现代控制理论第5章ppt课件.ppt

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1、2022年年12月月27日日第第5章第章第1页页在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第第第第5 5章章章章 控制系统的稳定性控制系统的稳定性控制系统的稳定性控制系统的稳定性 5.1 外部稳定性与内部稳定性外部稳定性与内部稳定性 5.2 李亚普诺夫定义下的稳定性李亚普诺夫定义下的稳定性 5.3 李亚普诺夫判稳第一法李亚普诺夫判稳第一法 5.4 李亚普诺夫判稳第二法李亚普诺夫判稳第二法 5.5 李亚普诺夫法在线性系统中的应用李亚普诺夫法在线性系统中的应用 5.6 李亚普诺夫第二法在非线性系统中的应用李亚普诺夫第二法在非线性系统

2、中的应用 5.7 基于李亚普诺夫第二法的参数最优问题基于李亚普诺夫第二法的参数最优问题 5.8 基于李亚普诺夫第二法的模型参考控制系统基于李亚普诺夫第二法的模型参考控制系统第第5章第章第2页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确外外部部稳稳定定性性：系系统统在在零零初初始始条条件件下下通通过过其其外外部部状状态态，即即系系统统的的输输入入输输出出关关系系所所定定义义的的（零零状状态态响响应应）。适适用用于于线线性性系统。系统。内内部部稳稳定定性性：系系统统在在零零输输入入条条件件下下，由由内内部

3、部状状态态变变化化所所定定义。适用于线性、非线性系统。（零输入响应）义。适用于线性、非线性系统。（零输入响应）对对于于同同一一线线性性系系统统。只只有有在在一一定定条条件件下下，两两种种定定义义才才具具有有等价性。等价性。李雅普诺夫方法：李雅普诺夫方法：适用于线性、非线性、时变系统。适用于线性、非线性、时变系统。第第5章第章第3页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 包包括括零零状状态态响响应应和和零零输输入入响响应应。零零状状态态响响应应和和经经典典理理论论中中稳稳定定性性问问题题一一样样，

4、考考虑虑外外部部稳稳定定性性问问题题。而而零零输输入入响响应应的的稳稳定定性性问问题题，即即研研究究齐齐次次方方程程由由任任意意非非零零初初态态引引起起的的响响应应的的稳稳定定性性问问题题，这这是是一一种内部稳定性问题。种内部稳定性问题。1892年年，俄俄国国人人李李雅雅普普诺诺夫夫发发表表了了运运动动稳稳定定性性的的一一般般问问题题的的博博士士论论文文，提提出出了了分分析析稳稳定定性性的的两两种种有有效效方方法法。第第一一种种方方法法，通通过过对对线线性性化化系系统统特特征征方方程程的的根根的的分分析析来来判判断断稳稳定定性性，称称为为间间接接法法。此此时时，非非线线性性系系统统必必须须先先

5、线线性性近近似似，而而且且只只适适用用于于平平衡衡状状态态附附近近。第第二二种种方方法法，从从能能量量的的观观点点对对系系统统的的稳稳定定性性进进行行研研究究，称称为为直直接接法法。显然，显然，第二种方法对线性、非线性系统都适用。第二种方法对线性、非线性系统都适用。在状态空间中，在状态空间中，2022年年12月月27日日第第5章第章第4页页在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.1 5.1 外部稳定性与内部稳定性外部稳定性与内部稳定性外部稳定性与内部稳定性外部稳定性与内部稳定性第第5章第章第5页页2022年年12月月27日

6、日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.1.1外部稳定性外部稳定性 有界输入有界输出稳定性；有界输入有界输出稳定性；线性动态系统；线性动态系统；零初始条件。零初始条件。定定义义：初初始始条条件件为为零零的的系系统统，任任何何一一个个有有界界输输入入作作用用下下系系统的输出也是有界的，则系统是外部稳定的。统的输出也是有界的，则系统是外部稳定的。BIBO稳定：稳定：Bounded input Bounded output 第第5章第章第6页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题

