同济大学线性代数第五版习题答案.docx

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1、第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：6201(1)1-4-1；0141-183=2x(-4)x3+0x(-l )x(-1)+1x1x8-Ox 1 x3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)=-24+8+16-4=-4.c 4 8 力c a 。匕c2)c 力 匕c a4 8 c 解=ach+hac+cha-bhh-aaa-ccc =3cibc-ubc.lb/?21 ala2(3)111解 a b c a2 b2 c2=bc +ca +ab ac-ba cb=(a-b)(b-c)(c-a).x y x+y (4)y %+y %.x+y x yxyx+y解 y x+y x x+y%

2、 y=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-/-3x2 y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:1234;解逆序数为0(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13-(2/i-l)24-(2n);解逆序数为:32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(2n-l)2,(2n-l)4,(2n-l)6,(2n-l)(2n-2)(n-1个)(6)13(2n-

3、l)(2m)(2m-2)2.解逆序数为32(1个)52,54(2个)(2n-l)2,(2n-l)4,(2n-l)6,(2n-l)(2n-2)(n-1个)42(1个)62,64(2个)(2n)2,(2m)4,(2n)6,(2n)(2n-2)(n-1个)3 .写出四阶行列式中含有因子内w23的项.解含因子。1口23的项的一般形式为(-1)。1图23a344s,其中rs是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.所以含因子。1423的项分别是(1)a “a23a32a44=(-1)%” a23a32a44=一。“a23a32。44,(T )a 1M23a34a42=(-1)111 a23a3

4、4a42=。“a23a 34a424 .计算下列各行列式：420720211i 041141100lz34+X4212341110=0411112021-230411100V?4207202111041141100o-0241i -1190179017q X2+-qO-2411_11T 234111011224236172 o23152)020042341-212312 T 02024236172 o 2315二111142361-2315c-cco一一020042301T 2 o2310rn*双47年3)111=4abcdef.=adfhceoold o 1 c-111Q-loo7OOI J

5、 QI c-1 bT-lo 110-1oo 弓Q+OO1IWU o 1 c 1x 111 o41-1oo解c3+dc2+ab a ad:-1 c 1+ cd 0-10olfa a CT o=abcd+ab+cd+ad+1.ad1+ cd+G-1+ab1=（一1）（一1严6.证明:a2()2a1ab b2a+b 2b =(心4；证明a22a1aba+b1b2 c2-Cj2b1=(-l)3+1a2 ab-a2 b2-a22a b-a 2b2aab-cr b2-a2ba 2Z72a=(b-a)(b-a)a b+a12=(a-by .ax+hy ay+hz az+bx(2)ay+bz az+bx ax

6、+by =(a+b3)y z xaz+bx ax+by ay+bz证明ax+by ay+bz az+bx ay+bz az+bx ax+by az+bx ax+by ay+bzx ay+bz az+bxy ay+bz az+bx=ay az+bx ax+by +bz az+bx ax+by=a2z ax+by ay+bz.x ay+bz zy az+bx x +b2ax+by yx ax+by ay+bzZ az+bx x ax+by y ay+bz=a3=a3y +b3 zxX+b3 yX y z=(a3+b3)y z x z x ya2 b2 c2 d2(a+1)2(a+2)2(Z?+l)

7、2(/?+2)2(c+1)2(c+2)2证明(a+3)23+3)2(c+3)2=0；(d+l)2(d+2)23+3)2er (a + l)t (4+2)，-2b+l-2b+2y%c+l-2c+2-212(d+1)2(d+2)2ah-2%2a+12/?+l 2C+12d+2a+3自+32c+32d+3II2a+52z?+52c+52/+5(c41c3“ C31c2奇)de BP22229222 de b4+H-*22222222 II O0 bla cla da 0 b(ba) c(ca) d(d a)052(52142)%(c21a2) d2(d2a2)=ea)(ca)a) bed bs+a)

8、 C2(c+a) d2(d+a)-一1H(bla)(cla)(dlaoclb dlb0 c(clb)(c+b+a) d(dlb)(d+b+a)=(ba)(ca)(d la)(clb)(d IB)一Ac+b+a) d(d+b+a)一H(4b)(alc)(4l3(blc)(bl(cls(u+b+c+s.oxLooooo000a= SSI- an2X 12 x +wH+s+:+9x+9证明用数学归纳法证明.当=2时，。2=x2+ax+ci2,命题成立.假设对于（-1）阶行列式命题成立，即-1.-2,D,-i=x +fl| X +。一2工+。一1,则以按第一列展开，有7.设”阶行列式O=det（与），

