二次函数与平行四边形存在性问题.docx

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1、挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题6二次函数与平行四边形存在性问题好题快递典例剖析专题6二次函数与平行四边形存在性问题【例1】（2021赤峰中考真题）【例2】（2021湘西州中考真题）【例3】（2021梧州中考真题L【例4】（2021郴州中考真题）【例5】（2021海南中考真题）题组一题组二题组三满分训练（精选中考真题模拟题共28道）题组四题组五题组六题组七考法综述以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识 覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是 先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”

2、或“平行四边形的对角线 互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.方法揭秘.解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平 行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1 .平面直角坐标系中，点A的坐标是点B的坐标是（,%），则线段AB的).中点坐标是（,2 .平行四边形ABCD的顶点坐标分别为a，%）、（4，%）、（，%）、（X。，为），则xA+xc = xB + xD,3 .已知不在同一直线上的三点A、B, C,在平面内找到一个点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况:典例剖析“、Z【例1】(2021赤峰)如图，抛物线y= -f

3、+6x+c与x轴交于A ( - 3, 0)、B ( 1, 0)两点， 与y轴交于点C,对称轴/与x轴交于点F,直线山AC,点E是直线AC上方抛物线上 一动点，过点E作垂足为“，交AC于点G,连接AE、EC、CH、AH.(1)抛物线的解析式为 ;(2)当四边形面积最大时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，连接EF,点尸是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q,使 得以尺E、P、。为顶点，以E尸为一边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出 点。的坐标；若不存在，说明理由.备用图【分析】(1)利用待定系数法构建方程组求出b, c即可.(2)如图1中，连接。.设E(m, - zn2 - 2m+3)

4、.由题意4c 直线如 推出AC” 的面积是定值，因为S四边用aech=&aec+SaACH,推出当ZVIEC的面积最大时，四边形 AECH的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.(3)如图2中，因为点。在抛物线上EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件 的点。的纵坐标为土至，构建方程求解即可.4【解析】(1)-W+bx+c 与 x轴交于(-3, 0)、B (1, 0),.r-9-3b+c=01 -l+b+c=0解得尸2,I c=3二抛物线的解析式为、=-/ - 2x+3.故答案为：y- 7 - 2x+3.(2)如图1中，连接OE.设E (孙-w2 - 2w+3).图1VA

5、 ( - 3, 0), C (0, 3),：.OA = OC=3, AC=3&,直线二的面积是定值，V5 Ni* ifi AECH= SaAEC+SmCH ,.当AAEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，SAECSfiAEO+SECO - SAOC - y- 3 X ( - zn2 - 2m+3) +ix3X ( - in) - Ax3X3222=一旦 (w+J.)2+_2Z,228:-So,2：.m= -AEC的面积最大,2：.E （ -3,型）.24（3）存在.如图2中，因为点Q在抛物线上EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为土垣, 4图2对于抛物线y= - x

6、2 - 2x+3,当y=J立时，-2,解得 x=_2 442.0（21, - 生），0（21,-至）.2424综上所述，满足条件的点Q坐标为（-工，型）或（-2v3i, - J5）或（士叵，2 4242-旦4【例2】（2021湘西州）如图，已知抛物线丫=0?+及+4经过A （ - 1, 0）, 8（4, 0）两点， 交y轴于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC,求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点尸，使APbPC的值最小，求点P的坐标，并求出此 时AP+PC的最小值；(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A、C、M、N四点为 顶点的四边形是平行四边形

7、？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可(2)设8c的解析式为，=&+%，把8, C两点坐标代入，转化为方程组解决(3)可以连接5c交育线=旦于点P，连接阴，此时以+PC的值最小，最小值为线段 2BC的长.(4)观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或-4,把问题转化为解方程求解即可.【解析】(1)把4 ( - I，0), B (4, 0)代入=/+笈+4,得到(af+4-O,I16a+4b+4=0解得卜“I，lb=3，y= -f+3x+4；(2)在 y=-S+3x+4 中，令 x=0,贝!|y=4,：.C (0, 4),设BC的解析式为y=kj