7、的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1.单输入单输出系统（模的有界性）单输入单输出系统（模的有界性）第第5章第章第7页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.多输入多输出系统（模的有界性）多输入多输出系统（模的有界性）可用可用每个分量的模每个分量的模的有界性表征。的有界性表征。第第5章第章第8页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.1.2内部稳定性内部稳定性零输入条件下的系统

8、称为自治系统，其自治状态方程为零输入条件下的系统称为自治系统，其自治状态方程为 内内部部稳稳定定性性完完全全由由内内部部状状态态变变化化所所定定义义，考考虑虑的的是是系系统统的的零零输输入入响响应应，适适用用于于线线性性、非非线线性性、定定常常、时时变变等等系系统统。其其定定义义为为：系系统统由由任任意意非非零零初初态态x(t0)引起的响应引起的响应xu(t)有界，并满足渐近属性有界，并满足渐近属性 对对于于一一般般情情况况，内内部部稳稳定定性性指指自自治治系系统统状状态态运运动动的的稳稳定定性性，实实质质上上，内部稳定性等同于下一节将介绍的李亚普诺夫渐近稳定性。内部稳定性等同于下一节将介绍的

9、李亚普诺夫渐近稳定性。第第5章第章第9页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例5.1单输入单输出系统的初始状态为单输入单输出系统的初始状态为x0，分析系统的外部与内部稳定性。，分析系统的外部与内部稳定性。解：系统在输入解：系统在输入u的作用下系统的输出响应为的作用下系统的输出响应为 y1为零输入响应，为零输入响应，y2为零状态响应。为零状态响应。1）根据外部稳定性的定义，有）根据外部稳定性的定义，有x0=0，若系统对任何有界输入，若系统对任何有界输入 则该系统具有外部稳定性。即零状态响应为等

10、幅振荡或衰减响应。则该系统具有外部稳定性。即零状态响应为等幅振荡或衰减响应。（系统传递函数的极点全部具有负实部。）（系统传递函数的极点全部具有负实部。）第第5章第章第10页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确系统是内部稳定，即渐近稳定的充分必要条件是状态转移矩阵满足下式系统是内部稳定，即渐近稳定的充分必要条件是状态转移矩阵满足下式 2）根据内部稳定性的定义，有）根据内部稳定性的定义，有u=0，系统由任意非零初态，系统由任意非零初态x0引起的响应引起的响应xu(t)为为 对对于于线线性性定定常常

11、系系统统，满满足足上上式式的的条条件件是是系系统统矩矩阵阵A的的所所有有特特征征值值全全部部具具有负实部。有负实部。可可见见，对对于于同同一一系系统统，只只有有在在一一定定条条件件下下，外外部部稳稳定定性性与与内内部部稳稳定定性性两两种定义才具有等价性。种定义才具有等价性。第第5章第章第11页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确注：注：对单输入单输出线性定常系统对单输入单输出线性定常系统具有具有外部稳定性外部稳定性的充要条件是其传递函数的充要条件是其传递函数所有极点都位于所有极点都位于s平面的

12、左半面。（包含临界稳定）平面的左半面。（包含临界稳定）（未考虑零极点对消，只考虑了能控且能观的状态）（未考虑零极点对消，只考虑了能控且能观的状态）2022年年12月月27日日第第5章第章第12页页在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.2李亚普诺夫定义下的稳定性李亚普诺夫定义下的稳定性李雅普诺夫定义：针对系统的平衡状态，适用于单变量、李雅普诺夫定义：针对系统的平衡状态，适用于单变量、李雅普诺夫定义：针对系统的平衡状态，适用于单变量、李雅普诺夫定义：针对系统的平衡状态，适用于单变量、线性、定常系统、多变量、非线性、时变系统。

