大学线性代数习题册答案详解.docx

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1、大学线性代数习题册答案详解习题参考答案第一章行列式1.1二阶、三阶行列式一、计算下列行列式1、1；2,0；3、4；二、1、xl l,x232, xl 1, x221.2 n阶行列式定义及性质一、计算下列行列式1、0；2、2000；3、-8；4、-58；5、-192；6、512；二、计算下列行列式1、4abcdef;2、x4 y4；3, x4 y4；4 a2a3 b2b3 ala4 bbl4；5,0；三、计算下列n阶行列式1、an 1 n Ibn；2、 n 11 n 1；3,n 1!；4、12；3；四、解下列方程：1、 xl x2 x30,x410；2、 xl 2,x23；3、 xl 1,x22

2、,x33；*五、计算下列行列式1、按某行(列)展开行列式解:按第一列展开xy 00y000 Ox OOxy 00Dx(1)1 n xn (1)1 nynn y 00 xyOO yO 000x00 xy 2、化为上(下)三角形行列式计算 n(n 1)223 n In解：把Dn的各列加到第1列上去得010D 00n022000000(n 1)n(n 1)223 n In01000100200( l)n 12(n 1)!0000(n 1)n(n 1)223 n In解：把Dn的各列加到第1列上去得010D 00n 022000000(n 1)n(n 1)223 n In010000000( l)n

3、13、212(n 1)!递推法解：按第一行展开得Dn 3Dn 12Dn 2(1)设 Dn xDn 1 y(Dn 1 xDn 2)(2)比较(1)与(2)系数得 x 1 x 2 x y 3,所以1或2。y 2y lxy 212n 2n D D 2(DD)2(DD)2nn InIn221分别代入(2)得(3)D 2D (D 2D)(D2D) InInIn 221n其中 DI 3, D27,消去(3)中 Dn 1得 Dn 2n 114、用范德蒙行列式计算解：此式不是范德蒙行列式.将第n+1行，第n行，第2行分别向上与相邻行交换 n次，n-1次，1次，共交换了 n(n 1)次；将列也作同样的变换。这样

4、一共交换了 n(n 1)次，即偶数次，得21a n(a n)(a n)n 121a n 1(a n 1)(a n 1)n 12la 1(a 1) n 121aa2 an lanDn 1(a 1)(a n)n(a n l)n(a l)n由范德蒙行列式的计算公式得Dn 112 n 12(n 1)212n 13n 2(n 1)2 n5、拆为多个行列式的和解：利用性质3把行列式拆为两个行列式的和(最后一列拆项)x alDn alalala2x a2a2 a2a3a3x a3 a3 OO+Oxx alalal ala2x a2a2 a2a3a3 a3 an an anx a3 an等号右边第一个行列式按

5、最后一列展开，第二个最后一列提出an后，第i列减去最后一列的ai倍(i 1,2,n 1),即得xOOOxODn=xDn 1+aOOxn000 In Inn In lai l=xDn 1+anx=二 x xi 116、解：先对Dn的第1列提出公因数al,然后将第j列减去第1列的aj倍(j=2,3, n),即得PP倾情制作2blb2Dn alb3bn 1bnalb2 a2bl00alb3 a3bla2b3 a3b20 albn anbl a2bn anb3 a3bn anb30000 an Ibn anbn 10(l)n lalbn(alb2 a2bl)(a2b3 a3b2)(an Ibn anb

6、n 1).(1)1.4克莱姆法则一、解线性方程组1、xl二、f x n lalbn (aibi 1 ai lbi). i In 111, x22, x32、 xl l,x22, x3122121x x 2三、2且1四、=2或=1有非零解；2且1有唯一解22第二章矩阵2.1矩阵定义及其运算一、填空题1、12、AB BA 二、1、C 2、C3、C 4、B三、25511四、1、126911166202、21604:2501423、23168723119919314、1;015、 k0;11；31五、A2 AA 211111B22B II22442B22BB22BB2 I513*六、1、8032、21