8、(+b,：B (4, 0), C (0, 4),.Jb=4I 4k+b=0.fk=-lIb=4 二直线BC的解析式为y= -x+4.（3）如图1中,T图1由题意A, 8关于抛物线的对称轴直线X=W对称， 2连接8c交直线x=3于点P,连接以，此时以+PC的值最小，最小值为线段BC的长 2=、42 + 42=4后,此时p（旦，5）.2 2（4）如图2中，存在.观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或- 4,对于抛物线y=-7+3%+4,当y=4时，x2 - 3x=0,解得x=0或3,：.N (3, 4).当 y=-4 时，x2 - 3x - 8=0,解得土五,2：.N2-4), N3(,3-V

9、41, -4),22综上所述，满足条件的点N的坐标为(3, 4)或(老返1, -4)或(主鱼1, -4).22【例3】(2021梧州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=f+fec+c经过点A ( - 1, 0),B (0, 3),顶点为C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D (3,-1)为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E,它与y轴交于点G,连接CG, EG, CE.(1)求原抛物线对应的函数表达式；(2)在原抛物线或新抛物线上找一点凡使以点C, E, F, G为顶点的四边形是平行四 边形，并求出点尸的坐标；(3)若点K是y轴上的一个动点，且在点8的上方，过点K作CE

10、的平行线，分别交两 条抛物线于点M, N,且点M, N分别在y轴的两侧，当MN=CE时，请直接写出点K 的坐标.【分析】(1)利用待定系数法求解即可.(2)利用平移的性质求出新抛物线的解析式为y= (x-2)2-2=？-4x+2,推出G(0, 2),因为点C, E, F, G为顶点的四边形是平行四边形，所以观察图形可知，满足条件 的点尸在过点G平行CE的宜线上，构建方程组求出点尸的坐标，再利用平移的性质推 出厂(4, 1),但是点尸 不在新抛物线上.(3)设经过点K的直线为丫=-1*+6,在第二象限与原来抛物线交于点1/,由平移的性J 2y=x +4x+3质可知，N两点的横坐标的绝对值的差为8

11、,，1,消去y得到，4/+I7X+12y=-x+b-4/?=0,推出 xi+x2= - -1Z-, xix2=3 - b,根据田-X2|=8,可得(xi+x2)2 - 4xijc2=64, 4由此构建方程求出人即可.【解析】(1) .抛物线y=/+bx+c经过点A ( - 1, 0), B (0, 3),.(c=3Il-b+c=0介4I c=3.原来抛物线的解析式为y=+4x+3.(2) ：A ( - 1, 0), D (3. - 1),.点A向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到O, .原来抛物线的顶点C ( -2, - 1).点C向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到E,：.E (2,

12、 - 2),二新抛物线的解析式为丫= (x- 2) 2-2=/-4x+2,：.G (0, 2), .点C, E, F, G为顶点的四边形是平行四边形，,观察图形可知，满足条件的点尸在过点G平行CE的直线上， 直线CE的解析式为y=-lx- 1, 42:.直线GF的解析式为y= - L+2, 4(2 ( - 1y=x+4x+3/ _TL-r由I1,解得或.：(舍弃)，y=x+2I y=3丫=334|y 16：.F ( -4, 3),/G=疹7= 后 但好口=后：.FG=CE,JFG/EC,四边形ECFG是平行四边形，由平移的性质可知当尸(4, I)时，四边形CEF G是平行四边形,但是对于新抛物

