《系统可靠性分析》PPT课件.ppt

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1、可靠性分析可靠性分析刘志刘志祥祥13207475458可靠性理论可靠性理论课程：课程：32学时学时9-16周周2.0学分学分必修课程必修课程成绩：平时成绩成绩：平时成绩30%：作业和到课：作业和到课 考试成绩考试成绩70%：闭卷闭卷教学计划与管理教学计划与管理第一章第一章 绪论绪论1.1 1.1 可靠性基本概念可靠性基本概念可靠性基本概念可靠性基本概念(1)(1)可靠性定义可靠性定义可靠性定义可靠性定义 系统或设备在规定的条件下，在规定的时间内，系统或设备在规定的条件下，在规定的时间内，系统或设备在规定的条件下，在规定的时间内，系统或设备在规定的条件下，在规定的时间内，完成规定功能的能力。完成

2、规定功能的能力。完成规定功能的能力。完成规定功能的能力。三三三三个个个个规规规规定定定定规定规定规定规定条件条件条件条件是指系统或产品所处的使用环境与维护条是指系统或产品所处的使用环境与维护条是指系统或产品所处的使用环境与维护条是指系统或产品所处的使用环境与维护条件，包括：机械条件、气候条件、生物条件，包括：机械条件、气候条件、生物条件，包括：机械条件、气候条件、生物条件，包括：机械条件、气候条件、生物条件、物理条件和使用维护条件等。件、物理条件和使用维护条件等。件、物理条件和使用维护条件等。件、物理条件和使用维护条件等。规定规定规定规定时间时间时间时间规定规定规定规定功能功能功能功能是指系统

3、或设备是指系统或设备是指系统或设备是指系统或设备(产品产品产品产品)执行任务的时间。执行任务的时间。执行任务的时间。执行任务的时间。一般指由用户提出的指标和要求。一般指由用户提出的指标和要求。一般指由用户提出的指标和要求。一般指由用户提出的指标和要求。1.1 可靠性基本概念可靠性基本概念 可靠性就是系统在时间可靠性就是系统在时间可靠性就是系统在时间可靠性就是系统在时间t t内不失效的概率内不失效的概率内不失效的概率内不失效的概率P(t)P(t)。如如如如果果果果T T为系统从开始工作到首次发生故障的时间，系统为系统从开始工作到首次发生故障的时间，系统为系统从开始工作到首次发生故障的时间，系统为

4、系统从开始工作到首次发生故障的时间，系统无故障工作的概率有下式：无故障工作的概率有下式：无故障工作的概率有下式：无故障工作的概率有下式：P(t)=P(Tt)P(t)=P(Tt)P(t)P(t)具有下面三条性质：具有下面三条性质：具有下面三条性质：具有下面三条性质：(1)P(t)(1)P(t)为时间的递减函数；为时间的递减函数；为时间的递减函数；为时间的递减函数；(2)0(2)0 P(t)P(t)1 1；(3)P(t=0)=1(3)P(t=0)=1；P(t=P(t=)=0)=0 系统或设备的可靠性是一个与时间有密切关系的系统或设备的可靠性是一个与时间有密切关系的系统或设备的可靠性是一个与时间有密

5、切关系的系统或设备的可靠性是一个与时间有密切关系的量，使用时间越长，系统越不可靠。量，使用时间越长，系统越不可靠。量，使用时间越长，系统越不可靠。量，使用时间越长，系统越不可靠。(2)(2)可靠性的定量定义可靠性的定量定义可靠性的定量定义可靠性的定量定义1.2 可靠性研究的意义可靠性研究的意义 (1)(1)提高系统或产品的可靠性，防止故障和事故发生。提高系统或产品的可靠性，防止故障和事故发生。提高系统或产品的可靠性，防止故障和事故发生。提高系统或产品的可靠性，防止故障和事故发生。随着随着随着随着科技进步，系统或产品的规模越来越大，产品的复杂性增加。科技进步，系统或产品的规模越来越大，产品的复杂

6、性增加。科技进步，系统或产品的规模越来越大，产品的复杂性增加。科技进步，系统或产品的规模越来越大，产品的复杂性增加。一台一台一台一台600MW600MW的发电的发电的发电的发电机由于故障停运一天，使机由于故障停运一天，使机由于故障停运一天，使机由于故障停运一天，使电厂的收入减少电厂的收入减少电厂的收入减少电厂的收入减少432432万元；万元；万元；万元；最为惨痛的教训是乌最为惨痛的教训是乌最为惨痛的教训是乌最为惨痛的教训是乌克兰的切尔诺贝利核电站，克兰的切尔诺贝利核电站，克兰的切尔诺贝利核电站，克兰的切尔诺贝利核电站，19861986年年年年4 4号反应堆因核泄号反应堆因核泄号反应堆因核泄号反