7、*七、设A2.2逆矩阵一、填空题1、4,4,PP倾情制作1111TTTA A AAA AAAT是反对称矩阵21222722221162、1、1）可逆,110102222、1119-83、充要4、I3122）、015、二、1、可逆，1,是对称矩阵，B 2、 C 427310, AT 0A* 0, A 11B B2 0 得 A2 AB B2 即 A (A B) B2B2 1 nB23、xll2, x322,x32四、A 可逆，A 0 kAA 10kA(k 0), AT, A*, A 1可逆； A*1AA kA11A 1, AT 1 A 1 T,A*1k1 1AA,A1A五、1、证明：由A2两边取行

8、列式AA B A (A B)又B可逆，B 0,从而A 0, A B 0； A, A B都可逆。2、证明：将方程改写为A23A 21则1A23A A(1A 31)2222A可逆，且A 1A232I 3、证明：将方程改写为 A 31 A I 71则A 31, A I都可逆，A I 117 A 31, A 31117A I*六、解：由(3A)11A 1, A* AA 1132A 1得(3A)12A*1A 1 A 12A 1(2)38116333A 127 A27*七、解：由题设得 C(2E C IB) AT E,即(2C B)AT E.234由于,|2C-B =170,故2C-B 可逆，001200

9、110001000于是 A (2C B)1T (2C B)T121001032102101204321101212. 3初等变换与初等矩阵PP倾情制作411111001 110101 9 2 三、1、99 29192 901 k1210091 4 391 211642 、001 ,1 一、021010 , k 000121022、101 2填空题1、22000 0 二、1、B 2、C1 5 331 al4001a2000000001an111001000100an0260 001五、9300七、03021 A 102六、1283002.5矩阵的秩一、填空题 1、0； 2、3；3、R4、-3 5

10、、1 二、1、A 2、C 3、A4、 C 5、 A四、1)3 2、2； 3、 4 ；五、k当1,R111且2)当 k 1,R A0,或1,或1,当k,R A1,R2,A 2,当k 1,且其它情况，R A 3 22第三章向量3.1向量的概念及其运算914、71)15122、43717613、2)145 14 75、R192153,563,所以可以线性表示,3.2线性相关与线性无关5 PP倾情制作一、判断向量组的线性相关性，并说明原因1、线性相关，2、线性无关3、线性无关4、线性相关5、线性相关二、1、2；2、abc 0；3、三、1、C；2、C；四、1、解：考察向量方程kl 1 k2( 23) k

11、3 ( )12 3 即(kl k2 k3 )1 (k3k)2k23 3向量组1, 2, 3线性无关,kl k2 k3 k3 k2 k3 0 kl k2 k3 01, 12, 123线性无关。2、解：考察向量方程kl 12)k2( 23) k3(3 1 即(k)l (kl k3 21k )2 k k32向量组1, 2, 3线性无关,kl k3 k2 kl k3 k2 0 kl k2 k3 有非零解12,(23),( 31)线性相关。3、解：考察向量方程kl(2) k2( 23)km 1 ( m 1 m) km ( m1)即(kl km) 1 (kl k2) 2(km 1 km) mkm 1 km

12、 0(1)向量组1,2, m线性无关，kl km kl k2HD 0010001000这是一个含有m个未知数m个方程的线性方程组，其系数行列式为0m为偶数m 101(1)2 Om为奇数00011(1)只当m为偶数时，(1)有非零解，则向量组12,23, m 1 m, m 1线性相关；当m为奇数时，有零解，向量12,23, m 1 m, m 1线性无关。五、R 1233, R 1233,所以可以唯一线性表示,3121能由2,3线性表示。2,又因为1,故证得1能由2, 3事实上：因为已知2,3,4线性无关，所以线性无关。2,3线性相关，3六、解(1)线性表示,且表示式唯一。(2)4不能由1,2,3

13、线性表示。事实上：反证法。设4可由1,2,3线性表示,即4112233,由(1),可设1122133,代入上式得：4(2112)2(3113)3,即4可由2,3表出，从而2,3,4线性相关,与已知矛盾。因此，4不能由1,2,3线性表示。3.3向量组的秩一、1、无关；2、rl r2二、1、B 2、B 3、C 三、1、R 1233PP倾情制作6al12300a2 a当 aO 且 al,R 1233；当 a OR 1232；当a 1R 123110119四、1、1 230151191与2为极大无关组，=3-152000990001021212 、123450103211与2为极大无关组。3=2102