13、线- 4x+2, x4时，y=2H 1,满足条件的点尸的坐标为(-4, 3).(3)设经过点K的直线为、=-孑+6,在第二象限与原来抛物线交于点1/, 4VJA7=C=V17- Af/V=Vn，.JN=2yyi，由平移的性质可知，J, N两点的横坐标的绝对值的差为8,2y=x +4x+3由1 ,消去 y 得到，4/+17x+12-4=0,y=-x+b.xi+x2= - -=-L xix2=3 - bf4V|xi - jq|=8,(xi+x?) 2 - 4x1X2=64,Z. (2Z.) 2-4 (3 -b) =64,43黑L64：.K (0, i?7).64【例4】(2021郴州)将抛物线旷二

14、苏#。)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后， 得到抛物线H： y=a (x - A) 2+k.抛物线”与x轴交于点4, B,与y轴交于点C.已知 A (-3, 0),点P是抛物线H上的一个动点.(1)求抛物线”的表达式；(2)如图1,点尸在线段AC上方的抛物线，上运动(不与A, C重合)，过点尸作P3 LAB,垂足为,尸。交AC于点E.作PFLAC,垂足为F,求尸的面积的最大值；(3)如图2,点。是抛物线”的对称轴/上的一个动点，在抛物线”上，是否存在点P, 使得以点A, P，C,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标：若不存在，说明理由.图1图2备用图【分析

15、】(1)根据将抛物线.丫=0？(。六0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后， 得到抛物线”：y=a (x- A) 2+k,可得顶点坐标为(-1, 4),即可得到抛物线，：y=a (x+1) 2+4,运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；(2)利用待定系数法可得直线4c的解析式为y=x+3,设尸(m, -w2-2m+3),则E (m,m+3),进而得出PE=-(加+3) 2+旦，运用二次函数性质可得：当m=一旦时， 242PE有最大值9,再证得PEF是等腰直角三角形，即可求出答案； 4(3)分两种情形：当AC为平行四边形的边时，则有尸。AC,且PQ=AC,如图2, 过点P作对称轴的垂

16、线，垂足为G,设AC交对称轴于点H,证得PQG丝ACO(AAS), 根据点尸到对称轴的距离为3,建立方程求解即可；当AC为平行四边形的对角线时，如图3,设AC的中点为则M(-S, S),设 2 2点P的横坐标为X,根据中点公式建立方程求解即可. 【解析】(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(-1, 4), .,.抛物线 H： y=a (x+1) 2+4,将 A ( - 3, 0)代入，得：a ( - 3+1) 2+4=0,解得：a= - 1,，抛物线H的表达式为y= - (x+1) 2+4； (2)如图 1,由(1)知：y= - /-2x+3, 令 x=0,得 y=3,：.C (0, 3),设直线

17、AC的解析式为y=mxn, VA ( -3, 0), C (0, 3),-3m+n=0 n=3解得：，ln=3，直线AC的解析式为y=x+3,设尸(zn, - m2 - 2m+3) 贝！I E (m, m+3),PE= - m2 - 2m+3 - (m+3) = - m2 - 3w= - (m+) 2+,24V - lGQ=ZAOC，Zpqg=Zaco.PQ=AC：./PQGAACO (A4S),：.PG=AO=3,，点P到对称轴的距离为3,又：y=- (x+1) 2+4,抛物线对称轴为宜线x= - 1,设点 P (x, y),则|x+l|=3,解得：x=2或x= - 4,当 x=2 时，y=

18、 - 5,当 x= - 4 时，y= - 5,.点 P坐标为(2, -5)或(-4, - 5)；当AC为平行四边形的对角线时，如图3,设AC的中点为：A ( -3, 0), C (0, 3),：.M ( -3, 3), 2 2.点。在对称轴上，点。的横坐标为-1,设点P的横坐标为X,根据中点公式得：x+ ( - 1) =2X ( - S) = - 3.2.x= - 2.此时 y=3,：.P ( - 2, 3)；综上所述，点P的坐标为(2, -5)或(-4, -5)或(-2, 3).【例5】(2021海南)已知抛物线y=o?+旦叶c与x轴交于A、B两点,与y轴交于。点,4且点A的坐标为(-1,

