考研概率强化讲义(6-8章).docx

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1、第六章数理统计的基本概念第一节基本概念1、概念网络图数理统计的基本概念f正态总体下的四大分布总体个体样本样本函数统计量2、重要公式和结论（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察时象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品X1,X2,X”称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，X”X2,X”表示n个随机变量

2、（样本）；在具体的一次抽取之后，xX2,x”表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设再,电,X”为总体的一个样本，称（P =（P，X“）为样本函数，其中。为一个连续函数。如果。中不包含任何未知参数，则称夕（X（，X2,-,Xn ）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值x =-Yx,./=11样本方差S -(%，*)1 i=i样本标准差S = J+E(Xj-02样本k阶原点矩必=一1：，攵=1，2/”.样本k阶中心矩Mk =4区-x)*,%=2,3,.,=i CF2E(X)=, D(X)=f nE(S2)= a2, E(S*2)=上(t2, n其中S*2=_L支

3、(X,一斤)2,为二阶中心矩。/=1(2)正态总体下的四大分布正态分布设再,工2,，X为来自正态总体N(4,(j2)的一个样本，则样本函数def X - LI八u=台N(o,l).(71 ytnt分布设X,%,X”为来自正态总体N(, CT?)的一个样本，则样本函数def X-l ,.t-!/(-1),5V 其中t(nT)表示自由度为n-1的t分布。力2分布设,工2,，X”为来自正态总体NT,。？)的一个样本，则样本函数def(H-l)S22 z -W-2 Z(w 1)，其中/(-1)表示自由度为n-1的/分布。F分布设,x”为来自正态总体N(,cr；)的一个样本，而必,歹2，儿为来自正态总体

4、N(,(T；)的一个样本，则样本函数def S,/ cr,2一尸(1，2-D， Sj /tTj其中12!l_1-S：=一(x,7)2,s；=-(z-)2；%-1/=in2-1,=|厂(l -1,21)表示第一自由度为一1，第二自由度为2-1的F分布。(3)正态总体下分布的性质了与2独立。例6.1：从正态总体N(3.4,6?)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？第二节重点考核点统计量的分布第三节常见题型1、统计量的性质例6.2：设(X“2,心取自总体XN(0,0.52),则个?产4卜例6.3：设总体X服从正态分布N(

5、%,/)，总体y服从正态分布刈2，。2),乂/2一”,和乂，公,分别是来自总体X和y的简单随机样本，则（乂-才+（匕-歹）i=lj2、统计量的分布例6.4：设(XX2,，X“)是来自正态总体N(,cr2)的简单随机样本，灭是样本均值,记s；X)2,s；_x)2,n-/=,n ,=lS；=7t(X,-尸，S：一产，则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是X RX R(A) t =.(B) t =.S2/Vl/、 X uX - Ll(C) t =.(D)/=-=S3/ y/nS4/ yJn例6.5：设总体XN (0, l2),从总体中取一个容量为6的样本(X1,万2,x6),设y =(M +x2+

6、x3)2+(x4+X5+工6)2,试确定常数c,使随机变量cy服从/分布。第四节历年真题数学一：1(98,4分)从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大?附表:(Z) =1dt1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.9902（01,7分）设总体XN（Q2）（b0）,从该总体中抽取简单随机样本1 N%,X2,-.,X,n(/?2)，其样本的均值x = Yxi,求统计量y = Z（x,+x“+j-2）2的数学期望（八。3（03,4分）设随机变量X/（）（1）,丫=一方，则X

7、（A）yYS）（O y 尸（,1）（D）y尸（1,）4. （05,4分）设，X”（N2）为来自总体N（0,l）的简单随机样本，刀为样本均值，2为样本方差，则(B) nS x2(n)i=25. （05,9分）设Xi，?,X”（2）为来自总体N（0,l）的简单随机样本，刀为样本均值，记匕=七一斤，z = l,2,-,n.求：（I）匕的方差。匕，i =1,2,；（II）X与工的协方差。乂工,工）。数学二:1（94,3分）设,X是来自正态总体N（,tr2）的简单随机样本，X 是样本均值，记则服从自由度为/ri的，分布的随机变量是(B)z = s2/VI(C) t= X?S3/ y/nX r(D) t