14、00000000001332122,3=121232五、011012340011 k 91,2与3为极大无关组。43123六、解：n维单位向量1,2, n可由n维向量组1,2, n线性表出，n 维单位向量1,2, n可由n维向量组1,2, n线性表出，所以两个向量组等价，故1,2, n线性无关。七、证明：因为R 1233所以123线性无关考察向量方程kl 1 k22k330kl2132k2(243)k3(153)即(2klk3)13(lkk2)24k25k33向量组1,2,3线性无关，2k1 k33k1 k24k25k302013100, kl k2 k300451, 2,3线性无关。PP倾情

15、制作7*八、证：R I R II 34可由123唯一线性表示，设4112233R III 41235线性无关 kl1k22k33k4540kl 1 k22 k33 k451122330kl k411 k2k422k3k433 k450因为 kl k410, k2 k420, k3 k430, k40所以 kl 0, k2=0, k3=0, k4=0, R 1,2,3,544向量组1,2,3,54的秩为4。3.4向量空间一、VI是向量空间，V2不是向量空间，二、1、322、分析：按定义求由基1,2,3到基1, 2,3的过渡矩阵时，先求i(i 1,2,3)在基1,2,3下的坐标2, 3以列构成的i

16、 (cil,ci2,ci3)T。考虑向量方程i cil 1 ci22 ci33,对应的线性方程组的系数矩阵恰好是1,1方阵A ,常数项构成的列向量恰好是i(i 1,2,3)以列构成的，解i (ci 1, ci2, ci3)T 恰好等于 A乘以列向量i(i 1,2,3)。设1,2,3以列构成的方阵为B,i (cil,ci2,ci3)T(i 1,2,3)以列构成的矩阵为C,则C恰好是由1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵。此时，C=A IBo解设由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为C,则1,2,3=1,2,3C,故基C 1,2,311,2,3001=110221112 2123234234010

17、143101三、1、1021四、10娓x/6210310212、72V29020003五、1234为四维向量，而R 12344,V x|x kl1k22k33k44所以1234可以为向量空44间V的一组基，dim V dimR 4,所以V RPP倾情制作8第四章线性方程组一、(1)=4;=3;(2)A E 0;(3)2;(4)k(32)114(12) k(l,0,0,1)T (,1,0,2)T (5);(6)x k(12)223二、(DC;(2)B;(3) B.(4)A;三、(1)1111111130222选x3为自由未知量并令x31,得该齐次方程的基础解系为112 34解系为14510014

18、5选x3, x4为自由未知量可得该齐次方程的基础01四、B并令x373 330 3 2 3 4 选x3, x4为自由未知量34512345120, x40,解得111113474x1,x2,于是该齐次方程的一个特解为0011201120五、(1) B 21610121由R(A) R(B)23知原方程组有无穷多组解。11620000其同解方程组为 xl x22x30,选x3为自由未知量并令x30,解得xl 1, x21,于是该方程组的一个特x 2x 1321解为1xl x22x30其导出组的同解方程组为，选x3为自由未知量并令x31,解得 xl 4, x22,于是导出组的x 2x 032Pp倾情

19、制作9312 143一个基础解系为1012 14312 142 31110 73 7 50 73 7 54 12 140 96 17 80015 8 112 o故原方程组的通解为(2)77由R(A) R(B)34知原方程组有无穷多组解。5,选x4为自由未xl 2x2 x34x43其同解方程组为7x23x37x4知量并令x41,(注意此处特解的取法)解得15x 56x113401 x33, x2 l,xl 0,于是该方程组的一个特解为31xl 2x2 x34x40其导出组的同解方程组为7x23x37x40,选x4为自由未知量并令x41,解得15x 56x 03422153 56322x3 , x

20、2 , xl于是导出组的一个基础解系为51551556151故原方程组的通解为x k其中k为任意常数。(3) B 1200101010由R(A) R(B)24知原方程组有无穷多组解。先求原方程组一个特解，选x3,x4为自由未知量并令x30, x40,得x20,xl 1,于是该方程组的一个特解为1000 PP倾情制作10在其导出组中选x3,x4为自由未知量并令x31 xl 0得，,x40 x2001x30 xl 101令得，于是导出组的一个基础解系为，1 x 1 x 1120,4201故原方程组的通解为x kl 1 k22,其中kl,k2为任意常数。六、1）解：因为AX b为三元方程组而R（A）