19、0)、点C的坐标为(0, 3).(1)求该抛物线的函数表达式：(2)如图1,若该抛物线的顶点为P,求PBC的面积；(3)如图2,有两动点。、E在CO8的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们 分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C-O-8方向向终点B运动，点E 沿线段BC按C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止 运动.设运动时间为f秒，请解答下列问题：当，为何值时，BDE的面积等于世；10在点。、E运动过程中，该抛物线上存在点凡 使得依次连接A。、DF. FE、EA得到 的四边形4OFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标.图1图2备用图【分析】(

20、1)把4、C两点代入抛物线旷=+21+。解析式，即可得表达式.4(2)把解析式配方得顶点式，即可得顶点坐标，令y=0,得8点的坐标，连接0P,可求的 S&pbc=SaOpc+SaOpb - SaOBC，= , OC*x+OB*v - OBOC,即得结果. 222(3)在O8C中，BCOC+OB,当动点E运动到终点C时，另一个动点O也停止运动，由勾股定理得8c=5,当运动时间为f秒时，BE=t,过点E作硒，x轴，垂足为N,根据相似三角形的判定得BENsbc。，根据相似三角形的性质得，点的坐标为(4-9/, lt分两种情形讨论当点。在线段CO上运动 5 5时，073,此时 CD=t,点 D 的坐标

21、为(0, 3-f), SaBDE=S/Boc - Skde - Sabod=2),当Sabde=33时，2=毁，解得r=W线；II,如图，当点。在线段08上5105102运动时，3W/W5, BD=1 - t, :Sbde=AbD*EN= -当弘80=2时，t2101010_75 -;2根据平行四边形AOFE的性质得出坐标.【解析】(I).抛物线y=o?+*+c经过A ( - 1, 0), C (0, 3)两点，9 a-v+c=0c=3_2解得, a-7，,c=3该抛物线的函数表达式为y= - 2?+2r+3；44(2) :抛物线 y= - J+v+3= -2 (x-2) 2+匹，444216

22、抛物线的顶点？的坐标为(3,匹), 2 16；y= - _x2+2v+3,令 y=0, 44解得：X1= - 1, X2=4,8点的坐标为(4, 0), 03=4,如图，连接OP,则 S/PBC=S/OPC+S/OPB - SaOBC，=JlOC|即|+2。比助| - -OB*OC222=J_X3X J.+Ax4X_Z.- J.X4X322 216 2=2+75.64 8_45 8.PBC的面积为至；8(3)：在OBC 中，BCOC+OB,当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动,：OC=3, 08=4,:.在 RtAOBC 中，sc=7oB2OC2=5,.,.0W5,当运动时间为r秒时

23、，BE=t,如图，过点E作EN_Lx轴，垂足为N,则8Ns/8C0,.BN=EN=BEBO CO BC；.BN=生,EN=S, 55.点E的坐标为（4-At, It）, 55下面分两种情形讨论：I、当点。在线段CO上运动时，0Vf=强时，2?=里_,10510解得“=-2/逅（舍去），/2=亚旦3, 222II、如图，当点。在线段OB上运动时，3r5, BD=1 - t,:bde=LbDEN,2=Ax （7-r） x25=-1010当S“DE=骂时，10, 3p.21,= 33 io io To解得n= Ws. f4 = -Z_.3, 22又；305, ,-7-H/5 l,2综上所述，当/=亚

24、旦或r=后时，Sabde=：2210当点。在线段oc上，根据平行四边的性质得，尸坐标为（也，工S）, 36当点。在线段OB上，根据平行四边的性质，F坐标为（3, 3）.综上所述：尸坐标为（独，11）或（3, 3）. 36满分训练J1. （2021 海州区一模）如图，抛物线丫:一+加-3的图象与x轴交于A （ - 1, 0）, B （3,0）两点，与y轴交于点C,直线/与抛物线交于点8,交y轴于点0（0, 3）.图I图2备用图(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P(m, 0)为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线E/，分别交抛物线与直 线/于点E, F,连接CE, CF, BE,求四边形CEB