8、=7=rSj4n2（97,3分）设随机变量才和F相互独立且都服从正态分布N（0,32）,而乂,入2,入9和耳,丫2,，会分别是来自总体才和F的简单随机样本。则统计量X + + X9* +厅服从分布，参数为3（98,3分）设X，X2，X3，X4是来自正态总体（ON?）的简单随机样本。X = o（X-2/）2+伙3占一4M,）2.则当。=，b=时，统计量X 服从f分布，其自由度为 o4（99,7分）设是来自正态总体乃的简单随机样本，工=:（乂+.+入6）,匕=:（占+*8+乂） o5z =2/=13证明统计量Z服从自由度为2的t分布。5（01,3分）设总体才M（0,22）,而X1,X2,是来自总体

9、X的简单随机样本，则随机变量y, X；+ X2（X；+ X服从分布，参数为 O6（02,3分）设随机变量*和F都服从标准正态分布，则（A） X+Y服从正态分布。（B）+服从f分布。（C）片和P都服从V分布。（D）V/F服从尸分布。7 （03,4分）设总体才服从参数为2的指数分布，丫入2,X”为来自总体才的简单随机样本，则当 foo时，工依概率收敛于 o8 （04,4分）设总体X服从正态分布NT”1）,总体丫服从正态分布N（27），Xi，、2,x“，和工，,。分别是来自总体x和丫的简单随机样本，则-22-之（X,一又）+以亿-歹）E =.+2-29.（06,4分）设总体X的概率密度为/（x）=，

10、凶（一oo x +0。），Xi，4,X为总体的简单随机样本，其样本方差2,则S：第七章参数估计第一节基本概念1、概念网络图点估计矩估计 从样本推断总体1极大似然估计无偏性T估计量的评选标准有效性一致性,区间估计单正态总体的区间估计2、重要公式和结论设总体X的分布中包含有未知数，4,，则其分布函数可以表成/（x;4，%，/）.它的k阶原点矩=E（X）/=1,2,中也包含了未知参数4,，即以=匕（4，,。又设看,2,，X”为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为1-Yx*（k = n 77这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有A AA1一”,匕（优,6

11、川）=-Z壬，点估计矩估计A AA1 J,匕（仇，4）=一 ZH，:=1小成，。，一-，）=，弁.n i=由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数，/）的矩估计量。若方为。的矩估计,g（x）为连续函数，则g（J）为g（e）的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为/（X；仇，仇，,其中仇，&，,4n为未知参数。又设 X,Xz,X为总体的一个样本，称,凡，,。3=11/（阳；仇，仇，内）/=1为样本的似然函数，简记为心.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 PX=x= p（x；d ,仪,4）,则称nL（xl,x2,-,xn;0i,02,-,0m）= Yp（xi-,O

12、i，仇，,仇“）1=1为样本的似然函数。若似然函数L（Xi，x?,x；e”仇，,2,）在/、/，”处取到最大值，则称4，抵分别为仇，&，,Om的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。din4,c 1叫备金若）为。的极大似然估计，g（x）为单调函数，则g（击为g（e）的极大似然估计。估计量的评选标准无偏性设）=）区，2,x“）为求知参数。的估计量。若E （4）=6,则称1型的无偏估计量。E （斤）=E （X）, E （S2）=D （X）有效性设31=）1（X,X，2,x“）和）2=2（X,x，2,x“）是未知参数。的两个无偏估计量。若。（4）=0, woc则称）”为。的一致估计量（或相

