角的概念的推广2404879125.docx

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1、4.1 角的概念的推广教学目标1.理理解并掌握握正角、负负角、零角角的定义；理解任意意角的概念念，学会在在平面内建建立适当的的坐标系来来讨论角；2.能在0和3600范围内内，找出与与此范围外外每一个已已知角终边边相同的角角，并判断断其为第几几象限角；能写出与与任一已知知角终边相相同的角的的集合；3.能能树立运动动变化的观观点，深刻刻理解推广广后的角的的概念；4.从从“射线绕绕着其端点点旋转而形形成角”的的过程，培培养学生用用运动变化化的观点审审视事物，用用对立统一一规律提示示生活中的的空间形式式和数量关关系教学建议1关关于角的概概念的推广广的知识结结构本小节节内容从角角不大于周周角的非负负角开

2、始扩扩充到任意意角，使角角有正角、负负角、零角角之分。在在平面直角角坐标系内内建立适当当的直角坐坐标系后，根根据角的终终边在哪一一象限，把把角划分为为四个象限限和特殊角角等若干类类，于是引引入了第几几象限角和和终边相同同的角的集集合这样两两个概念。再再由特殊到到一般进行行归纳总结结. 2关关于角的概概念的推广广的重点、难难点分析本节的的重点是任任意角的概概念和象限限角的概念念；难点是是把终边相相同的角用用集合和符符号语言正正确地表示示出来可以通通过实例帮帮助建立任任意角的概概念，如用用扳手拧螺螺母；车轮轮转动辐条条形成的角角，特别是是钟表的指指针转动，因因为正角、负负角是依据据逆时针和和顺时针

3、来来定义的建立直直角平面坐坐标系的前前提是：角角的顶点和和坐标原点点重合，角角的始边与与 轴的正半半轴重合在这个前前提下角的的终边落在在第几象限限就称为第第几象限的的角，若终终边落在坐坐标轴上，称称为坐标轴轴上的角为了加加深对任意意角概念的的理解，应应正确区分分锐角、 的角、小小于 的角凡凡与角 终边相同同的角均可可以写作 这一条件件不可少，它它表明了与与 终边相同同的角都相相差 的整数倍倍，或者在在形成角的的过程中，每每当射线绕绕原点转一一圈时，就就会出现一一个与 终边相同同的角，经经常使 在 之间，求求终边相同同的角，可可用此角去去除以 ，使余数数在 之间3关关于角的概概念的推广广的教法建

4、建议（1）建建议通过实实例帮助建建立任意角角的概念，如如用扳手拧拧螺母；车车轮转动辐辐条形成的的角，特别别是钟表的的指针转动动，因为正正角、负角角是依据逆逆时针和顺顺时针来定定义的也也就是用运运动的观点点来讲述角角的概念的的推广实际际意义（2）正正角与负角角的规定是是出于习惯惯，就和正正数、负数数规定一样样。建议讲讲正角和负负角的教学学时对比正正数、负数数进行教学学（3）角角的概念推推广后，建建议引导学学生辨别“锐角”、“ 的角”、“小于 的角”、“第一象限限角”这些容易易混淆的概概念（4）建建立平面直直角坐标系系后，建议议在教学过过程中要注注意正确区区分 轴正半轴轴上的角与与 轴上的角角，

5、轴正半轴轴与 轴上的角角，防止学学生发生混混淆（5）建建议在教学学过程中要要认真对待待本节的符符号、词语语，注意它它们的正确确使用，给给学生树立立一个榜样样教学设计示示例（一）角的概念的的推广教学目标1理理解引入大大于 角和负角角的意义2理理解并掌握握正、负、零零角的定义义3掌掌握终边相相同角的表表示法4理理解象限角角的概念、意意义及其表表示方法重点难点1理理解并掌握握正、负、零零角的定义义2掌掌握终边相相同角的表表示法教学用具直尺、投投影仪教学过程1设置情情境设置实实例（1）用扳手手拧螺母（课课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）说明旋转第二周、第三周，则形成了更大范围内的角，这些角显然超