7、应堆因核泄漏导致爆炸，直到漏导致爆炸，直到漏导致爆炸，直到漏导致爆炸，直到20002000年年年年1212月完全关闭，月完全关闭，月完全关闭，月完全关闭，1414年里乌年里乌年里乌年里乌克兰共有克兰共有克兰共有克兰共有336336万人遭到核万人遭到核万人遭到核万人遭到核辐射侵害。辐射侵害。辐射侵害。辐射侵害。波音波音波音波音747747喷气客机有喷气客机有喷气客机有喷气客机有4 4百百百百5 5拾万个部拾万个部拾万个部拾万个部件，当单个元件可靠性为件，当单个元件可靠性为件，当单个元件可靠性为件，当单个元件可靠性为99.999%99.999%时，若系统由时，若系统由时，若系统由时，若系统由101

8、0个、个、个、个、100100个、个、个、个、，元件组成串联系统，可靠性为：元件组成串联系统，可靠性为：元件组成串联系统，可靠性为：元件组成串联系统，可靠性为：系统个数系统个数系统个数系统个数(个个个个)产品可靠性产品可靠性产品可靠性产品可靠性 1 99.9991 99.999 10 99.9910 99.99 100 99.90100 99.90 1000 99.011000 99.01 1 1万万万万 90.48%90.48%10 10万万万万 36.79%36.79%100 100万万万万 0.1%t)R(t)=P(Tt)式中：式中：t t为规定时间，为规定时间，T T为产品寿命。为产品

9、寿命。有：有：假如在假如在t=0时有时有N件产品开始工作，而到件产品开始工作，而到t时刻有，时刻有，n(t)个产品失效，仍有个产品失效，仍有N-n(t)个产品个产品继续工作，则可靠度继续工作，则可靠度R(t)的估计值为的估计值为:2、累积失效概率和失效概率密度、累积失效概率和失效概率密度(1)累积失效概率也称为不可靠度，记作累积失效概率也称为不可靠度，记作F(t)。它是产品在规定的条件下和规定的它是产品在规定的条件下和规定的时间内失效的概率，通常表示为：时间内失效的概率，通常表示为：注意：累积失效概率注意：累积失效概率注意：累积失效概率注意：累积失效概率F(t)F(t)与可靠度与可靠度与可靠度

10、与可靠度R(t)R(t)是相反关系：是相反关系：是相反关系：是相反关系：R(t)+F(t)=1R(t)+F(t)=1 或者：或者：F(t)=1-R(t)有：有：(2)失效概率密度失效概率密度是产品在包含是产品在包含t的单的单位时间内发生失效的概率，是累积失效位时间内发生失效的概率，是累积失效概率对时间概率对时间t的导数，记作的导数，记作f(t)。可用下式可用下式表示：表示：假设假设假设假设n(t)n(t)表示表示表示表示t t时刻失效的产品数，时刻失效的产品数，时刻失效的产品数，时刻失效的产品数，n(t)n(t)表示在表示在表示在表示在(t,t+(t,t+t)t)时间内失效的产品数。时间内失效

11、的产品数。时间内失效的产品数。时间内失效的产品数。失效概率密度为失效概率密度为失效概率密度为失效概率密度为:3、失效、失效率率(1)失效率定义失效率定义 失效率失效率失效率失效率(瞬时失效率瞬时失效率瞬时失效率瞬时失效率)是：是：是：是：“工作到工作到工作到工作到t t时刻尚未时刻尚未时刻尚未时刻尚未失效的产品，在该时刻失效的产品，在该时刻失效的产品，在该时刻失效的产品，在该时刻t t后的单位时间内发生失效后的单位时间内发生失效后的单位时间内发生失效后的单位时间内发生失效的概率的概率的概率的概率”，也称为失效率函数，记为，也称为失效率函数，记为，也称为失效率函数，记为，也称为失效率函数，记为(