13、合估计量）。若）为6的无偏估计，且0（5）-0（ foe）,则）为6的一致估计。只要总体的E（X）和D（X）存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本再,乂2,x”出发，找出两个统计量 q =4区,，2,X”)与%=%区，%，2，X)(4%)，使得区间%以 l-a(Oal)的概率包含这个待估参数。，即P仇002= l-a,那么称区间仇，为。的置信区间，1-a为该区间的置信度(或置信水平)。设xx，2,，乙为总体XN(,b2)的一个样本，在置信度为1-a 下，我们来确定和er?的置信区间四，。具体步骤如下：(i)选择样本函数：(ii

14、)由置信度1-a,查表找分位数：(iii)导出置信区间名。已知方差，估计均值(i(ii /P -()选择样本函数X-p,u =-j=Acr0/yin )查表找分位数-A=A (J2/ yjn)iii)导出置信区间X A,- TZZT , X +/I -01).= l-a.0.17n未知方差，估计均值(i p (L)选择样本函数X-/LI.t =展t(nS / y/ni)查表找分位数、CX- LI.-22SI&)lii)导出置信区间-.s -.X - A , X 4 A - yin-1).二1TnCt.方差的区间估计(CD(p(L)选择样本函数bii)查表找分位数(-1及)Xi ；X.4X)dX

15、- I23421231313=尸|-3.都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。例7.3：设x”x，2,X”是取自总体XN(q2)的样本，试证是b?的相合估计量。第二节重点考核点矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计第三节常见题型1、矩估计和极大似然估计例7.4：设xu(o,e),eo,求。的最大似然估计量及矩估计量。例7.5：设总体X的密度函数为/(X)=，6尸0,其他.其中。0,氏为未知参数，工|,工2,X”为取自X的样本。试求的极大似然估计量。2、估计量的优劣例7.6：设n个随机变量再，工2,，与独立同分布，0(X1)= b2,X =!x,52=-y (x,-X)2,片一则(A)

16、S是CT的无偏估计量；(C) S是(T的相合估计量：例7. 7：设总体X的密度函数为(B) S是b的最大似然估计量;(D) $2与嚏相互独立。小)=铲0 x , 其他，xitx2,-,xn是取自x的简单随机样本。(1) 求夕的矩估计量G；(2) 求)的方差D (9)；(3)讨论的无偏性和一致性(相合性)。3、区间估计例7.8：从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度(单位：cm)为2. 14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.103. 15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11假设钉子的长度X服从正态分布N(,b2),在下列两种情况下

17、分别求总体均值口的置信度为90%的置信区间。(1)已知 cr=0.01.(2) cr未知.例7.9：为了解灯泡使用时数的均值日及标准差。，测量10个灯泡，得提=1500小时，S=20小时。如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求U和。的95%的置信区间。例7.10：设总体XN (3.4,62),从中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值嚏位于区间1.4,5.4内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？第四节历年真题A”.数学一:1 (97, 5 分)设总体才的概率密度为/(x)= (6 + l)x, 0xl0,其他其中。-1是未知参数工,入2,X”是来自总体才的一个容量为的简单随机样本,分

18、别用矩估计法和极大似然估计法求0的估计量。2（99, 6分）设总体X的概率密度为0,0 x 0 x0x1,F（x，0）= XP 0, xl,其中未知参数a1,工1,、2,X”为来自总体X的简单随机样本，求：（I）的矩估计量；（II）夕的最大似然估计量.8. （06,9分）设总体X的概率密度为 f 00 x 14x2其中。未知参数（0。0/（x,=0,x0是未知参数,a0是已知常数。试根据来自总体力的简单随机样本X、X1,X“,求/l的最大似然估计量。2(92,3分)设个随机变量XX2,-Xn独立同分布，DXx = a,x0,41.设,X”为来自总体X的简单随机样本,(I)当a =1时，求未知参