6、出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法2探索研研究（1）正角角、负角、零零角概念一条条射线由原原来位置 ，绕着它它的端点 ，按逆时时针方向旋旋转转到 形成的角角规定为正正角，如图图中角 ；把按顺顺时方向旋旋转所形成成的角规定定为负角，如如图中的 ；射线没没作任何旋旋转时，我我们认为它它这时也形形成了一个个角，并把把这个角规规定为零角角，与初中中所学角概概念一样， 、 ，点 分别叫该角的始边、终边、角顶点如果果把角顶点点与直角坐坐标系原点点重合，角角的始边在在 轴的正半半轴上，这这时，角的的终边落在在第几象限限，就称这这个角是第第几象

7、限角角，特别地地，如果角角的终边落落在坐标轴轴上，就说说该角不属属于任何象象限，习惯惯上称其为为轴上角我们们作出 ， 及 三个角，易易知，它们们的终边相相同。还可可以看出， ， 的终边也是与 角终边重合的，而且可以理解，与 角终边相同的角，连同 在内，可以构成一个集合，记作 一般地，我们把所有与角 终边相同的角，连同角 在内的一切角，记成 ， 或写成集合 形式（2）例题题分析【例11】在 间，找出出与列列各各角终边相相同的角，并并判定它们们是第几象象限角（11） ；（2） ；（3） 解：（1） 与 角终边相相同的角是是 角，它是是第三象限限的角；（2） 与 终边相同同的角是 ，它是第第四象限的

8、的角；（3） 所以与与 角终边相相同的角是是 ，它是第第二象限角角 总结：草式写在在草稿纸上上，正的角角度除以 ，按通常常除去进行行；负的角角度除以 ，商是负负数，它的的绝对值应应比被除数数为其相反反数时相应应的商大11，以使余余数为正值值练习：（学学生板演，可可用投影给给题）（1）一角角为 ，其终边边按逆时针针方向旋转转三周后的的角度数为为_（2）集合合 中，各角角的终边都都在（ ）A 轴正半轴轴上，B 轴正半轴轴上，C 轴或 轴上，D 轴正半轴轴或 轴正半轴轴上解答：（1） （2）C【例22】写出与与下列各角角终边相同同的角的集集合 ，并把 中适合不不等式 的元素 写出来：（1） ；（2）

9、 ；（3） 解：（1） 中适适合 的元素是是 （2） 满足条条件的元素素是 （3） 中适适合元素是是 说明：与角 终边相同同的角，连连同 在内可记记为 ， 这里（1） ；（22） 是任意角角；（3） 与 之间是“”连接，如如 应看做 ；（4）终终边相同角角不一定相相等，但相相等的角终终边必相同同，终边相相同的角有有无数个，它它们彼此相相差 的整数倍倍；（5）检检查两角 ， 终边是否否相同，只只要看 是否为整整数练习：（学学生口答：用投影给给出题）（1）请用用集合表示示下列各角角 间的角 第一象限限角锐角小于 角（2）分别别写出：终边边落在 轴负半轴轴上的角的的集合；终边边落在 轴上的角角的集合

10、；终边边落在第一一、三象限限角平分线线上的角的的集合；终边边落在四象象限角平分分线上的角角的集合解答（1） ； ； ； （2） ； ； ； 说明：第一象限限角未必是是锐角，小小于 的角不一一定是锐角角， 间的角，根根据课本约约定它包括括 ，但不包包含 【例33】用集合合表示：（1）第第三象限角角的集合（2）终终边落在 轴右侧的的角的集合合解：（1）在 中，第三象限角范围为 ，而与每个 角终边相同的角可记为 ， ，故该范围中每个角适合 ， ，故第三象限角集合为 （2）在在 中， 轴右侧的的角可记为为 ，同样把把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角角的集合为为 说明：一个角按按顺、逆时时针旋