12、t)(t)。由失效由失效由失效由失效率的定义可知，在率的定义可知，在率的定义可知，在率的定义可知，在t t时刻完好的产品，在时刻完好的产品，在时刻完好的产品，在时刻完好的产品，在(t(t，t+t+t)t)时间内失效的概率为：时间内失效的概率为：时间内失效的概率为：时间内失效的概率为：上式表示上式表示上式表示上式表示B B事件事件事件事件(Tt)(Tt)发生的条件下，发生的条件下，发生的条件下，发生的条件下，A A事件事件事件事件(tT(tt)=P(Tt)累积失效概率累积失效概率累积失效概率累积失效概率(不可靠度不可靠度不可靠度不可靠度)与失效概率密度关系：与失效概率密度关系：与失效概率密度关系

13、：与失效概率密度关系：n n系列关系式：系列关系式：其其其其推推推推导导导导过过过过程程程程 设设设设t=0t=0时有时有时有时有N N个个个个产品正常工作，到产品正常工作，到产品正常工作，到产品正常工作，到t t时刻有时刻有时刻有时刻有N-n(t)N-n(t)个产品正个产品正个产品正个产品正常工作，至常工作，至常工作，至常工作，至t+t+t t时刻，有时刻，有时刻，有时刻，有N-n(t+N-n(t+t)t)个产品正常工作个产品正常工作个产品正常工作个产品正常工作注意：失效率注意：失效率注意：失效率注意：失效率(t)(t)(t)(t)与与与与失效概率密度失效概率密度失效概率密度失效概率密度f(

14、t)f(t)f(t)f(t)的区别的区别的区别的区别(2)失效率的单位失效率的单位 失效率失效率(t)是一个非常重要的特是一个非常重要的特征量，它的单位通常用时间的倒数征量，它的单位通常用时间的倒数表示。但对目前具有高可靠性的产表示。但对目前具有高可靠性的产品来说，就需要采用更小的单位来品来说，就需要采用更小的单位来作为失效率的基本单位，因此失效作为失效率的基本单位，因此失效率的基本单位用菲特率的基本单位用菲特(Fit)来定义，来定义，1菲特菲特=10-9/h=10-6/1000h，它的意它的意义是每义是每1000个产品工作个产品工作106 h，只有只有一个失效一个失效。n n 产品的可靠性取

15、决于产品的可靠性取决于产品的可靠性取决于产品的可靠性取决于产品的失效率，根据长期产品的失效率，根据长期产品的失效率，根据长期产品的失效率，根据长期以来的理论研究和数据统以来的理论研究和数据统以来的理论研究和数据统以来的理论研究和数据统计，发现由许多零件构成计，发现由许多零件构成计，发现由许多零件构成计，发现由许多零件构成的机器或系统，其失效率的机器或系统，其失效率的机器或系统，其失效率的机器或系统，其失效率曲线的典型形态如图曲线的典型形态如图曲线的典型形态如图曲线的典型形态如图2.42.4所所所所示，由于它的形状与浴盆示，由于它的形状与浴盆示，由于它的形状与浴盆示，由于它的形状与浴盆的剖面相似

16、，所以又称为的剖面相似，所以又称为的剖面相似，所以又称为的剖面相似，所以又称为浴盆曲线浴盆曲线浴盆曲线浴盆曲线(Bathtub(Bathtubcurve)curve)，它明显地分为三它明显地分为三它明显地分为三它明显地分为三段，分别对应元件的三个段，分别对应元件的三个段，分别对应元件的三个段，分别对应元件的三个不同阶段或时期不同阶段或时期不同阶段或时期不同阶段或时期。(2)失效率曲线失效率曲线 (浴盆曲线浴盆曲线)n n第一段曲线是元件的早期第一段曲线是元件的早期第一段曲线是元件的早期第一段曲线是元件的早期失效期，表明元件开始使失效期，表明元件开始使失效期，表明元件开始使失效期，表明元件开始使

17、用时，它的失效率高，但用时，它的失效率高，但用时，它的失效率高，但用时，它的失效率高，但迅速降低。迅速降低。迅速降低。迅速降低。n n第二段曲线是元件的偶然第二段曲线是元件的偶然第二段曲线是元件的偶然第二段曲线是元件的偶然失效期，其特点是失效率失效期，其特点是失效率失效期，其特点是失效率失效期，其特点是失效率低且稳定，往往可近似看低且稳定，往往可近似看低且稳定，往往可近似看低且稳定，往往可近似看成是一常数。成是一常数。成是一常数。成是一常数。n n第三段曲线是元件的耗损第三段曲线是元件的耗损第三段曲线是元件的耗损第三段曲线是元件的耗损失效期，失效率随时间延失效期，失效率随时间延失效期，失效率随