21、1,所以AX 0的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，12221,13002均是AX 0的解，显然它们线性无关，可以构成AX 0的一个基础解系。由解的结构知AX b的通解为x kl 12 k2131,其中kl,k2为任意常数。2）解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解。由11 21 0o可得L所以当 1时原方程组有非零解。11当 1时，原方程组变为xl x2 x2 1 x2 0 1x30 x3x3 0,选x2,x3为自由未知量并令并令x 1得，得 1xl lo于是方程组的一个基础解系为通解为kl 1 k2 2,其中kl,k

22、2为任意常数。3）解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为。时方程组2有非零解。由1322310328142可得1或3时原方程组有非零解。132132当1时，原方程组系数矩阵为172040,选x3为自由未知量，取x31,得，xl方程组的一个基础解系为，0通解为x k ，其中k为任意常数。PP倾情制作111 3 21 3 21 3 23时，原方程组系数矩阵为1 5 21 ,选x3为自由未知量，当 0 8 402214604 2 0001 xl 11 ， x取x3 2,得,1,方程组的一个基础解系为其同解方程组为xl x2 2x3 0,xl l,x

23、2 1,于是该方程组的一个特选x3为自由未知量并令x3 0,解得 x2 2x3 11 解为 1其导出组的同解方程组为 xl x2 2x3 0, xl 4, x2 2,于是导出组的x2 2x3 0选x3为自由未知量并令x3 1,解得一个基础解系为2 o故原方程组的通解为k 4)解：B 11 k 31kllk 2 Ilk2 k3 k2Ok 11 k 0k2 31 k22k k110300 kl k21 k 1 k2 431 k 1 2 k 23 2k (2 k3)12 3 k 1 k 40当 R(A) R(B),即2时，原方程组无解。1212当R(A) R(B)3,即k 1 k 40, k 1,2

24、,2时，原方程组有唯一解。12 k Ik 4程组有无穷多解。120 3 当 R(A) R(B) 2 3,即k 1或者k 2时，原方11111110量，在对应的B当k 1时，原方程组中B 0303,选x3为自由未知0300中令x31得00000000PP倾情制作1211x1，导出组的一个基础解系0201在11111B 0303 xl 1中令x31得0000 x1,一个特解121,其中k为任意常数。于是方程组的通解为x k112411当k 2时，原方程组中B03310选x3为自由未知量，在对应的B03000000x1x3，导出组的一个基础解系31211在 B 112403310中令x x 2222

25、330得310000 x,一个特解10,2 1033 0,其中k为任意常数。于是方程组的通解为x5）解：Blbl302b06313bl901 abl a ObO4 3a 01 abl a43albl30b03lbl3Oil a4Oil a4 OOab b34b当 R(A)R(B),即 ab b 0, b0或33 4b Oa 1, b 4时，原方程组无解。当R(A)R(B)3,即ab b 0, al,b 0时，原方程组有唯一解。当R(A) R(B)23,即 ab b 0, a 1且34 4b 0b 4时，原方程组有无穷多解。PP倾情制作2030中令x31得001313当a 1且b时，原方程组中B

26、 05 0341013104,选x3为自由未知量，在对应的B04101000中令 x31001 x 11得0，导出组的一个基础解系0, x21在1 B 003410130x 1004中令x30得4，一个特解4, x2000于是方程组的通解为x k ，其中k为任意常数。6）将增广矩阵化为上阶梯形11123111234011231 行变换0 1 1B3 1 1 2a00 3 27a 323 lb 6000b 52 2a 2讨论：1)当 b 520,而 a 10,即 a l.b 52时，R A 3R B 4故方程组(1)无解；2)当b 520,即b 52时，R(A) R(B)4,方程组有唯一解，由阶

27、梯形矩阵得原方程组的一个同解方程组为：4(a 1)xl a xl 2x23x3 x41 x x 4x 026(a l)a 3x 2342回代求解得18(a 1)3 a 3x327x4 a 3 x3 a 1) x42( b 52 x42 a 13)当 b 520, a 10,即 a -l,b -52时，R(A) R(B)3 n 4,方程组有无穷多组解，由阶梯形矩阵得原方程组的一个同解方程组为：xl 2x23x3 x41ITx2 x34x40令x40得原方程组的一个特解为0314403x327x44将上述方程组中常数项都改为0,得原方程组导出组的一个同解方程组为：2 xl 2x23x3 x4013