13、线性、定常系统、多变量、非线性、时变系统。线性、定常系统、多变量、非线性、时变系统。线性、定常系统、多变量、非线性、时变系统。衰减与否衰减与否第第5章第章第13页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.2.1系统的平衡状态系统的平衡状态自制系统：不受外部作用自制系统：不受外部作用若对任意时间若对任意时间t则称则称xe为系统的平衡状态，也称系统的零解为系统的平衡状态，也称系统的零解1.线性定常系统的平衡状态线性定常系统的平衡状态n维状态空间的坐标原点是一个平衡状态维状态空间的坐标原点是一个平衡状

14、态（1）A为非奇异阵，原点是唯一平衡状态为非奇异阵，原点是唯一平衡状态（2）A为奇异阵，还有其他平衡状态为奇异阵，还有其他平衡状态第第5章第章第14页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例：例：注意：注意：在在t0时刻的平衡状态，指时刻的平衡状态，指t t0时，所有满足时，所有满足A(t)x=0的状态。的状态。当系统处于平衡状态时，若无输入作用，则系统一直处于该状态。当系统处于平衡状态时，若无输入作用，则系统一直处于该状态。由由Ax=0，可知平衡状态为，可知平衡状态为x1R,x2=0原点必为一

15、个平衡状态。原点必为一个平衡状态。第第5章第章第15页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.非线性系统的平衡状态非线性系统的平衡状态非线性系统可能有不同的平衡状态，其稳定性可能不同。非线性系统可能有不同的平衡状态，其稳定性可能不同。例：例：由平衡状态定义，令由平衡状态定义，令f(x1,x2)=0，可求得平衡状态，可求得平衡状态第第5章第章第16页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确注：注：1

16、、线线性性系系统统的的任任意意平平衡衡状状态态均均可可通通过过坐坐标标变变换换将将其其移移 到到 状状 态态 空空 间间 原原 点点，其其 稳稳 定定 性性 是是 一一 致致 的的。不不失失一一般般性性的的，我我们们认认为为线线性性系系统统的的平平衡衡状状态态确确定为定为xe=0。2、对对线线性性定定常常系系统统，可可以以认认为为是是研研究究系系统统的的稳稳定定性性；而而对对其其他他系系统统，只只能能认认为为是是研研究究某某一一平平衡衡态态下下的的稳稳定定性。性。第第5章第章第17页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅

17、入深，所提出的问题也很明确5.2.2状态矢量范数状态矢量范数范数表示状态矢量范数表示状态矢量x与平衡状态与平衡状态xe之间的距离。之间的距离。第第5章第章第18页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 如图所示三个系统，均处于平衡状态，考察其受扰动作用，自如图所示三个系统，均处于平衡状态，考察其受扰动作用，自平衡状态偏离后的系统响应。平衡状态偏离后的系统响应。（a）自由响应）自由响应有界有界；（b）自由响应）自由响应有界，且最终返回原来初态有界，且最终返回原来初态；（c）自用响应）自用响应无界无

18、界。(a)(b)(c)李雅普诺夫把以上三种情况分别定义为李雅普诺夫把以上三种情况分别定义为稳定、渐近稳定、不稳定稳定、渐近稳定、不稳定。5.2.3李亚普诺夫意义下的稳定性定义李亚普诺夫意义下的稳定性定义第第5章第章第19页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1.稳定稳定（1）定定义义：设设系系统统的的初初始始状状态态x0 处处在在状状态态空空间间中中，位位于于以以平平衡衡状状态态 xe 为球心，半径为为球心，半径为的闭球域的闭球域s()内，即内，即|x0-xe|，t=t0 若若系系统统由由初初

19、态态x0出出发发的的系系统统响响应应x(t；x0，t0)在在t 的的过过程程中中都都位位于以平衡状态于以平衡状态xe为球心，半径为为球心，半径为的闭球域的闭球域s()内，即内，即|x(t；x0，t0)-xe|，t t0 则则称称动动力力学学系系统统的的平平衡衡状状态态xe是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定的的，或或称称系系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。式中，式中，|表示向量的范数（模）。表示向量的范数（模）。如果如果的大小与的大小与t0无关，则称无关，则称x是是李雅普诺夫意义下的一致稳定；否则为局部稳定。李雅普诺夫意义下的一致稳定；否则为局部稳定。第

