2023年经济数学基础秋模拟试题资料.doc

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1、经济数学基础（10秋）模拟试题（二） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1设，则（ C ） A B C D 2已知，当（ A ）时，为无穷小量A B C D 3. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) A BC D 4以下结论或等式对的的是（ C ） A若均为零矩阵，则有 B若，且，则 C对角矩阵是对称矩阵 D若，则 5线性方程组 解的情况是（ D ）A. 有无穷多解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 无解 二、填空题（每小题3分，共15分）6设，则函数的图形关于y轴对称 7函数的驻点是 x=1 8若，则9设矩阵，I为单位矩阵，则 10齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的

2、一般解为 ，是自由未知量 三、微积分计算题（每小题10分，共20分）11设，求 解：由于 所以 12计算积分解： 四、代数计算题（每小题15分，共50分） 13设矩阵，求解矩阵方程解：由于 即 所以，X = 14讨论当a，b为什么值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解.解：由于 所以当且时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 当且时，方程组有无穷多解. 五、应用题（本题20分） 15生产某产品的边际成本为(q)=8q(万元/百台)，边际收入为(q)=100-2q（万元/百台），其中q为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：(q) =(q) -

3、(q) = (100 2q) 8q =100 10q 令(q)=0，得 q = 10（百台） 又q = 10是L(q)的唯一驻点，该问题的确存在最大值，故q = 10是L(q)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 D 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 经济数学基础（10秋）模拟试题（一） 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等(A) ， (B) ，+ 1(C) ， (D) ，2.下列结论中对的的是（ D ）(A) 使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点(B) 若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极

4、值点(C) x0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点(D) x0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 03.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（C）(A) (B) (C) (D) 4.设是矩阵，是矩阵，且故意义，则是（ A ）矩阵(A) (B) (C) (D) 5.若元线性方程组满足秩，则该线性方程组（ B ）(A) 有无穷多解 (B) 有唯一解(C) 有非0解 (D) 无解 二、填空题（每小题3分，共15分）1.函数的定义域是 2.曲线在处的切线斜率是 3. 4.若方阵满足 ，则是对称矩阵5.线性方程组有解的充足必要条件是 秩秩 三、微

5、积分计算题（每小题10分，共20分）1. 设，求解：由微分四则运算法则和微分基本公式得 2. 计算定积分解：由分部积分法得 四、线性代数计算题（每小题15分，共30分）3. 已知，其中，求解：运用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得 4. 设齐次线性方程组，为什么值时，方程组有非零解？在有非零解时求其一般解解：由于所以，当时方程组有非零解 一般解为（其中为自由未知量） 五、应用题（本题20分）设某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为（万元/百台）试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元）

6、 又 = =令 ， 解得又该问题的确存在使平均成本达成最低的产量，所以，当时可使平均成本达成最小 经济数学基础09秋模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1函数的定义域是（ D ） AB CD 且2函数 在x = 0处连续，则k = ( C )A-2 B-1 C1 D2 3下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ） A B C D4设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行 AAB BABT CA+B DBAT5. 设线性方程组的增广矩阵为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ B ）A1 B2 C3 D4 二、填空题（每小题3分，共15分） 6设函数，则 7设

7、某商品的需求函数为，则需求弹性 8积分 0 9设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解X= 10. 已知齐次线性方程组中为矩阵，则 3 三、微积分计算题（每小题10分，共20分）11设，求解： 12计算积分 解： 四、代数计算题（每小题15分，共50分）13设矩阵A =，计算 解：由于 且 所以 14求线性方程组的一般解解：由于增广矩阵 所以一般解为 （其中是自由未知量） 五、应用题（本题20分）15已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本解：由于总成本函数为 = 当= 0时，C(0) = 18，得 c =18，即 C()= 又平均成本函数为 令

8、， 解得= 3 (百台) 该问题的确存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 经济数学基础09秋模拟试题2一、单项选择题（每小题3分，共15分）1下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等 A， B，+ 1 C， D， 2当时，下列变量为无穷小量的是（ A ） A B C D 3若，则f (x) =（ C ） A B- C D- 4设是可逆矩阵，且，则（ C ）.A B C D 5设线性方程组有无穷多解的充足必要条件是（ B ） A B C D 二、填空题（每小题3分，共15分）6已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中p为该商品的

9、价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q 0.25q 2 7曲线在点处的切线斜率是 8 0 9设为阶可逆矩阵，则(A)= n 10设线性方程组，且，则时，方程组有唯一解 三、微积分计算题（每小题10分，共20分）11设，求解：由于 所以 12计算积分 解： 四、代数计算题（每小题15分，共50分）13设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1解：由于AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 14求线性方程组的一般解解：由于系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量）五、应用题（本题20分） 15设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成