25、F面积的最大值及此时机的值；(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN4C交直线/于点N,是否 存在点M,使以4, C, M, N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(I)将A, 8坐标代入y=a?+bx-3中，利用待定系数法可求；(2)求出直线/的解析式，用表示点,尸的坐标，进而表示线段E/，根据S叫边彩CEBF=Skef+Sabef=LeFOP+工 BP=OB,用含切的代数式表示四边形CEBF的面 222积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；(3)分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题

26、 意画出图形，过M作A/E_Ly轴于E,过N作NFLME于F,通过说明AOCgZMFM 得出NF=3,设出点用的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同 的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG, GF,利用NG+GF=NF=3,列出方 程，解方程，点M坐标可求；利用中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标.【解析】(I)将A ( - 1, 0), B (3, 0) RA y=axL+bx - 3 中得：(a-b-3=019a+3b-3=0解得：卜=1 .I b=-2,该抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3.(2)设直线/的解析式为y=H+，将B (3, 0),

27、D (0, 3)代入上式得：(3k-hi=0ln=3解得：p x.ln=3，直线/的解析式为：y= -x+3.2点 P (m, 0), EF_Lx轴,点坐标为(m, w2 - 2/n - 3),点尸的坐标为(m, - /n+3).EF= - m+3 - m2+2m+3= - m2+m+6.*：B (3. 0),：.OB=3.VS 2cebf=SaCEF+SaBEF=LeFOP+EBPXEF= Ue。OB， 222.1._ a , i、2 755四边形(：所下*(-1(1+1(1+6)*3_万(111节)下.：,J.的下方时，如图，令 x=0,则 y= - 3.：.C (0, -3).：.OC=

28、3.VA ( - 1, 0),：.OA = l.过用作ME_Ly轴于E,过N作NF_LME于F,交x轴于点G,V四边形ACMN为平行四边形，：.AC/MNf AC=MN.: NF 上 ME, ME LOE,：.NF/OE.：.NACO= NMNF.在AOC和MFN中， ZAOC=ZHFN=90 ZAC0=ZHNFAC=HN.AOC丝MFN (AAS).：.NF=OC=3, MF=OA=1.设 M (，/? - 2h - 3),则 ME=h, GF=OE= - h2+2h+3.：.OG=EF=ME - MF=h - 1.：.N (A - 1, - /j+4).：.NG= - h+4,: NG+G

29、F=NF=3, ：.-h+4 - #+2+3=3.解得：/?= 1 国(负数不合题意，舍去).22.M (生叵土叵.22当点M在直线的上方时，如图，过N作NEJ_y轴于E,过M作MF_LNE于尸，交x轴于点G, 由知：MNFgZXCA。(AAS),可得 NF=OA = 1, M尸=0C=3. 设 M(/i, /i2 - 2A - 3), WJ OG=FE=h, GM=h1 -2h- 3.：.NE=EF+NF=h+.：.N (/j+1, -1+2).：.GF=OE=h-2.：MG+GF=MF=3,：.h - 2+h2 - 2h- 3=3.解得：仁1 士迤（负数不合题意，舍去）. 22：.m （二

30、?属_, 9/）.22综上所述，存在点M,使以A, C, M, N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M 的坐标为（生叵，上近）或（土返，土迤）.22222. （2020平顶山二模）如图，已知二次函数尸一的图象与x轴交于点4、C,与 y轴交于点8,直线尸|r+3经过A、B两点.（1）求b、c的值.（2）若点尸是直线4B上方抛物线上的一动点，过点P作PFJ_x轴于点F,交直线4B 于点。，求线段尸。的最大值.（3）在（2）的结论下，连接CD,息Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否 存在点G,使得以C、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 G的坐标；若不存在，请说明理由.