11、转 （ ）后与原原来角终边边重合，同同样一个“区间”内的角，按按顺逆时针针旋转 （ ）角后，所所得“区间”仍与原区区间重叠3练习反反馈（1）与与 的终边相相同且绝对对值最小的的角是_（2）若若角 与角 的终边重重合，则 与 的关系是是_，若若角 与角 的终边在在一条直线线上，则 与 的关系是是_（3）若若 是第四象象限角，则则 是（ ）A第第一象限角角B第第二象限角角C第第三象限角角DD第四象象限角答案：（11） ；（22） ， ， ；（33）C4总结提提炼判断一一个角 是第几象象限角，只只要把 改写成 ， ，那么 在第几象象限， 就是第几几象限角，若若角 与角 适合关系系： ， ，则 、 终

12、边相同同；若角 与 适合关系系： ， ，则 、 终边互为为反向延长长线判断断一个角所所有象限或或不同角之之间的终边边关系，可可首先把它它们化为： ， 这种模式式（ ），然后后只要考查查 的相关问问题即可另外，数数形结合思思想、运动动变化观点点都是学习习本课内容容的重要思思想方法课时作业1在 到到 范围内，找找出与下列列各角终边边相同角，并并指出它们们是哪个象象限角（1） （2）（3） （4） 2写出终终边在 轴上的角角的集合（用用 的角表示示）3写出与与 终边相同同的角的集集合，并把把集合中适适合不等式式 的元素 写出来4时针走走过3小时20分，则则分钟所转转过的角的的度数为_，时针针所转过的

13、的角的度数数为_5写出终终边在直线线 上的角的的集合，并并给出集合合中介于 和 之间的角角6角 是是 中的一个个角，若角角 与 角有相同同始边，且且又有相同同终边，则则角 参考答案：1（1） （2） （3） （4） 2 3 ， 或 4 ， 5 ， 或 6 教学设计示示例（二）角的概念的的推广教学目标1讨讨论等分角角所在象限限问题2会会表示给定定区域内的的角的集合合重点难点1讨讨论等分角角所在象限限问题2会会表示给定定区域内的的角的集合合教学用具投影仪仪教学过程1教学情情境我们都都知道， 是锐角， 角的一半半 也是锐角角，那么第第一象限角角： ， 的一半 是否仍在在第一象限限呢？2探索研研究（1

14、）在在上述问题题中，令 ， ，则 为了确确认 的终边所所在位置，关关键是“看”， 是否为 的整数倍倍。为此可可对 的奇、偶偶性展开讨讨论若 ， ，则 ，进而可可知 与 角终边相相同且在象限若 ， ，则 ，易知 与 角终边相相同，都在在象限综上可可知， 在或象限，且且它的两个个终边互为为反向延长长线。（2）若若已知：角角 满足 ， 、 为常数， ，则 所在位置置如何确定定？事实上上，此问题题可以仿照照上述问题题一样处理理 ， 为了确确定 所在区间间，需要确确定“边界” ， ， 的位置，为为此又需要要“看” 是否为 的整数倍倍，故讨论论如下若 ， ，则 ， 如图，它它表示单位位圆中的扇扇形区域若

15、， ，则 此时， 在单位圆中的区域中综上知知， 在对顶扇扇形、之中（3）例例题分析【例11】若 是第二象象限角时，则则 ， ， 分别是第第几象限的的角？解：（1） 是第二象限的角 则 ，故 是是第三或第第四象限的的角，或角角的终边在在 轴的负半半轴上（2） ，当 时时， 是第一象象限的角，当 时时， ， 是第三象象限的角， 是是第一或第第三象限的的角（3） ，当 时， ， 是第一象象限的角，当 时 ， 是是第二象限限的角；当 时， ， 是第四象象限的角；综上所述述 是第一或或第二或第第四象限的的角，如图所示：3演练习习反馈1设设 ， ， 则相等的角角集合为_2如如图，终边边落在阴影影处（包括括