18、时间延失效期，失效率随时间延长而急剧增大长而急剧增大长而急剧增大长而急剧增大。重要规律：偶然失效期设重要规律：偶然失效期设重要规律：偶然失效期设重要规律：偶然失效期设(t)=(t)=，系统的可靠度为系统的可靠度为系统的可靠度为系统的可靠度为：曲线段曲线段曲线段曲线段失效时期失效时期失效时期失效时期失效特征失效特征失效特征失效特征失效类型失效类型失效类型失效类型第一段第一段第一段第一段曲线曲线曲线曲线早期失效早期失效早期失效早期失效失效率随失效率随失效率随失效率随时间降低时间降低时间降低时间降低递减型递减型递减型递减型第二段第二段第二段第二段曲线曲线曲线曲线偶然失效偶然失效偶然失效偶然失效失效率

19、低失效率低失效率低失效率低且平稳且平稳且平稳且平稳恒定型恒定型恒定型恒定型第三段第三段第三段第三段曲线曲线曲线曲线耗损失效耗损失效耗损失效耗损失效失效率随失效率随失效率随失效率随时间增大时间增大时间增大时间增大递增型递增型递增型递增型n n不可修产品的平均寿命是指产品失效前的平均不可修产品的平均寿命是指产品失效前的平均工作时间，记工作时间，记为为MTTF(Mean Time To Failure)；n n可修产品的平均寿命是指相邻两次故障间的平可修产品的平均寿命是指相邻两次故障间的平均工作时间，称为平均无故障工作时间或平均均工作时间，称为平均无故障工作时间或平均故障间隔时间，记故障间隔时间，记

20、作作MTBF(Mean Time Between Failures)。4、平均寿命、平均寿命n n 如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，记作记作记作记作。若产品失效密度函数若产品失效密度函数若产品失效密度函数若产品失效密度函数f(t)f(t)已知，由概率已知，由概率已知，由概率已知，由概率论中数学期望的定义，有：论中数学期望的定义

21、，有：论中数学期望的定义，有：论中数学期望的定义，有：平均寿命的平均寿命的平均寿命的平均寿命的意义是可靠意义是可靠意义是可靠意义是可靠度函数度函数度函数度函数R(t)R(t)与与与与t t轴所形成轴所形成轴所形成轴所形成的面积的面积的面积的面积n n不可修产品平均寿命不可修产品平均寿命MTTF估计值为：估计值为：式式式式中：中：中：中：n n为测试产品的总数；为测试产品的总数；为测试产品的总数；为测试产品的总数；t ti i为第为第为第为第i i个产品失效前的工作时间。个产品失效前的工作时间。个产品失效前的工作时间。个产品失效前的工作时间。n n可修产品平均寿命可修产品平均寿命MTBF估计值为

22、：估计值为：式式式式中：中：中：中：N N为测试产品所有的故障数；为测试产品所有的故障数；为测试产品所有的故障数；为测试产品所有的故障数；n ni i为第为第为第为第i i个测试产品的故障数；个测试产品的故障数；个测试产品的故障数；个测试产品的故障数；t tij ij为第为第为第为第i i个产品第个产品第个产品第个产品第j-1j-1次故障到第次故障到第次故障到第次故障到第j j次故障次故障次故障次故障的工作时间，单位为的工作时间，单位为的工作时间，单位为的工作时间，单位为h h。如果仅考虑首次失效如果仅考虑首次失效如果仅考虑首次失效如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，前的一段工作时间，前的一段

23、工作时间，前的一段工作时间，两者平均寿命两者平均寿命两者平均寿命两者平均寿命 估估估估计值为：计值为：计值为：计值为：n n 平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产品寿命的离散程度。产品寿命方差的定义为品寿命的离散程度。产品寿命方差的定义为品寿命的离散程度。产品寿命方差的定义为品寿命的离散程度。产品寿命方差的定义为：5、寿命方差与标准差、寿

24、命方差与标准差如果如果如果如果n n个个个个产品抽样测试的寿命分别为产品抽样测试的寿命分别为产品抽样测试的寿命分别为产品抽样测试的寿命分别为t t1 1，t t2 2，t tn n，产品寿命平均值与方差分别为：产品寿命平均值与方差分别为：产品寿命平均值与方差分别为：产品寿命平均值与方差分别为：寿命的标准差为寿寿命的标准差为寿寿命的标准差为寿寿命的标准差为寿命方差的平方，即：命方差的平方，即：命方差的平方，即：命方差的平方，即：5、可靠寿命、中位寿命和特征寿命、可靠寿命、中位寿命和特征寿命可靠寿命是指可靠度等于给定值可靠寿命是指可靠度等于给定值r时产时产品的寿命，表达式为：品的寿命，表达式为：式