31、【分析】（I）由直线A8的解析式可求出点A, 8的坐标，将A, 8两点的坐标代入丫=一 V+fcr+c可得出答案；(2)设点 P (m.2m3 -8薪+3),则 O (m, ?+3),可得出 PO= 一 %,由二 44o L次函数的性质可得出答案；（3）分类讨论，一是当CD为平行四边形对角线时，二是当CO为平行四边形一边时, 利用中点坐标公式及平移规律即可求出点G的坐标.【解析】1直线y=1r+3经过A、8两点.，当 x=0 时，y=3,当 y=0 时，x= - 4,直线y=%+3与坐标轴的交点坐标为A （ -4, 0）, B （0, 3）.分别将 x=0, y=3, x=-4, y= 代入

32、y=-r+%x+c 得，1=二又（一铲 _ 4b + c解得，b= -7, c=3,（2）由（1）得y= -,x+3,3设点 P （m,-qm2 j/n+3）,则。（m,-?+3）,o 4-4,PD= oin7771 + 3 （：m + 3）= 3m- -m = （zn + 2） +o 44o ZoZ.,.当/n=-2时，？）最大，最大值是|.（3）存在点G,使得以C、D、G、。为顶点的四边形是平行四边形，G点的坐标为（1,学）或（3, 一韵或（-5, 一韵；*= 一割-%+3,.y=0时，N=-4或工=2,：.C （2, 0）, 3由（2）可知。（-2,-）,抛物线的对称轴为x= - 1,屋

33、/|G设2n3 -8L p）, 8与，轴交于点E, E为。的中点,当CO为对角线时，+ （ - 1） =0,：.n=9 ,15、此时 G （1 一）. 8当CO为边时，71若点G在点0上边，贝!+4=-1,贝1=-5,此时点G的坐标为（-5, -等）.若点G在点。上边，则-1+4=，则”=3,此时点G的坐标为（3, -等）.综合以上可得使得以C、G、Q为顶点的四边形是平行四边形的G点的坐标为（1,导） 或（3, 一普）或（-5,一 等）；【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行 四边形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.3. （2020荷泽）如

34、图，抛物线丫=?+云-6与x轴相交于A, B两点,与y轴相交于点C, 04=2, 08=4,直线/是抛物线的对称轴，在直线/右侧的抛物线上有一动点D,连接 AD, BD, BC, CD.（1）求抛物线的函数表达式：9（2）若点。在x轴的下方，当BCO的面积是5时，求48。的面积；(3)在(2)的条件下，点用是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点M 使得以点B, D, M, N为顶点，以BO为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据04=2, 08=4确定点A和8的坐标，代入抛物线的解析式列方程组 解出即可；(2)如图1,过。作CGLx

35、轴于G,交BC于H,利用待定系数法求直线BC的解析式，3o39设O(X,-6),则(无，-x - 6),表示的长，根据3CO的面积是二，列4422方程可得x的值，因为。在对称轴的右侧，所以x=l不符合题意，舍去，利用三角形面 积公式可得结论；(3)分两种情况：N在x轴的上方和下方，根据y=竽确定N的坐标，并正确画图.【解析】(1) ,：OA=2, 08=4,(-2, 0), B (4, 0),把A (-2, 0), B (4, 0)代入抛物线y=a?+bx-6中得：上一仁噎。ll6a + 4b-6 = 0抛物线的解析式为：y= 菱-6：(2)如图1,过。作OG_Lx轴于G,交BC于H,图1当

36、x=0 时，y= - 6,：.C (0, -6),设BC的解析式为：y=h+，(3:二6:.BC的解析式为：y=尹-6,303设 ) (x, -a25 - 6) 贝！I (x, -x - 6)422DH= - 6 (-x277X - 6) = tX2 + 3x,2424一-93C。的面积是31 9DH OB =一,2 21 3 ?9A- x 4x-x4- 3x)=一，2 42解得：x=l或3, 点D在直线/右侧的抛物线上， D (3 苧), 二A5O 的面积=248 , DG = x 6 X 茎=竽;（3）分两种情况：如图2, N在x轴的上方时，四边形MN8D是平行四边形,VB （4, 0）,