16、边界）的的角集合为为（ ）A B C D 参考答案：1 ， 2D4总结提提炼（1）欲欲问角 在哪个象象限，只需需把 改写成 ，其中 ，如讨论论形如 所表示的的角所在象象限，可按按 ， ， 对整数 进行分类类，目的是是“凑”出表达： （2）对对表达式 ， ， 、 为常数，它它的图示为为单位圆中中的对顶扇扇形课时作业1若 的的终边在第第一、三象象限的角平平分线上，则则 的终边在在_2下列各各题中，正正确的是（ ）A终终边和始边边都相同的的两个角一一定相等B 是第二象象限的角C若若 ，则 是第一象象限角D相相等的两个个角终边一一定相同3与 终终边相同的的角可写成成（ ）A B C D 4已知角角 的

17、终边与与 轴的正半半轴所夹的的角为 ，且终边边落在第二二象限，又又 ，求 5已知 求 ， 参考答案：1在 轴轴正半轴上上（注： 轴正半轴轴上角都是是 吗？）2选D3选C 取2时 4 ， 5 典型例题例1 设 ， ， ， ，那么有有（ ）A B C （ ）D 分析：解答本题题时，先应应明确所给给集合中角角的具体含含义，再逐逐一对照每每一个选项项，明辨真真伪解：第第一象限的的角不一定定小于 （如 ），故A错；小于于 的角不一一定在第一一象限（如如 ），故B错； 的角 ，但 的角 ，故C错；又 ，因此D对，应选选D说明：角的概念念推广后，遇遇到角的问问题，应根根据角的范范围及相关关角的概念念进行具体

18、体分析如如本题中的的“锐角”与“小于 的角”就是两个个含义不尽尽相同的概概念例2 在 间，求出出与下列各各角终边相相同的角，并并判定它们们分别是哪哪一个象限限的角（1） ；（22） 分析：求解本题题，其关键键在于正确确得到 中的 值，即用用给出的角角去除以 所得到的的整数部分分解：（1）因为 ，所以 即为欲欲求的角，它它在第三象象限，从而而 也是第三三象限的角角（2）因因为 ，所以 即为所求求的角，它它是第三象象限的角，故故 也是第三三象限的角角说明：在 内求终边边与给定的的角的终边边相同的角角时，若题题中给定的的角是负角角，在应用用式子 表示时， 比正常除除法所得整整数应小一一个单位，才才能

19、使余数数在 内，故这这里的 只能取2，而不能能1，若取1，则 ，这种形形式对解本本题并无作作用，因为为 不在 之间例3 （1）如图，终终边落在 位置时的的角的集合合是_；线边边落在 位置，且且在 内的角的的集合是_；终边落落在阴影部部分（含边边界）的角角的集合是是_（2）已已知 ，求 与与 分析：本题可借借助数形结结合的思想想方法求解解解：（1）由图形直观可得：终边落在 位置时角的集合是 ；终边落在 位置，且在 内的角的集合是 ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（2）分分别在直角角坐标平面面上画出表表示集合 、 的示意图图（ 为横线部部分， 为竖线部部分）（如如图）再由由图形直观观得出：

20、 说明：求角值的的集合的交交集或并集集时，借助助数形结合合是最简便便的方法例4 已知 是第二象象限的角，试试求（1） 角所在的的象限；（2） 角所在的的象限分析：对于本题题，如若不不进行较深深入地推演演，则很容容易得到一一个较明显显而又错误误的结论，即即认为 角在第一一象限； 角在第四四象限，而而事实上是是不尽然的的解：（1）因为 是第二象限的角，所以 ，从而有有 由上知知，当 为偶数时时， 角是第一一象限的角角；当 为奇数时时， 角是第三三象限的角角综上可可知， 角是第一一或第三象象限的角（2）由由（1）可知， 角的范围围是 故 角角是第三象象限，或第第四象限，或或是 轴负半轴轴上的角说明：