9、把D上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转，依次得an qann an,2=%为1o00X00Yi X二 j=xD n-+an=xn+aXn1+%-x-an.因此，对于”阶行列式命题成立.(71T)证明 A=2=(1)2 D, l)3=d .证明因为。=det(勾)，所以2=。加4an. annai j=(-i 尸n+l/ j(+l)+(-1)+1=(-i 尸-(-1)2 n(/-7)n+l/ j=II(D-n+li jNl(4)%=cdn解4b“n hD2n= J J (按第1行展开)4-ioa bc da=det(%)=123012101210 n-2n-3n-4n- n- n-2

10、 , h3 n-4- 0-1111-1-1111111-11-1171-1n-2n-3n-4r-r2r2 f1111C3+C1)22 00 - 0-2-2-2)2 000 -2-3 2/7-4 2几一50000/7-1(6) Dn =1 + 41111+(2* , ,111l+a,其中 ata2 a*0. an-+(-1产也Cn-Cn再按最后一行展开得递推公式D2n=ndD2n2n-2,即于是D2n =34/?)Z)2i=2而=？ g =。14一4C,所以。2”=1!（44一匕）=1(5) D=det(ay),其中 aij=i-j;10000-110-00对i011.00婷00011晒0000

11、11+婷=aa2,*cin魅i tz；1CC20 0一% % 00 a3 a3C2C300 000 0Dn =1+q111+a21111+4001001001 an-an-l10an1+4100 00010 - 00001 - 00000 - 01000 -00=42a n-ii+Z。；=(q% 4)(1 +1=110.用克莱姆法则解F列方程组：X1+x2+ x4=5 X+2%2%3+4%4=-2()2X1_3/_ Xj5%4=23X1+x2+2x3+11x4=0解因为=-142,/1114-1-2123145114-1111-25-2-2OCN=12DD=142,5-2-201111-212

12、-31231&=-426,2=4=5-2-201111CN 3所以须=9=1，*2吟=2,七*=3,%4啥=-15再+6%2=1玉+5+6%3=0(2)x2+5xj+6x4=0.天+5%4+6毛=0x4+5x5=1,00065006506510651005100045110006500651065101 o o o 151000=1507, D、=0006500651065106510011 11一一A00065n o o O 106510651005100000065006511 o 00165100510002200651065106510051000所以r_1507_1145“_703

13、v _-395_2121665，厂665，3-665546654665Axl+x2+x3=01】.问4取何值时，齐次线性方程组%+幺%2+13=0有非零解？%+232+无3=0解系数行列式为D=21112令。=o,得=0或2=1.于是，当/z=0或2=1时该齐次线性方程组有非零解.|（1A）X2+012 .问a取何值时，齐次线性方程组2%+（34）%2+%3=0有非零解?玉+9+（1一丸）%3=0解系数行列式为D=1-A -22 3-/11 1411-A14 -3+221-A10411-2=(1-2)3+(2-3)-4(1-2)-2(1-2)(-3-2)=(l-2)3+2(l-2)2+A-3.

14、令。=0,得&0,2=2或2=3.于是，当A=0, Q2或&3时，该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算13 .已知线性变换:=2y + 2y2 + y33%+必+5%， 3%+2%+3%求从变量X, X2, x3到变量yi, y2,丫3的线性变换.解由已知:X )(2 x2=3-7-4963-7人为）32-4y =-7%一4%2+9& y2=6%1+3x2-7x3.y3=3X+2x2-4x33.已知两个线性变换飞=2乂+%X=_3z1+ Z23Yz八916a2.设A= 1V(IB= -10-2 4 ,求 3A8-2A 及 A%5 Uf-6112-4101=-6Z+z2+3z3所以有%2

15、=12Z-4z2+9z3x=-10z1-z2+16z323、(1解 3AB2A=3 1-1-1-2 4-2 10 50 52 95 V (-2I13 22、6 -2 1-1 = -2-17 20 ,(429ArB= 1 u1 -1 -1-24 = 0559i.计算下列乘积：(2(3)1(-12);1 (-1 2)=f-2 4) = -121-3 6j(3?)Ak =7.设4=021,求a*.、00刈解首先观察(XA2= 0100Y/11 0“。(X-=0I。2/1 1 X- 220启A3=A2A= 010A4=A3-A= 0I。A5=A4A= 0援口犷吠口1023524犬“尤 O4A3尤 o5

