2021年高考数学(文)一轮复习讲义第3章高考专题突破一第2课时.docx

《2021年高考数学(文)一轮复习讲义第3章高考专题突破一第2课时.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学(文)一轮复习讲义第3章高考专题突破一第2课时.docx（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第第 2 课时导数与方程课时导数与方程求函数零点个数例 1 设函数 f(x)12x2mlnx，g(x)x2(m1)x，当 m1 时，讨论 f(x)与 g(x)图象的交点个数解令 F(x)f(x)g(x)12x2(m1)xmlnx，x0，问题等价于求函数 F(x)的零点个数F(x)x1xmx，当 m1 时，F(x)0，函数 F(x)为减函数，注意到 F(1)320，F(4)ln41 时，假设 0 xm，那么 F(x)0；假设 1x0，所以函数 F(x)在(0,1)和(m，)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到 F(x)的极小值 F(1)m120，F(2m2)mln(2m2)0 有唯一零点；

2、当 0m1 时，0 x1 时，F(x)0；mx0，所以函数 F(x)在(0，m)和(1，)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得 lnm0，而 F(2m2)mln(2m2)0)，令 g(x)0，得 m13x3x(x0)设(x)13x3x(x0)，那么(x)x21(x1)(x1)，当 x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当 x(1，)时，(x)23时，函数 g(x)无零点；当 m23时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0m23时，函数 g(x)无零点；当 m23或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0m0)，所以 h(x)12x3x2x3x1x2.所以 x

3、在1e，e上变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x1e，11(1，e)h(x)0h(x)极小值又 h1e 1e3e2，h(1)4，h(e)3ee2.且 h(e)h1e 42e2e0.所以在1e，e上，h(x)minh(1)4，h(x)maxh1e 1e3e2，假设方程在1e，e上有两个不等实根，那么 40)，那么 g(x)x2x12x.在1,4上，当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x(1,2)2(2,4)g(x)0g(x)极小值g(x)极小值g(2)ln 2b2，又 g(4)2ln 2b2，g(1)54b.假设方程 g(x)0 在1,4上恰有两个不相等的实数根，那么g1

4、0，g20，g40，解得 ln 220，解得 xe2，令 f(x)0，解得 0 x2e，那么 f(x)min0，f(x)无零点；假设 a2e，那么 f(x)min0，f(x)有一个零点；假设 a2e，那么 f(x)min0，f(x)在(0，e2上单调递减，在e2，)上单调递增，当 a0 时，在(0，e2上有 f(x)a xln xa0，f(x)在区间(0，e2上无零点，在e2，)上有 f(e2a)a(12ea)0，f(x)在区间e2，)上有一个零点；当 0a2e时，有 04ea0 时，exx2成立，4(e)afa4a2a20，又 f(e2)0，f(x)在(0，e2上有一个零点，在(e2，)上有

5、一个零点.综上，当 a2e时，f(x)无零点，当 a0 或 a2e时，f(x)有一个零点，当 0a0 可得 x2 或 x1，由 f(x)0 可得1x0，c1030，解得76c0，函数 f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，求 a 的取值范围解(1)f(x)12x2alnx 的定义域为(0，)，f(x)xaxx2ax.a0 时，f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增；a0 时，由 f(x)0，得 x a，f(x)0，得 0 x0 时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增(2)当 a0 时，由(1)知 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，假设 a1，即

6、0a1 时，f(x)在(1，e)上单调递增，f(1)12，f(x)在区间(1，e)上无零点假设 1 ae，即 1a0，f a12a1lna0，ea0，f(e)12e2a0，那么 f(x)12xx2x，由 f(x)0，得 x2，由 f(x)0，得 0 x2.故 f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，).(2)因为当 x0 时，f(x)，所以 f(x)0 恒成立，即对 x0，13，a22ln xx1恒成立.令 h(x)22ln xx1，x0，13，那么 h(x)2ln x2x2x12，再令 m(x)2ln x2x2，x0，13，那么 m(x)21xx20，故 m(x)在0，13

7、上为减函数.于是 m(x)m13 42ln 30.从而 h(x)0，于是 h(x)在0，13 上为增函数，所以对 x0，13 有 h(x)0).假设函数 h(x)在(0，)内恰有两个零点，求实数 a 的取值范围.解因为函数 g(x)的定义域为(0，)，所以 g(x)1xg(e)0，依题意，h(x)g(x)0，那么函数 h(x)无零点.当 xe 时，g(e)0，f(e)e33aee，假设 f(e)e33aee0，即 ae213，那么 e 是函数 h(x)的一个零点；假设 f(e)e33aee0，即 ae213，那么 e 不是函数 h(x)的零点.当 x(e，)时，g(x)3e23a，所以当 ae2时，f(x)0，函数 f(x)在(e，)内单调递增.又 f(e)e33aee，当 ae213时，f(e)0，函数 f(x)在(e，)内无零点；当e213ae2时，f(e)0，此时函数 f(x)在(e，)内恰有一个零点.当 ae2时，结合 f(x)3x23a3(x a)(x a)可知，函数 f(x)在(e，a)内单调递减，在(a，)内单调递增.因为 f(e)e33aeee33e3e8a26a2e2a2e0，所以此时函数 f(x)在(e，)内恰有一个零点.综上，假设 h(x)在(0，)内恰有 2 个零点，实数 a 的取值范围是e213，.