21、依照（11）中的方方法，可得得到以下规规律：当 分别是第第一、二、三三、四象限限时， 则可能顺顺次是第一一或三、一一或三、二二或四、二二或四象限限的角仿仿此，还可可进一步考考虑 的情形，有有兴趣的读读者不妨一一试；另外外，应注意意，在（22）中，不不可把 角答成是是第三象限限或第四象象限的角，因因为终边在在 轴负半轴轴上的角 （ ）也是它它的一个解解，而此角角不属于任任何象限探究活动经过55小时又255分钟，时时钟的分针针、时针各各转多少度度？参考答案：5小时时25分钟折折合成3225分钟60分钟对对应3600，所以3225分钟对对应 ，因为顺顺时针旋转转，所以分分针转119505小时时25分

22、钟折折合成 小时，1小时对应应 所以 小时对应应 ，所以顺顺时针转162.5习题精选一填空题题1与与 终边相同同的角的集集合是_，它们们是第_象限限的角，其其中最小的的正角是_，最最大负角是是_2已已知 的终边在在 轴上的上上方，那么么 是第_象象限的角3已已知角 的终边落落在第一、四四象限及 轴正半轴轴，则角 的集合为为_；终边在在坐标轴上上的角的集集合为_4若若角 与 的终边关关于 轴对称，则则 与 的关系是是_；若若角 与 的终边互互相垂直，则则 与 的关系是是_5给给出下列命命题： 和和 的角的终终边方向相相反； 和和 的角的终终边相同；第一一象限的角角和锐角终终边相同； 与与 的终边

23、相相同；设 ， ，则 其中所所有正确命命题的序号号是_二选择题题6下下列命题中中，正确的的是（ ）A始始边和终边边都相同的的两个角一一定相等B 是第二象象限的角C若若 ，则 是第一象象限角D相相等的两个个角终边一一定相同7与与 角终边相相同的角可可写成（ ）（ ）A BB C D 8经经过3小时35分钟，时时针与分针针转过的度度数之差是是（ ）A B C D 9若若两角 、 的终边关关于原点对对称，那么么（ ）A B C D 10设 ，且 的终边与与 轴非负半半轴重合，则则这样的角角最多有（ ）A二二个 BB三个 C四四个 D五个个三解答题题11求所有与与所给角终终边相同的的角的集合合，并求出

24、出其中的最最小正角，最最大负角：（1） ；（2） 12求 ，使 与 角的终边边相同，且且 13如图所示示，写出图图中阴影部部分（包括括边界）的的角的集合合，并指出出 是否是该该集合中的的角14已知角 是第三象象限的角，试试判断 、 所在的象象限15若角 的终边经经过点 ，试写出出角 的集合，并并求出集合合中绝对值值最小的角角16写出终边边在函数 的图象上上的角的集集合 ，并指出出其中在 内的角参考答案：一填空题题1 ，三三， ， 2一、三三3 ， 4 ， 5、二选择题题6D 7C 88C 99D 10D三解答题题11（11） ，其中 的最小正正角为 ，最大负负角为 ；（2） ，其中 的最小正正

25、角为 ，最大负负角为 12由 ，知符合合条件的角角为 ， ， ， ， 13阴影影部分角的的集合为 ， 是该集合合中的角因为 14 在在第二、四四象限； 在第一、三三、四象限限15所求求集合为 ，集合中中绝对值最最小的角为为 16 ， ， ， ， 提示：先由由 可知所求求角在 的值为 或 ，由此即即可写出集集合 4.2 弧弧度制教学目标1.使使学生理解解弧度的意意义，能正正确地进行行弧度与角角度的换算算，熟记特特殊角的弧弧度数；2.了了解角的集集合与实数数集R之间间可以建立立起一一对对应的关系系；33.掌握弧弧度制下的的弧长公式式，会利用用弧度解决决某些简单单的实际问问题；4.在理理解弧度制制定