37、 D （3, 一寸），且 M 在 x轴上, 15:.N的纵坐标为一，4当尸竽时，即|，等-6=苧，解得：1=1+，瓦或/- 15 4/ 15:.N ( 1V14,)或(14-/14 )； 44如图3,点N在x轴的下方时，四边形8DNM是平行四边形，此时M与O重合,：.N ( - 1,-免11 q综上，点 N 的坐标为：(1-V14,)或(1+V14.)或(-1, -T-).444【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系 数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解 决问题.4. (2020东莞市校级一模)已知，抛物线y=*+5

38、x+c与x轴交点为A (-1, 0)和点8, 与)，轴交点为C(0, -3),直线L： y=fcr-1与抛物线的交点为点A和点。.(1)求抛物线和直线L的解析式；(2)如图，点M为抛物线上一动点(不与A、。重合)，当点M在直线L下方时，过点 M作MNx轴交L于点N,求MN的最大值；(3)点M为抛物线上一动点(不与4、。重合)，”为直线40上一动点，是否存在点 M,使得以C、。、M. M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M 的坐标，如果不存在，请说明理由.【分析】(1)用待定系数法即可求解：(2)设点 M 的坐标为(m,-2m- 3),则点 N (- m2+2m+2, w2 -

39、2m - 3),贝ij MN=-m2+m+2,进而求解；(3)分CD为边、CO为对角线两种情况，利用图象平移和中点公式求解即可.【解析】(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得;二)：。二,解得：故抛物线的表达式为：y=/-2x-3，将点A的坐标代入直线L的表达式得：0=-4-1,解得：Jt=- 1,故直线L的表达式为：y=-x-l：(2)设点M的坐标为(制，m2 - 2m - 3),点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，将点N的纵坐标代入y= - x - 1得：/ 2用-3= - x - 1,解得：x= /+2/+2,故点 N (-病+2而+2, n? - 2m - 3),则 MN= - m2+2

40、/n+2 - m= - /n2+w+2,h i9V - l0,故MN有最大值，当-善=5时，MN的最大值为Z： (3)设点 M (m, )，则 =;n2-2/n-3，点M (s, -5-1),当CD为边时，点C向右平移2个单位得到D,同样点M (M q 二顶点坐标为(3, *),:抛物线L关于原点。的对称的为抛物线L, )向右平移2个单位得到M (M), 即 m2=s 且 n= - s - 1，联立并解得：,=0 (舍去)或1或生产，. . , 1+-T17 l-y/17 - l-y117 1+V17故点M的坐标为(1, -4)或一)或(，2222当CO为对角线时，由中点公式得：V+2)=；(

41、m+s)且六联立并解得：加=0(舍去)或7,故点M(l, -4)；3 ,1 L ,f 1+V17l-y/17 f 1-7171+V17综上，点M的坐标为(1, - 4) 或(，)或(，).2222【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质 等，其中(3),要注意分类求解，避免遗漏.【题组二】5. (2020雁塔区校级二模)已知抛物线L： y=/+bx+c经过点A ( - 1, 0)和(1, - 2) 两点，抛物线L关于原点。的对称的为抛物线Z/ ,点4的对应点为点A.(1)求抛物线L和的表达式；(2)是否在抛物线L上存在一点P,抛物线L上存在一点。，使得以AA为边，且以 A、A、尸、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标：若不存在，请 说明理由.【分析】(1)利用待定系数法可求抛物线L解析式，由中心对称的性质可求抛物线L 的表达式；(2)分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解.【解析】(1) .抛物线L： y=*+fcr+c经过点A (-1, 0)和(I, -2)两点，= 1 b + c(-2 = 1 + b + c解得： = 一%(C = -2.抛物线L的解析式为：y=/-x-2,，点。的横坐标为x+2,-IQ/a x 2= (x+24-