20、第5章第章第20页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（2）李雅普诺夫稳定性定义的几何解释）李雅普诺夫稳定性定义的几何解释（考虑（考虑x0=0）：）：在在状状态态空空间间中中，任任给给一一个个以以坐坐标标原原点点为为中中心心的的球球域域 s()，无无论论多多小小，都都能能找找到到一一个个以以原原点点为为中中心心的的球球域域 s()，使使任任何何从从 s()出出发发的的运运动动轨轨迹迹，都不超出都不超出 s()。考虑二维空间，。考虑二维空间，s()、s()均为一个圆。均为一个圆。不稳定不稳定不稳

21、定不稳定x1x2s()s()s()s()x0稳定稳定第第5章第章第21页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2、渐近稳定、渐近稳定(重要重要)（1）定义：）定义：如如果果平平衡衡状状态态x0不不仅仅是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定的的，且且从从球球域域S()出出发发的的任任意意解解x，时时间间趋趋于于无无穷穷大大时时，不不仅仅不不会会超超出出球球域域S()，而而且且最最终终收收敛于平衡状态敛于平衡状态xe或其邻域，即或其邻域，即 则称平衡状态则称平衡状态xe是是渐近稳定的。渐近稳定

22、的。（2）几何含义）几何含义 注意，渐近稳定首先应是李雅普注意，渐近稳定首先应是李雅普诺夫意义下的稳定。诺夫意义下的稳定。第第5章第章第22页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确x1x2s()s()x0渐近稳定渐近稳定 工程上往往喜欢渐近稳工程上往往喜欢渐近稳定，因为希望干扰除去后，定，因为希望干扰除去后，系统又会回到原来的工作状系统又会回到原来的工作状态，这个状态正是我们设计态，这个状态正是我们设计系统时所期望的，也就是前系统时所期望的，也就是前面所说的平衡状态。面所说的平衡状态。无无论论是

23、是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下的的稳稳定定、渐渐进进稳稳定定，都都属属于于系系统统在在平平衡衡状状态态附附近近一一小小范范围围内内的的局局部部性性质质。因因为为系系统统只只要要在在包包围围 xe 的的小小范范围围内内，能能找找到到和和满满足足定定义义中中条条件件即即可可。至至于于从从s()外外的的状状态态出出发发的的运运动动，却却完完全全可可以以超超出出s()。因因此此，上上面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。第第5章第章第23页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提

24、出的问题也很明确 而而从从实实用用观观点点出出发发，仅仅仅仅判判知知系系统统是是小小范范围围渐渐近近稳稳定定的的，系系统统不不一一定定能能正正常常工工作作，一一旦旦实实际际存存在在的的干干扰扰，使使系系统统的的初初始始状状态态偏偏离离而而超超出出s()的的范范围围，就就会会导导致致x有有可可能能不不返返回回xe。解解决决办办法法是是确确定定渐渐近近稳稳定定的的最最大大范范围围。然然后后把把实实际际干干扰扰的的大大小小限限制制在在此此范范围围内内。实实际际上上，此此范范围围的的确确定定非非常常困困难难，且且限限制制干干扰扰的的大大小小，也也不不一一定定能能做做到到。因因此此，工工程程上上对对大大

25、范范围围渐渐近稳定近稳定更感兴趣。更感兴趣。第第5章第章第24页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.大范围渐近稳定大范围渐近稳定(重要重要)如如果果系系统统在在任任意意初初始始条条件件下下的的解解x，当当t的的过过程程中中，收收敛敛于于平平衡衡状状态态xe或或其其邻邻域域，则则平平衡衡状状态态xe是是渐渐近近稳稳定定的的，且且其其范范围围包包含含整整个个状态空间，则称状态空间，则称xe是大范围渐近稳定，或称是大范围渐近稳定，或称全局渐近稳定全局渐近稳定的平衡状态。的平衡状态。大大范范围围渐

