第八章散射.ppt

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1、 第八章第八章 散射散射8.1 散射现象的一般描述散射现象的一般描述8.2 分波法分波法8.3 玻恩近似玻恩近似 原子核物理以及粒子物理的建立和发展都离不开散原子核物理以及粒子物理的建立和发展都离不开散射实验及其理论分析。射实验及其理论分析。在量子学中，将碰撞现象称为在量子学中，将碰撞现象称为散射散射现象现象。8.1 散射现象的一般描述散射现象的一般描述微观粒子的散射也可分为微观粒子的散射也可分为弹性散射和非弹性散射弹性散射和非弹性散射两种：两种：弹性散射弹性散射：碰撞前后粒子的性质和内部能级都不变，仅仅发：碰撞前后粒子的性质和内部能级都不变，仅仅发生整体的生整体的动量和能量交换动量和能量交换

2、。非弹性散射非弹性散射：碰撞前后粒子的性质没变，但内部能级发生了：碰撞前后粒子的性质没变，但内部能级发生了跃迁。跃迁。而当粒子被力场散射时，粒子的能量而当粒子被力场散射时，粒子的能量组成连续谱。组成连续谱。AdSdS在质心坐标系中，弹性散射过程相当于质量为在质心坐标系中，弹性散射过程相当于质量为m 的的粒子从远方入射，受势场粒子从远方入射，受势场V(r)的作用而改变其的作用而改变其运动运动方向方向。考虑一束粒子流沿着考虑一束粒子流沿着z轴方向向粒子轴方向向粒子A射来，射来，A为为散射散射中心中心。MA远远大于入射粒子的质量，碰撞后粒子远远大于入射粒子的质量，碰撞后粒子A的的运动可忽略。运动可忽

3、略。散射角散射角：入射粒子受入射粒子受A的散射作用而偏离原来的运的散射作用而偏离原来的运动方向与入射方向成夹角动方向与入射方向成夹角。AdSdS单位时间单位时间内散射到面积元内散射到面积元dS上的粒子数上的粒子数dn应与应与dS成正比，与成正比，与dS到到A点的点的距离的平方成反比距离的平方成反比。dn还应与入射粒子流还应与入射粒子流强度强度N成正比。成正比。粒子流强度应为垂直于入射粒子流前进的方向取一粒子流强度应为垂直于入射粒子流前进的方向取一单位单位面积面积S0，单位时间单位时间内穿过内穿过S0的的粒子数粒子数就是就是入射入射粒子流强度粒子流强度N比例比例系数系数与观察的与观察的，有关，因

4、此，将比例系数表示为有关，因此，将比例系数表示为q(，)q(，)与入射与入射粒子粒子、散射中心散射中心的性质以及它们之间的性质以及它们之间的的相互作用相互作用和相对和相对动能动能有关。有关。q(，)的量纲为的量纲为q(，)具有具有面积的量纲面积的量纲，因此称为，因此称为微分散射截面微分散射截面。如果在垂直于粒子流的入射方向取面积如果在垂直于粒子流的入射方向取面积q(，)d，则则单位时间内穿过该面积的粒子数等于单位时间内穿过该面积的粒子数等于dn,对所有方向积分对所有方向积分总的散射截面总的散射截面散射理论的主要内容是建立微分散射截面散射理论的主要内容是建立微分散射截面q(,)与总截面与总截面Q

5、的理论方法，从理论和实的理论方法，从理论和实验的比较中研究散射作用势验的比较中研究散射作用势V(r)的性质。的性质。作为散射过程的量子力学描述，设入射粒子流为平面波作为散射过程的量子力学描述，设入射粒子流为平面波表明每表明每单位体积只入射一个粒子单位体积只入射一个粒子。入射入射波粒子的几率密度流为波粒子的几率密度流为 取散射中心为坐标原点，用取散射中心为坐标原点，用U（r）表示入射粒子与散表示入射粒子与散射中心之间的射中心之间的相互作用能相互作用能，则体系的薛定谔方程，则体系的薛定谔方程一般观察被散射的粒子都是一般观察被散射的粒子都是远离散射中心远离散射中心的的,所以只所以只讨论讨论r时的时的

6、 就足够了。就足够了。当当r，U(r)0.因此，波函数应由两部分构成：因此，波函数应由两部分构成：一部分是入射粒子的一部分是入射粒子的平面波平面波;另一部分是描写散射粒另一部分是描写散射粒子的子的球面散射波球面散射波(远离散射中心处，散射波应取外向远离散射中心处，散射波应取外向球面波的形式球面波的形式)。该球面散射波是由散射中心向外传播的该球面散射波是由散射中心向外传播的.我们只考虑我们只考虑弹性散射弹性散射,所以散射波的所以散射波的能量守恒能量守恒.即波矢即波矢k 数值不变数值不变。由于。由于f(,)只与角度有关，与只与角度有关，与r无关。取入射波的归一化常数无关。取入射波的归一化常数A=1

