线性代数二次形及其标准型.ppt

《线性代数二次形及其标准型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数二次形及其标准型.ppt（42页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 1 11线性代数线性代数 第五章第五章5.2 二次型及其标准形二次型及其标准形一、二次型的矩阵表示一、二次型的矩阵表示1、二次型、二次型 定义定义1.n个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数2 2 22线性代数线性代数 第五章第五章 2 2、二次型的矩阵表示法二次型的矩阵表示法3 3 33线性代数线性代数 第五章第五章令令其中其中A是一个是一个n阶对称矩阵阶对称矩阵称为二次型的矩阵表达形式称为二次型的矩阵表达形式A称为二次型的矩阵，称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩的秩称为二次型的秩.说明：说明：（1）二次型的矩阵都是对称矩阵；）二次型的矩阵都是对称矩阵；（2）二次型和它的矩阵是相

2、互唯一决定的（一一对应）；）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对应）；4 4 44线性代数线性代数 第五章第五章写出它的矩阵表达式。写出它的矩阵表达式。例例1：解解：5 5 55线性代数线性代数 第五章第五章例例2解解020注注6 6 66线性代数线性代数 第五章第五章1、变量的线性变换、变量的线性变换定义定义5.2关系式关系式令令则则线性变换的矩阵形式为线性变换的矩阵形式为x=Cy二二.二次型的标准形二次型的标准形.7 7 77线性代数线性代数 第五章第五章说明说明为满秩（或可逆）的线性变换，此时为满秩（或可逆）的线性变换，此时（1）如果系数矩阵）如果系数矩阵C可逆，即可逆，即|C|0，

3、则称线性变换则称线性变换x=Cy（2）如果系数矩阵）如果系数矩阵C为正交矩阵为正交矩阵.则称线性变换则称线性变换x=Cy为为正交变换正交变换.定义定义5.3此此形称为形称为f的标准形的标准形.8 8 88线性代数线性代数 第五章第五章标准形矩阵为对角矩阵（后面举例说明）标准形矩阵为对角矩阵（后面举例说明）注：注：9 9 99线性代数线性代数 第五章第五章二次型研究的主要问题是：二次型研究的主要问题是：寻找寻找满秩线性变换满秩线性变换 ，化二次型为标准形化二次型为标准形所以经所以经满秩线性变换满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：后，新旧二次型的矩阵的关系：因为有因为有定理定理5.110101

4、010线性代数线性代数 第五章第五章3、矩阵的合同、矩阵的合同合同是等价关系，具有反身性、对称性、传递性。合同是等价关系，具有反身性、对称性、传递性。因此二次型经过满秩线性变换后，因此二次型经过满秩线性变换后，所得到的二次型矩阵所得到的二次型矩阵B与与原原二次型矩阵二次型矩阵A是合同的是合同的.定义定义5.411111111线性代数线性代数 第五章第五章5.3、化二次型为标准形、化二次型为标准形定理定理5.2一、用正交变换化二次型为标准形一、用正交变换化二次型为标准形证明：对于实对称矩阵证明：对于实对称矩阵A，存在正交矩阵，存在正交矩阵Q，使，使令正交变换令正交变换x=Qy，在此变换下在此变换

5、下12121212线性代数线性代数 第五章第五章例例4解解二次型矩阵二次型矩阵A的特征多项式的特征多项式A的特征值为的特征值为把把 1=1（2重）代入齐次方程组，得重）代入齐次方程组，得基础解系为基础解系为13131313线性代数线性代数 第五章第五章将将它们正交化，得它们正交化，得再再单位化，得单位化，得14141414线性代数线性代数 第五章第五章把把 2=10代入齐次方程组，得代入齐次方程组，得基础解系为基础解系为单位化，得单位化，得正交矩阵正交矩阵则则令令正交变换正交变换X=QY，则则（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不

6、变 的特点，使其易于识别。的特点，使其易于识别。15151515线性代数线性代数 第五章第五章（二）用满秩线性变换化二次型为标准形（二）用满秩线性变换化二次型为标准形配方法配方法例例216161616线性代数线性代数 第五章第五章解解把把含有含有x1各项集中在一起各项集中在一起把把含有含有x1各项配完全平方各项配完全平方把把含有含有x2各项集中在一起，再配平方各项集中在一起，再配平方17171717线性代数线性代数 第五章第五章令令显然显然则则标准形为标准形为验证验证18181818线性代数线性代数 第五章第五章例例3解解令令有有构造平方项构造平方项19191919线性代数线性代数 第五章第五

7、章令令则则20202020线性代数线性代数 第五章第五章这这两次线性变换的结果相当于作一个总的线性变换：两次线性变换的结果相当于作一个总的线性变换：显然显然即即其中其中21212121线性代数线性代数 第五章第五章22222222线性代数线性代数 第五章第五章2、令令这样计算对吗？这样计算对吗？正确的做法应该是什么？正确的做法应该是什么？23232323线性代数线性代数 第五章第五章（三）初等变换化二次型为标准形（三）初等变换化二次型为标准形即即用用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵，为保持所得矩阵初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵，为保持所得矩阵与原矩阵合同，必须成对地施行行初等变换与列初等变换

8、，与原矩阵合同，必须成对地施行行初等变换与列初等变换，即作一次初等列变换后必须作一次相同的行变换即作一次初等列变换后必须作一次相同的行变换.24242424线性代数线性代数 第五章第五章例：初等变换化二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换例：初等变换化二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换.BC注意注意不是不是I25252525线性代数线性代数 第五章第五章26262626线性代数线性代数 第五章第五章 标准形是不唯一的，与所作的满秩线性变换有关，标准形是不唯一的，与所作的满秩线性变换有关，而系数不为而系数不为0的平方项的个数由二次形的秩决定，所以是的平方项的个数由二次形的秩决定，所以是唯