25、式式式中：中：中：中：R R-1-1(r)(r)是是是是R(t)R(t)的的的的反函数反函数反函数反函数当当R=0.5时产品的寿命为中位寿命，表达式为：时产品的寿命为中位寿命，表达式为：当当R=e-1=0.368时产品的寿命为特征寿命，即：时产品的寿命为特征寿命，即：可靠性特征的数学表达式及其关系可靠性特征的数学表达式及其关系可靠性特征的数学表达式及其关系可靠性特征的数学表达式及其关系习题习题1：一组元件的故障密度函数为：一组元件的故障密度函数为：式式中：中：t为年。为年。求：累积失效概率求：累积失效概率F(t)，可靠度函数可靠度函数R(t)，失效率失效率(t)，平均寿命平均寿命MTTF，中位

26、寿命中位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。习题习题2：已知某产品的失效率为常数，已知某产品的失效率为常数，(t)=(t)=0.2510=0.2510-4-4/h/h。求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均的可靠寿命，平均寿命寿命MTTF，中位寿命中位寿命T(0.5)和特征寿和特征寿命命T(e-1)。习题习题3：50个在恒定载荷运行的零件，个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：运行记录如下表：求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和400h的的累积失效概率；累积失效概率；(3)求求10h和和25h时的时的失失效概率密度；效概率

27、密度；(4)求求t=25h和和t=100h的的失效率。失效率。时间时间h1025501001502504003000失效数失效数n(t)42375343累积失效数累积失效数n(t)4691621242831仍旧工作数仍旧工作数N-n(t)4644413429262219习题习题1 1：一组元件的故障密度函数为：一组元件的故障密度函数为：式式中：中：t为年。求：累积失效概率为年。求：累积失效概率F(t)，可靠度函数可靠度函数R(t)，失效率失效率(t)，平均寿命平均寿命，中位寿命中位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。答案解：解：上式中不知道上式中不知道是多少，但有是多少，但有R(

28、)=0R()=0，即：即：解得解得t t1 1=t=t2 2=8=8年，表明年，表明8 8年后元件将全年后元件将全部失效部失效解得解得r r1 1=2.243=2.243年年(r(r2 2=13.66=13.66年年88年舍去年舍去)。解得解得r r1 1=3.147=3.147年年(r(r2 2=12.85=12.85年年88舍去舍去)。习题习题2 2：已知某产品的失效率为常数，已知某产品的失效率为常数，(t)=0.2510(t)=0.2510-4-4/h/h。求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均寿命的可靠寿命，平均寿命，中中位寿命位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)

29、。解：解：习题习题3 3：5050个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和400h的的累积失效概率；累积失效概率；(3)求求10h和和25h时的时的失效概率密度；失效概率密度；(4)求求t=25h和和t=100h的的失效率。失效率。时间h1025501001502504003000失效数n(t)42375343累积失效数n(t)4691621242831仍旧工作数N-n(t)4644413429262219解：解：要点：要点：f(t)f(t)、(t)(t)是是研究研究t

30、t时间后单位时间的失效产品数，时间后单位时间的失效产品数，f(t)f(t)是除是除以以试验产品总数，试验产品总数，(t)(t)是除以是除以t t时仍正常工作的产品数。注意单位。时仍正常工作的产品数。注意单位。2.2 维修性特征量维修性特征量维修性定义：维修性定义：维修性是指在规定的条件下使用的维修性是指在规定的条件下使用的可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能的能力。的能力。-对应产品应可靠性对应产品应可靠性维修性特征量有三个：维修性特征量有三个：维修度维修度M(t

31、)M(t)；修复率修复率(t)(t)；平均修复时间平均修复时间MTTRMTTR。把产品维修时间把产品维修时间Y Y所服从的分布称为维修分布，所服从的分布称为维修分布，记为记为G(t)G(t)。维修度是指在规定的条件下使用的产品维修度是指在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的时间发生故障后，在规定的时间(0(0，t)t)内完成修复的概内完成修复的概率，记为率，记为M(t)M(t)。2.2.1 维修度维修度维修度维修度(Maintainability)(Maintainability)定义定义 维修度是时间维修度是时间(维修时间维修时间t)的函数，故又称为维修度函数的函数，故又称为维修度函数

