2020年高考理科数学全国卷3附答案解析版ppt课件.pptx

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1、数学试卷 第 1 页（共 6 页）绝密启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.已知集合 A x，y x，y N*，yx，B x，y x y 8 ，则 A B 中元素的个数为A

2、.2()D.6B.3C.411 3i2.复数的虚部是()10A.310B.1C.1D.310104i11234 i3.在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p，p，p，p，且 p 1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.p1 p4 0.1，p2 p3 0.4B.p1 p4 0.4，p2 p3 0.1C.p1 p4 0.2，p2 p3 0.3()D.p p 0.3，p p 0.214234.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I t （t 的单位：天）的 Logistic 模型：KI

3、t 1 e0.23t 5 3，其中 K 为最大确诊病例数.当 I t 0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t 约为（ln193）A.60B.63C.66()D.695.设 O 为坐标原点，直线 x 2 与抛物线 C:y2 2 px p0 交于 D，E 两点，若OD OE，则C 的焦点坐标为()4 2 A.1，0 B.1，0 C.1，0D.2，06.已知向量a，b 满足 a 5，b 6，a b 6，则cosa，a b()A.31B.193535C.17D.19353537.在ABC 中，cos C 2，AC 4，BC 3，则cos B()A.911B.3C.12D.238.下图为某几何体的三

4、视图，则该几何体的表面积是()A.6 4 2C.6 2 3B.4 4 2D.4 2 3 4 9.已知2 tan tan 7，则tan()A.2B.1C.1D.2510.若直线l 与曲线 y x 和圆 x2 y2 1 都相切，则l 的方程为()2A.y 2x 1B.y 2x 1222数学试卷 第 2 页（共 6 页）C.y 1 x 1D.y 1 x 1毕业学校姓名考生号在此卷上答题无效数学试卷 第 3 页（共 6 页）数学试卷 第 4 页（共 6 页）x2 y211.设双曲线C:1a0，b0 的左、右焦点分别为 F1 ，F2，离心率为 5.a2 b2P 是C 上一点，且 F1P F2 P.若PF

5、1F2 的面积为 4，则a()A.1B.2C.4D.8()581312.已知5584，13485.设a log 3，b log 5，c log 8，则A.abcC.bcaB.bacD.cab13.若 x，y 满足约束条件二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.x y0，x1，2x y0，则 z 3x 2 y 的最大值为.2 614.x2 的展开式中常数项是（用数字作答）.x 15.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为.16.关于函数 f x sin x 1 有如下四个命题：sin x f x 的图像关于 y 轴对称.f x 的图像关于原点对

6、称.f x 的图像关于直线 x 对称.2 f x 的最小值为 2.其中所有真命题的序号是.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.(12 分)设数列an 满足 a1 3，an1 3an 4n.（1）计算 a2 ，a3，猜想an 的通项公式并加以证明；nnn（2）求数列 2 a 的前 n 项和 S.18.（12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼 的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次

7、 空气质量等级0，2 0 0200，400400，6001（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）7201分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；2求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表）；3若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2 2 列联表，并 根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气 质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：K 2 nad b

8、c2a bc d a cb d，.数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）19.（12 分）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1 上，且 2DE ED1，BF 2FB1.（1）证明：点C 在平面 AEF 内；1（2）若 AB 2，AD 1，AA1 3，求二面角 A EF A1 的正弦值.x2 y220.（12 分）已知椭圆C:25 m10m5 的离心率为2154，A，B 分别为C 的左、右顶点.1求C 的方程；2若点 P 在C 上，点Q 在直线 x 6 上，且 BP BQ，BP BQ，求 APQ 的面积.21.（12

9、分）2 2 设函数 f x x3 bx c，曲线 y f x 在点 1，f 1 处的切线与 y 轴重直.1求b；2若 f x 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：f x 所有零点的绝对值都不大于 1.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的 第一题计分.22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为2y 2 3t tx 2 t t2，（t 为参数且t1），C与坐标轴交于 A，B 两点.1求 AB；2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程.23.选修 45：不等