10、本；（2）当产量为多少时，平均成本最小？解：（1）由于总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去） 由于是其在定义域内唯一驻点，且该问题的确存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 经济数学基础（09春）模拟试题 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1函数的定义域是（ D ） AB CD 且 2当时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A B C D 3. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) A BC D 4设，则r(A) =（ C ） A4 B3 C2 D15设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ A ） A只有零解 B有非零解 C无解 D解不能拟

11、定 二、填空题（每小题3分，共15分）6设，则函数的图形关于y轴对称 7已知，若在x=1处连续，则2 .8设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为 9设为阶可逆矩阵，则(A)= n 10. 已知齐次线性方程组中为矩阵，则3 三、微积分计算题（每小题10分，共20分）11设，求解 由于 所以 = 12计算 解 = 四、代数计算题（每小题15分，共50分）13设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1解 由于AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 1-14求线性方程组的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 故方程组的一般解为： ，是自由未知量 五

12、、应用题（本题20分） 15设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 由于边际成本为 ，边际利润 = 14 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增长至8百吨时，利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即当产量由7百吨增长至8百吨时，利润将减少1万元. 1 解 =2计算 解 3计算 解

13、 4计算 解 5计算解 = = 6计算 解 =7 解 = 8 解：=- = 9 解法一 = =1 解法二 令，则= 定积分案例分析1求导数解：注意：变上限定积分的导数公式如下：（1）；（2）；（3）；（4）2计算解：令，则，当从0变到3时，从1变到2，所以3计算解：4计算解：5计算解一：解二：6计算解：11设某产品的边际收益函数为，求总收益函数及需求函数解：总收益函数为，由于，于是，所以需求函数为12求微分方程满足初始条件的特解解：当时，分离变量得，两端积分得，所以原方程的通解为，其中是任意常数讨论：也满足原方程，故原方程的通解为，其中为任意常数再将初始条件代入通解，得，所以原方程的特解为13

14、求解微分方程解：令，则，代入原方程得，即当时，分离变量得，两端积分得，即，将代入得原方程的通解为，其中是任意常数讨论：当时，解得，即，经检查这两个函数也满足原方程，是原方程的解，但不包含在通解中14求解微分方程解一：一方面求齐次方程的通解，分离变量得，两端积分得通解另一方面用常数变易法求原非齐次方程的通解令，对求导得，代入原方程得，积分得，所以原方程通解为，其中是任意常数解二：直接套用通解公式由原方程可知，原方程通解为不定积分案例分析1已知，求解：2求解：3求解：5求解一： 解二：6求解一： 解二：解三：7求解：8已知的一个原函数为，求解：由于，所以，于是导数及应用案例分析1求函数的导数解法一

15、：链式法则：令，由于，所以解法二：从外向里逐层求导： 2求函数的导数解：两端取对数，得，两端对求导数，得，所以3求函数的导数正解：4求的近似值解：设，并取求得，于是5设方程拟定了y是x的函数，求解法一：对方程两端取对数，得，两端再对求导数，得，解得，故得 解法二：对方程两端取对数，得，对等式两端求微分，得，即 ，解得 6已知抛物线，（1）求抛物线在点处的切线方程和法线方程；（2）抛物线上哪一点处的切线平行于直线？解：（1），所以切线方程为 ，化简得 法线方程为 ，化简得 （2）设平行已知直线的切线与抛物线的交点为，由题设知此切线的斜率为，所以令，解得，代入抛物线方程得所以在抛物线上点处的切线平

16、行于直线7求函数的导数正解： 计算下列积分（1）（2） （3） （4）解 （1） （2）= = = （3） （4）= xcos(1-x) - = xcos(1-x) + sin(1-x) + c 计算下列定积分（1） （2）（2） （4）（5）设函数，计算定分解 （1） = = =12 （2） 运用=，可知 或设，则时，;时，原积分 （3）用分部积分法 = （4）用分部积分法=- = （5）分段函数要分区间积分，故 例6求微分方程满足初始条件的特解 解 由于 ，用公式 由 ， 得 。所以，特解为 。 （1） 设，求； 解 运用导数乘法法则 （2）设，求y 解 = = （3）设函数由方程拟定，求