26、渐近近稳稳定定的的必必要要条条件件是是：状状态态空空间间中中系系统统中中只只有有一一个个平平衡状态。衡状态。（经典控制理论当中，只有渐近稳定才是稳定）（经典控制理论当中，只有渐近稳定才是稳定）例：例：可可知知零零状状态态必必然然是是系系统统的的平平衡衡状状态态，而而若若零零状状态态渐渐近近稳稳定定，因因为它是系统唯一的孤立平衡状态，则必然是大范围渐近稳定的。为它是系统唯一的孤立平衡状态，则必然是大范围渐近稳定的。可见，线性系统稳定性与初始条件无关。可见，线性系统稳定性与初始条件无关。第第5章第章第25页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置

27、具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4.不稳定不稳定 如如果果无无论论 的的值值有有多多么么小小，即即初初始始状状态态x0与与平平衡衡状状态态xe非非常常接接近近，而而由由球球域域s()内内出出发发的的任任意意解解，只只要要有有一一条条轨轨迹迹离离开开球球域域s()，则系统的平衡状态，则系统的平衡状态xe是不稳定的。是不稳定的。第第5章第章第26页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 由由于于上上述述定定义义不不能能详详细细地地说说明明可可容容许许初初始始条条件件的的精精确确吸吸引引

28、域域，因因而而除除非非S()对对应应于于整整个个状状态态平平面面，否否则则这这些些定定义义只只能应用于平衡状态的邻域，是局部性能。能应用于平衡状态的邻域，是局部性能。第第5章第章第27页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确局部局部渐近稳定渐近稳定局部局部不稳定不稳定稳定稳定不稳定不稳定大范围大范围渐近稳定渐近稳定局部稳定局部稳定第第5章第章第28页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1.线线性

29、性定定常常系系统统：任任一一孤孤立立平平衡衡状状态态，都都可可通通过过坐坐标标变变换换移移到到状状态态空空间间的的原点，分析原点的稳定性具有代表性。原点，分析原点的稳定性具有代表性。2.非非线线性性系系统统：各各个个平平衡衡点点的的稳稳定定性性不不同同，应应该该分分别别分分析析各各平平衡衡状状态态xe的的稳定性。稳定性。3.稳稳定定只只要要求求状状态态轨轨迹迹在在球球域域s()中中，而而渐渐近近稳稳定定要要求求x最最终终收收敛敛于于或或无无限限接近于平衡状态接近于平衡状态xe。4.实际中希望实际中希望xe为大范围渐近稳定。为大范围渐近稳定。5.对于线性系统：若平衡状态是渐近稳定的，则一定是大范

30、围渐近稳定。对于线性系统：若平衡状态是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定。6.在在经经典典控控制制理理论论中中的的稳稳定定性性概概念念与与Lyapunov意意义义下下的的稳稳定定性性概概念念是是有有一一定定的的区区别别的的，例例如如，在在经经典典控控制制理理论论中中只只有有渐渐近近稳稳定定的的系系统统才才称称为为稳稳定定的的系系统统；在在Lyapunov意意义义下下是是稳稳定定的的，但但却却不不是是渐渐近近稳稳定定的的系系统统，则则叫做不稳定系统。叫做不稳定系统。结论结论（重要）（重要）第第5章第章第29页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的

31、设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例5.2解解 令令u=0，系统的平衡状态为，系统的平衡状态为 xe1=任意值任意值第第5章第章第30页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确输入信号为输入信号为0时，状态方程的解为时，状态方程的解为 在在t的的过过程程中中，由由于于系系统统的的解解x不不是是收收敛敛于于平平衡衡状状态态 xe，系系统统是是稳稳定定的的，但但不不是是渐渐近近稳稳定定的的。实实际际上上，只只要要每每个个特特征征值值均均具具有有负负实实部部，则则每每个个状状态态分分量