10、式选讲（10 分）设 a，b，c R，a b c 0，abc 1.1证明：ab bc ca0；2用maxa，b，c 表示 a，b，c 的最大值，证明：maxa，b，c3 4.毕业学校姓名考生号在此卷上答题无效2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷理科数学答案解析一、选择题1.【答案】Cx y 8 yx【解析】采用列举法列举出 A B 中元素的即可.由题意，A B 中的元素满足，且 x，y N*，由 x y 82x，得 x4，所以满足 x y 8 的有1，7，2，6，3，5，4，4，故 A B 中元素的个数为4.故选：C.【考点】集合的交集运算，交集定义的理解2.【答案】D【解析】利用复数

11、的除法运算求出 z 即可.因为 z 11 3i10101 3i11 3i1 3i 3 i，所以复数 z 11 3i的虚部为 3.故选：D.10【考点】复数的除法运算，复数的虚部的定义3.【答案】B【解析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.对于 A 选项，该组数据的平均数为 xA 1 4 0.1 2 3 0.4 2.5，22222A方差为 s 1 2.5 0.1 2 2.5 0.4 3 2.5 0.4 4 2.5 0.1 0.65；对于 B 选项，该组数据的平均数为 xB 1 4 0.4 2 3 0.1 2.5，22222B方差为 s 1 2.5 0.4 2 2

12、.5 0.1 3 2.5 0.1 4 2.5 0.4 1.85；对于 C 选项，该组数据的平均数为 xC 1 4 0.2 2 3 0.3 2.5，22222C方差为 s 1 2.5 0.2 2 2.5 0.3 3 2.5 0.3 4 2.5 0.2 1.05；对于 D 选项，该组数据的平均数为 xD 1 4 0.3 2 3 0.2 2.5，22222D方差为 s 1 2.5 0.3 2 2.5 0.2 3 2.5 0.2 4 2.5 0.3 1.45.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【考点】标准差的大小比较，方差公式的应用4.【答案】C【解析】将t t 代入函数 I t K1 e0

13、.23t 53K1 e0.23t 531/14结合 I t 0.95K 求得t 即可得解.I t ，所1 e0.23t 53e以 I t K 0.95K，则 0.23t*53 19 5366.0.23，所以，0.23t 53 ln193，解得t 3故选：C.【考点】对数的运算，指数与对数的互化5.【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE，结合抛物线的对称性，可知DOx EOx ，从而可以确定4出点 D 的坐标，代入方程求得 p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.因为直线 x 2 与抛物线4y2 2 px p0 交于 E，D 两点，且OD OE，根据抛物线的对称性可以确定DOx EOx

14、，所以D 2，2，代入抛物线方程4 4 pp 1，求得，所以其焦点坐标为 1 2，0，故选：B.【考点】圆锥曲线，直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标6.【答案】D【解析】计算出a a b、a b的值，利用平面向量数量积可计算出 cos a，a b的值.，a 5b 6，a b 6 ，a a b 2 2 2 2a a b 52 6 19.a b a b a 2a b b 25 2 6 36 7，因此，cos a，a b1919a a ba a b5 735 .故选：D.【考点】平面向量夹角余弦值的计算，平面向量数量积的计算，向量模的计算7.【答案】A【解析】根

15、据已知条件结合余弦定理求得 AB，再根据cos B AB2 BC 2 AC 22 AB BC，即可求得答案.在3ABC 中，cosC 2，AC 4，BC 3.根据余弦定理：AB2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos C，222AB 4 3 2 4 323AB2 BC 2 AC 29 9 1612 AB BC2 3 39，可得 AB2 9，即 AB 3.由 cos B，故cos B 1.故选：A.9【考点】余弦定理解三角形2/148.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

16、2根据立体图形可得：SABC S ADC SCDB 1 2 2 2,根据勾股定理可得：AB AD DB 2 2,ADB 是边长为2 2 的等边三角形,根据三角形面积公式可得：222 ADBS 1 AB AD sin 60 1 2 2 2 3 2 3，该几何体的表面积是：3 2 2 3 6 2 3.故选：C.【考点】根据三视图求立体图形的表面积，根据三视图画出立体图形9.【答案】D【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.4 2 tan tan 7，2 tan tan 1 7，令t tan，t 1，则2t 1 t 7，整理得t2 4t 4 0，解得 t 2，即 ta