17、。 解 方程两边对x求导，得： 整理得 （4）设，求。 解 由于 所以 线性代数案例分析6问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：当，即或时，方程组有非零解7设，求解：，9设，求 解：由于 ，所以 10证明下述矩阵可逆，并求其逆矩阵：解：由于，所以可逆 所以 11设矩阵，求解：由于 ，所以 12已知，其中，求矩阵解：由，得，即，又可逆，且于是，对等式的两端由乘，得13用初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵解：，是矩阵A的行阶梯形矩阵，是矩阵A的行简化阶梯形矩阵14求矩阵的秩解：，由于阶梯形矩阵中非零行的个数为3，故15判别线性方程组 的解的情形解：，所以原方程组无解16当取何值时，

18、线性方程组有解？解：，当时，所以原方程组有无穷多解17求线性方程组的一般解解：对增广矩阵施行初等行变换，得，原线性方程组有无穷多解由行简化阶梯形矩阵得到相应的同解方程组为 ，选取自由未知量，则原方程组的一般解为（取任意常数）18解线性方程组解：对增广矩阵施行初等行变换，得，原线性方程组有唯一解19求线性方程组的一般解解：对系数矩阵施行初等行变换，得，原线性方程组有非零解由行简化阶梯形矩阵得到相应的同解方程组为 ，选取自由未知量，则原方程组的一般解为（取任意常数）1设矩阵A =，求逆矩阵解 由于(A I ) = 所以 A-1= 2设矩阵A =，求逆矩阵解 由于 且 所以 3设矩阵 A =，B =

19、，计算(BA)-1解 由于BA= (BA I )= 所以 (BA)-1= 4设矩阵，求解矩阵方程解：由于 即 所以，X = 5设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 由于 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又由于r(A) r()，所以方程组无解. 6求线性方程组的一般解 解 由于系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 7求线性方程组的一般解 解 由于增广矩阵 所以一般解为 （其中是自由未知量） 8设齐次线性方程组问l取何值时方程组有非零解，并求一般解.解 由于系数矩阵A = 所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为 （其中是自由未知量） 9当取

20、何值时，线性方程组 有解？并求一般解. 解 由于增广矩阵 所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量 例6 设矩阵 ，计算 解：由于 = 所以 例7 已知矩阵，求常数a，b 。解 由于由 ，得a = 3，b = 2 例8 设矩阵，求解矩阵方程 解 由于 所以 且 例9 设矩阵，计算. 解 由于 = 且 所以 = 例10 设矩阵，求逆矩阵 解：由于=，且 所以 例11 设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵 证 由于 ，且 所以 ABBA是对称矩阵 例12 设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵 证 由于 ，即。所以 A为可逆矩阵 例5 设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广

21、矩阵的秩，并判断其解的情况. 解 由于 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又由于r(A) r()，所以方程组无解. 例6 求线性方程组 的一般解 解： 由于系数矩阵 所以，一般解为：， 其中，是自由未知量 例7 求解线性方程组 解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵由于 秩(A) = 秩(A) = 3， 所以 方程组有解。一般解为(x4是自由未知量) 例9 设线性方程组 试问c为什么值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。解 可见，当c = 0时，方程组有解。且 原方程组的一般解为 （x3是自由未知量） 1设矩阵A =，求逆矩阵解 由于(A I ) = 所以 A-1= 2设矩阵A =，求逆矩

22、阵解 由于 且 所以 3设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1解 由于BA= (BA I )= 所以 (BA)-1= 4设矩阵，求解矩阵方程解：由于 即 所以，X = 5设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 由于 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又由于r(A) r()，所以方程组无解. 6求线性方程组的一般解 解 由于系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 7求线性方程组的一般解 解 由于增广矩阵 所以一般解为 （其中是自由未知量） 8设齐次线性方程组问l取何值时方程组有非零解，并求一般解.解 由于系数矩阵 A = 所以当l = 5时，方程组有非

23、零解. 且一般解为 （其中是自由未知量） 9当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解. 解 由于增广矩阵 所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量 7求由抛物线与所围成的图形面积以及绕轴一周所成旋转体的体积分析：画草图，为具体定出图形所在范围，先求出两抛物线的交点，再按元素法建立定积分模型，最后计算之解：联立方程组，解得两个交点，将图形投影到轴上，任取子区间，从而得到面积微元，于是所求面积为 所围图形绕轴旋转所成旋转体的体积是两个旋转体体积之差，于是绕轴旋转所成旋转体的体积是 8已知某产品的边际收入（万元/台），边际成本，求：（1）最大利润产量；（2）当产量再增长50台时