16、A425O/无以I丝尤-2、Ak 2人一 0无k光T（00 无）用数学归纳法证明：当k=2时，显然成立.假设k时成立，贝必+1时,无k无TAk+l=Ak-A= 0 尤 0 0史为2、k光T(A01 0)A 10 A)伙+1-2无+1伐+1)无T=0尤+100由数学归纳法原理知:尤k无T埠D尤-2、2Ak=0无k无一00光I)8 .设4,8为阶矩阵，且A为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明因为A-,所以(BTAB)r=Br(BTAy=BrArB=BrAB,从而BtAB是对称矩阵.9 .设48都是阶对称矩阵，证明48是对称矩阵的充分必要条件是48=84证明充分性：Ar=A, Bt=B,且48=84,

17、所以(AB)t=(BA)t=AtBt=AB,即AB是对称矩阵.必要性：因为aLa,bIb, S.(AB)t=AB,所以AB=(AB)t=BtAt=BA.10 .求下列矩阵的逆矩阵：。&解A =故A 存在.因为（cos。-sin。）.（sin。cosg）,解A=（器歌存在因为4*=f Al A2=（ cos。sin。）（A2 A2J （-sin。cos9）5所以 a-La*-（ cos。sin/所以 A 人-1sin。cos。）fi 2-n（3）34-2；15-41 J12-P解 A=34-2.|A|=2*o,故a-存在.因为15-41JA*=Ai AiA 2 A22 A32A23 A33,(一

18、42-13632140)-1(-210、(4)(。图2,%0)0解A=%.,由对角矩阵的性质知(11q J.。A-=%0 J_I aJ11.解F列矩阵方程:僧卜46*丹x”；=(：-39；解 x=Lj i o1V 11)_Xf61213=n0fl4(4)0。foX=1100=1I。fl0 I。0)1 ojfl=2u43、0-1-20,1 OY10001J(-43 Y120-101-20人0I OY1-43Y10020-1001人1-20人012.利用逆矩阵解下列线性方程组:%+212+3%3=1(i)2Xj+2x2+5x3=2；3%+5%2+%3=3方程组可表示为1231123=17!71 o

19、 O z/zmk1 o O=一-王马玉/，A(4-E)=2E=A A(A E)=2A1A-1=g(A E),又由 A2-A-2E=O=(A+2E)A-3(A+2E)=-4E=(A+2E)(A-3E)= E,所以(A+2E)A+2E)(A-3E)=-4(A+2 Ef1,(A+2Ey=(3E-A).14.设A为3阶矩阵,|A|=|,求|(24尸-54*.解因为AT =|(2A)-1-5A*h1a-,-5|A|A-1h|a-1-|a-1 | 十 24Tl=C-2)3|A=-8H=-8x2=-16.23 .设矩阵A可逆，证明其伴随阵4*也可逆，且(4*尸=(4力*.证明 由AT=7A*,得4*=M内工

20、所以当4可逆时，有0*|=囿|4=囿-70, 从而A*也可逆.因为4*=内所以（A*）、.(AT)*=|A|(AT)*,所以（A*）t=|A=h囿（a-i）*=（a-i）*.24 .设”阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:若则依*|=0；证明用反证法证明.假设H*|M,则有4%4*)T=E,由此得 A=A A*(A*)T=H|E(A*)T=0,所以4*=。，这与旦*|M矛盾，故当周=0时，有以*1=0.(2)由于AT=5|A*,则A4*=H|E,取行列式得到|A|A*|=|A|n.若|A|M,则若网=0,由(1)知以*|=0,此时命题也成立.因此 H*I=riT.033、15.设 A=110, A

21、B=A+2B,求8.(-123j解由4B=A+2E 可得(A-2E)8=A,故XMI7 3 0 3O/(233丫703B=(A-2E)-1A=1-1011-121J 2p o n16 .设A=020,且ab+e=a2+b,求&U。iJ解由ab+e=a2+b得(A-E)B=A2-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).001因为|A-E|=010=-1。0,所以(A-E)可逆，从而100(201) B=A+E=030.U 02j17 .设A=diag(l,-2,1),A*8A=284-8E,求R解由A*BA=2BA-8E得(A*-2E)BA=-8E,B=-8(A*-2E)-IA-1=-8A(A

22、*-2E)-1=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|-2A)-1=-8(-2E-2A)-1=4(E+AY=4diag(2,-l,2)-=4diag(1,-1,1)=2diag(l,-2,1).q ooo、18 .已知矩阵A的伴随阵A*=,；,、0-308,a ABA=BA+3E,求 B.解由*|=H=8,得川=2.由 ABA=BA+3E 得AB=B+3A,B=3(A-E)A=3A(E-A)Ta=3(E-1a*)-1=6(2E-A*)-110 0 00 10 0-10 100 3 0 -66000)06006060-(030-1J19.设尸AP=A,其中 P = ( -；解 rh p-AP=A