7、，则则f(,)称为散射振幅，是与角度相关的函数。称为散射振幅，是与角度相关的函数。散射散射的几率流密度为的几率流密度为表示表示单位时间单位时间内穿过球面上内穿过球面上单位面积单位面积的粒子数的粒子数,故单位时故单位时间穿过面积间穿过面积dS的粒子数是的粒子数是因为因为 N，可知可知微分散射截面微分散射截面为8.2 分波法分波法本节将介绍本节将介绍粒子受到中心力场粒子受到中心力场的弹性散射时，从解方的弹性散射时，从解方程求出程求出散射截面散射截面的一种方法。在中心力场中，势能的一种方法。在中心力场中，势能U（r)只与粒子到散射中心的距离只与粒子到散射中心的距离r有关有关(中心势场中心势场)，与与

8、r的的方向无关方向无关。方程为。方程为取粒子入射方向并通过散射取粒子入射方向并通过散射中心的轴中心的轴为为极轴极轴,该轴为该轴为旋转对称轴旋转对称轴。波函数。波函数 和散射振幅和散射振幅 f 都与都与 无关。无关。由于由于 与与 无关，无关，m=0。其一般解可以写为其一般解可以写为:该展式中的每一项称为一个该展式中的每一项称为一个分波分波，Rl(r)Pl(cos)是第是第l个分波个分波。每一个分波都是方程的解。通常称。每一个分波都是方程的解。通常称l=0,1,2,的分波分别为的分波分别为s,p,d,分波。径向波函数满足方程；分波。径向波函数满足方程；设设因为因为f只是只是 的函数。的函数。的渐

9、近式也只与的渐近式也只与 有关有关对于散射后的波，我们来求径向方程的渐近解：对于散射后的波，我们来求径向方程的渐近解：r,V(r)0,方程为方程为渐近解为渐近解为将将入射入射平面波平面波eikz按按球面波展开公式球面波展开公式散射后的散射后的总总波函数波函数散射波散射波函数函数代入到方程代入到方程可求的散射振幅可求的散射振幅f()等式两等式两边的边的eikr应该相应该相等等这就是这就是散射振幅散射振幅公式公式微分散射微分散射截面为截面为总散射截面为总散射截面为利利用用Ql 称为称为第第l个分波的散射截面个分波的散射截面。0时，时，cos =1,Pl(1)=1,f(0)的虚部为的虚部为而总的散射

10、截面为而总的散射截面为该公式称为该公式称为光学定理光学定理=用分波法求散射截面的问题归结为计算相移用分波法求散射截面的问题归结为计算相移 l.如果如果Q中的级数收敛的中的级数收敛的很快很快,我们只须计算我们只须计算前面几个分波前面几个分波的的相移就可以得到足够精确的结果相移就可以得到足够精确的结果.反之反之,如果该级数收敛得很如果该级数收敛得很慢慢,要得到较好的结果需要要得到较好的结果需要算出许多个分波的算出许多个分波的相移相移.计算是很复杂的计算是很复杂的.近似求解近似求解:对产生散射的势场对产生散射的势场V(r)的作用范围是以散射中心的作用范围是以散射中心为球心，以为球心，以a为半径的球内

11、，当为半径的球内，当ra时，时，V(r）可略去不计。可略去不计。散射只在散射只在ra的范围内的范围内发生发生。当当r很小时很小时,jl(kr)随随 kr很快趋于零。很快趋于零。l愈大，趋于零愈快愈大，趋于零愈快如果如果jl(kr)的第一极大值在的第一极大值在a之外之外势场作用范围势场作用范围ra内内 jl(kr)很小很小,则则第第l分波分波受到势场的影响很小受到势场的影响很小.则散射所产生的相移则散射所产生的相移 l很小。很小。相移相移 l只要从只要从l=0算到算到lka就足够了就足够了。球面贝塞尔函数球面贝塞尔函数jl(kr)的第一极大值位置在的第一极大值位置在特别是当特别是当ka1时，只须

12、计算时，只须计算 0就能很准确地计就能很准确地计算算散射截面散射截面。由此可见，分波法由此可见，分波法适用于低能散射的情况下。适用于低能散射的情况下。应用准经典近似进行应用准经典近似进行估算估算：当动量：当动量 的的粒子的角动量粒子的角动量L大于大于 ，粒子轨道与散射中粒子轨道与散射中心的距离大于心的距离大于a,即轨道在势场作用球之外，势即轨道在势场作用球之外，势场对粒子不产生散射。场对粒子不产生散射。因为因为Ll ,所以受势场散射的条件是所以受势场散射的条件是例题例题1：如果只需考虑：如果只需考虑S波波（l=0）及）及P波波（l=1）的散射，试写出微的散射，试写出微分散射截面分散射截面q（）