28、 x2 x34x40令x41得其基础解系为93x 27x 0341所以原方程组的通解为x0 k ,k为任意常数。7)证明：由于 A xl 2x3 Axl 2Ax3000.同理可以验证 x22x3, xl 2x2也是Ax 0的解，由题设知Ax 0的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明xl 2x3, x22x3, xl 2x2是线性无关的。PP倾情制作14设 kl xl 2x3k2x22x3 k3xl 2x20整理得 kl k3xlk22k3x22k 12k2x30kl k30由于 xl,x2,x3线性无关，故有 k22k302k 2k 021101又系数行列式D 01230,故kl k2 k

29、30110从而xl 2x3, x22x3, xl 2x2线性无关，是方程组Ax 0的一个基础解系。llb3 b34328b 1111111b23b38)证明：B 3417b20124b23b301241111b0124b 4b 0048b b 7b 313123由于R(A) R(B)34,故对任意实数bl, b2,b3原方程组都有解。b3111111110b23b3,选x4为自由未知量，在对应的B01240中令 x41对 B 01240048b b 7b 004801233 xl 30得 x20,导出组的一个基础解系为 ，2x2313b 1 b25b34b31111 xlb3 b2 bl b2

30、3b3中令x40得 x2在B 0124,原方程组的一个特解20048b b 7b x 1237b3 bl b2343bl b25b34 b b b 321,于是方程组的通解为x k ,其中k为任意常数。27b3 bl b2409)解：因为R(A) n 1,所以AX 0的基础解系中只含有一个解向量。由解的性质，1 2是AX 0的非零解，又题设中是AX 0的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数kl,k2满足 kl12k20, PP倾情制作15整理得kl 1 kl 2 k20,从而向量组，1,2线性相关。10)解：考虑向量方程xl 1 x22 x33 x44,x2 x3 x41 xl x2

31、x32x41即4x4 b 32x13x2(a 2)x3x3(a 8)x453x15x2对其增广矩阵进行初等变换，把其化成阶梯形矩阵得：1 02 31111111111111112101121011201a 00a 13a 24b 32b 1051a 850a 1022a 520011b 0所以：当a l.b 0时，不能表示成1,2,3,4的线性组合：当a 1时，表示式唯一，且2ba b lb 12304. a la la 1第五章矩阵的特征值与矩阵的对角化5.1矩阵的特征值与特征向量一、填空题(1)3;(2)1, n维基本单位向量组的所有非零线性组合；(3) A 1的特征值为1,11, kA的

32、特征值为k,2k,4k A22A 31的特征值为6,3,1124AT的特征值为-1,2,4 A*的特征值为8,-4,2;(4)0或1;二、(1)(C);(2)(B);(3)(B);(4)(D);(5) D;三、1)解：特征方程为05特征植为14,2211111当14时，41 A 1,对应的特5500,对应齐次方程组为xl x20,基础解系为征向量x k ,其中k为非零常数。21 A ,对应齐次方程组为, 5 10015151当12时,基础解系为5x1 x205,对应的特征向量x k ,其中k为非零常数。2）解：特征方程为特征植为10,0,332011111。时，对应齐次方程组为xl x2 x3

33、,基础解系01 A1,2x2 x302000对应特征向量xk ,其中k为非零常数。PP倾情制作1600112时,21 A111应特征向量x,其中k为非零常数。1013时,31 A12应特征向量x,其中k为非零常数。10xl x2001,对应齐次方程组为，基础解系x30000基础解系1,对011x2 x30xlx301,对应齐次方程组为，003）解：特征方程为410023412特征植为1021 A122104202010000,对应齐次方程组为2x12, x20基础解系对应特征向量x kl 1 k2 几何重数）。2,其中kl,k2为不全为零的常数（此题中代数重数大于4）解：特征方程为I A 51

34、201102233030357特征植为123122I Ax2 x3 052 30111010001312101xl x30对1,对应齐次方程组为，基础解系应特征向量x k ，其中k为非零常数。（此题中代数重数大于几何重数）。四、解：由于 B AA* AI,故 I B I AI A nB的特征植为1A2A,又 il B AI AI 0,对应方程组为oX 0,可选一个基础解系为基本单位向量组1,2, n,故B的特征向量为x kl 1 k22 kn n,其中kl,k2,kn为不全为零的常数。五、证：（1）设为A的任一特征值，x为对应于的特征向量，则Ax x所以 Ax A （Ax） A（ x） Ax

