2023年经济数学基础讲义矩阵.doc

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1、第2章 矩阵2.1 矩阵的概念整存整取定期储蓄存期三个月半年一年二年年利率(%)2.884.145.675.94北京市居民抄表记录卡项 目1月份2月份3月份天然气m3252426电(kwh)135125130水m3889学生成绩表姓 名数 学语 文英 语张建中808280林 勇758475王建明858083崔 也869090王 宾919095上面这些长方形表，抽象出来就是我们要讲的矩阵. 矩阵一般用大写英文字母表达：如等横向称行，竖向称列.矩阵,每一个位置上的数都是的元素， 如1是的第2行第2列的元素，记为：.5是的第1行第4列的元素，记为：矩阵定义请看教材第2章定义2.1.补充内容：特别地，

2、当时，矩阵只有一行，即称为行矩阵；当时，矩阵只有一列，即称为列矩阵；当时，矩阵的行列数相同，即称为阶矩阵（或阶方阵）在阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.行列数相同的矩阵称为同型矩阵. 在矩阵中各个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为的负矩阵，记作，即例如，,这里是的负矩阵.例1 这是4行2列矩阵.2.2 矩阵的运算 1.矩阵相等例如，一日产量的登记表 一班二班 第一天的产量为, 第二天的产量为, 由此可以得到矩阵相等的定义.若满足：(1) 同形 (2) 相应元素分别相等，即, 则称. 矩阵加法 ,用记为的和，即规定如下(1)同形，于是同形.

3、(2) 相应元素分别相加.矩阵加法满足两条运算规律： 性质1(互换律)性质2(结合律)矩阵，记为，且2.矩阵的数量乘法 是矩阵，是实数，则(1) 和同形(2) ，即中每个素都乘以特别地：， 注意：中定义为，等式左边是数0与矩阵的乘积，而右边是零矩阵.矩阵减法定义为：，即矩阵减矩阵等于加的负矩阵.其中，=， 1仅当时，才干做乘法.2若，则3若，则(行乘列法则) (矩阵乘法定义请阅读教材第2章定义2.5) 矩阵乘法的运算性质 (数对矩阵的分派律) (矩阵的左分派律) (矩阵的右分派律)4.矩阵的转置 设，将第一行元素写在第一列处，第二行元素写在第二列处，这样就可得到的转置矩阵.转置矩阵的性质 =

4、补充内容数乘矩阵所满足的算律 设A，B为任意 k, h为任意实数，可以验证数与矩阵的乘法满足：（1）k (A+B)=k A+ k B（2）(k+ h)= k A+ h A（3）(k h)A=k(h A)（4）, 例1 设，由于，所以例2 设，求.解:例3设，求.解:由于不同形，所以不能进行.例4 设，求，和.解：=2 =不能相乘.例6 设，计算.解：= +=例7 均为矩阵，问下列乘法能否进行，若能，其乘积矩阵为几行几列？解：4阶，3阶 2.3 几类特殊矩阵 矩阵 所有元素都为零的矩阵。例如单位矩阵：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的阶矩阵称为单位矩阵，记作或.数量矩阵主对角线上的元素为同

5、一个数，其余元素全是0的阶矩阵称为数量矩阵，记作.对角矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，即有时也记作或三角矩阵主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角矩阵，它形如主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵，它形上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.对称矩阵若矩阵满足，则称为对称矩阵.数量矩阵满足性质：阶数量矩阵与所有的阶矩阵可互换.即例1 设，求. 解：= 例2设为任意给定的矩阵，证明为对称矩阵.证: 由于所认为对称矩阵.（证毕）2.4 n 阶矩阵的行列式由于讨论矩阵性质的需要，引进阶方阵行列式的概念.定义 与阶方阵相应的行列式成为方阵的行列式，记作或.关于方阵的行列式有下面重