24、，总利润减少的数量解：（1）由于利润也是产量的函数，且，由，得而，所以（台）为最大利润产量（2）总利润是的原函数，当产量从250台增长到300台时，总利润的改变量，所以总利润减少了100万元9已知某商品生产单位时的固定成本为1000元，边际成本函数为（元/单位），求：（1）总成本函数以及平均成本函数；（2）当生产这种商品100单位时的总成本和平均成本解：（1）可变成本是边际成本函数在上的定积分，固定成本为1000，所以生产单位时的总成本函数为，则平均成本函数为 （2）当生产100单位时，总成本为（元）；平均成本为 （元）10已知某商品天天生产单位时的固定成本为20元，边际成本函数为（元/单位）

25、，求：（1）总成本函数；（2）假如这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以所有售出，求总利润函数，并问天天生产多少单位时才干获得最大利润？解：（1）可变成本是边际成本函数在上的定积分，固定成本为20，所以生产单位时的总成本函数为（2）设销售单位得到的总收益为（元），则，于是总利润为 由，得，又，所以天天生产40单位时，才干获得最大利润，最大利润为（元）13某厂生产某种产品件所需要的成本为（元）；销售后得到的总收入为（元）问该厂生产多少件产品才干使利润最大？分析：利润为解：设每批生产件，则，令，解得唯一驻点当时，当时，因此为最大值点，也就是当该厂每批生产250件产品才干使利润最大14设某商品的

26、需求函数为（其中为价格，为需求量），求：（1）需求弹性；（2）当时的需求弹性，并作经济解释分析：当需求函数在开区间内可导时，称为的需求（价格）弹性解：（1）（2），说明当价格时，假如价格上升，则需求减少，此时需求变动的幅度小于价格变动的幅度，说明当价格时，假如价格上升，则需求减少，此时需求变动的幅度等于价格变动的幅度，说明当价格时，假如价格上升，则需求减少，此时需求变动的幅度大于价格变动的幅度15设某商品的供需函数为（其中为价格，为需求量），求：（1）供应弹性；（2）当时的供应弹性，并作经济解释解：（1）（2），说明当价格时，假如价格上升，则供应增长，此时供应量变动的幅度大于价格变动的幅度16

27、设某商品的需求函数为（其中为价格，为需求量），求：（1）需求弹性；（2）当时的需求弹性；（3）当时，若价格上升，总收益是增长还是减少？将变化百分之几？（4）为什么值时，总收益达成最大？是多少？分析：总收益函数（其中为价格，为销售量）解：（1）（2），（3），由于，所以价格上升时，总收益增长总收益，收益弹性为 ，所以，故当价格时，价格上升，则总收益约增长（4）令，得，且，所以当时，总收益达成最大8据测定，某种细菌的个数y随时间t（天）的繁殖规律为，求（1）开始时的细菌个数；（2）第5天的繁殖速度解：（1）由可知，当时，所以开始时的细菌个数为400个（2）由于，所以第5天的繁殖速度为（个/天）例2

28、 生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，边际收入为 （万元/百台），其中x为产量，若固定成本为10万元，问（1）产量为多少时，利润最大？（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 （1）边际利润 令 ，得 （百台）又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大。（2）利润的变化 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。 例3 已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：由于总成本函数为 =当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18，即C(x)=

29、又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)。该题的确存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台)例7 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求： (1) 生产件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出件该种产品的总收入； (3) 若生产的产品都可以售出，则生产件该种产品的利润是多少？ 解 （1）生产件该种产品的总成本为； 平均成本为。 （2）售出件该种产品的总收入为。 （3）生产件该种产品的利润为 例2 经济应用题 1生产某种产品台时的边际成本（元/台），固定成本500元，若已

30、知边际收入为试求 （1）获得最大利润时的产量； （2）从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？ 解 这是一个求最值的问题。 （1）设利润函数为L(x),那么边际利润 = = 令，求得唯一驻点。 由于驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2023时，可使利润达成最大。（2）在最大利润的产量的基础上再增长100台，利润的改变量为 即利润将减少2500元。 2. 设某产品的成本函数为（万元）其中q是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？ 解 由于平均成本 且 令，解得q1 = 50（台），q2 = 50（舍去）。 因故意义的驻点唯一，故q=50台是所求的最小值点。即当产量为50台时，平均成本最小。 最小平均成本为 = 7（万元） 3. 生产某种产品的固定费用是1000万元，每多生产1台该种产品，其成本增长10万元，又知对该产品的需求为q =120-2p (其中q是产销量，单位：台；p是价格，单位：万元). 求 (1) 使该产品利润最大的产量； (2) 使利润最大的产量时的边际收入. 解（1）设总成本函数为C(q)，收入函数为R(q)，利润函数为L(q)，