26、义的基基础上，领领会弧度制制定义的合合理性；5.通通过学习，理理解并认识识角度制与与弧度制都都是对角度度量的方法法，二者是是辩证统一一的.教学建议一、关于弧弧度制的知知识结构二、关于弧弧度制的重重点、难点点分析重点是是理解弧度度的意义，能能正确地进进行角度制制与弧度制制的换算；难点是弧弧度制的概概念与角度度的关系。（1）要要弄清1弧度的意意义。弧度度制与角度度制一样，只只是度量角角的一种方方法，但由由于学生有有先入为主主的想法，所所以学起来来有一定的的困难，首首先必须清清楚1弧度的概概念，它与与所在圆的的半径大小小无关。其其次弧度制制与角度制制相比有一一定的优点点，一是在在进位上角角度制在度度

27、、分、秒秒上是600进制，而而弧度制却却是十进制制，其二在在弧长和扇扇形的面积积的表示上上弧度制也也比角度制制简单： （2）两两种制度的的转换。利利用它们的的意义在弧弧度制下圆圆周角为 rad，而而角度制下下圆周角为为 ，所以 rad ，进而得得到 rad rad.1rad 三、关于弧弧度制的教教法建议（1）建建议教学用用实例来讲讲述1弧度的含含义，这样样便于学生生概念的理理解；（2）建建议在教学学时，通过过弧度制与与角度制对对比来分析析、说明应应用弧度制制的度量比比应用角度度制的度量量方法是否否具有优越越性；（3）关关于弧度与与角度二者者的换算，教教学时应抓抓住：弧度 弧度度这个关键，来来引

28、导学生生；（4）教教学应注意意强调在同同一式中，所所采用的单单位必须一一致；（5）通通过例3的教学，应应让学生知知道，无论论是利用角角度制还是是弧度制，都都能在已知知弧长和半半径的情况况下推出扇扇形面积公公式，但利利用弧度制制来推导要要简单中些些教学设计示示例（一）弧度制教学目标：1明明确引入弧弧度制的必必要性，理理解新单位位制意义2熟熟练掌握角角度制与弧弧度制的换换算教学重点：理解弧度度制引入的的必要性，掌掌握定义，能能熟练地进进行角度制制与弧度制制的互化教学难点：弧度制定定义的理解解教学用具：投影仪教学过程1设置情情境在角度度制下，当当把两个带带着度、分分、秒各单单位的角相相加、相减减时，

29、由于于运算进率率非十进制制，总给我我们带来不不少困难那么我们们能否重新新选择角单单位，使在在该单位制制下两角的的加、减运运算与常规规的十进制制加减法一一样去做呢呢？本节课课就来尝试试选择这种种新单位2探索研研究（1）复习习角度制我们在在平面几何何中研究角角的度量，当当时是用度度做单位来来度量角， 的角是如何定义的？规定把把周角的 作为1度的角我们把把用度做单单位来度量量角的制度度叫做角度度制，在数数学和其他他许多科学学研究中还还要经常用用到另一种种度量角的的制度弧度制，它它是如何定定义呢？（2）弧度度制定义我们把把等于半径径长的圆弧弧所对的圆圆心角叫做做1弧度的角角，如图1，弧 的长等于于半径