9、一的，与所作的满秩线性变换无关唯一的，与所作的满秩线性变换无关.例如例如四四.惯性定理惯性定理27272727线性代数线性代数 第五章第五章定理定理5.4 （惯性定理）（惯性定理）一个二次型的任意两个标准形中的正系数的一个二次型的任意两个标准形中的正系数的个数与负系数的个数分别相等个数与负系数的个数分别相等.定义：在二次型的标准形中，正系数的个数定义：在二次型的标准形中，正系数的个数 P（唯一确定）称为（唯一确定）称为 二次型的二次型的正惯性指数正惯性指数，负系数的个数，负系数的个数 N（唯一确定）称为（唯一确定）称为负惯性指数负惯性指数，P+N=r.它们之差它们之差 s=P-N 称为符号差。

10、称为符号差。定理定理5.5 任意任意二次型二次型f 均可经均可经满秩线性变换满秩线性变换 化为化为二次型二次型f的规范的规范形形28282828线性代数线性代数 第五章第五章5.4、二次型与对称矩阵的有定性、二次型与对称矩阵的有定性1、定义、定义5.5例例129292929线性代数线性代数 第五章第五章30303030线性代数线性代数 第五章第五章正定正定 例例2所以是半负定所以是半负定.例例3是不定是不定.2、实二次型（实对称矩阵、实二次型（实对称矩阵A）正定的判别方法：正定的判别方法：31313131线性代数线性代数 第五章第五章（1）、下列条件都是实二次型）、下列条件都是实二次型f(x1

11、,x2,x n)=XTAX 正定的充正定的充 分必要条件：分必要条件：正惯性指数为正惯性指数为n.A的所有顺序主子式全大于零的所有顺序主子式全大于零.A的特征值全大于零的特征值全大于零.A与单位矩阵与单位矩阵In合同合同.存在正交矩阵存在正交矩阵Q，使使32323232线性代数线性代数 第五章第五章例例4解解22-4-4-2-2它的顺序主子式为它的顺序主子式为=1 0=1 0所以所以f正定正定.（1）33333333线性代数线性代数 第五章第五章（2）令令经过这个非退化的线性变换，二次型化为经过这个非退化的线性变换，二次型化为因此该二次型的正惯性指标为因此该二次型的正惯性指标为2，从而该二次型

12、不是正定的从而该二次型不是正定的.34343434线性代数线性代数 第五章第五章例例5解解解解不等式组不等式组35353535线性代数线性代数 第五章第五章（2）、正定矩阵的性质：）、正定矩阵的性质：A是正定矩阵，若是正定矩阵，若A B，则，则B也是正定矩阵也是正定矩阵.A正定正定|A|0，即，即A可逆可逆.A正定正定 kA(k 0)，AT，A1，A*也是正定矩阵也是正定矩阵.A正定正定 A的主对角线上的元素的主对角线上的元素a jj 0.36363636线性代数线性代数 第五章第五章证明：证明：A正定正定 A*也是正定矩阵也是正定矩阵.证证方法一方法一设设A的特征值为的特征值为且且|A|0，

13、并且并且A*的特征值为：的特征值为：即即A*的全部特征值都大于零，的全部特征值都大于零，所以所以A*也是正定矩阵也是正定矩阵.方法二方法二由由A正定知，正定知，|A|0，且存在可逆矩阵且存在可逆矩阵C，使使于是于是其中其中且且P为可逆矩阵，为可逆矩阵，所以所以A*也是正定矩阵也是正定矩阵.37373737线性代数线性代数 第五章第五章例例6设设A是是n阶正定矩阵，阶正定矩阵，I是是n阶单位矩阵，证明阶单位矩阵，证明|A+I|1.设设A的特征值为的特征值为证证则则A+I的特征值分别为的特征值分别为从而从而也可也可证明证明A+I正定正定38383838线性代数线性代数 第五章第五章例例7证证代入已

14、知等式，得代入已知等式，得因为因为故故 满足满足得得因为因为A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故故只有只有=1，即即A的全部特征值都大于零，的全部特征值都大于零，因此因此A是正定矩阵是正定矩阵.39393939线性代数线性代数 第五章第五章n阶可逆矩阵阶可逆矩阵A与与I等价。等价。只有单位矩阵只有单位矩阵In与与In相似。相似。只有正定矩阵与单位矩阵合同。只有正定矩阵与单位矩阵合同。40404040线性代数线性代数 第五章第五章1、设、设A和和B为为n阶矩阵，则（阶矩阵，则（）成立）成立（1）、）、A B A和和B等价；等价；（2）、）、A和和B等价等价 A

15、 B；（3）、）、A B A和和B等价；等价；（4）、）、A和和B等价等价 A B；（5）、）、A B A B；（6）、）、A B A B；1,341414141线性代数线性代数 第五章第五章2、设、设A和和B为实为实n阶阶对称矩阵，则（对称矩阵，则（）成立）成立（a）、）、A B A B；（b）、）、A B A B；bn阶实数矩阵阶实数矩阵A，如果如果ATA=I，称，称A为正交矩阵为正交矩阵.都是实对称矩阵，但都是实对称矩阵，但A,B不相似不相似此时此时A与与B虽虽合同，但特征值是不同的合同，但特征值是不同的.42424242线性代数线性代数 第五章第五章（b）、）、A B A B；事实上，由于事实上，由于A,B是实对称矩阵，是实对称矩阵，总总存在正交矩阵存在正交矩阵Q,P,使使又又A B,由于由于Q,P为正交矩阵，由性质有为正交矩阵，由性质有所以所以即即A B因此因此A B