32、量的的零零输输入入解解将将衰衰减减为为0，即即收收敛敛于于0平平衡衡状状态，系统是渐近稳定的。态，系统是渐近稳定的。实实际际上上，由由于于是是线线性性系系统统，分分析析原原点点的的平平衡衡状状态态的的稳稳定定性即可。性即可。第第5章第章第31页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例5.3直接用定义判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性。直接用定义判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性。解：令解：令u=0，系统的平衡状态为，系统的平衡状态为系统系统0输入的状态解为输入的状态解为系统渐近稳定系统渐近稳定

33、第第5章第章第32页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确系统状态稳定，系统的输出为系统状态稳定，系统的输出为系统的总输出系统的总输出=输入激励的响应。系统的输出稳定。输入激励的响应。系统的输出稳定。A阵特征值阵特征值1=-2，2=-3，可知渐近稳定，外部稳定。，可知渐近稳定，外部稳定。实际上可以直接判断：实际上可以直接判断：第第5章第章第33页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.2.4外部

34、稳定性与内部稳定性之间的关系外部稳定性与内部稳定性之间的关系 单输入单输出系统单输入单输出系统1.若传递函数无零极点对消若传递函数无零极点对消1.不存在公因子相消，传递函数的极点与系统特征值相同。不存在公因子相消，传递函数的极点与系统特征值相同。极点极点 外部稳定性；外部稳定性；特征值特征值 状态转移矩阵状态转移矩阵 状态轨迹状态轨迹 内部稳定性；内部稳定性；内部稳定性内部稳定性 外部稳定性外部稳定性第第5章第章第34页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.若系统存在公因子相消若系统存在公因

35、子相消-零极点对消零极点对消 传传递递函函数数的的极极点点数数少少于于系系统统特特征征值值，由由于于可可能能消消去去的的是是正正实实部部的的极极点点，则则系系统统具具有有外外部部稳稳定定性性，但但不不一一定定具具有有内内部部稳定性。稳定性。G(G(s s)的极点只是矩阵的极点只是矩阵的极点只是矩阵的极点只是矩阵A A的特征值的子集。的特征值的子集。的特征值的子集。的特征值的子集。内部稳定内部稳定 外部稳定外部稳定外部稳定外部稳定 内部稳定内部稳定第第5章第章第35页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题

36、也很明确结论（线性定常系统）：结论（线性定常系统）：4.若系统状态是稳定的，则系统输出是稳定的。若系统状态是稳定的，则系统输出是稳定的。1.内部稳定内部稳定 外部稳定外部稳定2.外部稳定外部稳定 内部稳定内部稳定3.若系统能控能观，则内部稳定若系统能控能观，则内部稳定 外部稳定外部稳定 只只用用传传递递函函数数的的极极点点判判断断系系统统的的稳稳定定性性不不一一定定真真正正反反映映系系统统的的稳稳定定性性。此此时时，系系统统内内部部可可能能有有一一些些状状态态越越界界，导导致致系统饱和或出现危险。系统饱和或出现危险。2022年年12月月27日日第第5章第章第36页页在整堂课的教学中，刘教师总是

37、让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 5.3 5.3 李雅普诺夫判稳第一法李雅普诺夫判稳第一法李雅普诺夫判稳第一法李雅普诺夫判稳第一法1.1.是间接的方法；是间接的方法；是间接的方法；是间接的方法；2.2.由由A A求求i，根据系统的根据系统的根据系统的根据系统的特征值特征值特征值特征值判断系统的稳定性判断系统的稳定性判断系统的稳定性判断系统的稳定性3.3.对于非线性系统，首先需要进行线性化。对于非线性系统，首先需要进行线性化。对于非线性系统，首先需要进行线性化。对于非线性系统，首先需要进行线性化。第第5章第章第37页页2022年年12月月27日日在