30、 ， 所对的圆圆心角 就是1弧度的角角，弧度制制的单位符符号是 ，读作弧弧度图1 的弧弧度数 的弧弧度数 提问：若弧是一一个半圆，则则其圆心角角的弧度数数是多少？若弧是一一个整圆呢呢？因为半半圆的弧长长 ，其圆心心角的弧度度数是 ，同理，若若弧是一个个整圆，其其圆心角的的弧度数是是 在 到到 的角的弧弧度数 必然适合合不等式 ，角的概概念推广后后，弧的概概念也随之之推广，任任一正角的的弧度数都都是一个正正数如果果圆心角表表示一个负负角，且它它以所对的的弧长 ，则这个个圆心角的的弧度数是是 ，由此我我们给出弧弧度制的定定义：一般般地，可以以得到：正正角的弧度度数是一个个正数，负负角的弧度度数是一

31、个个负数，零零角的弧度度数是0；角 的弧度数数的绝对值值 ，其中 是以角 作为圆心心角时所对对的弧长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制提问：为什么可可以用弧长长与其半径径的比值来来度量角的的大小呢？即这个比比值是否与与所取的圆圆的半径大大小无关呢呢？ 如图22，设 为 的角，圆圆弧 和 的长分别别为 和 ，点 和 到点 的距离（即即圆半径）分分别为 和 ，由初中中学过的弧弧长公式可可得： ， ，于是 上式表表明，以角角 为圆心角角所对的弧弧长与其半半径的比值值，由 的大小来来确定，与与所取的半半径大小无无关，仅与与角的大小小有关因 ，可可以得到 ，那弧长长等于圆弧弧

32、所对圆心心角的弧度度数的绝对对值与半径径的积，这这个公式比比采用角度度制时相应应公式 要简单（3）角度度制与弧度度制的换算算用“弧弧度”与“度”去度量每每一个角时时，除了零零角以外，所所得到的量量数都是不不同的，但但它们既然然是度量同同一个角的的结果，二二者就可以以相互换算算我们已已经知识若若弧是一个个整圆，它它的圆心角角是周角，其其弧度数是是 ，而在角角度制里它它是 ，因此 ，两边除除以2得 等等式两边同同除1800得 同理，把把弧度换成成角度 【例1】把把 化成弧度度解： 【例2】把把 化成度解： 同学们在进进行角度制制与弧度制制互化时要要抓住 弧度这个个关键下面请大家家写出一些些特殊角的

33、的弧度数角度 弧度 按从左至右右顺序其答答案是：00、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 今后我我们用弧度度制表示角角的时候，“弧度”二字或“ ”通常省略不写，而只写相应的弧度数例如：角 就表示 是 的角， 就表示 的角的余弦，即 （4）角度度制与弧度度制的比较较引进弧弧度制后，我我们应将它它与角度制制进行比较较，同学们们应明确：弧度制是是以“弧度”为单位度度量角的制制度，角度度制是以“度”为单位度度量角的制制度；1弧度是等等于半径长长的圆弧所所对的圆心心角（或该该弧）的大大小，而 是圆的 所对的圆圆心角（或或该弧）的的大小；不论是以以“弧度”还是以“度”为单位的的角的大小小都是一个个与半径

34、大大小无关的的定值【例3】计计算：（1） ；（2） 解：（1） （2） 练习（用投投影仪）1把下列列各角化成成 的形式：（1） ；（2） ；（3） 2求右图图3中公路弯弯道处弧 的长 （精确到到 ，图中长长度单位： ） 参考答案：1（1） （2） （3） 2 答：弯弯道处 的长约为为 3练习反反馈（1）若若三角形的的三个内角角之比是22：3：4，求其三三个内角的的弧度数（2）已已知扇形的的周长为 ，面积为为 ，求扇形形的中心角角的弧度数数（3）下下列终边相相同的是（）A 与 B 与 C 与 D 与 参考答案：（1） 、 、 ；（2）2（3）B4总结提提炼（1） 弧度；（2）“角化弧”时，将 乘