17、n 2.1 tan1 t故选：D.【考点】利用两角和的正切公式化简求值10.【答案】D【解析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.设直线l 在曲线y x 上的切点为000 x，x ，则 x 02 x02 x，函数 y x 的导数为 y 1，则直线l 的斜率k 1，设直线 l 的方程为 y 00012 xx 00 x x ，即 x 25x y x 0，由于直线 l 与圆 x2 y2 1 相切，则x0 101 4x500005，两边平方并整理得 5x2 4x 1 0，解得 x 1，x 1（舍），则直线 l 的方程为x 2 y 1 0，即 y 1 x 1.故选

18、：D.223/14【考点】导数的几何意义的应用，直线与圆的位置的应用11.【答案】A【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.c 5，a1c 5a，根据双曲线的定义可得 PF122PF 2a，S 1 PF PF2PF1F2 4，即 PF1 PF2 8，F1 P F2 P2221，PF2PF2 4c2，即a2 5a2 4 0，解得12 2c，122 PF PFPF PFa 1，故选：A.【考点】双曲线的性质以及定义的应用，勾股定理，三角形面积公式的应用12.【答案】A【解析】由题意可得a、b、c 0，1，利用作商法以及基本不等式可得出a、b 的大小关系，由

19、b log8 5，1355得8b 5，结合5584 可得出b 4，由 c log 8，得13c 8，结合13485，可得出c4，综合可得出a、b、c 的大小关系.由题意可知a、b、c 0，1，82alog 3lg 3 lg 8blog 5lg 5 lg 51 lg 3 lg 8 2 lg 3 lg 8 2 lg 24 2lg 525 2 lg 5 lg 25 1，ab；由 b log8 5，得8b 5，513由5584，得85b 84，5b4，可得b 4；由 c log 8，得13c 8，由13485，得134135c，5c4，可得c4.综上所述，abc.故选：A.5【考点】对数式的大小比较，

20、基本不等式、对数式与指数式的互化，指数函数单调性的应用二二、填空填空题题13.【答案】7【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为 z 3x 2 y，所以y 3x z，易知截距 z 越大，则 z 越大，平移直线 y 3x，当 y 3x z 经过 A 点时截距最大，此时2222224/14x 1 y 2maxz 最大，由 y 2x，得 x 1，A1，2，所以 z 3 1 2 2 7.故答案为：7.【考点】简单线性规划的应用，求线性目标函数的最大值14.【答案】2402 6【解析】写出 x2 x 2 6x 二项式展开通项，即可求得常数项.x2 其二项式展开通项：6

21、6rr26rr 16 2 rrr122rrr123r C x2 x C2 x，当12T C x x 3r 0，解得r 4，622 x x 的展开式中常数项是：C4 24 C2 16 15 16 240.故答案为：240.66【考点】二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项15.【答案】2 3【解析】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于 球的直径.将原问题转化为

22、求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径 最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中 BC 2，AB AC 3，且点 M 为 BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于 AM 32 12 22ABC2，故 S 1 2 2 2 2 2，设内切圆半径为r，则：5/14 1 AB r 1 BC r 1 AC r 1 3 3 2 r 2 2222S ABC S AOB SBOC S AOC2，解得：r 2，其体积：V 4 r3 2 .故答案为：2 .233316.【答案】【解析】利用特殊值法可判断命题的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题的正误；利用对称性

23、的定 义可判断命题 的正误；取 x0 可判断命题 的正误.综合可得出结论.对于命题，f 1 2 2 6 5 122，f 2 6 5 2，则 f f6 6 y，所以，函数 f x 的图象不关于 轴对称，命题错误；对于命题，函数 f x 的定义域为x x k，k Z，定义域关于原点对称，f x sin x sin x sin x sin x sin x 111sin x f x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题正确；对于命题，11 cos x 2 2cos x，sin x 2 f x sin x 11f x sin x cos x 2 2 sin x 2cos x，则 f x f x