32、M(t)，它表示当它表示当t=0时，处于失效或完全故障状态的全部产品时，处于失效或完全故障状态的全部产品在在t时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率。时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率。所以维修度所以维修度M(t)对应产品的累积失效概率对应产品的累积失效概率F(t)修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，可表示为可表示为(t)(t)。-对应于产品的失效率对应于产品的失效率(t)(t)。2.2.2 修复率修复率修复率定义修复率定义 维修度维修

33、度M(t)对应产品的累积失效概率对应产品的累积失效概率F(t)，m(t)为维修时为维修时间的概率密度函数。间的概率密度函数。-对应于产品的失效概率密度对应于产品的失效概率密度f(t)。平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计值为修复时间总和与修复次数之比，记作值为修复时间总和与修复次数之比，记作MTTR(Mean Time To MTTR(Mean Time To Repair)Repair)。-对应于可修产品的平均工作时间对应于可修产品的平均工作时间(平均寿命平均寿命)MTBF)MTBF。2.2.3 平均修复时间平均修复时间平均修复

34、时间平均修复时间(MTTR)定义定义两个两个重要规律重要规律项目项目可靠度可靠度维修度维修度累积分布函数累积分布函数可靠度函数可靠度函数R(t)1-M()不可靠度函数：不可靠度函数：F(t)维修度函数：维修度函数：M()密度函数密度函数失效密度失效密度f(t)=dF(t)/R(t)维修概率密度维修概率密度m()=dM()/d(单位时间单位时间)率率失效率失效率(t)=f(t)/R(t)修复率修复率()=m()/1-M()可靠度与维修度之间的关系可靠度与维修度之间的关系可靠度或不可靠度可靠度或不可靠度维修度维修度平均修平均修复时间复时间例题：2.3 有效性特征量有效性特征量有效性定义：有效性定义

35、：有效性也称可用性，表示可维修产品在规有效性也称可用性，表示可维修产品在规定的条件下使用时具有维持规定功能的能力。规定条件包定的条件下使用时具有维持规定功能的能力。规定条件包括产品的工作条件和维修条件。有效性是一个反映可维修括产品的工作条件和维修条件。有效性是一个反映可维修产品使用效率的广义可靠性尺度。产品使用效率的广义可靠性尺度。2.2.3 有效度和可用度有效度和可用度 有效度定义：有效度定义：有效度有效度(也叫可用度也叫可用度)是指可维修的产品在是指可维修的产品在规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率。规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率。对于不可维修的产品，有效

36、度等于可靠度。对于不可维修的产品，有效度等于可靠度。有效度是时间的函数，故又可称为有效度函数，记为有效度是时间的函数，故又可称为有效度函数，记为A(t)。它又分为瞬时有效度、平均有效度、稳态有效度和它又分为瞬时有效度、平均有效度、稳态有效度和固有有效度四形式。固有有效度四形式。1、瞬态有效度、瞬态有效度 瞬态有效度定义：瞬态有效度定义：瞬态有效度指在某一特定瞬时，可维瞬态有效度指在某一特定瞬时，可维修的产品保持正常工作的概率，又称瞬时利用率，记为修的产品保持正常工作的概率，又称瞬时利用率，记为A(t)。瞬时有效度常用于理论分析，而不便用于实践。瞬时有效度常用于理论分析，而不便用于实践。平均有效

37、度定义：平均有效度定义：平均有效度是指可维修产品在一时间平均有效度是指可维修产品在一时间区间的平均值区间的平均值。又称又称任务有效度任务有效度。2、平均有效度、平均有效度3、稳态有效度、稳态有效度 稳态有效度定义：稳态有效度定义：稳态有效度是时间稳态有效度是时间t趋近于趋近于的瞬时有的瞬时有效度。记为效度。记为A()或或A，又称为时间有效度或可工作时间比。又称为时间有效度或可工作时间比。U可维修产品平均能正常工作的时间，单位为可维修产品平均能正常工作的时间，单位为h；D产品平均不能工作的产品平均不能工作的时间，时间，h；MTBF可修产品平均无故障工作时间；可修产品平均无故障工作时间；MTTR可

38、修产品的平均可修产品的平均修理时间，即平均修复时间。修理时间，即平均修复时间。4、固有有效度、固有有效度 固有有效度是事后维修，它分析的是实际不能工作的固有有效度是事后维修，它分析的是实际不能工作的时间。时间。MADT(mean active down time)平均实际不能工作的时间。平均实际不能工作的时间。其与稳态有效度的区别：其与稳态有效度的区别：稳态有效度是时间稳态有效度是时间t趋近于趋近于的的瞬时有效度。瞬时有效度。瞬时有效度、平均有效度瞬时有效度、平均有效度(即任务有即任务有效度效度)和稳态有效度之间的关系。和稳态有效度之间的关系。习题习题4：一设备从以往的经验知道，平均无故障时一