23、,得所以A20.设 4P=PA,其中 P= 1U10、0 2,J,i 0 0 -2T D4)327312732)-1-683-684J3)f-1A=1,5I求双4)=A8(5E-6A+A2).解o(A)=A8(5E-6A+A2)=diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)=diag(l,l,58)diag(l 2,0,0)=12diag(1,0,0).p(A)=Pw(Mp-i端 P(A)P*fl=-2 1-20Y-20 -30人-1-2 -210 32 -1Ja=41 u则而所以即M eye 4). 44+与10&人04厂10 A/)4

24、用+B23 2-2o2 4fl 2 5 2)0 1 2 -40 0-4 3(0 0 0 -9Jo 1 o o 100010 2 02 10 0 1000 /r 5 2 4 02 10 0 rlo o w=、 / 113 3 3 2 2 0P 4 A4-326.设 A=20，求Ml及 At.022J解令 a=c -314=62|A8H48IIH4IUI-io16.f54 o q )A4,fA40_0540一(。川厂 o 240(02624J27 .设阶矩阵A及s阶矩阵8都可逆，求。E5E。CGGa v-Tn/ 4 o o OD设解Qa A B V 3 1. n c c AB ZJmx - 7 C

25、C4 GGA-。斤- 3 4 2PCc c CI- IK n 纥。ES - GC4GG A ABB /,，- - -1H708A c- n/ O 00 A c k设解TBT A O-7B-(A OYD, D( ADX AD2OBQ DjyCD.+ BD. CD2+ BDj-O eJADM .za AD2=O 由此得cDx + BD.=O cd2+bd4=es所以(A ol_( A-10)C B)_(eC4T B-J-28 .求下列矩阵的逆阵:(5200、2 IX10-1B2J10fl12oY1 o oO BACA】 o1001102211126315182412014 J0、0第三章矩阵的初等

26、变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:f 102-12031；,304-3,，r3+(-3)n.)30(02-A0013(下一步:2汽-1),3*-2).)100-2 oj(02-P001-3（下一步：3-2）1001oj(02-P001一3（下一步:n+3.）1000ri02-1、001一3(下一步:r2+3r3.)1000(02-D0010(下一步：ri+(-2)r2, r,+r3.)1000V7141 o o o o o1 3-13 4 7-2 3 4o oI2)ro20001100073 ofO 2-3 n解03-43(下一步:r2x2+(-3ki, r3+(-2)ri.)1

27、04-7-1J(02-3 P0013（下一步：门+厂2, n+3r2.）100-1-3,（下一步:n+2.）（0105、0013,0000.fl -13-43)3-35-412-23-20(3-34-2-113 10 14 4 2 2_ _ _ _3 5 3 41X解4 0 0 0（下一步:厂2-3厂1,厂3-2口，。4-3门.）（下一步：七一（一4）,门:（-3）,4+（-5）.）113)222)(下一步：r,-3r2, r3-r2, r4-r2.)(113-4001-2001-2.001-2fl -10000、00231-3-711 20-2-4(4)3-2830-、2-3743)(131

28、3711 20-2-4解3-2830(下一步:八一2r2,厂3-3广2,，4-2厂2.)一3743)jz14 2 1-1 112 9 810 8 7T2-8-7glow（下一步：2+2ri,3-帅，心-7人）(01010fl0 0 0-100012 001 011-2 44j(下一步：八6/2,2X(7), r4-r3.)010021000110-2)14oj（下一步：万+小）fl 0 2 0 -2)01-10 30 0 0 141,0 0 0 0 0 )仅2.设1I。fl 4 173、6，求 4.0 1 0、解 10 0是初等矩阵E(l,2),其逆矩阵就是其本身.(0 0 1J1 0 1、0 1 0是初等矩阵E( 1,2(1),其逆矩阵是10 0 Dn o -1、E(l,2(-1) =010loo 1Jfo 1A= 1 0、0 00Y1 2 3Y10 -A1 00 V(4 5 6Y1 0 -i = 1 2 3 0 1 08 9人0 0 1?f4 5 2、 = 12 217 8 2)4.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:(3 2 1)(1) 3 1 5 ；3 2 3o O 1 O 1 O 11 11 1i- 14 2 2To 3 0 0 z i 00 1 o 1 o loo 15 3 2 12 勺3 3(30102 0 3/2-1 010 2-10 -1/211