35、以 ；“弧化角”时，将 乘以 （3）弧弧长公式： 扇形面积公公式： （其中中 为圆心角角 所对的弧弧长， 为圆心角角的弧度数数， 为圆半径径）课时作业1角集合合 与 之间的关关系为（ ）AB C D不确定定2若角 和 的终边互互为反向延延长线，则则有（ ）A B C D 3中心角角为 的扇形，它它的弧长为为 ，则该扇扇形所在圆圆的半径为为_4若 ，且且 与 的角的终终边垂直，则则 5已知直直径为 的滑轮上上有一条长长为 的弦， 是此弦的的中点，若若滑轮以每每秒5弧度的角角速度旋转转，则经过过5秒钟后点点 转过的弧弧长等于多多少？6已知一一个扇形周周长为 ，当扇形形的中心角角为多大时时，它有最最

36、大面积参考答案：1C 22D 36； 4 或 ； 5 ； 6中心心角 时， 教学设计示示例（二）弧度制教学目标1理理解角集与与实数集 的一一对对应，熟练练掌握角度度制与弧度度制间的互互相转化2能能灵活应用用弧长公式式、扇形面面积公式解解决问题教学重点：能熟练地地进行角度度制与弧度度制的互化化教学难点：能灵活应应用弧长公公式、扇形形面积公式式解决问题题教学用具：投影仪教学过程：1设置情情境像角的的概念推广广一样，我我们已经把把 中角，利利用“乘以 ”这一法则则映射到实实数集 上，那么么， 以外的角角能否化为为弧度制？如果能，如如何转化呢呢？乘数因因子是否仍仍为“ ”，本节课课就来讨论论这个问题题

37、2探索研研究（1）正正、负角的的弧度定义义 正角角的弧度数数是一个正正数，负角角的弧度数数是一个负负数，零角角的弧度数数是0，角 的弧度数数的绝对值值 ， 为以角 作为圆心心角的所对对的弧的长长， 是圆的半半径，这种种以弧度作作为单位来来度量角的的单位制，叫叫做弧度制制（2）角角集合与实实数集 之间的一一一对应用弧度度制来度量量角，实际际上是在角角的集合与与实数集 之间建立立这样的一一一对应关关系（如图图1所示）每一个个角都有惟惟一的一个个实数（即即这个角的的弧度数）与与它对应；反过来，每每一个实数数也都有惟惟一的一个个角（角的的弧度数等等于这个实实数）与它它对应于是，就就可以把三三角函数看看

38、成是以实实数为自变变量的函数数，它的自自变量的意意义可以有有多种解释释，从而使使三角函数数的应用更更加广泛，在在数学与科科学研究中中所以普遍遍采用弧度度制，这是是原因之一一（3）有有关公式弧长长 （4）例例题分析【例11】下列站站个角中哪哪几个是第第二象限角角？（1） （2） （3） （4）9（5）4（6） 解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 从而可知（2）（4）（5）所给的角在象限点评：用用弧度制表表示终边相相同的角的的方法 把一一角化为 形式，其其中 从而可判判断角所在在象限在同同一问题求求解过程中中，两种单单位不能混混用，如 写法不妥妥【例2】（1）把 化为 ， ， 的形

39、式是是（ ）A B C D （2）在半半径不等的的两个圆内内，1弧度的圆圆心角（ ）A所所对弧长相相等BB所对的的弦长相等等C所所对弧长等等于各自半半径DD所对的的弧长为 解： 选DD（2）由弧弧度制定义义，知半径径为 的圆上，11弧度的弧弧长应等于于半径 ，故选 【例3】填填空（1）在在 内找出与与 终边相同同的角_（2）圆圆的弧长等等于该圆内内接正三角角形的边长长，则该弧弧所对的圆圆心角的弧弧度数是_（3）在在扇形 中， ，弧长为为1，则此扇扇形内切圆圆的面积_解：（1）与与 终边相同同角，设为为 令 所求求角为： （2）设设圆半径为为 ，则内接接正三角形形边长为 ，当弧长长 时，其所所对圆心角角 （3）如如图2，设扇形形半径为 ，内切圆圆半径为 ，则由