39、设备从以往的经验知道，平均无故障时间为间为20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修复，假定该天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。求：求：(1)该设备该设备5天和天和15天的可靠度各为多少天的可靠度各为多少?；(2)该设备的稳态有效度为多少该设备的稳态有效度为多少?提示：提示：习题习题4答案：答案：一设备从以往的经验知道，平均无故障时间一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为为20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修复，假定该设备发生天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。故障时间及修复时间服从指

40、数分布。求：求：(1)该设备该设备5天和天和15天的可靠度各为多少天的可靠度各为多少?；(2)该设该设备的稳态有效度为多少备的稳态有效度为多少?解：解：(1)该设备平均无故障时间时间为该设备平均无故障时间时间为20天，即天，即MTBF=20因因MTBF=1/，=1/20；同理平均修复时间为同理平均修复时间为2天，天，MTTR=1/，=1/2R(5)=exp(-t)=exp(-5/20)=0.779R(15)=exp(-t)=exp(-15/20)=0.472(2)A=/(+)=0.909或或A=MTBF/(MTBF+MTTR)=20/22=0.909 稳态有效度定义稳态有效度定义2.4 概率的

41、基本运算概率的基本运算2.4.1 随机事件随机事件 随机事件的定义：随机事件的定义：凡是事先不能确定结果的现象称凡是事先不能确定结果的现象称随机现象，我们将一定条件下可能发生也有可能不发生随机现象，我们将一定条件下可能发生也有可能不发生的事件称为随机事件。随机事件的一个基本结果称为基的事件称为随机事件。随机事件的一个基本结果称为基本事件，随机事件的若干个结果也可组成一个事件，这本事件，随机事件的若干个结果也可组成一个事件，这种事件称为复合事件种事件称为复合事件(如从扑克牌中抽一张，抽出如从扑克牌中抽一张，抽出1、2、.、或、或13等都是基本事件，抽出偶数牌是复合事件等都是基本事件，抽出偶数牌是

42、复合事件)。在一定的条件下，必然会发生的事件是必然事件，在一定的条件下，必然会发生的事件是必然事件，记为记为；一定不可能发生的事件为不可能事件，记为一定不可能发生的事件为不可能事件，记为 。2.4.2 随机事件的概率随机事件的概率 概率的统计定义：概率的统计定义：假定在相同条件下进行假定在相同条件下进行n次重复试验，次重复试验，事件事件A发生了发生了k次，当试验次数次，当试验次数n趋向无穷时，发生频率的极趋向无穷时，发生频率的极限定义为事件限定义为事件A发生的概率，记为发生的概率，记为P(A)。随机事件就其单独一次试验的结果是无法确定的，但只随机事件就其单独一次试验的结果是无法确定的，但只要同

43、样的试验在同一条件下重复多次，各种结果出现的次数要同样的试验在同一条件下重复多次，各种结果出现的次数占总次数的比例将会趋近于一个稳定的数值，占总次数的比例将会趋近于一个稳定的数值，这是平稳随机这是平稳随机过程及随机现象的一个重要特征。过程及随机现象的一个重要特征。2.4.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 1、事件间的关系、事件间的关系 如果事件如果事件A包含事件包含事件B，且事件且事件B包含事件包含事件A，则称事件则称事件A与与B相等。记为相等。记为A=B。(1)包含与相等关系：如果事件包含与相等关系：如果事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生，发生，则称事件则称事件B包含事件包

44、含事件A，即：即：(2)事件的和：事件的和：“n个事件个事件A1，A2，An中中至少有一个发生至少有一个发生”这一事件，称为这一事件，称为Al，A2，An的和事件。记为：的和事件。记为：(3)事件的积：事件的积：“n个事件个事件A1，A2，An同时发生同时发生”，称为，称为Al，A2，An的的积事件。记为：积事件。记为：(4)事件的差：事件的差：“事件事件A发生，但事发生，但事件件B不发生不发生”，称为事件，称为事件A与与B的差。的差。记为：记为：A-B(5)对立事件或逆事件对立事件或逆事件：“事件事件A不不发生发生”，称为事件，称为事件A的对立事件或逆的对立事件或逆事件。记为：事件。记为：(