13、和散射角和散射角 的关系。并且的关系。并且 020，5，具，具体计算散射到体计算散射到 0，2，三个方向的粒子数相对比例。三个方向的粒子数相对比例。解：如略去解：如略去l 2以上各分波的散射，根据以上各分波的散射，根据对对 020，15，计算粒子数的相对比列，计算粒子数的相对比列S波散射的角是各项同向的，虽然波散射的角是各项同向的，虽然P波相移不波相移不足足0.1弧度弧度，但对角分布的影响却很大。，但对角分布的影响却很大。方形势阱与势垒产生的散射方形势阱与势垒产生的散射 低能粒子低能粒子受球对称方形势阱的散射，入射粒子受球对称方形势阱的散射，入射粒子能量很小能量很小，求粒子的求粒子的s波散射。

14、质子和中子的波散射。质子和中子的低能散射低能散射可以近似地用这种方可以近似地用这种方法处理。法处理。对低能散射，对低能散射，ka0,将将k0换成换成i k0，k0时，总散射截面时，总散射截面当当U0时，时，k0 经典情况下，经典情况下，总散射截面总散射截面就是作为散射中心的硬球的就是作为散射中心的硬球的最大截面面积最大截面面积 a2,量子力学中得到的量子力学中得到的截面是经典的截面是经典的4倍倍。8.3 玻恩近似玻恩近似(书书p278,量子跃迁，例，弹性散射量子跃迁，例，弹性散射)经验表明，在入射粒子的经验表明，在入射粒子的动能较大动能较大时时,分波法需要计算很分波法需要计算很多分波，多分波，

15、应用起来很不方便应用起来很不方便。如果入射粒子的。如果入射粒子的动能动能比粒子与比粒子与散射中心相互作用的散射中心相互作用的势能大得多势能大得多，势能势能U(r)可看作可看作微扰微扰。以。以此来计算散射截面。此来计算散射截面。体系的哈密顿量写为体系的哈密顿量写为取箱归一化的动量本征函数取箱归一化的动量本征函数L-3/2eikr作为作为H0的本征函数，这种的本征函数，这种归一化描写在归一化描写在L3内有一个粒子。内有一个粒子。因为自由粒子的波函数为因为自由粒子的波函数为：波函数满足边界条件，在两个相对的箱壁波函数满足边界条件，在两个相对的箱壁上应取相同的值上应取相同的值,箱内动量的本征值为箱内动

16、量的本征值为：得到得到-l/2+l/2xyz箱箱中粒子动量的本征值为中粒子动量的本征值为：每一组每一组nx,ny和和nz都对应一个态，都对应一个态，而在动量在而在动量在区间内的状态的数目为：区间内的状态的数目为：用极坐标来表示，动量大小和方向在用极坐标来表示，动量大小和方向在而在此区间内而在此区间内的能量为的能量为状态数有很多状态数有很多状态状态数为数为动量大小相同，但方向不同。以动量大小相同，但方向不同。以(m)d m表示能表示能量密度，状态数变为量密度，状态数变为高能粒子受到互作用势场的微扰后，使粒子从动量为高能粒子受到互作用势场的微扰后，使粒子从动量为k的初态的初态跃迁跃迁到到k 的的末

17、态末态。根据能量守恒，有。根据能量守恒，有入射粒子流强度为入射粒子流强度为N0=L3，单位时间内散射到立单位时间内散射到立体角体角d 内的粒子数为内的粒子数为另一方面，动量大小为另一方面，动量大小为k、方向在立体角内的方向在立体角内的末态的态末态的态密度密度是是代入到单位时间内的跃迁几率公式中代入到单位时间内的跃迁几率公式中得到单位时间内散射到立体角内的得到单位时间内散射到立体角内的粒子数。粒子数。单位时间内散射到单位时间内散射到立体角内的立体角内的粒子数粒子数归一化的箱中归一化的箱中粒子的波函数粒子的波函数引进矢量引进矢量Kk-k,例题：已知例题：已知解：由玻恩近似得到的微分散射截面解：由玻

18、恩近似得到的微分散射截面利用积分公式利用积分公式求微分散射截面求微分散射截面得到得到总散射截面总散射截面利用积分公式利用积分公式几种特例讨论：几种特例讨论：（1），V(r)/r,为纯库仑势为纯库仑势这就是著名的卢瑟福散射公式这就是著名的卢瑟福散射公式总散射截面为总散射截面为发散主要来自发散主要来自小角度小角度。（2）高速粒子被原子散射，）高速粒子被原子散射，原子半径，原子半径，V(r)代表屏代表屏“蔽库仑蔽库仑势势”。这时。这时K=k sin(/2)1对于不太小的散射角，微分散射对于不太小的散射角，微分散射截面与截面与 无关，无关，对于对于0，q()有限值，有限值，Q也是有限的。也是有限的。（3）低能散射低能散射，k 1，如作用常数如作用常数 足够小，玻恩近似足够小，玻恩近似仍可成立，仍可成立，k2 2可忽略，微分散射截面与可忽略，微分散射截面与 无关。无关。散射是各向同性的，相当于分波法的散射是各向同性的，相当于分波法的S波散射。波散射。