《微商的应用》PPT课件.ppt

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1、第第3 3章章 微商的应用微商的应用重点：求极值重点：求极值难点：证明等式或不等式难点：证明等式或不等式 微商的应用微商的应用3.1 微分中值定理微分中值定理 3.1.1 函数的极值与费马函数的极值与费马(Fermat)引理引理 函数极值的直函数极值的直观描述如图观描述如图.费马费马(Fermat)引理引理 f(x)f(x0).费马引理的几何意义费马引理的几何意义 若曲线若曲线 y=f(x)在极值点处在极值点处可微可微,则此曲线在该极值点处必则此曲线在该极值点处必有一条水平切线有一条水平切线.对可微函数而言对可微函数而言,极值点一定是驻点极值点一定是驻点,但反过但反过来来,函数的驻点却不一定是

2、极值点函数的驻点却不一定是极值点.综上所述综上所述,函数的极值点是它的驻点或微商函数的极值点是它的驻点或微商不存在的点不存在的点.3.1.2 微分中值定理微分中值定理 罗尔定理的几何意义是罗尔定理的几何意义是,在所给的条件下在所给的条件下,曲曲线线 y=f(x)至少有一条水平切线至少有一条水平切线.注意注意：罗尔定理的三个条件是结论成立的充：罗尔定理的三个条件是结论成立的充分条件分条件.三个条件缺任意一个条件三个条件缺任意一个条件,定理的结论定理的结论可能不成立可能不成立.确定方程根所在的区间确定方程根所在的区间 函数构造方法函数构造方法 练习练习 试证试证4ax3+3bx2+2cx=a+b+

3、c在在(0,1)内至少有一个根内至少有一个根.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 拉格朗日中值定理的几何意义是拉格朗日中值定理的几何意义是,在所给的在所给的条件下条件下,曲线曲线 y=f(x)至少有一条切线平行于联至少有一条切线平行于联结曲线端点的弦结曲线端点的弦.双未知数不等式双未知数不等式 拉格朗日中值定理主要用来证明拉格朗日中值定理主要用来证明双未知数不双未知数不等式等式.此时此时,结论中应含有如下形式结论中应含有如下形式,或者变形后或者变形后含有如下形式含有如下形式 有些单未知数不等式虽然也可用拉格朗日中有些单未知数不等式虽然也可用拉格朗日中值定理来证明，但变形技巧难

4、于掌握值定理来证明，但变形技巧难于掌握,更好的方更好的方法我们在下一节里介绍法我们在下一节里介绍.练习练习有限增量公式有限增量公式 从而从而这就是这就是有限增量公式有限增量公式.证明恒等式证明恒等式 由拉格朗日中值定理可得由拉格朗日中值定理可得3.1.3 微分中值定理的证明微分中值定理的证明 罗尔定理的证明罗尔定理的证明 在闭区间在闭区间 a,b 上连续的函数一定存在最大上连续的函数一定存在最大值值和最小值和最小值.下面分两种情况加以证明下面分两种情况加以证明.最大值与最小值相等最大值与最小值相等.函数函数 f(x)在在a,b上恒为上恒为常数，常数的微商等于零常数，常数的微商等于零,则罗尔定理

5、的则罗尔定理的结论成立结论成立.拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理的证明 3.2 用微商研究函数用微商研究函数 3.2.1 函数单调性的判别法函数单调性的判别法 练习练习 求下列各函数的单调区间求下列各函数的单调区间.驻点或微商不存在的点驻点或微商不存在的点,都可用来划分函数的都可用来划分函数的单调区间单调区间.单调性证明不等式单调性证明不等式 从而从而单调性证明不等式单调性证明不等式 证证 将原不等式变形为将原不等式变形为3.2.2 函数极值的检验法函数极值的检验法 取得极值的充分条件取得极值的充分条件证明证明(P126)(P126)取得极值的充分条件取得极值的充分条件证明证明(P128

6、)(P128)3.2.3 曲线的凸性与拐点曲线的凸性与拐点 拐点拐点(c,f(c)拐点的必要条件拐点的必要条件 由题设知由题设知a+b=2,6a+2b=0,解之得解之得a=1,b=3.拐点的充分条件拐点的充分条件 注意注意：二阶微商不存在的点，其曲线上对应：二阶微商不存在的点，其曲线上对应的点有可能是拐点的点有可能是拐点,如如(0,0)是曲线是曲线 y=x1/3的拐点的拐点.练习练习 求曲线求曲线 y=3x5 5x4+4的拐点的拐点.3.2.4 函数作图函数作图 例例 作函数作函数 y=xe x 的图形的图形.解解 函数的函数的定义域定义域是是(,).,).求求y,y,并列表并列表 y=xe

7、x (,),)渐近线渐近线函数作图函数作图 渐近线渐近线 y=0 作图作图关键点关键点 y(0)=03.3 最优化问题最优化问题 3.3.1 最大值、最小值最大值、最小值 假设函数假设函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,且且 f(x)至多有至多有有限个驻点和微商不存在的点有限个驻点和微商不存在的点.注意注意：对于实际：对于实际应应用用问题而言问题而言,若求得唯一驻若求得唯一驻点点,该驻点就是最值点该驻点就是最值点.3.3.2 最优化问题最优化问题 最优化问题最优化问题,就是建立一个目标函数就是建立一个目标函数,再利用再利用微商来求其最大值或最小值微商来求其最大值或最小值.解解 设