45、6)互斥事件或互不相容事件互斥事件或互不相容事件：“如果事件如果事件A和事件和事件B不能同时发生不能同时发生”，称事件，称事件A与与B是互不相容事件是互不相容事件(互斥事件互斥事件)，有，有AB=。事件间的运算规律事件间的运算规律2.4.4 概率运算的基本公式概率运算的基本公式 1、概率的加法公式、概率的加法公式设设A与与B是任意两个事件，则是任意两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地：特别地：(2)当当A与与B为互不相容事件：为互不相容事件：P(AB)=P()=0，P(A+B)=P(A)+P(B)推广到推广到n维，若维，若A1、A2、A3、An为互不相容事件，有：为互

46、不相容事件，有：例题：例题：2、条件概率公式、条件概率公式设设A与与B是任意两个事件，如果是任意两个事件，如果P(B)0，P(A|B)(在事件在事件B发生的条件下，发生的条件下，A事件发生的概率事件发生的概率)为为特别地：特别地：3、概率的乘法公式、概率的乘法公式设设A与与B是任意两个事件，如果是任意两个事件，如果P(B)0，由条件概率公由条件概率公式：式：P(A|B)=P(AB)/P(B)，对于对于A，B，C三个事件：三个事件：特别地：特别地：(1)如果如果A与与B相互独立相互独立(事件事件A的发生不受事件的发生不受事件B的影响，的影响，事件事件B的发生也不受事件的发生也不受事件A的影响的影

47、响)，(2)当事件当事件A1,A2,An相互独立，概率的乘法公式可相互独立，概率的乘法公式可推广到推广到n维维概率概率乘法乘法公式公式例题：例题：4、全概率公式、全概率公式如果事件如果事件A1,A2,An满足：满足：(1)A1,A2,An两两互不相容，且两两互不相容，且P(Ai)0(i=1,2,n)(2)A1+A2+An=即即A的全事件的全事件对于任一事件对于任一事件B都都有：有：全概率公式的常用形式：全概率公式的常用形式：重要重要公式公式 在实际应用中，如果能分析一个事件的发生是由几种原因引起的，或在实际应用中，如果能分析一个事件的发生是由几种原因引起的，或者说该事件的发生受到几种因素的影响

48、，并且这几种原因或因素构成了一者说该事件的发生受到几种因素的影响，并且这几种原因或因素构成了一个完备事件组，那么可考虑使用全概率公式。只要知道了各种原因个完备事件组，那么可考虑使用全概率公式。只要知道了各种原因Ai发生发生条件下事件条件下事件B发生的概率，该事件发生的概率，该事件B的概率就可通过全概率公式求得。的概率就可通过全概率公式求得。5、贝叶斯公式、贝叶斯公式(逆概率公式逆概率公式)设事件设事件 A1,A2,An为一完备事件，为一完备事件，B为任一事件，且为任一事件，且P(B)0，则：则：证明：证明：贝叶斯公式所解决的技术问题贝叶斯公式所解决的技术问题 贝叶斯公式解决：贝叶斯公式解决：如

49、果已知各种原因的概率如果已知各种原因的概率(A Aj j)，设在设在随机试验中该事件随机试验中该事件B B已发生，问在这个条件下，各种原因已发生，问在这个条件下，各种原因A Aj j发发生的概率是多少生的概率是多少?如在可靠性工程中，已知某产品有如在可靠性工程中，已知某产品有n n种故障模式种故障模式A1A1，A2A2，AnAn，知道各故障模式发生的概率知道各故障模式发生的概率P(AP(Aj j)，现在该产现在该产品发生了故障品发生了故障(事件事件B)B)，那么是故障模式那么是故障模式A Ai i引起的概率是多引起的概率是多少少?在这在这n n种故障模式中，最大可能的是哪种故障模式引起种故障模

50、式中，最大可能的是哪种故障模式引起的的?例题：贝叶斯公式贝叶斯公式概率运算公式汇总表概率运算公式汇总表2.5 随机变量的概率分布及其数字特征随机变量的概率分布及其数字特征2.5.1 随机变量的概念随机变量的概念 在实际问题中，常用的随机变量有在实际问题中，常用的随机变量有离散型随机变量离散型随机变量和和连连续型随机变量续型随机变量两种类型：两种类型：(1)如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的取值是有限个或无限个但可列出来，则称的取值是有限个或无限个但可列出来，则称X为离散型随机为离散型随机变量。如掷骰子，出现的点数变量。如掷骰子，出现的点数