38、整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.3.1线性定常系统的稳定性分析线性定常系统的稳定性分析1、线性系统稳定性分析的特征值判据、线性系统稳定性分析的特征值判据定理：线性定常系统定理：线性定常系统 的零平衡状态的零平衡状态xe是渐进稳定是渐进稳定的充要条件是：的充要条件是：A阵的所有特征值具有负实部。阵的所有特征值具有负实部。定定理理：若若所所有有的的有有界界输输入入引引起起的的零零状状态态响响应应的的输输出出有有界界，则则称称系系统统输输入入输输出出稳稳定定。充充要要条条件件是是W(s)的的所所有有极极点点具具有有负实部。

39、负实部。零输入响应属于内部稳定性（状态稳定性）。零输入响应属于内部稳定性（状态稳定性）。零零状状态态响响应应属属于于系系统统外外部部稳稳定定性性，又又称称之之为为输输入入输输出出稳定性（稳定性（BIBO稳定性）。稳定性）。第第5章第章第38页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例5.4 判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性。判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性。解：解：直接判断系统状态直接判断系统状态x1不稳定。不稳定。系统的输出稳定。系统的输出稳定。第第5章第章第39页页2022年年12月月2

40、7日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例5.5判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性。判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性。极点极点-3具有负实部，是输入输出稳定的。具有负实部，是输入输出稳定的。解：解：1）外部稳定性（输入输出稳定性）外部稳定性（输入输出稳定性）第第5章第章第40页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2）内部稳定性分析）内部稳定性分析由由 系统非渐近稳定，但是输入输出稳定。因为存在零极系统非渐近稳定，但是

41、输入输出稳定。因为存在零极点对消，消掉了具有正实部的特征值点对消，消掉了具有正实部的特征值=2。第第5章第章第41页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2 线性离散系统稳定性分析线性离散系统稳定性分析定理定理 线性定常离散系统线性定常离散系统 的的零零平平衡衡状状态态xe是是渐渐近近稳稳定定的的充充要要条条件件是是：系系统统矩矩阵阵G阵阵的的所所有特征值的模全部位于根平面的单位圆内，即有特征值的模全部位于根平面的单位圆内，即 第第5章第章第42页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，

42、刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例5.8 试确定系统在原点的稳定性。试确定系统在原点的稳定性。G阵阵的的所所有有特特征征值值的的模模都都小小于于1，加加上上系系统统只只有有一一个个平平衡衡状态，因此此离散系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。状态，因此此离散系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。解解 求离散系统的特征值求离散系统的特征值第第5章第章第43页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.3.2线性时变系统的稳定性分析线性时变系统的稳定

43、性分析系统平衡状态为系统平衡状态为xe=0在时刻在时刻t0是渐近稳定的。是渐近稳定的。设线性系统为设线性系统为 系统的平衡状态为系统的平衡状态为xe=0，状态方程的解为，状态方程的解为tt00 若有若有则则 第第5章第章第44页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.3.3非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 当当n维维状状态态向向量量函函数数f（x）对对x有有连连续续的的偏偏导导数数存存在在时时，可可将将非非线线性性向向量量函函数数f（x）在在平平衡衡状状态态xe附近展开为泰勒级数附

44、近展开为泰勒级数非线性系统为非线性系统为 忽忽略略二二次次以以上上的的高高次次项项，得得出出非非线线性性系系统统一一次次近近似似的的线性化数学模型为线性化数学模型为第第5章第章第45页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确判断方法：判断方法：1.若若矩矩阵阵A所所有有特特征征根根具具有有负负实实部部，则则系系统统在在xe处处渐渐近近稳稳定，与忽略掉的定，与忽略掉的（x）无关；）无关；2.只只要要A有有一一个个特特征征根根具具有有正正实实部部，系系统统在在xe处处不不稳稳定定，与与（x）无关；）无