8、每亩多种设每亩多种 x 株株,则总产量为则总产量为 f(x)=(50+x)(75 x),0 x20.问题归结为求目标函数问题归结为求目标函数 f(x)在在0,20上的最大上的最大值值.根据实际问题根据实际问题,x应取整数应取整数.f(12)=3906f(13)=3906每亩种每亩种62株葡萄藤时株葡萄藤时,产量达到最高产量达到最高3906kg.3.4 相对变化率与相关变化率相对变化率与相关变化率 3.4.1 边际与边际分析边际与边际分析(P143-146)(P143-146)了解经济学中的边际概念：了解经济学中的边际概念：3.4.2 弹性与弹性分析弹性与弹性分析 设需求函数设需求函数 D(x)

9、是价格是价格 x的可微函数的可微函数,则称非则称非负实数负实数为需求函数为需求函数D(x)的弹性的弹性,即即需求弹性需求弹性.需求弹性分析需求弹性分析 例例 设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为Q(p)=75 p2,p为为价格价格.求求 p=4时的边际需求与需求弹性时的边际需求与需求弹性,并说明并说明其经济意义其经济意义.其经济意义是其经济意义是,当价格从当价格从 p=4上涨到上涨到 p=5时时,需求量会减少需求量会减少8个单位个单位.其经济意义：需求变动的幅度小于价格变动其经济意义：需求变动的幅度小于价格变动的幅度的幅度.收益弹性分析收益弹性分析 例例 设某产品的需求函数为设某产品的需求

10、函数为Q(p)=75 p2,p为为价格价格.当当 p=4,6时时,若价格若价格 p 上涨上涨1%,总收益将变总收益将变化百分之几？化百分之几？p为多少时为多少时,总收益最大？总收益最大？因此因此,当当p=4时时,价格价格p上涨上涨1%,总收益将增加总收益将增加0.46%；当；当p=6时时,总收益将减少总收益将减少0.85%.因此因此,当当 p=5时时,总收益最大总收益最大.3.4.3 相关变化率相关变化率 如果变量如果变量 y 与变量与变量 x 之间的关系由方程之间的关系由方程 f(x,y)=0所确定所确定,则将变量则将变量 x,y 都当作变量都当作变量 t 的函数的函数,方方程程 f(x,y

11、)=0两边对变量两边对变量 t 求微商求微商.练习练习 (P150(P150例例6)6)3.5 洛必达洛必达(LHospital)法则法则 3.5.1 洛必达法则洛必达法则洛必达法则应用举例洛必达法则应用举例 运用洛必达法则比第运用洛必达法则比第1章的方法简单章的方法简单.对对的结果要有一个印象的结果要有一个印象,即即x sinx,tanx x,x arctanx都与都与x3是是x0时的同阶无时的同阶无穷小穷小.说明说明x时指数函数远远快于幂时指数函数远远快于幂函数函数,幂函数远远快于对数函数幂函数远远快于对数函数.洛必达法则注意事项洛必达法则注意事项 在应用洛必达法则前在应用洛必达法则前,首

12、先要检验条件是首先要检验条件是否满足否满足.洛必达法则可以连续使用洛必达法则可以连续使用.洛必达法则完全失效的例子洛必达法则完全失效的例子.3.5.2 洛必达法则的证明洛必达法则的证明 柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理 若函数若函数 f(x),g(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，在开区间在开区间(a,b)内可微，内可微，则在则在(a,b)内至少有一点内至少有一点 ,使得使得注意注意：当当 g(x)=x时时,即得拉格朗日中值定理；即得拉格朗日中值定理；结论可写成结论可写成洛必达法则的证明洛必达法则的证明(P158)(P158)3.5.3 其他类型不定式的极限其他类型不定式的极限

13、 练习练习 求下列极限求下列极限.结合等价无穷小与初等变形求极限结合等价无穷小与初等变形求极限 例例 求极限求极限 cot2x .limx01x2解解 原原式式=limx0tan2x x2x2tan2xlimx0tanx xx3=x2tan2xtanx+xxlimx0tanx xx3=2limx0sec2x 13x2=2limx02sec2x tanx6x=223=例例 求极限求极限解解 原原式式=1 1型的初等变换型的初等变换例例 求极限求极限 limx0sinxx1x2解解 因为因为limx0 x sinxx3limt01 cosx3x2=limt0sinx6x=16=所以所以 原原式式=

14、1+limx0sinx xxsinx xx3xsinx x=1+limx0sinx xxxsinx xlimx0sinx xx3=e 1/6涉及幂指函数的微商涉及幂指函数的微商 例例 求极限求极限 limx0(1+x)ex1xln f(x)=ln(1+x)x因此因此,原原式式=elimx0 x (1+x)ln(1+x)x2=elimx0 ln(1+x)2x=e2结合变量替换求极限结合变量替换求极限 为了利用为了利用 x0 时的等价无穷小时的等价无穷小,当所求极限当所求极限是是 x a 时可作变换时可作变换 u=x a,把问题变成把问题变成 u 0的形式的形式.当当 x 时可用变换时可用变换 u

15、=1/x.另外根据具体的问题另外根据具体的问题,也可作其它一些变换也可作其它一些变换.例例 求极限求极限limx0sinx sin(sinx)sinxx4解解 原原式式=limx0sinx sin(sinx)sin3xsin4xx4limt0t sintt3=limt01 cost3t2=limt0sint6t=16=第第3章章 重要概念与公式重要概念与公式微分中值定理：微分中值定理：罗尔定理罗尔定理 拉格朗日定理拉格朗日定理 柯西定理柯西定理最值点：最值点：实际应用问题中的实际应用问题中的唯一驻点唯一驻点即是最值点即是最值点.相对变化率相对变化率相关变化率相关变化率曲线的交点个数曲线的交点个数把常量当作变量证明不等式把常量当作变量证明不等式 最大长度最大长度解解 如图所示如图所示,设设