中国药科大学 线性代数 2.7.ppt

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1、第七节 矩阵的秩一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩例例1解解例例2解解例例3 3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此此方法简单！方法简单！二、二、初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4解解由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.v性质性质1 行阶梯行矩阵的秩等于它非零行的行数行阶梯行矩阵的

2、秩等于它非零行的行数.v性质性质2 任意一个矩阵任意一个矩阵A都可以经过若干次初等都可以经过若干次初等变换以后得到一个行阶梯形矩阵变换以后得到一个行阶梯形矩阵.v性质性质3 初等变化不改变矩阵的秩初等变化不改变矩阵的秩.v性质性质4 n阶可逆矩阵的秩为阶可逆矩阵的秩为n,反之亦然反之亦然.v定理定理6 任何一个矩阵任何一个矩阵A都可以经过一系列初等都可以经过一系列初等变换得到行阶梯形矩阵变换得到行阶梯形矩阵,矩阵矩阵A的秩就等于行阶梯的秩就等于行阶梯形矩阵非零行的行数形矩阵非零行的行数.例例5 5解解分析：分析：v定理定理7 设设Amn,则则v(1)0R(A)minm,nv(2)R(A)=R(AT)v定理定理8 设设Amn,B和和C分别是分别是m阶和阶和n阶满阶满秩方阵秩方阵,则则v R(A)=R(BA)=R(AC)三、矩阵秩的性质思考题思考题解答答答答答相等相等.即即由此可知由此可知