G|(s)=7S(5+2)终止角:科=180-90-2x135-45=405=360+45与虚轴交点:22)(S)= J +(2 H)5H S H TTTs = jco=jco?(2h)切+ jco_ H=0TT T1c212211实部：(2+一)，=f(2+)一=-2 r =(无交点

33、)TTT TTT2虚部：(03=(0-(02=TT做根轨迹如右图所示：可见：=0-8时0尸8-0时：T If 3 J(T% J-匏,T - t s Jr 减小对改善系统性能有利。当工=0f F变化时，做零度根轨迹。 T分离点：d d d +2 d +-j d + l + j3d +4_2(d +1)d(d +2)-(J + l)2+1试根d =-L2终止角:=-90-2 x 1350-45=22S0做根轨迹如图所示可见时，系统不稳定。例：已知系统传递函数为：GH(s)=K，D(3)F+4s +5)(?+2s+2)(?+65+10)绘出系统当K*=0 f 8变化时的零度根轨迹，180度根轨迹。解

34、：依传递函数，开环零极点分布如右图示O(s)= fJ(s-pJ + K*n(s-Z,) i=li=l= R(s-4)=口(5+。)-9+。)+长*口心+。)-亿+。)=口(5+ Q)-(4+ Cl)i=l；=1i=li=l*. s =s + a ; Pj = Pj + a ; Zj = G + a ；4=4+ a D（s）= fG-p；）+ K*H（f-z；）=fl（s-4） i=li=1i=l说明：进行S平面的坐标平移（左右）后，系统的根轨迹形状不变，也只是平移而已，为讨论方便，将新的虚轴平移到对称轴S=-2处(5=5+2)由(1) G”(sj=K*(sT)(s+l)(sT)(s+j)(2)

35、(s +-j)(S +l + j)(s-1+ J)180根轨迹:实轴上的根轨迹：5-1,+1由相角条件判定虚轴上：S G-j,+j求分离点11111111:1;1;1:=;1;1;1;S +1-J s 4-1+ j S -+ j S j S -1 S +1 S -j s + j2(5+1)2(5-1) Is 2s1z1z=1(5+1)2+1(5-1)2+15,2-15,2+1(s+l)s-2s +2+(s-l)s2+25+2_5-ss +2s +2s 2s+2s 13，3S_ S(S2+2)2-(2s )2 s4-lS %-1)= s %4+4)可见，s =0是三重分离点，(即s =0是当K*取某一值时的四重根)可验证如下：由(2):。(s j =(5,+ I)2+1(5-1)2+1+ K*(s2-1)(52+1)