35、x2又 A2x Ax x, x x ,即（）x ,222但x ,所以10,即0或1.（2）因T不是A的特征值，故0 I A （1）1 A,即I A 0, I A可逆。In六、证：（1）由条件知有非零向量，满足A；= N 两端左乘以A,得；=入（A &）,由于，为非零向量，故X W0,于是有A 1PP倾情制作1117据特征值的定义，数(2)由于A 11-1为矩阵A的特征值。|A|A|111*,故数为A的特征值。A*,故(1)中的结论可写为A*,即A*|A|A|(3)取A的关于X的特征向量为X,则AX=、X,于是有A2X A(AX) A X 2X.七、证：必要性：因AX=O有非零解，故|A|=0,

36、又因|0E A| A|( l)n|A 0入=0是A的特征值。充分性：因0为A的特征值，故0E A| A ( l)n|A|0A IA |=0,因而AX=0有非零解。xl八、解：(1)设 xl 1 x22 x33123 x2,x3把此方程组的增广矩阵作初等行变换111111111123 123101200149303820得唯一解(2,-2,1),故有 B=2口-2$2+&3(2)由于 Agi二入 i&i,故 An i ni i；因此An An(21223)2(An1)2(An 2) An 31 1122n 13n14922n 33n 25.2相似矩阵、矩阵的对角化一、填空题2,-1,4,-3,2

37、4;(2)1二、(1)(B;(2)(C);(3)(A);(4)(C);三、1) A 1(1)2212)由于 P 1AP 1,故 P 12A35A23IP 042 1即 P IBP 04,所以B的特征值为0,-4,-1。13) A 5115(15)25721 10四、1)解：特征方程为I A 0210003特征值为11,22,33PP倾情制作11112001118故A可对角化，A22）解：特征方程为I A2特征值为1232010对21 A X 0,系数矩阵001 ，秩为2,说明A只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化，000不相似与所给的对角矩阵。23）解：特征方程为I A110312112

38、11211032000对31 A X 0,系数矩阵000,秩为1,说明A有两个线性无关的特征向量，故它可对角化，相似111与所给的对角矩阵。五、1）解：特征方程为3I A76111073623015624103 2特征值为14,232001对21 A X 0,系数矩阵661,秩为2,说明此时A只有一个线性无关的特征向量，故它不可对660角化。2）解：特征方程为I A 333160356336特征值为14,232423024333111对21 A X 0,系数矩阵333000,秩为1,说明A有两个线性无关的特征向量，66600011故它可对角化。对此齐次方程组取一个基础解系11200133311

39、1对41Ax 0,系数矩阵393021,秩为2,说明A有一个线性无关的特征向量，PP倾情制作191取一个基础解系31 o1112取 P 1,2,3101,有 P 1AP 201243）解：特征方程为3I A 441002102182特征值为12,231210特征向对I21020A X 0,系数矩阵000,秩为2,说明此时A只有一个线性无关的44830103量，故它不可对角化。六、解：由于A有3个互不相同的特征值，故它可对角化。1221001取P pl,p2,p3221,有PAP 00021001210030611从而 A P 000 P 03690016605.3实对称矩阵的对角化一、填空题（

40、1）线性无关，正交；（2）3二、解：特征方程为424242特征值为14,424212方程组取一个基础解系424510000,系数矩阵212000,对应的齐次4124152X0,2系数矩阵1,对应的齐次方程组取一个基础解系28200 PP倾情制作20正交化:21,211,单位化:112111150321425213P 2211,2,3取5350052121,有 PAP 0500213004100100002020三、解：由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故011002101122解方程组得11,21四、解：1）由于相似矩阵有相同的特征值，A的特征值为0,1,2从而有0 A 0,1 A 0,21 A 00 A2即0I A 20,解得021 A20010101101110 A 01001010,其一个基础解系01010001I A 001000 ，其一个基础解系00000101100100010110121 A 0101010,其一个基础解系301010001PP倾情制作21220单位化：11PAP102