24、2 2，所以，函数 f x 的图象216/14sin x关于直线 x 对称，命题正确；对于命题，当 x0 时，sin x0，f x sin x 02，命题错误.故答案为：.【考点】正弦型函数的奇偶性、对称性，最值的求解三、解答三、解答题题17.【答案】（1）a2 5，a3 7，an 2n 1，当n 1 时，a1 3 成立；假设n k 时，ak 2k 1 成立.那么 n k 1 时，ak 1 3ak 4k 32k 1 4k 2k 3 2k 1 1 也成立.则对任意的n N*，都有an 2n 1 成立.（2）Sn 2n 1 2 2n1【解析】（1）利用递推公式得出a2 ，a3，猜想得出an 的通项

25、公式，利用数学归纳法证明即可.由题意可 得a2 3a1 4 9 4 5，a3 3a2 8 15 8 7，由数列an 的前三项可猜想数列an 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即an 2n 1，证明如下：当n 1 时，a1 3 成立；假设n k 时，ak 2k 1 成立.那么 n k 1 时，ak 1 3ak 4k 32k 1 4k 2k 3 2k 1 1 也成立.则对任意的n N*，都有an 2n 1 成立；（2）由错位相减法求解即可.由（1）可知，an 2 2n 1 2，nnSn 3 2 5 2 7 2 2n 1 2 2n 1 2，23n1n2Sn 3 2 5 2 7 2 2n 1 2

26、 2n 1 2，由 得：234nn1n22 1 2n1 1 2S 6 2 22 23 2n 2n 1 2n1 6 2 2n 1 2n1 1 2n 2n1 2，即 Sn 2n 1 2 2.n1【考点】求等差数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和18.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为 1、2、3、4 的概率分别为 0.43、0.27、0.21、0.09（2）350（3）有，2 2 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228100 33 8 37 222K 2 55 45 70 305.8203.841，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天

27、的空气质量有关.【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为 1、2、3、4 的概率.由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 1 的概率为 2 16 25 0.43，等级为 2 的概率为 5 10 12 0.27，等级100100为 3 的概率为 6 7 8 0.21，等级为 4 的概率为 7 2 0 0.09.1001002利用每组的中点值乘以频数，相加后除以 100 可得结果.由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的 人次的平均数为100 20 300 35 500 45 350.1003根据表格中的数据完善2 2 列联表，计算出 K 2 的观测值，再结合临界值表可得

28、结论.2 2 列联表如 下：7/14人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228100 33 8 37 222K 2 55 45 70 305.8203.841，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数，独立性检验的应用2111119.【答案】（1）在棱CC 上取点G，使得C G 1 CG，连接 DG、FG、C E、C F，1 1 1 1111112在长方体 ABCD A B C D 中，ADBC 且 AD BC，BB CC 且 BB CC，C G 1 CG11133BF 2FB，CG 2 CC 2 BB BF

29、 且CG BF，所以，四边形 BCGF 为平行四边形，则 AFDG且 AF DG，同理可证四边形 DEC1G 为平行四边形，C1EDG 且C1E DG，C1EAF 且C1 E AF，则四边形 AEC1F 为平行四边形，因此，点C1 在平面 AEF 内.（2）427【解析】（1）连接C1E、C1F，证明出四边形 AEC1F 为平行四边形，进而可证得点C1 在平面 AEF 内.在21111棱CC 上取点G，使得C G 1 CG，连接 DG、FG、C E、C F，8/141 1 1 1111112在长方体 ABCD A B C D 中，ADBC 且 AD BC，BB CC 且 BB CC，C G 1

30、 CG11133BF 2FB，CG 2 CC 2 BB BF 且CG BF，所以，四边形 BCGF 为平行四边形，则 AFDG 且 AF DG，同理可证四边形 DEC1G 为平行四边形，C1EDG 且C1E DG，C1EAF 且C1 E AF，则四边形 AEC1F 为平行四边形，因此，点C1 在平面 AEF 内；（2）以点C1 为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系C1 xyz，利用空间向量法可计算出二面角 A EF A1 的余弦值，进而可求得二面角 A EF A1 的正弦值.以点C1 为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C 所在直线分别为 x

31、、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标 系C1 xyz，则 A2，1，3、A1 2，1，0 、E 2，0，2、F 0，1，1 ，AE 0，1，1，AF 2，0，2，m AF 0 m AE 0A1E 0，1，2，A1F 2，0，1，设平面 AEF 的法向量为m x1，y1，z1 ，由 ，得 y1 z1 02x11 2z 0 取 z1 1，得 x1 y1 1，则m 1，1，1 ，设平面 A1EF 的法向量为n x2，y2，z2 ，n A1F 0 012222n A E y 2z 0由 ，得2x z 02，取 z22 2，得 x 1，y 4，则n 1，4，2，3773 21 m nm n cos