19、数尸的矩估计量；(H)当a = l时，求未知参数的最大似然估计量;(Ill)当夕=2时，求未知参数a的最大似然估计量.8. (05,4分)设一批零件的长度服从正态分布N(,cr2),其中均未知。现从中随机抽取16个零件，测得样本均值元=20(cw),样本标准差s = l(cw),则的置信度为0.90的置信区间是(A)(20-3aos化侬+1晨)(B)(20一1.(16),20+；布(16)(C)20-i/o,o5(15),20+ l/o,o5(15)j(D)(20(,20+；布()9. (05,13分)设乂,占,凡,(2)为来自总体(0。2)的简单随机样本，其样本均值为N。记工=x-灭，z =

20、1,2,求：匕的方差。匕，i = l,2,，：(id工与工的协方差。丫(耳，工)。(III)若C(X +匕)2是/的无偏估计量，求常数C。M，0xl10. (06,13分)设总体X的概率密度为/(x,e)=1-6,lWx2,其中。是未知o,其它参数(0。或24)时否定品，否则认为“相容。两类错误第一类错误当“为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定这时，我们把客观上A成立判为“为不成立(即否定了真实的假设)，称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记。为犯此类错误的概率，即 P否定A A为真= a：此处的a恰好为检验水平。第二类错误当为真时，而样本值却落入了相容域，

21、按照我们规定的检验法则，应当接受4。这时，我们把客观上不成立判为“成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记夕为犯此类错误的概率，即P 接受/ ZJ为真二夕。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，a变小，则4变大；相反地，变小，则a 变大。取定a要想使夕变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平a。a大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真、而不愿“以真当假”时，则应把a取得很小,如0.01,甚至0.001。反之，则应把a取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条

22、件零假设统计量时应样本函数分布否定域已知CT?o ：=0TT _ u=”(0,1)uU a 1-2uux - au t 以(-1) i2t 力2(-1)12”0：。2 Wb；0L（T）o :标 Zb；例8.1：用一仪器间接测量温度5次：1250,1265,1245,1260,1275（）,而用另一种精密仪器测得该温度为1277（可看作真值），问用此仪器测量温度有无系统偏差（测量的温度服从正态分布）？第二节重点考核点单正态总体均值和方差的假设检验第三节常见题型1、单正态总体均值和方差的假设检验例8.2：食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g,每隔一定时间需要检验机器的工作情况，现抽

23、10罐，测得其重量（单位：g）：495,510,505,498,503,492,502,512,497,506。假设重量X服从正态分布N（,b2）,试问机器工作是否正常（a =0.02）?例8.3：用包装机包装某种洗衣粉，在正常情况下，每袋重量为1000g,标准差cr不能超过15go假设每袋洗衣粉的净重服从正态分布。某天检验机器工作的情况，从已装好的袋中随机抽取10袋，测得其净重（单位：g）为：1020,1030,968,994,1014,998,976,982,950,1048。问这天机器是否工作正常（a =0.05）例8.4：设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩

24、，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。例8.5：用机器包装某种饮料，已知每盒重量为500克，误差不超过10克。今抽查了9盒，测得平均重量为490克，标准差为16克，问这台自动包装工作是否正常（显著性水平 a 0.05）o2、两类错误例8.6：总体X有一个容量为4的简单随机样本X” Xz, X* X*。已知（72=16,原假设4：=5：:W5, a =0.05。（1）算出拒绝域和接受域；（2）若=6,计算第二类错误夕。例8.7：设总体XN（,b2）,（r2未知，X”,X”为来自X的样本值，现对进行假设

25、检验。若在显著性水平a=0.05下拒绝了“：=o,则当显著性水平改为a=0.01时，下列结论正确的是（A）必拒绝A。（B）必接受优（C）第一类错误的概率变大。（D）可能接受，也可能拒绝治第四节历年真题A”.数学一:1（98,4分）设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。附表:z分布表。Pt(n) tp(n)= p0.950.975351.68962.0301361.68832.0281数学二：1（95,3分）设X”,A；是来自正态总体N（