45、关；3.只只要要A有有一一个个特特征征根根实实部部为为0（纯纯虚虚根根，0根根），系系统统在在xe处处稳稳定定性性与与（x）有有关关；不不能能直直接接判判断断稳稳定定性性，只只能用李雅普诺夫第二法判断。能用李雅普诺夫第二法判断。第第5章第章第46页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例5.9分析系统平衡态的稳定性。分析系统平衡态的稳定性。2.线性化线性化3.求线性化后的特征根求线性化后的特征根4.由劳斯判据可知，系统的特征根全部具有负实部，系统在平衡由劳斯判据可知，系统的特征根全部具有负实部

46、，系统在平衡状态处渐近稳定。状态处渐近稳定。解：解：1.求系统的平衡状态求系统的平衡状态2022年年12月月27日日第第5章第章第47页页在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.4 5.4 李亚普诺夫判稳第二法李亚普诺夫判稳第二法李亚普诺夫判稳第二法李亚普诺夫判稳第二法一、李雅普诺夫第二法的基本思想一、李雅普诺夫第二法的基本思想一、李雅普诺夫第二法的基本思想一、李雅普诺夫第二法的基本思想 二、标量函数二、标量函数二、标量函数二、标量函数V V（x x）的符号性质）的符号性质）的符号性质）的符号性质三、二次型标量函数的符号性

47、质三、二次型标量函数的符号性质三、二次型标量函数的符号性质三、二次型标量函数的符号性质四、李雅普诺夫第二法的稳定性判据四、李雅普诺夫第二法的稳定性判据四、李雅普诺夫第二法的稳定性判据四、李雅普诺夫第二法的稳定性判据 第第5章第章第48页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5.4.1李雅普诺夫第二法的基本思想李雅普诺夫第二法的基本思想iLRuC y例：例：选取选取i(t)和和y(t)作为状态变量，作为状态变量，x1(t)=i(t)，x2(t)=y(t)，u=0。电容能量电容能量电感能量电感能量电

48、路总能量电路总能量能量变化率能量变化率平衡状态平衡状态xe=0第第5章第章第49页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确系统总能量不变，响应为等幅振荡，是李雅普诺夫意义下的稳定。系统总能量不变，响应为等幅振荡，是李雅普诺夫意义下的稳定。系统总能量衰减，是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。系统总能量衰减，是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。储能元件能元件电容容C电感感L质量量M转动惯量量J弹簧簧K能量方程能量方程Cu2/2Li2/2Mv2/2J2/2Kx2/2物理物理变量量电压u电流流i速度速度v转速速长度度

49、变化化x第第5章第章第50页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确说明：说明：能能量量及及能能量量的的变变化化率率表表明明，一一旦旦系系统统因因干干扰扰偏偏离离xe(x10，x20)，若若系系统统具具有有正正能能量量，将将产产生生自自由由运运动动。若若沿沿着着状状态态矢矢量量的的运运动动轨轨迹迹时时，系系统统能能量量又又具具有有负负的的变变化化速速度度。这这意意味味着着，随随时时间间增增长长，能能量量将将不不断断耗耗散散，从从而而趋趋于于能能量量最最小小的的平平衡衡状状态态xe，直直至至能能量量

50、消消耗耗殆殆尽尽，最最后后回回到到能能量量等等于于0的的平平衡衡状状态态xe，因因此此系系统统渐渐近近稳稳定定。反反之之，如如果果在在运运动动中中，系系统统能能量量具具有有正正的的变变化化速速度度，系系统统将将不不断断从从外外界界吸吸收收能量，能量越来越大，肯定不稳定。能量，能量越来越大，肯定不稳定。第第5章第章第51页页2022年年12月月27日日在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 李李雅雅普普诺诺夫夫第第二二法法又又称称直直接接法法，从从能能量量的的观观点点来来研研究究物物理理系系统统的的稳稳定定性性问问题题。其其基