32、m，n77，设二面角 A EF A1 的平面角为，则 cos，7sin 1 cos2 142.因此，二面角 A EF A 的正弦值为742.9/14【考点】点在平面的证明，利用空间向量法求解二面角 12525x216 y220.【答案】（1）（2）52x2y225m【解析】（1）因为C:10m5，可得2，a 5b m，根据离心率公式，结合已知，即可求得答x2y225m案.C:10m5，a 5，b m，根据离心率e 24c a b 2 m 215 1 a 5 1 ，545425 5 2 4 解得m 或m （舍），C 的方程为：1.2525x2y2x216 y2 1，即（2）点 P 在C 上，点Q

33、 在直线 x 6 上，且 BP BQ，BP BQ，过点 P 作 x 轴垂线，交点为 M，设x 6 与 x 轴交点为 N，可得PMB BNQ，可求得 P 点坐标，求出直线 AQ 的直线方程，根据点到直 线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.点 P 在C 上，点Q 在直线 x 6 上，且BP BQ，BP BQ，过点 P 作 x 轴垂线，交点为 M，设 x 6 与 x 轴交点为 N.根据题意画出图形，如图2525 BP BQ，BP BQ，PMB QNB 90，又 PBM QBN 90，BQN QBN 90，22PBM BQN，根据三角形全等条件“AAS”，可得：PMB BNQ，x 16

34、y 1，1，2525x216 y2 B 5，0，PM BN 6 5 1，设 P 点为 xP，yP ，可得 P 点纵坐标为 yP 1，将其代入162525x 2可得：P 1，解得：xP 3 或 xP 3，P 点为3，1 或 3，1，当 P 点为3，1 时，故 MB 5 3 2，PMB BNQ，MB NQ 2，可得：Q 点为6，2，画出图象，如图10/14 A5，0，Q 6，2，可求得直线 AQ 的直线方程为：2x 11y 10 0，根据点到直线距离公式可得 P 到5125直线 AQ 的距离为：d 2 3 111 10 22 1125，根据两点间距离公式可得：5AQ 6 52 2 02 5 5 ，

35、APQ 面 积 为：1 5 5 5 5 ；当 P 点 为 3，1 时，故252MB 5+3 8，PMB BNQ，MB NQ 8，可得：Q 点为6，8，画出图象，如图 A5，0，Q 6，8，可求得直线 AQ 的直线方程为：8x 11y 40 0，根据点到直线距离公式可得 P51851858 3 111 405到直线 AQ 的距离为：d 82 112 ，根据两点间距离公式可得：6 52 8 02 AQ 5185185，APQ 面积为：1 185 2 5，综上所述，APQ 面积为：25.2【考点】椭圆标准方程，三角形面积，椭圆的离心率定义，数形结合求三角形面积21.【答案】（1）b 34（2）由（1

36、）可得 f 3x x x c244331 1，f x 3x 3 x x 2 2 f x 012，令 ，得 x 或12xf x 01122f x 1 1 2 2；令 ，得 x，所以 在，上单调递减，在，1 1，2 2，上单11/141调递增，且 f 1 c，14 1 f c 2 1，f c 14 2 4，f 1 c 14f x，若 所有零点中存在一个04444绝对值大于 1 的零点 x，则 f 10 或 f 10，即c1 或c 1.当c1 时，f 1 c 1 0，2 f c 044 1 1 1 1 2 ，f c 0，f 1 c 140，又32f 4c 64c 3c c 4c 1 16c 0，由零

37、点存在性定理知 f x 在4c，1 上存在唯一一个零点 x0，即 f x 在，1 上存在唯一一个零4点，在 1，上不存在零点，此时 f x 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；当c 1 时，f 1 c 4 2 41 1 1 1 14 2 0，f c 0，f c 0，f 1 c 140，又32f 4c 64c 3c c 4c 1 16c 0，由零点存在性定理知 在f x1，4c0 x 上存在唯一一个零点，即 f x 在1，上存在唯一一个零点，在 ，1 上不存在零点，此时 f x 不存在绝对值不大于 1 的零 点，与题设矛盾；综上，f x 所有零点的绝对值都不大于 1.2 【解析】（1）利