26、,（y2）的简单随机样本，其中参数Q?未知。记-1一,=i,=i则假设“0：=0的/检验使用的统计量t o1.2C；6.4311.AB15.1021.25.33.37.41.46.考研数学概率与统计（强化班）例题答案17.332士105（i）nQ）充分2.47.104-94第一章3.8.214.9.185.31510.916.坐a+b18.126.0.9829.34.00.423,0.0475,1.4x10-5222442.0.7847.0.92348.22.43.413.2514.10aa +(319.27.能够30.35. D38.(1)nNn44.9.11aCa +(31028.31.2

27、3.0.824.0.1636.50.36240.-545.0.62920而瓦53. B 54.(1)|(2)充分55. B56. C 57. C,oO.33O.770 4-6O X - -X24.n(2)不充分5V岛岛 6.27. 0.858.0.65+0.640.4-Cs59.0.460. D/、a+bP a+ a f3k-11.左=0,，812.,52541612513.14.15.2。(3)116.0.217. C18.Y-I0lPpqppql-/I”l-/匕(2、J220.0.1067,0.013521.充分22.(1)一1(2)-7r25. 1,326. P(Y = %)=或0%(1

28、_1广，4= o,i,5.27. 。(1) - g28. B0x-29. (1) F(x) = (x +1)+ -1 x 11681l 1) = 0.5167(2)7163523.(1) a =2, b =6(2)-24.-0”030. FY(y)= y0y 131.1y32.1 + x1.2. 7*.(x) = 1 - x0第三章-lx00x 13.4.5.其他06. 7z(Z)= -e e-z(e-l)Z00,4 i-1 1.2 i-0Zl 7.旋)=2 u2izo0 u 4,121-43V110.I3P,00_8813803823803830_8l_8Pj344111.01234P,.1

29、4000j_428_80024311211200J_44116116116I 16工4Pj254813487483481-味。骁215.17.(1)18.x 0 其他y0 其他不独立(2)=e yx 0 c-fr+*/.I10(x/y)= xy x 00其他其他X-101p0.13440.73120.13440 w 119.其他2。.z)=/(i-z?) ozi21/(m)=I1(2-w)0其他022.0,1587423.1-(1-e-2/24. a =-,6=-, c =, t/=, w =4)48121625.9)26. F(n,l)第四章1.44.0,:57.一,610. C13.(12

30、.10.55.0,28.(25H.25不存在，(2)3.20J5-,2831)和(2)分别充112.0,0,不才不存在15. N6.江大立1-6一,59.182519J16.H1-口n-17.-118. C19421, c120.In 2+21.11.6722.23.1-2712127T24.(101201219992210992900(2)不独立(3U = max012122P939U = min012122P939E(U)=(K)=|010j_4014工2(2) pvv =0I01-e-101e-1-e2e2(2)不独立(3) e+e227.(1)1111612V15(2)-15(3)Z0

31、12211P-341228.1,130.(1)31. B36.2129.(1)-,3不独立，相关3(2)(DO,(2)0(3)不一定独立62536(2)32.37.,A350033.不相关(3)不独立11.一3.984.D5.第五章126. B7.A8.0.99.0.001351.352.0.0253.(T第六章4. B第七章“15.32.衣2最有效4.。最大=max(x|,，x)，后矩=255-。最大再-max(x|，x)，。最大=min(x”，)6. C7. (1) e,;,=2x(2) D(0)=(3)无偏且一致8. (1)1.121,2.129(2)2,117,2.1339. 1485.69,1514.31,13.8,36.510. 35第八章1 .有系统误差2 .正常3 .不正常4 .可以认为5 .不正常6 .(1)接受域为元 e 1.08,8.92(2)夕=0.9217 . D考研数学概率与统计（强化班）历年真题答案第一章数学一：1.3.8.13.1-(1231 12 n25P)；(1- P)+叩(1- P尸2.53120；320534.9.14.172538(C)5.0.7I10.-6115.46.11.16.4I-23P