高等数学课件D12_3_1幂级数.ppt

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1、第三节一、收敛半径与收敛区间一、收敛半径与收敛区间 二、幂级数的运算及求和二、幂级数的运算及求和 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 12/27/2022高等数学课件一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性 形如的函数项级数称为幂级数幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数系数.即是此种情形.的情形,即称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件发 散发 散收 敛收敛 发散定理定理 1.(Abel定理定理)若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切 x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证证:设收

2、敛,则必有于是存在常数 M 0,使阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的 x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件幂级数在(,+)收敛;由Abel 定理可以看出,中心的区间.用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛;R=时,幂级数在(R,R)收敛

3、;(R,R)加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径，在R,R 可能收敛也可能发散.外发散;在(R,R)称为收敛区间收敛区间.发 散发 散收 敛收敛 发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件定理定理2.若的系数满足证证:1)若 0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,即时,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,对任意 x 原级数因此因此 的收敛半径也表示为说明说明:

4、据此定理和根值法因此级数的收敛半径机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件对端点 x=1,的收敛半径及收敛域.解解:对端点 x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例例1 1.求幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件例例2.求下列幂级数的收敛域:解解:所以收敛域为(2)所以级数仅在 x=0 处收敛.规定:0!=1机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)12/27/2022高等数学课件例例3.的收敛半径.解解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 故直接由机动 目

5、录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件例例4.的收敛域.解解:令 级数变为当 t=2 时,级数为此级数发散;当 t=2 时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件二、幂级数的运算二、幂级数的运算定理定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件*幂级数的除法幂级数的除法设幂级数及则此两幂级数相除定义其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 即由此式可以定出为如12/27/2022高等数学课

6、件说明说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设 它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件结论结论.若幂级数的收敛半径 R 0,则此级 数在(R,R)内任一闭区间 a,b 上一致收敛.证证:则对 a,b 上的一切 x,都有 由阿贝尔定理(第三节定理1)级数 绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.说明说明:若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛 区间可包含此端点.证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件定理定理4.若幂级数的收敛半径则其和函在收敛

7、域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即注注:关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯 特拉斯判别法的推论及定理 1,2 立即可得.下面证明逐项可导的结论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件证证:则由比值审敛法知级数 故故存在 M 0,使得 由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件上一致收敛,故原级数内任一闭区间上满足定理3条件,从而可逐项求导,即知 再证级数 的收敛半径 由前面的证明可知 若将幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件级数的收敛半径

8、不会缩小,因逐项积分所得 幂级数 (R,R)内有任意阶导数,且有 其收敛半径都为 R.推论推论.的和函数 S(x)在收敛区间 证毕第七节 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件解解:由例2可知级数的收敛半径 R+.例例5.则故有故得的和函数.因此得设机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件例例6.的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件例例7.求级数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,及收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/202

9、2高等数学课件因此由和函数的连续性得:而及机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件例例8.解解:设则机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件而故机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件内容小结内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课

10、件2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习思考与练习 1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答答:根据Abel 定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件2.在幂级数中,n 为奇数n 为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答答:不能.因为当时级数收敛,时级数发散,说明说明:可以证明比值判别法成立根值判别法成立机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件补充题补充题 求极限其中解解:令作幂级数设其和为易知其收敛半径为 1,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/27/2022高等数学课件