6、要的定理.定理对于任意两个阶方阵，总有即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.这个定理可以推广到多个阶矩阵相乘的情形.推论 若都是阶矩阵，则，特别地例1 设，计算. 解： =例2 设二阶矩阵，验证. 证: 由于,且,所以.（证毕）2.5 可逆矩阵与逆矩阵 可表为 可逆矩阵 设矩阵，假如存在一个矩阵，使得（1）则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，记为.例1设 ，问：为吗？解：由于=，=,所以 例2 设，问：是否可逆？解:A是不可逆的. 什么叫逆阵？ 仅限于讨论方阵的逆阵；不是所有方阵都有逆阵；会验证是否为逆阵；有了逆阵就相称于有了除法.问题：究竟什么样的方阵有逆阵？如何求逆阵？可逆矩阵的性质 由定义 ,称

7、为的逆阵,称为的逆阵性质1 性质2 若可逆，则证:由于 ,所以 性质3 若可逆，则证: 由于 ,所以 性质4 若，均可逆，则亦可逆，且证: 由于 ,所以 性质5 若可逆，则是唯一的.证: 设均为的逆阵，则，有性质5 若可逆，则是唯一的.例2设 问：当满足什么条件时，矩阵可逆？当可逆时，求. 解：由于=当时，从而可逆，此时当时，从而不可逆.2.6 矩阵的初等行变换和初等矩阵矩阵的初等行变换系指 (1) 互换两行位置(2) 用一非0常数乘某行(3) 把一行倍数加至另一行上这三种矩阵行之间的变换，统称为初等行变换.初等矩阵 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称为初等矩阵.相应于三种初等行变换有三

8、种类型的初等矩阵.（1）初等对换矩阵是由单位矩阵第行对换而得的.（2）初等倍乘矩阵其中是由单位矩阵第行乘而得的.（3）初等倍加矩阵是由单位矩阵第行乘加到第行而得的.对于矩阵进行初等行变换等同于对左乘相应的初等矩阵.即的第行与第行对换等同于对矩阵左乘，即；的第行遍乘等同于对矩阵左乘，即；的第行乘加至第行上等同于对矩阵左乘，即.定理设方阵通过若干次初等行变换后得到方阵若同时可逆或同时不可逆.初等行变换法求逆矩阵 初等行变换法求逆矩阵 2.7 矩阵的秩 = 补充内容：k阶子式的定义在矩阵A中，位于任意选定的k行，k列交叉位置上的k2元素，按本来的顺序组成的k阶子阵的行列式，称为的一个k阶子式. 假如

9、子式的值不为零，就称为非零子式.= 矩阵秩的定义 矩阵的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩，记为或秩（）.如上例中，阶方阵可逆例1 求矩阵的秩.解：因的一个二阶子式是非零子式，而的所有（四个）三阶子式均为零，即，所以由矩阵秩的定义知解： 由于，而所有的四阶子式均为0，所以补充内容： 阶梯形矩阵的定义 任意一个矩阵总可以通过初等行变换把化为如下阶梯形矩阵其中符号表达首非零元素，符号表达零或非零元素.假如用文字说明，所谓阶梯形矩阵是指具有以下两个特点的矩阵：（1）矩阵的零行在矩阵的最下方；（2）各行首非零元素之前的零元素的个数随行的序数增长而增长.结论：阶梯阵的秩等于非零行的行数运用初等行变换求秩初等

10、行变换是不改变秩的变换A阶梯阵r（A）=阶梯阵中非零行的行数 例3 求矩阵的秩.解： 例4 求矩阵的秩.解：2.8 分块矩阵 例1 ，其中，分块矩阵的优点：(1)能突出原矩阵结构特点如例1(2)能节省存储单元(3)带来运算上的某些方便分块矩阵的运算 矩阵分块后，每一个子块可视为子阵，即为原矩阵的元素因此，分块矩阵的运算，就像矩阵运算同样. (1)若分块方法相同，如，则(2)若列的分法与行的分法相同，如，则补充内容：分块矩阵的转置若分块矩阵则不难验证即除把子块的行与列对换外，每个子块还要进行转置.有时把矩阵分块以后再求其逆矩阵也能带来方便，例如若能把方阵提成对角块矩阵其中为小方阵，假如都可逆，则也可逆，且这是由于可逆， 存在，由分块矩阵乘法=例1 设 ，求.解：对矩阵进行分块=，=于是=.例2 设矩阵，求.解：将分块成，其中易验证都可逆，且所以