38、用导数的几何意义得到 f 1 0，解方程即可.因为 f x 3x2 b，由题意，2f 1 0 2 1 2，即3 3 b 0，则b ；4（2）由（1）可得 2431 1 fx 3x 2x x 2 2，易知 在 1 1 2 2 f x ，上单调递减，在1 2，1 2，上单调递增，且 f1 c 14，1 14f c 2，1 14f c 2 ，14f 1 c，采用反证法，推出矛盾即可.由（1）可得 33f x x x c24431 1，f x 3x 3 x x 2 2，令 f x0，得12x12f x 01122f x 1 1 2 2 1 2 或 x；令 ，得 x，所以 在，上单调递减，在，1 2，上

39、单调递增，且 f 1 c 14，f c 2 1，f c 14 2 1 1 4，f 1 c 14f x，若 所有零0444点中存在一个绝对值大于 1 的零点 x，则 f 10 或 f 10，即c1 或c 1.当c1 时，f 1 c 4 2 41 1 1 1 14 2 0，f c 0，f c 0，f 1 c 1412/140，又f 4c 64c3 3c c 4c 1 16c2 0，由零点存在性定理知 f x 在4c，1 上存在唯一一个零点x0，即 f x 在，1 上存在唯一一个零点，在 1，上不存在零点，此时 f x 不存在绝对值不大14于 1 的零点，与题设矛盾；当c时，f 1 c 44 2 2

40、 1 1 1 1 14 0，f c 0，f c 0，4f 1 c 1 0，又 f 4c 64c3 3c c 4c 1 16c2 0，由零点存在性定理知 f x 在1，4c 上存在唯一一个零点 x ，即 f x 在1，上存在唯一一个零点，在 ，1 上不存在零点，此时 f x 不存在0绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；综上，f x 所有零点的绝对值都不大于 1.【考点】利用导数研究函数的零点，导数的几何意义，反证法22.【答案】（1）4 10（2）3 cos sin 12 0【解析】（1）由参数方程得出 A，B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 AB 的值.令 x 0，则t2 t 2 0

41、，解得 t 2 或 t 1（舍），则 y 2 6 4 12，即 A0，12.令 y 0，则t2 3t 2 0，解得t 2 或 t 1（舍），则 x 2 2 4 4，即 B 4，0.AB 0 42 12 02 4 10.12 00 4 3，AB（2）由 A，B 的坐标得出直线 AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.由（1）可知k2则直线 AB 的方程为 y 3 x 4，即3x y 12 0.由 x cos，y sin 可得，直线 AB 的极坐标方 程为3 cos sin 12 0.【考点】利用参数方程求点的坐标，直角坐标方程化极坐标方程23.【答案】（1）a b c2 a2 b2 c2 2

42、ab 2ac 2bc 0，ab bc ca 1 a2 b2 c2 .a，b，c 均不为 0，则a2 b2 c20，ab bc ca 1 a2 b2 c2 0.2（2）不妨设maxa，b，c a，由 a b c 0，abc 1 可知，a0，b0，c0，a b c，a 1bcbcbcbcb c2b2 c2 2bc2bc 2bc，a3 a2 a 4.当且仅当b c 时，取等号，a3 4，即213/14maxa，b，c3 4.【解析】（1）由a b c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 0 结合不等式的性质，即可得出证明.a b c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 0，ab bc ca 1 a2 b2 c2 .a，b，c 均不为 0，2则a2 b2 c20，ab bc ca 1 a2 b2 c2 0.bcbcb c2b2 c2 2bc（2）不妨设maxa，b，c a，由题意得出 a0，b，c0，由a3 a2 a，结合基本不等式，即可得出证明.不妨设maxa，b，c a，由 a b c 0，abc 1 可知，a0，b0，c0，1bcbcbcb c2b2 c2 2bc2bc 2bc a b c，a，a3 a2 a 4.当且仅当b c 时，取等号，bca3 4，即maxa，b，c3 4.14/14【考点】不等式的基本性质，基本不等式的应用